2 Funktionen. Mathematik für die Physik I, WS 2017/2018 Montag $Id: funktion.tex,v /11/13 15:06:28 hk Exp $

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1 $Id: funktion.te,v.7 07//3 5:06:8 hk Ep $ Funktionen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir begonnen den allgemeinen Funktionsbegriff einzuführen, und uns als eine Vorbemerkung hierzu an den in der Schule verwendeten Funktionsbegriff erinnert. Bei diesem hatte man zwei, tpischerweise reelle, Variablen, bei denen eine, etwa, als unabhängige Variable betrachtet wird und die andere als die abhängige Variable. Diese Abhängigkeit drückte sich dabei in einer Formel aus die die abhängige Variable in Termen der unabhängigen Variable ausdrückt, zum Beispiel so etwas wie =. Man nannte = f() = dann eine Zuordnungsvorschrift. In der Schule wurde dann leider der Unterschied zwischen der definierenden Formel und der Funktion verwischt, eine Funktion ist schon seit über dreihundert Jahren keine Formel mehr, Formeln können nur umgekehrt zur Definition von Funktionen verwendet werden. Tatsächlich reichen derartige Funktionen nicht aus, man braucht zumindest noch solche Funktionen die in mehreren Stücken definiert sind, etwa f() H() = f() = =0 =/ = {, 0,, = H() = { 0, < 0,, 0. Die Funktion H() ist die sogenannte Heaviside-Funktion die erstaunlich häufig, beispielsweise bei der Behandlung von Einschaltvorgängen, auftritt. In Anwendungssituationen tauchen dann noch weitere Funktionsarten auf, beispielsweise Funktionen die nicht durch irgendeine Formel gegeben sind sondern von einigen Meßergebnissen gebildet werden. Derartige Funktionen sind dann zunächst nur in endlich vielen Punkten definiert, es können ja nur endlich viele Messungen wirklich durchgeführt werden, und will man die Funktion auch in anderen Punkten auswerten so geschieht dies durch eine für die konkrete Situation geeignete Form von Interpolation. Wieder andere Funktionen sind durch das Ein/Ausgabeverhalten irgendwelcher realer Apperaturen definiert, und manche entstehen sogar indem einfach ihr Graph hingemalt wird. Wie sie sehen, deckt dieser reale Funktionsbegriff eine Vielfalt verschiedenartiger Situationen ab. Der nun einzuführende mathematische Funktionsbegriff soll all diese verschiedenen Funktionstpen umfassen und zugleich eine eakte mathematische Definition sein. Dies wird möglich indem der eigentliche Zuordnungsvorgang völlig ignoriert wird. Man betrachtet nur noch den fertigen Funktionsgraph und verwendet diesen zur 7-

2 Definition einer Funktion. Wenn Sie so wollen nimmt man die Idee das Funktionen durch Hinmalen des Graphen definiert werden können ernst. Es tritt zuvor nur noch eine kleine zusätzliche Schwierigkeit auf. Bisher haben wir nur Funktionen betrachtet die reelle Argumente und reelle Werte haben und der Graph war dann eine Menge von Punkten der Ebene. Mit reellwertigen Funktionen einer reellen Variable kommt man aber nicht aus, beispielsweise ordnet ein elektrisches Feld ja jedem Punkt des betrachteten Raumgebiets einen Vektor zu, die beschreibende Funktion hat also dreidimensionale Punkte als Argumente und dreidimensionale Vektoren als Werte. Auch so etwas soll mit unserem Funktionsbegriff erfasst werden, wir wollen sogar erlauben das die Argumente aus einer völlig beliebigen Menge M kommen und die Werte = f() aus einer ebenfalls völlig beliebigen Menge N sind. Als Ersatz für die Ebene nehmen wir das wie folgt definierte Produkt der Mengen M und N. Definition. (Cartesisches Produkt von Mengen) Seien M und N zwei Mengen. Das cartesische Produkt von M und N ist dann die Menge M N := {(, ) M, N}. Manchmal spricht man auch kürzer einfach vom Produkt der beiden Mengen M und N. Wir denken uns anschaulich M N als eine Ebene deren horizontale -Koordinaten aus der Menge M kommen und deren vertikale -Koordinaten aus der Menge N kommen. Wir wollen einige Beispiele cartesischer Produkte behandeln:. Das Produkt R := R R ist die Menge aller Paare (, ) reeller Zahlen, R, also die Ebene.. Ebenso ist R 3 := R R R die Menge aller Tripel (,, z) reeller Zahlen,, z R, und wir können uns den R 3 als den dreidimensionalen Raum denken. Streng genommen ist dies durch die Definition des cartesischen Produkts gar nicht abgedeckt, da wir hier drei statt zwei Faktoren haben, wir denken uns etwas genauer R 3 = (R R) R. Die Elemente sind dann eigentlich von der Form ((, ), z) mit,, z R. Zur Vereinfachung der Notation entscheiden wir uns dann dazu die inneren Klammern nicht mitzuschreiben. 3. Noch allgemeiner kann man für jedes n N mit n auch den n-dimensionalen Raum R n = R R }{{} n mal einführen. Der Begriff Dimension wird hier in einem sehr prosaischen Sinne verwendet, man denkt nicht an irgendwelche zusätzlichen Raumdimensionen sondern einfach an Dinger zu deren Beschreibung man n reelle Zahlen braucht. Das mathematische Wort Dimension ist also das was sie in der Phsik als die Anzahl der Freiheitsgrade bezeichnen. 7-

3 4. Als ein ganz konkretes Beispiel nehmen wir jetzt die beiden Mengen M = {, } und N = {, 3}. Für die beiden Komponenten der Punkte im cartesischen Produkt M N gibt es dann jeweils zwei Möglichkeiten und das Produkt hat damit vier Punkte, nämlich M N = {(, ), (, 3), (, ), (, 3)}. Wie schon bemerkt wollen wir Funktionen von einer Menge M N in eine Menge N als Graphen definieren, also als Teilmengen des cartesischen Produkts M N. Nun ist aber nicht jede Teilmenge von M N als Graph einer Funktion geeignet. Einen jeden Wert M M soll genau ein Wert N zugeordnet werden, d.h. die vertikale Gerade {(, ) N} sollte den Graphen in genau einem Punkt treffen, es sollte also nicht die rechts abgebildete Situation vorliegen. Dies führt uns auf die folgende Definition von Funktionen. Definition. (Der allgemeine Funktionsbegriff) Seien M, N zwei Mengen. Eine Funktion oder Abbildung f : M N ist eine Teilmenge f M N so, dass es für jedes M genau ein N mit (, ) f gibt. Man nennt die Menge M dann den Definitionsbereich der Funktion f und schreibt dom(f) = M und für jedes M wird das eindeutige Element N mit (, ) f mit dem Smbol = f() bezeichnet. Anstelle der Schreibweise f() für den Funktionswert von M unter f finden Sie in der Literatur manchmal auch f, also ohne die Klammern um das Argument, oder die Postfi Schreibweise f. Die Schreibweise ohne Klammern ist beispielsweise bei einigen der Grundfunktionen, etwa beim Logarithmus ln oder bei den trigonometrischen Funktionen üblich, also etwa ln statt ln(). Man sollte dies aber auf einfache Argumente beschränken, also beispielsweise nicht ln da nicht klar ist, ob dies ln() oder ln() meint. Bei den trigonometrischen Funktionen werden Klammern traditionell sehr großzügig weggelassen, so wird etwa sin in den allermeisten Fällen sin() bedeuten und nicht sin(). Der allgemeine Funktionsbegriff übernimmt auch einige der Rollen die außerhalb der reinen Mathematik normalerweise von Variablen gespielt werden. Wir hatten schon im ersten Kapitel angemerkt das Variablen in der Mathematik Namen für mathematische Objekte sind und keine sich tatsächlich im Wert ändernden Objekte. Das wirft die Frage auf wie man denn Objekte behandelt die sich tatsächlich etwa im Ablauf der Zeit ändern, beispielsweise den Schwerpunkt S eines sich bewegenden Körpers. Zu jedem Zeitpunkt t R hat S R 3 eine andere Position und dies kann man auch so lesen das dem Zeitpunkt t R eine Position S(t) R 3 zugeordnet wird, d.h. man kann S als eine Funktion S : R R 3 interpretieren. In diesem Sinne wird der Schwerpunkt S dann durch eine Funktion beschrieben. Dieser Funktionsbegriff ist so allgemein das auch Dinge darunter fallen die man sich eigentlich zunächst nicht als Funktionen denkt. Nehmen wir beispielsweise einmal 7-3

4 die Addition der reellen Zahlen. Diese ordnet je zwei reellen Zahlen, R eine neue reelle Zahl + zu, anders gesagt wird der Punkt (, ) R der Ebene auf + abgebildet, wir haben also eine Funktion + : R R R geschrieben in Infi-Notation als + := +(, ), der Graph der Addition, also die Funktion + selbst, ist dann eine Ebene im Raum. Der Definitionsbereich M einer Funktion f ist durch f vollständig bestimmt, er ist genau die Menge aller mathematischen Objekte für die es ein mathematisches Objekt mit (, ) f gibt, die Menge N ist dagegen etwas willkürlich, zum Beispiel kann die Parabel f := {(, ) R} sowohl als eine Funktion f : R R als auch als eine Funktion f : R R 0 := { R 0} aufgefasst werden. Wir werden Funktionen in der Regel nur mit spezifizierten Mengen M, N verwenden, will man auch freie Funktionen f als Mengen von Paaren betrachten, so ist wie gesagt nur der Definitionsbereich aber nicht der Bildbereich festgelegt. Oftmals wird diese Mehrdeutigkeit umgangen indem die Mengen M, N in die Definition einer Funktion aufgenommen werden, man also eine Funktion als ein Tripel (M, N, f) mit f M N und der obigen Funktionseigenschaft definiert. Für uns spielt all das wie gesagt keine Rolle da wir M und N immer angeben werden. Auch wenn die Menge N nicht durch f : M N festgelegt ist, so gibt es immerhin eine kleinstmögliche Wahl von N, nämlich die Menge all derjenigen mathematischen Objekte die als zweite Komponente eines Elements von f auftreten, das sogenannte Bild von f. Dieses ist eine, im allgemeinen echte, Teilmenge von N. Dies und eine kleine Erweiterung wollen wir in der folgenden Definition festhalten. Definition.3 (Das Bild einer Funktion) Sei f : M N eine Funktion. Ist A M eine Teilmenge, so nennen wir die Menge f(a) := {f() A} = { N ( A) : = f()} N das Bild von A unter f. Weiter heißt die Menge Bild(f) := f(m) = {f() M} = { N ( M) : = f()} N das Bild von f. Wir werden gleich ein Beispiel für diese Definiton besprechen, zuvor aber noch zwei kleine Notationen einführen. Weil diese sich in Beispielen am einfachsten behandeln lassen, werden wir sehr häufig durch eplizite Zuordnungsvorschriften definierte Funktionen verwenden. Diese Funktionen notieren wir in der folgenden Form f : M N; f(), gelesen als f von M nach N, wird abgebildet auf. Die links und rechts vom Pfeil stehenden Mengen M und N geben den Definitionsbereich der Funktion f beziehungsweise ihr Ziel an. Darauf folgt die eigentliche Abbildungsvorschrift. Die Variable ist 7-4

5 hier eine formale Variable, taucht also nur gebunden innerhalb der Funktionsdefinition auf. Rechts vom Abbildungspfeil steht dann die eigentliche Abbildungsvorschrift. Da wir noch reichlich Funktionen sehen werden beschränken wir uns jetzt auf zwei kleine Beispiele. Zunächst eine Funktion deren Abbildungsvorschrift eine einfache Formel ist f : R R; +. Es ist also f() = + für jedes R. Auf zwei kleine Details wollen wir noch besonders hinweisen. Zum einen sollten Sie die Formel +, wie schon einmal erwähnt, nicht mit der Funktion f verwechseln, eine Formel kann zur Beschreibung einer Funktion verwendet werden, sie ist aber keine Funktion, ja nicht einmal ein mathematisches Objekt. Zum anderen gibt es einen wesentlichen Unterschied zwischen f und f(). Dabei ist f die Funktion selbst, aber f() ist, bei gegebenen M, ein konkreter Wert der Funktion, also ein Element von N. Insbesondere ist f streng genommen etwas anderes als f(). Gelegentlich, vor allen in informellen Kontet, ist es bequem diesen Unterschied zu verwischen, also f() für f zu schreiben. Wir kommen zum zweiten Beispiel, der sogenannten Popcorn-Funktion, und in diesem haben wir noch immer eine eplizite Zuordnungsvorschrift, diese ist aber schon von etwas komplizierterer Natur 0, = 0 oder / Q, f : R Q;, Q und = p mit teilerfremden p Z, q N\{0}. q q Die Zuordnungsvorschrift ist wie folgt zu lesen: Bei gegebenen R schaue zunächst ob = 0 ist oder ob irrational ist. Wenn ja, ist der Funktionswert f() = 0. Andernfalls kann man = p/q als Bruch mit ganzzahligen Zähler p und von Null verschiedenen, natürlichen Nenner q schreiben, und durch eventuelles Auskürzen können p und q als teilerfremd angenommen werden. Dann sind p und q durch eindeutig festgelegt, und wir können f() := /q definieren. Beispielsweise sind f( ) = 0, f() =, f() =, f(0, 4) = f ( ) 4 = f 0 ( ) = 5 5. Diese Popcorn-Funktion dient in verschiedensten Zusammenhängen als Beispiel, da sie zum einen schon recht kompliziert und ungewöhnlich ist, aber zum anderen noch ausreichend einfach ist um sich gut behandeln zu lassen. Im Analsis-Teil dieses Semesters werden wir uns hauptsächlich mit Funktionen beschäftigen die auf reellen Intervallen definiert sind. Die beschränkten Intervalle hatten wir schon in.3 eingeführt, und neben diesen gibt es dann die unbeschränkten Intervalle, die wir jetzt definieren wollen. Definition.4 (Unbeschränkte Intervalle) Sei a R. Dann heissen die Mengen [a, ) := { R a} und (, a] := { R a} 7-5

6 unbeschränkte, abgeschlossene Intervalle und die Mengen (a, ) := { R > a} und (, a) := { R < a} heissen unbeschränkte, offene Intervalle. Außerdem setzen wir noch (, ) := R. Wie bei den beschränkten Intervallen ist die Terminologie so gewählt, dass abgeschlossen bedeutet das die reellen Randpunkte zum Intervall gehören und offen bedeutet das sie nicht zum Intervall gehören. Nun sind alle notwendigen Schreibweisen bereitgestellt und wir können zu einem Beispiel für Bildmengen kommen. Haben wir eine Abbildung f : M N so bedeutet Bild(f) für ein N das die Gleichung f() = mit M lösbar ist, man muss also effektiv eine Gleichung lösen. Dabei treten dann meist von abhängige Lösbarkeitsbedingungen auf und das Bild ist die Menge all der N die diese Bedingungen erfüllen. Will man allgemeiner das Bild f(a) einer Teilmenge A M berechnen, so geht man genauso vor, hat aber die zusätzliche Bedingung das es Lösungen von f() = mit A geben muss. Dies führt dann oft zu zusätzlichen Bedingungen an und die Bildmenge f(a) ist die Menge aller die auch noch diese zusätzlichen Bedingungen erfüllen. Als ein konkretes Beispiel betrachten wir die Funktion f : R R; + +. Zur Bestimmung des Bildes von f müssen wir die Gleichung + + = beziehungsweise + + = 0 für R mit einem fiierten R untersuchen. Erinnern wir uns an die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, dass also die Gleichung + p + q = 0 mit reellen Parametern p, q R genau dann eine reelle Lösung R hat wenn p 4q 0 ist und in diesem Fall die Lösungen durch = p p ± 4 q = p ± p 4q gegeben sind, so erhalten wir das unsere Gleichung f() = genau dann lösbar ist wenn 4( ) = gilt, wenn wir also 3/4 haben, und dies bedeutet { Bild(f) = R 3 } [ ) 3 = 4 4,. Wollen wir dagegen die Bildmenge f(r 0 ) bestimmen, so haben wir die zusätzliche Bedingung das eine der Lösungen von + + = in R 0 liegen muss. Diese Lösungen sind für 3/4 gegeben als = ( ± 4 3) 7-6

7 und das eine der beiden nichtnegativ ist bedeutet also 4 3 und somit wird f(r 0 ) = [, ). Die nächsten drei Definitionen beschäftigen sich alle direkt oder indirekt mit dem Begriff einer Umkehrfunktion. Haben wir eine Funktion = f(), so soll die Umkehrfunktion zu f umgekehrt aus dem Wert das Argument ermitteln. Das ist natürlich nicht immer möglich, zum Beispiel geht beim Quadrieren einer reellen Zahl R das Vorzeichen verloren und kann nicht mehr aus rekonstruiert werden. Was aber immer möglich ist, ist die Bildung der sogenannten Urbildmengen unter einer Funktion. Definition.5 (Urbildmengen einer Funktion) Seien f : M N eine Funktion und B N eine Teilmenge. Dann heißt die Menge das Urbild von B unter f. f (B) := { M f() B} Beachte das hierdurch keine Funktion f : N M definiert wird, anstelle dessen wird jeder Teilmenge von N eine Teilmenge von M zugeordnet. Für N schreibt man oft f () := f ({}) = { M f() {}} = { M f() = }, und nennt diese Menge die Faser von f über, aber dies ordnet eben kein Element von M zu, ist also keine Umkehrfunktion. Wir besprechen zwei kleine Beispiele. Zunächst betrachte die Funktion f : R R;, und wir wollen einige Urbildmengen berechnen. Es sind f () = { R = } = {, }, f (0) = { R = 0} = {0}, f ( ) = { R = } =. Als Urbilder einzelner Elemente können also einelementige, zweielementige und die leere Teilmenge von R vorkommen. Als ein zweites Beispiel betrachten wir die Sinusfunktion Dann ist beispielsweise sin : R R. sin (0) = { R sin = 0} = {0, ±π, ±π, ±3π,...} = {nπ n Z}, wobei wir für die Argumente der trigonometrischen Funktionen wie immer das Bogenmaß verwenden. Ein etwa komplizierteres Beispiel ist das Urbild sin ([0, )) = { R sin 0} = [0, π] [π, 3π] [ π, π], 7-7

8 für das Sie sich am besten einmal den Sinus hinmalen. Wie schon bemerkt ist unser momentanes Ziel die Behandlung der Umkehrfunktionen. Die Funktion f : M N hat eine Umkehrfunktion wenn die Urbildmengen f () für jedes N einelementig sind, oder äquivalent wenn jede Gleichung f() = mit N eine eindeutige Lösung M hat. Es stellt sich als sinnvoll heraus neben dieser Eigenschaft auch noch diejenigen Funktionen zu betrachten, für die f() = für jedes N mindestens eine, beziehungsweise höchstens eine, Lösung hat. Definition.6 (Injektive und surjektive Funktionen) Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt die Funktion f (a) injektiv wenn es für jedes N höchstens ein M mit f() = gibt. (b) surjektiv wenn es für jedes N stets ein M mit f() = gibt. (c) bijektiv wenn f injektiv und surjektiv ist, d.h. für jedes N gibt es genau ein M mit f() =. Dass die Funktion f surjektiv ist kann in Termen des Bildes durch Bild(f) = N charakterisiert werden. Auch die Injektivitätsbedingung läßt sich noch auf verschiedene Arten umformulieren, beispielsweise f : M N injektiv (, M) : f( ) = f( ) =. In der Tat, dass f() = für jedes N höchstens eine Lösung M hat, bedeutet das je zwei Lösungen von f() = gleich sind, d.h. für jedes N und alle, M mit f( ) = f( ) = ist =. Dass dies für jedes N so ist, ist dann gerade die Gültigkeit der obigen Aussage. Manchmal ist es bequemer die Kontraposition f : M N injektiv (, M) : f( ) f( ) zu verwenden. Wir kommen zu ein paar Beispielen.. Sei f : R R;. Diese Funktion ist nicht surjektiv, denn für jedes R ist f() = 0, also insbesondere f(). Damit hat die Gleichung f() = keine Lösung R und f ist nicht surjektiv. Außerdem ist f auch nicht injektiv, denn es ist beispielsweise f( ) = ( ) = = = f().. Nun betrachten wir die ähnliche Situation f : R R 0 ;, und diesmal ist f surjektiv. Denn ist R 0, also R mit 0, so haben wir eine Wurzel := mit f() = =. Allerdings ist f weiterhin nicht injektiv. 7-8

9 3. Nun sei f : R 0 R;, d.h. diesmal betrachten wir nur nichtnegative Argumente. Wie im ersten Beispiel ist f dann nicht surjektiv. Diesmal ist f aber injektiv. Seien nämlich, R 0 mit f( ) = f( ) gegeben, also =. Dann ist = ± und wegen, 0 muss sogar = sein. 4. Schließlich sei f : R 0 R 0 ;. Genau wie im zweiten und dritten Beispiel folgt dann das f surjektiv und injektiv ist, also insgesamt bijektiv ist. Diese vier Beispiele zeigen uns zum einen das es für Surjektivität und Injektivität ganz entscheidend auf den Definitionsbereich und die Zielmenge einer Funktion ankommt, dass diese Begriffe also insbesondere nur sinnvoll sind wenn diese beiden Mengen vorgegeben sind. Außerdem liefern sie uns Beispiele für weder injektive noch surjektive, für injektive aber nicht surjektive, für surjektive aber nicht injektive und für surjektive und injektive Funktionen. In den eben behandelten Beispielen haben wir unter anderem neue Funktionen konstruiert indem der Definitionsbereich bereits vorhandener Funktionen verkleinert wurde, einen Vorgang den man als Einschränkung bezeichnet. Dies kommt derart häufig vor das hierfür eine eigene Notation eingeführt wird. Angenommen wir haben eine Funktion f : M N und eine Teilmenge A M des Definitionsbereichs von f. Als die Einschränkung von f auf A, geschrieben als f A, bezeichnet man die Funktion f A : A N; f(), beziehungsweise in Mengenschreibweise f A = f (A N). Wir behandeln noch ein allerletztes Beispiel, nämlich die Funktion f : R\{ } R\{}; +. Beachte das für R mit stets + also f() ist, es handelt sich also wirklich um eine Abbildung zwischen den angegebenen Mengen. Wir wollen uns überlegen ob f surjektiv, injektiv oder gar bijektiv ist. Bei solchen durch Formeln gegebene Funktionen kann man dies oft durch direkte Rechnung entscheiden. Wir müssen R mit betrachten und uns das Lösungsverhalten der Gleichung für R\{ } anschauen. Es ist = + = f() = + + = ( ) = = ( + ), 7-9

10 und wegen hat diese Gleichung die eindeutige Lösung = + wobei wegen + auch ( + )/( ) ist. Damit hat unsere Gleichung eine eindeutige Lösung R\{ } und die Funktion f ist somit bijektiv. Jetzt ist alles soweit vorbereitet, dass wir den Begriff der Umkehrfunktion einer Funktion tatsächlich einführen können. Ist f : M N eine Funktion, so soll die Umkehrfunktion von f bei gegebenen Wert = f() N aus das Argument rekonstruieren, es ist also die Gleichung f() = nach aufzulösen. Dass dies überhaupt möglich ist bedeutet das es für jedes N auch genau eine Lösung M von f() = gibt, dass also die Funktion f bijektiv ist. In diesem Fall können wir die Lösung von f() = als Funktion von auffassen, und erhalten Definition.7 (Umkehrfunktionen) Seien M, N zwei Mengen und f : M N eine bijektive Abbildung. Dann gibt es für jedes N genau ein Element f () M mit f(f ()) =, und wir nennen f : N M; f () die Umkehrfunktion von f. Eplizit ist dabei f = {(, ) (, ) f}. Letztere Formel kann man dann auch so interpretieren das die Umkehrfunktion f aus f durch Spiegeln an der Diagonalen entsteht. Das Wort Spiegeln muss man hierzu allerdings recht großzügig auslegen, um eine wirkliche geometrische Spiegelung handelt es sich nur im Fall M, N R, im allgemeinen Fall muss man sich halt das Vertauschen der beiden Komponenten eines Paares als Spiegelung denken. Ist f : M N eine bijektive Funktion so ordnet die Umkehrfunktion f : N M also jedem N das eindeutige = f () M mit f() = zu. Streng genommen ist die Schreibweise f () nicht günstig da wir so schon die Urbildmenge f ({}) = {} bezeichnet haben, diese kleine Mehrdeutigkeit stellt sich im praktischen Gebrauch aber als unproblematisch heraus. Unsere obige Rechnung zeigt das die Umkehrfunktion der Funktion durch f : R\{ } R\{}; + f () = + für R\{} gegeben ist, denn genau dies hatte sich beim Auflösen der Gleichung f() = nach ergeben. Wir wollen uns nun einige weitere Beispiele hierzu anschauen bei denen wir keine wirklichen Rechnungen durchführen müssen. 7-0

11 Im folgenden werden wir in einigen dieser Beispiele trigonometrische Funktionen verwenden, allerdings sind wir an dieser Stelle noch nicht in der Lage diese auf Grundlage unserer Aiome für die reellen Zahlen einzuführen. Dies wird uns erst in.5 gelingen, daher wollen wir uns erst einmal auf die vertraute geometrische Begründung der trigonometrischen Funktionen verlassen. Für eine formale Definition ist dieser Zugang in unserem Rahmen allerdings nicht geeignet, tatsächlich geht man oftmals umgekehrt vor und verwendet die analtisch definierten trigonometrischen Funktionen um Winkel und die anderen geometrischen Konzepte einzuführen. Daher hat alles was wir erst einmal über trigonometrische Funktionen festhalten einen vorläufigen Charakter, in.5 und.3 werden wir dann aber alles was wir bis dahin verwendet haben tatsächlich beweisen.. Wie schon früher in einem Beispiel bemerkt ist die Funktion f : R 0 R 0 ; bijektiv. Zum Bestimmen der Umkehrfunktion muss die Gleichung = f() = gelöst werden, und dies geschieht durch =. Die Umkehrfunktion des Quadrierens auf R 0 ist also die Wurzelfunktion f() = f () = Etwas allgemeiner ist die Funktion f : R 0 R 0 ; n nach.lemma 8 für jedes n N mit n bijektiv. Die Umkehrfunktion von f ist dann die n-te Wurzel f () = n für jedes R 0.. Als nächtes wollen wir den Sinus betrachten, nur ist dieser leider weder injektiv noch surjektiv. Dabei können wir die Surjektivität leicht erreichen indem wir die Menge N = [, ] = { R } als Zielmenge verwenden. Um den Sinus auch injektiv zu machen schauen wir uns nur Argumente zwischen π/ und π/ an. Wie schon früher einmal bemerkt geben wir die Argumente der trigonometrischen Funktionen immer im Bogenmaß an. Dann ist die Funktion [ sin : π, π ] [, ]; sin 7-

12 bijektiv, und ihre Umkehrfunktion arcsin : [, ] [ π, π ] wird als der Arcus Sinus bezeichnet f() = sin.5 f () = arcsin Beachte das die in der Schule verbreitete Schreibweise sin für den Arcus Sinus nicht benutzt wird, schon da sie eigentlich unsinnig ist, der Sinus selbst ist ja nicht umkehrbar sondern nur seine Einschränkung auf das Intervall [ π/, π/]. Entsprechendes trifft für die Schreibweisen der anderen trigonometrischen Umkehrfunktionen zu. 3. Beim Cosinus sind die Verhältnisse weitgehend analog, nur müssen wir eine andere Menge als Definitionsbereich verwenden, zwischen π/ und π/ ist der Cosinus nicht injektiv. Die übliche Wahl ist die Menge der Winkel zwischen 0 und π, d.h. wir betrachten die bijektive Funktion cos : [0, π] [, ]; cos und ihre Umkehrfunktion arccos : [, ] [0, π] wird als der Arcus Cosinus bezeichnet. 7-

13 f() = cos 3 f () = arccos 4. Als letztes Beispiel nehmen wir den Tangens. Dieser ist als Abbildung nach R surjektiv, und betrachten wir ihn nur zwischen π/ und π/ so ist er auch injektiv. Wir nehmen also die bijektive Funktion ( tan : π, π ) R; tan und ihre Umkehrfunktion arctan : R ( π, π ) heißt der Arcus Tangens f() = tan.5 f () = arctan 7-3