ABC ABC. Affine Abbildungen. Definition und Anwendungsbeispiele. Prof. Dr. Andreas de Vries. Fachhochschule Südwestfalen, Standort Hagen

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1 ABC ABC Affine Abbildungen Definition und Anwendungsbeispiele Prof. Dr. Andreas de Vries Fachhochschule Südwestfalen, Standort Hagen 22. März / 30

2 Übersicht 1 Einführung Motivation Mathematische Voraussetzungen Definition 2 Fixpunkte affiner Abbildungen 3 Anwendungen Technische Zeichnungen Informatik Physik 4 Affine und lineare Abbildungen 5 Schlussbetrachtungen 6 Literatur 2 / 30

3 Einführung Motivation Affine Abbildungen im Alltag? Beispiel Sport: 3D-Spielanalyse 3 / 30

4 Einführung Motivation Affine Abbildungen im Alltag? Beispiel Sport: 3D-Spielanalyse 3 / 30

5 Einführung Mathematische Voraussetzungen Mathematische Voraussetzungen: Matrizen Eine (m n)-matrix A ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen (a ij ): a 11 a 1n A =..... m Zeilen a m1 a mn }{{} n Spalten Zwei (m n)-matrizen A und B können addiert werden: a 11 + b 11 a 1n + b 1n A + B = = a m1 + b m1 a mn + b mn Eine (m n)-matrix A kann mit einer (n k)-matrix B multipliziert werden: n n a 1i b i1 a 1i b ik s i=1 i=1 s AB =. r i r... i. = n n a mi b i1 a mi b ik i=1 i=1 4 / 30

6 Einführung Mathematische Voraussetzungen Beispiele für Matrizenoperationen Für zwei (2 3)-Matrizen gilt: ( ) ( = ) Das Produkt einer (2 3)-Matrix mit einer (3 2)-Matrix ergibt eine (2 2)-Matrix: 3 7 ( = = ) 5 / 30

7 Einführung Mathematische Voraussetzungen Mathematische Voraussetzungen: Vektorräume Definition (Vektorraum) Sei n N gegeben. Vektoren: Ein n-tupel x = (x 1,...,x n ) mit reellen Komponenten x i R heißt Vektor der Dimension n. Man schreibt R n für die Menge aller Vektoren der Dimension n. Vektoraddition: Sind x = (x 1,...,x n ) und y = (y 1,...,y n ) zwei Vektoren der Dimension n, so sei ihre Summe definiert durch x + y = (x 1 + y 1,...,x n + y n ) R n. (1) Skalarmultiplikation: Für eine reelle Zahl λ R und einen n-dimsensionalen Vektor definieren wir: λx = (λx 1,...,λx n ) R n. (2) Mit diesen Bezeichnungen ist R n ein (reeller) Vektorraum. In der Mathematik ist der Begriff des Vektorraums allgemeiner gefasst, der R n ist nur ein spezieller (allerdings sehr wichtiger) Vektorraum [Jän81, 2]. 6 / 30

8 Einführung Definition Definition affiner Abbildungen Definition Sei A eine quadratische (n n)-matrix und b R n ein n-dimensionaler Vektor. Dann heißt eine Abbildung f : R n R n, eine affine Abbildung des R n. f (x) = Ax + b (3) Mit anderen Worten: Eine affine Abbildung setzt sich aus einer linearen Abbildung Ax und einer Translation um den Vektor b zusammen: f (x) = Ax }{{} + b }{{} lineare Translation Abbildung ABC ABC ABC ABC 7 / 30

9 Einführung Definition Erste Beispiele und Folgerungen n = 1: Die affinen Abbildungen sind die linearen Funktionen f : R R, f (x) = ax + b mit a, b R. 8 / 30

10 Einführung Definition Erste Beispiele und Folgerungen n = 1: Die affinen Abbildungen sind die linearen Funktionen f : R R, f (x) = ax + b mit a, b R. n = 2: Wichtige lineare Abbildungen der Ebene R 2 : Spiegelung Scherung Drehung cosϕ sinϕ 1 m cosϕ sinϕ A = A = A = sinϕ cosϕ 0 1 sinϕ cosϕ v v + ϕ/2 Av x v 1 Ax ϕ Ax x (4) mit den konstanten Parametern m R, ϕ [0,2π). 8 / 30

11 Fixpunkte affiner Abbildungen Übersicht 1 Einführung Motivation Mathematische Voraussetzungen Definition 2 Fixpunkte affiner Abbildungen 3 Anwendungen Technische Zeichnungen Informatik Physik 4 Affine und lineare Abbildungen 5 Schlussbetrachtungen 6 Literatur 9 / 30

12 Fixpunkte affiner Abbildungen Fixpunkte Definition Für eine allgemeine Abbildung f : X X einer beliebigen Menge in sich heißt ein Punkt x X mit der Eigenschaft x = f (x ) (5) ein Fixpunkt. Beispiel für n = 1: Eine affine Abbildung f (x) = ax + b mit a 1 hat einen Fixpunkt x = 1 a b. Für a = 1 und b = 0 hat f eine Fixgerade R, für a = 1 und b 0 dagegen hat f keinen Fixpunkt. (Warum?) 10 / 30

13 Fixpunkte affiner Abbildungen Fixpunkte Definition Für eine allgemeine Abbildung f : X X einer beliebigen Menge in sich heißt ein Punkt x X mit der Eigenschaft x = f (x ) (5) ein Fixpunkt. Beispiel für n = 1: Eine affine Abbildung f (x) = ax + b mit a 1 hat einen Fixpunkt x = 1 a b. Für a = 1 und b = 0 hat f eine Fixgerade R, für a = 1 und b 0 dagegen hat f keinen Fixpunkt. (Warum?) Beweis. Für a 1 gilt x = ax + b (1 a)x = b x = 1 a b. Für a = 1 und b = 0 ist ja f (x) = x, d.h. alle Punkte sind fix. Für a = 1 und b 0 dagegen müsste gelten x = x + b 0 = b, was sich aber widerspräche; daher kann kein x die Fixpunktgleichung erfüllen. 10 / 30

14 Fixpunkte affiner Abbildungen Fixpunkte ebener affiner Abbildungen mit einer 90 -Drehung n = 2: Eine affine Abbildung f (x) = Ax +b mit einer Drehung um 90 (ϕ = π 2 ): 0 1 A = 1 0 hat immer einen Fixpunkt. Welchen? 11 / 30

15 Fixpunkte affiner Abbildungen Fixpunkte ebener affiner Abbildungen mit einer 90 -Drehung n = 2: Eine affine Abbildung f (x) = Ax +b mit einer Drehung um 90 (ϕ = π 2 ): 0 1 A = 1 0 hat immer einen Fixpunkt. Welchen? Lösung. Die Fixpunktgleichung x = f (x) ist nun eine Matrizengleichung: x1 0 1 x1 b1 x2 b1 = + = x 2 x1 + x 2 = x 2 x 1 ( b1 b 2 ) Umstellen der ersten Gleichung nach x 2 und Einsetzen dieses Terms für x 2 in die zweite Gleichung liefert x 1 = b 1 b 2 2 und damit x 2 = b 1+b 2 2, also b1 b 2 x 2 b 2 x 1 b 2 x = 1 2 b 1 + b 2 11 / 30

16 Fixpunkte affiner Abbildungen Fixpunkte ebener affiner Abbildungen mit 180 -Drehung Eine ebene affine Abbildung f (x) = Ax + b mit einer Drehung um 180 (ϕ = π): 1 0 A = 0 1 hat immer einen Fixpunkt. Welchen? ( Lösung. Die Fixpunktgleichung x = f (x) ist nun eine Matrizengleichung: x1 1 0 x1 b1 x1 b1 = + = + x x 2 b 2 x 2 b 2 2x1 b1 = 2x 2 b 2 Daraus ergibt sich sofort x 1 = b 1 2 und x 2 = b 2 2, also ) ( b1 x = 1 2 b 2 (Machen Sie die Probe f (x ) = x!) 12 / 30

17 Fixpunkte affiner Abbildungen Fixpunkte ebener affiner Abbildungen mit Drehungen Satz Eine ebene affine Abbildung f (x) = Ax + b mit einer Drehung A um den Winkel ϕ gemäß Gl. (4) hat für ϕ 0 stets genau einen Fixpunkt, nämlich x = 1 2 ( sinϕ ) b1 b 2 1 cosϕ 1+cosϕ b 1 sinϕ + b 2 für ϕ π und x = 1 2b für ϕ = π. (6) 13 / 30

18 Fixpunkte affiner Abbildungen Fixpunkte ebener affiner Abbildungen mit Drehungen Satz Eine ebene affine Abbildung f (x) = Ax + b mit einer Drehung A um den Winkel ϕ gemäß Gl. (4) hat für ϕ 0 stets genau einen Fixpunkt, nämlich x = 1 2 ( sinϕ ) b1 b 2 1 cosϕ 1+cosϕ b 1 sinϕ + b 2 für ϕ π und x = 1 2b für ϕ = π. (6) Beweis. Die Fixpunktgleichung x = f (x) ist nun eine Matrizengleichung: x1 cosϕ sinϕ x1 b1 x1 cosϕ x = + = 2 sinϕ b1 + x 2 sinϕ cosϕ x 2 b 2 x 1 sinϕ + x 2 cosϕ b 2 x1 (1 cosϕ) + x 2 sinϕ b1 = x 1 sinϕ + x 2 (1 cosϕ) b 2 Umstellen der ersten Gleichung nach x 2 und Einsetzen in die zweite Gleichung liefert x 1 = 2 1 b 1 sinϕ 2(1 cosϕ) b 2 und damit x 2 = 1+cosϕ 2sinϕ b b 2 für ϕ π, also (6). Den Fall ϕ = π rechnet man mit (7) schnell nach. (7) 13 / 30

19 Fixpunkte affiner Abbildungen Fixpunkte ebener affiner Abbildungen mit Scherung n = 2: Eine affine Abbildung f (x) = Ax + b mit einer Scherung um den Scherungsfaktor m, 1 m A =, 0 1 λ hat unendlich viele Fixpunkte, für m 0 sind sie durch x = gegeben. b 1 /m 14 / 30

20 Fixpunkte affiner Abbildungen Fixpunkte ebener affiner Abbildungen mit Scherung n = 2: Eine affine Abbildung f (x) = Ax + b mit einer Scherung um den Scherungsfaktor m, 1 m A =, 0 1 λ hat unendlich viele Fixpunkte, für m 0 sind sie durch x = gegeben. b 1 /m Beweis. Die Fixpunktgleichung x = f (x) lautet: ( x1 1 m = x mx2 b1 = 0 b 2 )( x1 x 2 ) + ( b1 b 2 ) = ( x1 + mx 2 x 2 ) + ( b1 b 2 ) (8) Umstellen der ersten Gleichung nach x 2 liefert die Behauptung für m 0, für m = 0 ist notwendig b = / 30

21 Fixpunkte affiner Abbildungen Fixpunkte ebener affiner Abbildungen mit Spiegelung an der Winkelhalbierenden n = 2: Eine affine Abbildung f (x) = Ax + b mit einer Spiegelung um ϕ = π 2, 0 1 A =, 1 0 hat für bestimmte Translationsvektoren b unendlich viele Fixpunkte. Welche sind das und wie lauten die Fixpunkte? 15 / 30

22 Fixpunkte affiner Abbildungen Fixpunkte ebener affiner Abbildungen mit Spiegelung an der Winkelhalbierenden n = 2: Eine affine Abbildung f (x) = Ax + b mit einer Spiegelung um ϕ = π 2, 0 1 A =, 1 0 hat für bestimmte Translationsvektoren b unendlich viele Fixpunkte. Welche sind das und wie lauten die Fixpunkte? Lösungen. Die Fixpunktgleichung x = f (x) ist wieder eine Matrizengleichung: x1 = x1 b1 x2 b1 + = + x x 2 b 2 x 1 b 2 x1 x 2 b1 = (9) x 1 + x 2 b 2 Umstellen der ersten Gleichung nach x 2 ergibt x 2 = x 1 b 1 und Einsetzen in die zweite Gleichung liefert x 1 + x 1 b 1 = b 2 = b 1 = b 2, also eine Festlegung der Richtung von b. Damit folgt, dass x 1 beliebig ist, aber x 2 festlegt. Anders ausgedrückt: λ 1 x = falls b = µ λ µ 1 für ein ( µ R. )( Ist b jedoch ) ( nicht ) derart darstellbar, so existiert auch kein Fixpunkt. Es gilt 0 1 µ µ Ab = =, also Ab = b. 1 0 µ µ 15 / 30

23 Fixpunkte affiner Abbildungen Fixpunkte ebener affiner Abbildungen mit Spiegelung Satz Eine ebene affine Abbildung f (x) = Ax + b mit einer Spiegelung A um ϕ gemäß Gl. (4) hat unendlich viele Fixpunkte λ b1 /2 x =, wenn ϕ = b b 2 /2 1 = 0, x =, wenn ϕ = π und b λ 2 = 0, (10) oder x = ( λ 1 cosϕ sinϕ µ sinϕ ) 1, wenn b = µ 1+cosϕ sinϕ für ein µ R (11) (jeweils mit λ R). In all diesen Fällen gilt Ab = b, für alle anderen Fälle existiert kein Fixpunkt. Beweis. Die Fixpunktgleichung x = f (x) ist wieder eine Matrizengleichung: x1 cosϕ sinϕ x1 b1 x1 cosϕ + x = + = 2 sinϕ b1 + x 2 sinϕ cosϕ x 2 b 2 x 1 sinϕ x 2 cosϕ b 2 x1 (1 cosϕ) x 2 sinϕ b1 = x 1 sinϕ + x 2 (1 + cosϕ) b 2 (12) Umstellen der ersten Gleichung nach x 2 ergibt x 2 = (x 1 (1 cosϕ) b 1 )/sinϕ, und Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt b 1(1+cosϕ) sinϕ = b 2, also eine Festlegung der Richtung von b. Daraus folgt (11). Für ϕ = 0 und ϕ = π ergibt (12) jeweils für beliebiges b direkt (10). 16 / 30

24 Fixpunkte affiner Abbildungen Dreidimensionale Rotationen Eine Rotation f : R 3 R 3 im 3-dimensionalen Raumes kann durch drei aufeinanderfolgende Drehungen R(α), R(β) und R(γ) mit den Euler schen Winkeln α, β, γ, als Matrizenoperation von rechts nach links auszuführen: cosγ sinγ 0 R zxz = sinγ cosγ cosβ sinβ 0 sinβ cosβ cosα sinα 0 sinα cosα cosα cosγ sinα cosβ sinγ sinα cosγ + cosα cosβ sinγ sinβ sinγ = cosα sinγ sinα cosβ cosγ sinα sinγ + cosα cosβ cosγ sinβ cosγ sinα sinβ cosα sinβ cosβ Z β z Y α γ X y x N 17 / 30

25 Anwendungen Übersicht 1 Einführung Motivation Mathematische Voraussetzungen Definition 2 Fixpunkte affiner Abbildungen 3 Anwendungen Technische Zeichnungen Informatik Physik 4 Affine und lineare Abbildungen 5 Schlussbetrachtungen 6 Literatur 18 / 30

26 Anwendungen Technische Zeichnungen Technische Zeichnungen: Parallelprojektion Bildpunkt von p mit Projektionsrichtung v auf die Bildebene E B : n x d = 0: p = p+ d p n v. n v Spezielle Parallelprojektionen: a) Orthogonalprojektion, ( v n), z.b. Grund-und Aufriss b) Kavalierprojektion ( v n, Bildebene senkrecht) c) Vogelperspektive ( v n, Bildebene horizontal) a) b) c) 19 / 30

27 Anwendungen Informatik Informatik: SVG (Vektorgraphik) skewx(m), skewy(m): Scherung um m in x- bzw. y-richtung translate(v 1 v 2 ): Verschiebung um den Vektor v = ( v ) 1 v 2 scale(a b): Skalierung um a in x-richtung und b in y-richtung rotate(ϕ x y): Drehung um ϕ (in Grad) um den Punkt (x,y) matrix(a 11 a 12 a 21 a 22 b 1 b 2 ): allgemeine affine Transformation f (x) = Ax + b (Siehe 1 <?xml version="1.0" encoding="utf-8"?> 2 <svg version="1.2" baseprofile="tiny" 3 xmlns=" 4 xml:lang="de" 5 viewbox=" "> 6 <title>beispiel einer affinen Transformation</title> 7 8 <g transform="skewx(30) rotate(45) translate(-20-20)"> 9 <rect width="40" height="40" fill="green" /> 10 </g> <rect width="40" height="40" fill="none" stroke="black" /> </svg> 20 / 30

28 Anwendungen Informatik Informatik: SVG (Vektorgraphik) skewx(m), skewy(m): Scherung um m in x- bzw. y-richtung translate(v 1 v 2 ): Verschiebung um den Vektor v = ( v ) 1 v 2 scale(a b): Skalierung um a in x-richtung und b in y-richtung rotate(ϕ x y): Drehung um ϕ (in Grad) um den Punkt (x,y) matrix(a 11 a 12 a 21 a 22 b 1 b 2 ): allgemeine affine Transformation f (x) = Ax + b (Siehe 1 <?xml version="1.0" encoding="utf-8"?> 2 <svg version="1.2" baseprofile="tiny" 3 xmlns=" 4 xml:lang="de" 5 viewbox=" "> 6 <title>beispiel einer affinen Transformation</title> 7 8 <g transform="matrix( , , , , , )"> 10 <rect width="40" height="40" fill="green" /> 11 </g> <rect width="40" height="40" fill="none" stroke="black" /> 14 </svg> 20 / 30

29 Anwendungen Informatik Computergrafik: Fraktale Ein Bild wird üblicherweise verpixelt (pro Pixel ein Farbcode à 256 bit) Speicherbedarf! Viele Naturobjekte sind allerdings selbstähnlich, d.h. ihre Struktur wiederholt sich auf verschiedenen Größenskalen. Beispiel: Ein Farn lässt sich aus 4 affinen Transformationen a11 a f i (x) = 12 b1 + a 21 a 22 b 2 (i = 1,...,4) zeichnen. swf.de/spielwiese/affin/barnsley- Fern- Generator.html [Mes15, 5.4.2, S. 241] vgl. (Bildquelle: 21 / 30

30 Anwendungen Physik Mechanik: Starre Bewegungen im Raum Starre Bewegungen eines physikalischen Systems sind stets durch affine Abbildungen f (x) = Ax + b mit einer dreidimensionalen Rotationsmatrix A darstellbar. Z.B. Bezugssystem Flugzeug Erdboden mit drei Tait-Bryan-Winkeln: Gierwinkel Ψ [ π,π] (yaw), Nickwinkel Θ [ π 2, π 2 ] (pitch), Rollwinkel Φ [ π,π] (roll), [ z x Z Y Φ θ ψ y N(y') N T X Pitch Axis Roll Axis Yaw Axis Φ X -Θ Ψ y - z z x (Bildquellen: / 30

31 Affine und lineare Abbildungen Übersicht 1 Einführung Motivation Mathematische Voraussetzungen Definition 2 Fixpunkte affiner Abbildungen 3 Anwendungen Technische Zeichnungen Informatik Physik 4 Affine und lineare Abbildungen 5 Schlussbetrachtungen 6 Literatur 23 / 30

32 Affine und lineare Abbildungen Affine und lineare Abbildungen Satz Eine affine Abbildung f : R n R n, mit einem Fixpunkt x ist stets zusammengesetzt aus einer Translation x y = x x, einer linearen Abbildung g(y) = Ay und einer Translation y y + x. x x 2 affin f (x) = Ax + b x x 2 x 1 Translation y = x x x 1 Translation x = y + x y 2 linear g(y) = Ay y 2 0 y 1 y 1 24 / 30

33 Affine und lineare Abbildungen Affine und lineare Abbildungen: Beispiel Betrachte die Drehung um 180 und deren Fixpunkt x für b = ( 4 4), also A = und x 0 1 =. 2 Dann ist: x 2 x affin Ax x 2 x x 1 x 1 Translation y = x x Translation x = y + x y 2 linear Ay y 2 0 y 1 0 y 1 25 / 30

34 Affine und lineare Abbildungen Affine Abbildungen und ihre Rolle heute Der interessante Teil einer affinen Abbildung ist durch die lineare Abbildung gegeben. Man betrachtet in der Höheren Mathematik und in Wissenschaft und Technik kaum noch affine Abbildungen, sondern vorwiegend lineare Abbildungen. Lineare Abbildungen im R n lassen sich effizient durch quadratische Matrizen darstellen. Mit quadratischen Matrizen kann man wie mit Zahlen rechnen, also bilden. Summen A + B, Produkte AB, und (oft) Quotienten A 1 Matrizen bilden eine sog. Algebra. Lineare Abbildungen sind Bestandteil der Linearen Algebra. Affine Abbildungen sind heute ein spezielles Kapitel der Linearen Algebra und werden in Studium und Wissenschaft nur am Rande erwähnt. Dennoch sind sie, wie die gesamte Geometrie, oft Ursache und Anwendungsfeld algebraischer Betrachtungen. 26 / 30

35 Schlussbetrachtungen Übersicht 1 Einführung Motivation Mathematische Voraussetzungen Definition 2 Fixpunkte affiner Abbildungen 3 Anwendungen Technische Zeichnungen Informatik Physik 4 Affine und lineare Abbildungen 5 Schlussbetrachtungen 6 Literatur 27 / 30

36 Schlussbetrachtungen Zusammenfassung Eine affine Abbildung f : R n R n ist gegeben durch eine (n n)-matrix A und einen Verschiebungsvektor b R n : f (x) = Ax }{{} + b }{{} lineare Translation Abbildung ABC ABC ABC ABC Beispiele für affine Abbildungen: Drehstreckungen, Spiegelungen, Scherungen Affine Abbildungen können einen Fixpunkt x = f (x ) haben, im 3-Dimensionalen z.b. die Punkte auf der Rotationsachse oder auf der Spiegelfläche. Sie haben vielfältige Anwendung in Technik, Physik, Informatik, Sport Quadratische Matrizen bilden eine Algebra, d.h. man kann mit ihnen rechnen. Affine Abbildungen sind heute Teil der Linearen Algebra. 28 / 30

37 Schlussbetrachtungen Und zum Schluss... Geben Sie eine affine Abbildung zu folgender Parallelprojektion der Penrose-Treppe an! (Bildquelle: haegar.fh-swf.de/spielwiese/unmoeglicheobjekte/port.html Da es sich um ein Unmögliche Figur handelt, existiert keine affine Abbildung dafür. Siehe auch 29 / 30

38 Literatur JÄNICH, Klaus: Lineare Algebra. 2. Berlin Heidelberg : Springer-Verlag, 1981 MESCHEDE, Dieter (Hrsg.): Gerthsen Physik. 25. Berlin Heidelberg : Springer Verlag, / 30