Physik Departent Technische Universität München Ahed Oran Blatt 5 Ferienkurs Theoretische Mechanik Frühjahr 009 Hailton Mechanik Lösungen) 1 Poisson-Klaern *) I Folgenden bezeichnen l i, i 1,, 3 die Koponenten des Drehipulses. Berechnen Sie folgende Poisson-Klaern: [l i, x j ], [l i, p j ], [l i, l j ], [ l, l i ] [l i, r p], [p i, r n ] [l i, x j ] [ɛ kli x k p l, x j ] ɛ kli x k δ lj ɛ ijk x k k1 [l i, p j ] [ɛ kli x k p l, p j ] ɛ kli p l δ kj ɛ ijl p l [l i, l j ] [l i, ɛ klj x k p l ] ɛ klj [l i, x k ] p l + x k [l i, p l ]) [ ] l, l i ɛ klj ɛ ik x p l + ɛ il x k p ) l,k,1 δ l δ ij δ li δ j ) x p l + δ j δ ki δ ji δ k ) x k p l,1 x i p j x j p i ɛ ijk l k k1 [ ] l j, l i l j [l j, l i ] j1 j1 k,1 j,k1 j,k1 k,j1 l1 l j ɛ jik l k l j l k ɛ jik + l k l j ɛ kij 0 1
[l i, r p] [l i, x k p k ] k1 ɛ ikl x k p l + p k x l ) 0 1) [p i, r n ] rn n1 r nr nx i r n ) x i x i Zeigen Sie, unter der Annahe, dass f und g Erhaltungsgrößen sind, auch [f, g] erhalten ist. Laut Annahe gilt: Folglich ist: [ ] df 0, g df f [f, H] + 0, dg [g, H] + g 0 [ + f, dg ] [ [f, H] + f ] [, g + f, [g, H] + g ] [[f, H], g] + [f, [g, H]] + [f, g] [f, [g, H]] + [g, [H, f]] + [f, g] [H, [g, f]] + [f, g] d [f, g] Daher ist [f, g] eine Erhaltungsgröße. Hailton-Mechanik.1 Hailton-Funktion in verschiedenen Koordinatensysteen*) Klausuraufgabe) Ein Wagen wird it konstanter Geschwindigkeit v 0 auf der x-achse bewegt. Auf seiner Ladefläche schwingt eine Masse, die über eine Feder it der hinteren Ladewand verbunden ist, reibungsfrei in x-richtung hin und her. Dabei sei l 0 der Abstand der Masse von der hinteren Ladewand i Gleichgewicht. Berechnen Sie die Hailton-Funktion i ruhenden Inertialsyste und untersuchen Sie, ob sie eine Erhaltungsgröße ist und gleich der Energie ist. Begründen Sie das Ergebnis physikalisch. Führen Sie die Transforation x x + v 0 t auf das bewegte Bezugssyste des Wagens durch und untersuchen Sie die Hailton-Funktion erneut I ruhenden Inertialsyste lautet die Lagrange-Funktion: Daraus bekot an die Hailton-Funktion: L ẋ k x v 0t l 0 ) H p + k x v 0t l 0 ) T + V E Die Hailton-Funktion ist soit gleich der Energie. Allerdings ist sie wegen der expliziten Zeitabhängigkeit keine Erhaltungsgröße. Das ist darauf zurückzuführen, dass der Oszillator bei zusaengedrückter Feder Energie vo Wagen aufnit und bei gedehnter Feder wieder an den Wagen zurückgibt.
L x, ẋ ) ẋ + v 0 ) k x l 0 ) p L ẋ ẋ + v 0 ) Daraus folgt für die transforierte Hailton-Funktion: H x, p ) p + k x l 0 ) v 0 p H [xx ), pp )] v 0 p E Hier haben wir die ugekehrte Situation. Wegen der Zeitunabhängigkeit der Hailton-Funktion ist sie eine Erhaltungsgröße, aber wegen de Ter v 0 p nicht ehr gleich der Energie. Dennoch führen beide Hailton-Funktionen auf die gleichwertigen Bewegungsgleichungen ẍ + kx k v 0 t + l 0 ) ẍ + kx kl 0. Aus Doctoral General Exaination 00) des MIT **) Ein Teilchen der Masse ist durch einen Faden it variabler Länge lt) it de Ursprung verbunden. Ferner ist das Teilchen in einer Ebene gebunden. Die Länge lt) des Fadens ist beliebig, aber stets gilt, dass l/ l viel größer als die Schwingungsdauer des Pendels ist und l 0. Die Ebene enthält den Aufhängepunkt des Fadens und ihre Norale stehe senkrecht zu eine hoogenen Gravitationsfeld. Bestien Sie die Lagrange-Funktion Lθ, θ, t) und die Hailton-Funktion Hθ, p, t) dieses dynaischen Systes. Wenn θ den Winkel bezeichnet, der die Auslenkung aus der Ruhelage des Systes beschreibt, so ist die potentielle Energie stets gegeben durch: V gl cos θ Ferner kann die Berechnung der kinetischen Energie in ebenen Polarkoordinaten erfolgen: T l ) + l θ Die Lagrange-Funktion des Systes lautet daher: Lθ, θ, t) lt) + lt) θ ) + glt) cos θ Der zu θ kanonisch konjugierte Ipuls errechnet sich zu: p L θ lt) θ Über die Definition der Hailton-Funktion H folgt daher: Hθ, p, t) θp L lt) + p glt) cos θ lt) Ist die Hailton-Funktion gleich der Gesatenergie des Systes? Ist die Hailton-Funktion erhalten? Falls die Hailton-Funktion nicht gleich der Gesatenergie ist, ist die Gesatenergie erhalten? 3
Die Gesatenergie des Systes T + V ist E T + V lt) + p lt) glt) cos θ H + lt) H Offenbar ist die Hailton-Funktion nicht gleich der Gesatenergie des Systes. Die Hailton- Funktion ist nicht erhalten, da dh H lt) lt) p lt) lt) 3 g lt) cos θ 0 Die Gesatenergie ist auch nicht erhalten, da de dh + lt) lt) 0 Geben Sie eine Bewegungsgleichung für den Winkel θ an. Wie groß ist die Periodendauer der Schwingung, wenn l 0 gilt, in der Kleinwinkelnäherung? Die Bewegungsgleichung für θ ergibt sich beispielsweise aus den Euler-Lagrange-Gleichungen: d d lt) θ Daraus kann die Bewegungsgleichung gewonnen werden: L L glt) sin θ θ θ θ + lt) lt) θ + g lt) sin θ 0 Setzt an nun l 0 und sin θ θ an, so findet sich die Bewegungsgleichung eines haronischen Oszillators: θ + g l θ 0 Offenbar beträgt die Schwingungsdauer: l T π g 3 Perle auf rotierende Draht **) Ein Teilchen sei auf eine halbkreisförig rotierenden Draht angebracht und auf diese frei beweglich. Der Draht rotiere it konstante ω u die fest vorgegebene Achse i kräftefreien Rau. Stellen Sie die Lagrangefunktion L auf. Berechnen Sie dait die Hailtonfunktion H und stellen Sie die kanonischen Gleichungen auf. Bestien Sie die Gesatenergie E und berechne de. Was ist dafür die physikalische Begründung? Berechnen Sie dh und vergleichen Sie H it der Energie. 4
1. Die Lagrange-Funktion für ein freies Teilchen in Kugelkoordinaten lautet L 1 ṙ + r ϑ + r sin ϑ) ϕ ) Zwangsbedingungen einsetzen: r R, ϕ ωt L 1 R ϑ + R sin ϑ) ω ). Bei der Hailton-Funktion beachte an, dass es nur einen Freiheitsgrad gibt. Zuerst den kanonischen Ipuls ausrechnen: p ϑ L ϑ R ϑ Jetzt nach der Geschwindigkeit auflösen: ϑ p ϑ R dann die Hailton-Funktion bestien und die Geschwindigkeit durch den kanonischen Ipuls eliinieren: H p ϑ ϑ L p ϑ R 1 R ϑ + R sin ϑ) ω ) p ϑ R 1 R sin ϑ) ω Jetzt die kanonischen Gleichungen berechnen und zu einer einzigen Bewegungsgleichung zusaenführen: ṗ ϑ H ϑ R sin ϑ) cos ϑ) ω Das ist die DGL für ϑ. ϑ H p ϑ p ϑ R ϑ sin ϑ) cos ϑ) ω 0 3. Da L T E, weil V 0 ist, folgt: de dl R ϑ ϑ + R ϑsin ) ϑ) cos ϑ) ω R ϑ ϑ + sin ϑ) cos ϑ) ω } {{ } 0 0 Das folgt aus der Bewegungsgleichung für ϑ Man beachte das Plus!). Die physikalische Begründung ist natürlich, dass die Zwangsbedingung zeitabhängig ist der Draht dreht sich ständig) und soit de Syste Energie zu- und abgeführt werden kann. 4. Die totale Zeitableitung der Hailton-Funktion ist gleich ihrer partiellen: andererseits: dh H 0 p ϑṗ ϑ R ϑr sin ϑ) cos ϑ) ω p ϑṗ ϑ R p ϑṗ ϑ R 0 5
Die Hailton-Funktion ist also erhalten, die Energie aber nicht! Daraus folgt sofort: H E 4 Teilchen i elektroagnetischen Feld ***) Ein geladenes Teilchen bewege sich in eine beliebigen elektroagnetischen Magnetfeld. Die Lagrange- Funktion beschreibt die Bewegung: L v + e A rt), t) v eφ rt), t) Berechnen Sie den konjugierten Ipuls P und bestien Sie die Hailton-Funktion H. Leiten Sie daraus die kanonische Bewegungsgleichungen des Teilchens Hinweise: - In Gradienten rechnen spart Schreibarbeit! - Nützliche Vektoridentität: a b ) a ) b + ) b a + b a) + a ) b Setzen Sie die Gleichung für v in die Gleichung für P ein und weisen Sie nach, dass die Forel für die Lorentz-Kraft rauskot. Dabei verwende an: E ) Φ + A und B A. 1. Den konjugierten Ipuls P berechnet an aus: Daraus bekot an die Hailton-Funktion: P v L v + e A v P e A H P v L ) ) P P ea P ea ) ) P ea P ea ea ) P ea ) P ea Diese sieht aus wie die Hailton-Funktion eines Teilchens i gewöhnlichen Potential, allerdings it der Modifikation P P e A. Koordinatenfreie Bestiung der kanonischen Gleichung für r: ) P ea v P L Und für P : P P ep L A ) + e A ) e P A e A A) e Φ 6
Die gegebene Vektoridentität setzt an hier ein, beachte aber dabei, dass P nicht explizit von irgendeine Ort abhängt, woit P und P verschwinden: P e ) P A e + P A ) ) e A A e [ ) ) ] P A + P B e A A ea B e Φ e A A ) e Φ 3. Zuerst löst an die Gleichung für v nach P auf: P r + e A und differenziert sie nach der Zeit. Achtung: Hier soll an bei A A rt), t) über die Kettenregel die iplizite Zeitabhängigkeit von r berücksichtigen! P v + e A [ ) ] d r + e A r + e A ) + e r A Diese Gleichung setzt an zusaen it der Definition von P in die kanonische Gleichung für P ein und eliiniert dait den Ipuls: r + e A ) + e r A e [ ) ) ] P A + P B e A A ea B {[ ) ) e e r + ea ] A + r + ea ) } A + r B e Φ { r e r ) A + e r B e Φ B e e Φ ) } A A ea B e Φ Aufgelöst nach de Kraftter r ergibt dies: r e Φ + A ) + e r B ) e E + v B woit an wieder die Lorentz-Kraft bekot. 7