Baudynamik und Zustandsanalyse Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA von WOFRAM-Research [http://www.wolfram.com] geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [http://www.htw-dresden.de] veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch einfache mathematisch-physikalische ösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden 23 Erschütterungen infolge von Straßen- und Eisenbahnlasten 23.1 Allgemeines [23][64] 23.1.1 Alle über oder entlang eines Ingenieurbauwerkes sich bewegenden Verkehrslasten haben infolge der sich ständig verändernden Gleichgewichtszustände dynamische Wirkungen zur Folge. Um die damit in der Realität einhergehenden außerordentlich komplexen Tatbestände vereinfachend mittels baumechanischer Berechnungsverfahren zu erfassen, bedarf es erheblicher Abstraktionen. 23.1.2 Relativ viele Berechnungsmethoden sind insbesondere im Zusammenhang mit der Beurteilung der dynamischen Beanspruchung von Brückentragwerken entwickelt worden, wovon die Mehrzahl langsam in Vergessenheit geraten, weil u. a. im aktuellen europäischen Normenwerk vom Entwurfsingenieur fast keine schwingungstechnischen Analysen abverlangt werden. Einzige Ausnahmen stellen zur Zeit die Eisenbahnbrücken im Hochgeschwindigkeitsbereich sowie Rad- und Fußgängerbrücken dar, sofern deren Konstruktionen ungünstige modale Eigenwerte besitzen. 23.1.3 Die Erregungsarten von Fahrzeugen kann man nach [64, S. 31] in Weg- und Krafterregungen gliedern. Zur Krafterregung gehören - die ebenen Überfahrten von asten mit konstanter Fahrgeschwindigkeit, - die horizontalen und vertikalen Trägheitswirkungen aufgrund von Anfahr- und Bremsvorgängen, - die Fliehkräfte infolge gekrümmter Fahrbahntrassierungen im Grund- und Aufriss sowie - die unausgeglichenen rotierenden Massen der Fahrwerke, der Getriebe oder der Motoren der Straßen- oder Schienenfahrzeuge. 23.1.4 Die Wegerregung lässt sich in zwei Gruppen unterteilen: a) Impulsförmige Erregungen (Stöße), wie - Fahrbahnübergangskonstruktionen, - Fugen und Absätze, - Rampenausbildungen, - Schlaglöcher sowie - Eis- und Schneeerhebungen b) Kontinuierliche Erregungen, wie - Fahrbahnunebenheitswellen. 23.2 Mathematische Beschreibung der Fahrbahnunebenheitswellen [64]
2 baudyn_23_straße_eisenbahn.nb 23.2.1 Die vertikalen Unebenheitsverläufe sowohl längs eines Gleises als auch einer Straßenfahrbahn besitzen im Normalfall eine stochastische Charakteristik. Sie stellen die entscheidende Eingangsgröße auf die schwingungsfähigen Systeme Fahrzeug - Ingenieurbauwerk dar. Ihre Interpretation als Zufallsfunktionen (siehe Abschnitt 2.5) hat sich als ein sinnvolles Hilfsmittel für die Voraussage der zu erwartenden Zufallsschwingungen erwiesen. 23.2.2 Wird der Querprofileinfluss einer Fahrbahn vernachlässigt, dann können die Unebenheiten als einparametrige Zufallsfunktionen aufgefasst werden, wobei die Unebenheitshöhe h entweder eine Funktion des Ortes x oder der Zeit t ist. Dies erklärt sich aus dem Zusammenhang, der zwischen der Wegkreisfrequenz Ω [m -1 ] und der Zeitkreisfrequenz ω [s -1 ] besteht: ω = c Ω m s 1 m = 1 bzw. dω c dω mit s c - Fahrgeschwindigkeit in [m/s] dω - Differenzial lim Δω 0 dω - Differenzial lim ΔΩ 0 23.2.3 Sofern man die Annahme trifft, dass der jeweilige Unebenheitsprozess ergodisch und schwach stationär ist (vgl. Absätze 2.5.30 und 2.5.34), stellt die einseitige spektrale eistungsdichte gemäß Absatz 2.5.40 eine außerordentlich zweckmäßige Beschreibung dar (man vgl. hierzu auch den Absatz 23.2.5): G hh[ω] = d EW (h - EW {h})2 dω Δ sh2 ΔΩ. 23.2.4 Die Funktion G hh (Ω) repräsentiert die stochastische Verteilung der Erwartungswerte der Unebenheitshöhen bezogen auf die im Gesamtprofil enthaltenen Wegkreisfrequenzen. Unter Ausnutzung der im Kapitel 31 beschriebenen Zusammenhänge kann die transformierte spektrale eistungsdichte G hh (ω) = c -1 G hh (Ω) als Eingang auf die jeweiligen mechanischen Systeme verwendet werden. Mit der im Absatz 31.35 verankerten Beziehung gelingt es, eine bemerkenswert einfache Verknüpfung zwischen den stochastischen Eingangs- und den zufälligen Ausgangsgrößen herzustellen. 23.2.5 In der Fachliteratur ist ein umfangreicher Bestand an gemessenen spektralen eistungsdichten dokumentiert. Der eser muss jedoch den unterschiedlichen Definitionen der Spektraldichtefunktionen eine erhöhte Aufmerksamkeit widmen (siehe diesbezüglich auch die Anmerkung nach dem Absatz 21.6.7). Als Musterbeispiel haben wir zwei approximierte Spektraldichtefunktionen für Fahrbahnen von Autobahnen ausgewählt (vgl. [64], Bild 19]). Die Beziehungen für G hh (Ω) sowie die zugehörige Standardabweichung sh der Unebenheitshöhen lauten: G hh [Ω] = 4 π a Ω 2 + 4 π 2 b 2 und sh = 0 2 Ghh [Ω] Ω mit a - charakteristischer Koeffizient in [m] b - charakteristischer Koeffizient in [m -1 ] 23.2.6 Die Parameter für die Fahrbahn mit einer guten bis sehr guten Ebenheit betragen a = 1 10-7 m und b = 5 10-3 m -1, die der mittelmäßigen Fahrbahn entsprechend a = 7 10-7 m und b = 5 10-3 m -1.
baudyn_23_straße_eisenbahn.nb 3 Anmerkung: In den nachfolgenden Betrachtungen wird die untere Wegkreisfrequenz auf Ω u = 0,01 m -1 begrenzt. Die zugehörige Wellenlänge beträgt = 628 m. Spektrale eistungsdichten G hh [Ω] 0.010 0.001 10-4 10-5 Ghh[Ω] [m 3 ] 10-6 10-7 10-8 0.01 0.10 1 10 Wegkreisfrequenz Ω [m -1 ] Gute bis sehr gute Fahrbahn sh [m]: 7.10669 10-3 Mittelmäßige Fahrbahn sh [m]: 1.88025 10-2 Bild 23.2.6: Spektrale eistungsdichte für eine gute bis sehr gute Fahrbahn (blau) und eine mittelmäßige Fahrbahnqualität (rot) 23.2.7 In [23] und [64] sind Balkenmodelle für gekoppelte Brückenschwingungen untersucht worden, auf die im Abschnitt 23.3 ausführlicher eingegangen wird. Die Basis der damaligen Berechnungsphilosophie bildete die Korrelationsmethode. Als Eingangsgröße dienten in der Regel die obigen spektralen Unebenheitsfunktionen. Einen außerordentlich bemerkenswerten Ansatz bezüglich der Behandlung instationärer, stochastischer Balkenschwingungen stellte die Veröffentlichung [132] japani-scher Wissenschaftler dar. 23.2.8 Die Japaner beschreiben ihre Unebenheitsfunktionen h(x) als reine Sinus-FOURIERreihen. Sowohl das Absolut- als auch die Cosinusglieder der klassischen FOURIERreihe (siehe Abschnitt 2.4) sind von ihnen apriori weggelassen worden, da sie die Unebenheitsverläufe zum einen als zentriert und zum anderen als schwach stationär annahmen. Die spektralen eistungsdichten G hh (Ω) enthalten bekanntermaßen keine Informationen zu den Phasenverschiebungen. Deshalb wurde auf deren Berücksichtigung im FOURIERansatz ebenfalls verzichtet. Er lautete somit schließlich: h[x] = H i Sin[Ω i x] mit H i = 2 i=1 0 h[x] Sin[Ωi x] x und Ω i = i 2 π 23.2.9 Die FOURIERkoeffizienten H i werden in [132] als Zufallsvariable mit dem Mittelwert null betrachtet. Für ihre Kovarianz bzw. Korrelation erhält man (siehe Absätze 2.5.22 ff., 2.5.32, 2.5.42 und 2.5.50):
4 baudyn_23_straße_eisenbahn.nb EW[H i H j] = 2 0 0 EW[h[x1] h[x 2]] Sin i 2 π 2 π x Sin j x x1 x2 wobei EW[h[x 1] h[x 2]] K hh[x 2 - x 1] K hh[ξ] EW[h[x] h[x + ξ]] = 1 π 0 Shh[Ω] Cos[Ω ξ] Ω = 0 Ghh[Ω] Cos[Ω ξ] Ω mit ξ = x 2 - x 1 23.2.10 Eine notwendige Voraussetzung der weiteren Vorgehensweise war dann die Bestimmung der Autokorrelationsfunktion K hh. Wir zeigen dies beispielhaft für die Unebenheitsverläufe des Absatzes 23.2.5: K hh = 0 4 π a Cos[Ω ξ] Ω 2 + 4 π 2 b 2 Ω ConditionalExpression a 1 b 2-2 π Abs[ξ] 1 b2 π, ξ Reals && Re b 2 0 b 2 Reals 23.2.11 Da der Parameter b > 0 ist, findet man für die Autokorrelationsfunktion K hh schließlich den einfachen Ausdruck: K hh = π a b π b Abs[ξ] -2 23.2.12 Die grafische Umsetzung der Autokorrelationsfunktion (23.2.11) für die beiden Unebenheitsverläufe des Bildes 23.2.6 ist im Bild 23.2.12 ausgewiesen:
baudyn_23_straße_eisenbahn.nb 5 Autokorrelationsfunktionen K hh [ξ ] 0.0004 0.0003 0.0002 K hh [ξ] [m 2 ] 0.0001 0.0000-100 -50 0 50 100 Wegkoordinate ξ [m] Gute bis sehr gute Fahrbahn sh = K hh [ξ = 0] [m]: 7.92665 10-3 Mittelmäßige Fahrbahn sh = K hh [ξ = 0] [m]: 2.0972 10-2 Bild 23.2.12: Autokorrelationsfunktion für eine gute bis sehr gute Fahrbahn (blau) und eine mittelmäßige Fahrbahnqualität (rot) 23.2.13 Die Bilder der beiden Korrelationsfunktionen enthalten wie die Spektraldichten keinerlei Hinweise auf irgendwelche Periodizitäten. Die Abweichung der obigen Standardabweichungen der Unebenheitshöhen, die über die Beziehung (2.5.30b) ermittelt wurden, gegenüber denen des Absatzes 23.2.6 resultiert aus der Tatsache, dass bei letzterer eine Begrenzung auf die untere Grenzkreisfrequenz Ω u = 0,01 m -1 vorgenommen worden war. 23.2.14 Ein Verzicht auf die Phaseninformationen bereits in den Eingangsgrößen hat zur Folge, dass man gedanklich auf der Ebene der Erwartungswerte, sprich bei der Korrelationsmethode bleiben muss, um ein sinnvolle Interpretationen der Ergebnisse vornehmen zu können. Dieser Weg soll jedoch im vorliegenden Skript nicht beschritten werden. Er ist zum einen ausgetreten und zum anderen nur begrenzt zielführend gewesen, da uns die reale Makrowelt, in der sich unsere Baustrukturen befinden, keine hinreichend stabile, statistisch gesicherte Datenmenge liefern kann. Dank der heutigen rechentechnischen Möglichkeiten halten wir es für zweckmäßig, sich wieder mehr auf ingenieurmäßig handhabbare Berechnungsmodelle und Betrachtungsweisen zu besinnen. Dazu gehört u. a. die stochastische Simulation (vgl. Kapitel 20), wofür man die Stichproben virtueller Unebenheitsverläufe benötigt. 23.2.15 Eine relativ einfache Möglichkeit stochastische Unebenheitsverläufe zu imitieren, ist die direkte Bestimmung der FOURIERkoeffizienten aus den Spektralfunktionen (vgl. Absatz 2.5.50 bzw. [133]): H i = 2 ΔΩ G hh[ω i] mit Ω i i ΔΩ i 2 π siehe Absatz 23 _ 2 _ 8 23.2.16 Da in den Spektraldichten keine Phaseninformationen mehr existieren, müssen diese über eine
6 baudyn_23_straße_eisenbahn.nb Hintertür wieder ins Rennen gebracht werden. Dazu erweitern wir den Ansatz (23.2.8) um die Phasenverschiebung φ i, die eine Zufallsvariable ist. Nur so lassen sich Stichproben erzeugen, die als Bestandteil eines stochastischen Ensembles angesehen werden können. 23.2.17 Zuerst testen wir die Methode anhand der ausgewählten Realisierung einer mittelmäßigen Fahrbahn (siehe Absatz 23.2.6). Die Intervalllänge beträgt = 314 m (vgl. hierzu die Anmerkung im Absatz 23.2.6). = 314, Δx = 0.2, maxi = 300, maxk = Round Δx ; Mittelmäßige Fahrbahn ewh [m]: -4.97896 10-6 Mittelmäßige Fahrbahn sh [m]: 1.86888 10-2
baudyn_23_straße_eisenbahn.nb 7 0.010 0.001 10-4 10-5 Verifikation des Unebenheitsverlaufes Ghh[Ω] [m 3 ] 10-6 0.05 0.10 0.50 1 5 Wegkreisfrequenz Ω [m -1 ] Mittelmäßige Fahrbahn sh [m]: 1.86901 10-2 Bild 23.2.17: Vergleich der spektralen eistungsdichte des imitierten Unebenheitsverlaufes (schwarz) mit der Ausgangsspektralfunktion des Bildes 23.2.6 (rot) 23.2.18 Gemäß der Absätze 2.5.13 f. wird jetzt ein Ensemble zufälliger Unebenheitsfunktionen erzeugt, von dem stellvertretend fünf Realisierungen grafisch ausgewiesen werden. Im Anschluss erfolgt die Darstellung der empirischen Mittelwertfunktion sowie der empirischen zeitabhängigen Standardabweichung. Am Ende sind der Mittelwert und die Standardabweichung des Gesamtensembles ausgewiesen, die sich mit den Resultaten der obigen Absätze decken. maxmc = 100, = 314, Δx = 0.2, maxi = 300, maxk = Round Δx ;
8 baudyn_23_straße_eisenbahn.nb
baudyn_23_straße_eisenbahn.nb 9 Für das Gesamtensemble gilt: EW{H(x)} in [m] 1.05496 10-6 EW (H (x) - EW {H (x)}) 2 in [m] 1.86441 10-2 23.2.19 Die verschiedenen mit dem obigen Algorithmus durchgeführten Untersuchungen zeigten, dass im Unterschied zur Vorgehensweise in [133], bei der eine Normalverteilung der Phasenverschiebungen in Ansatz gebracht worden war, die Annahme einer Gleichverteilung von φ i im Intervall [0, 2π] offensichtlich zutreffendere Stichproben liefert (vgl. hierzu Absatz 2.5.31). 23.3 Einfeldbalken mit einer Gruppe bewegter, wegerregter Einmassenschwinger 23.3.1 Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist der Einfeldbalken des Kapitel 20 Fußwegbrücken. Auf die nochmalige Anführung der Anahmen und Voraussetzungen, die sich nicht geändert haben, wird somit verzichtet. 23.3.2 Da weiterhin nur die vertikalen dynamischen Reaktionen w(x, t) in Feldmitte des Einfeldbalkens im Mittelpunkt stehen, beschränken wir uns von vornherein auf die erste Eigenform w(x) = sin( π x ) (siehe Absatz 20.4.2 f.). Die Basisbeziehungen lauten somit: t,t q[t] + 2 ω b,1 t q[t] + ω 1 2 q[t] Q[t] mit w[x, t] = w[x] q[t], w[x] = Sin π x p[x, t] w[x] x und mg = μ, Q[t] = 1 m G 0 2 wobei w (x, t) w (x) q (t) - zeitabhängige Biegelinie [m] - ortsabhängige, normierte Eigenform - zeitabhängige generalisierte Koordinate der normierten Eigenform
10 baudyn_23_straße_eisenbahn.nb Q (t) - zeitabhängige generalisierte Kraft p (x, t) - astprozess m G μ - generalisierte Masse der normierten Eigenform - Massebelegung [kg/m] - Balkenstützweite [m] ω 1 - erste ungedämpfte Eigenkreisfrequenz [s -1 ] ω b,1 - Abklingkonstante [s -1 ] 23.3.3 Die entscheidende Veränderung gegenüber dem Kapitel 20 stellt der astprozess dar. Er besteht diesmal aus einer Gruppe von wegerregten Einmassenschwingern (vgl. Kapitel 9), die den Einfeldbalken mit der konstanten Geschwindigkeit v [m/s] überqueren (Bild 23.3.3). Die Brückenfahrbahn besitzt stochastische Unebenheitswellen, deren Beschreibung mittels der im Abschnitt 23.2 vorgestellten spektralen eistungsdichten erfolgt. k 4 m 4 z s=4(t - tt 4 ) z s=3(t - tt 3 ) z s=2(t - tt 2 ) z s=1(t - tt 1 ) + m 3 + m 2 + m 1 + Geschwindigkeit c 4 k 3 k c 2 k 3 c 1 2 c 1 v = konstant x v(t - tt ) 3 v(t - tt ) 2 v(t - (tt 0)) 1 w(x, t) Bild 23.3.3: Gruppe wegerregter Einmassenschwinger längs eines BERNOUI-EUER-Balkens 23.3.4 In Anlehnung an die Gleichung (9.4) erhält man für einen einzelnen stützpunkterregten Einmassenschwinger des Bildes 23.3.3, der sich an der Stelle x = v (t - tt s ) des Balkens befindet, die zum globalen Zeitpunkt t gehörende Differenzialgleichung: m s z s ''[t - tt s ] + c s z s '[t - tt s ] + k s z s [t - tt s ] = c s ( t w[x, t] + t h[v (t - tt s )]) + k s (w[x, t] + h[v (t - tt s )]) wobei z s (t) h (x) m s * t s = t - tt s tt s - vertikale Verschiebung des s-ten Einmassenschwingers [m] - stochastische Unebenheiten der Fahrbahn [m] - Masse des s-ten Einmassenschwingers [kg] - lokale Zeitachse des s-ten Einmassenschwingers [s] - Auffahrtzeitpunkt des s-ten Einmassenschwingers [s]
baudyn_23_straße_eisenbahn.nb 11 c s k s - viskoser Dämpfungskoeffizient des s-ten Einmassenschwingers [N/m] - Federkonstante des s-ten Einmassenschwingers [N/m] 2 23.3.5 Mit den bekannten Definitionen für die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ω fz,s = k s [s -1 ] und m s die Abklingkonstante ω fzb,s = c s [s -1 ] des s-ten Einmassenschwingers (siehe Absatz 7.4) sowie 2 m s dem Produktansatz w(x, t) = w(x) q(t) = sin( π v (t - tt s) ) q(t) verändert sich die Gleichung (23.3.4) zu: z s ''[t - tt s] + 2 ω fzb,s z s '[t - tt s] + ω fz,s 2 z s[t - tt s] 2 ω fzb,s ( t w [x, t] + h'[v (t - tt s)]) + ω 2 fz,s (w[x, t] + h[v (t - tt s)]) /. π v (t - tts) w [x, t] -> Sin q[t], π v Cos π v (t-tts) q[t] π v (t - tts) t w[x, t] -> + Sin q [t] ω2 fz,s z s [t - tt s ] + 2 ω fzb,s z s [t - tt s ] + z s [t - tt s ] π v (t - tts) h[v (t - tt s)] + q[t] Sin ω2 fz,s + π v Cos π v (t-tts) q[t] π v (t - tts) 2 ω fzb,s + h [v (t - tt s)] + Sin q [t] 23.3.6 Nach diesen Vorbereitungen besteht nun keine Schwierigkeit die Belastungsfunktion und die generalisierte Kraft zu formulieren (vgl. hierzu u. a. Absatz 20.6.2). Mit P s = m s g wird die statische Kraftkomponente des s-ten Einmassenschwingers in [N] erfasst. maxs p[x, t] = - ((Ps + m s z s ''[t - tt s]) DiracDelta[x - v (t - tt s)]), s=1 w[x] = Sin π x 1, Q[t] p[x, t] w[x] x m G 0 maxs - DiracDelta[x - v (t - tts)] (P s + m s z s [t - tt s]), Sin π x s=1, Q[t] -Sin π x 0 maxs s=1 DiracDelta[x - v (t - tt s)] (P s + m s z s [t - tt s]) x m G Versteckte Zelle zur Zwischenlösung von Q(t). 23.3.7 Nun werden sowohl die Differenzialgleichung (23.3.2) als auch die DGn (23.3.5) gemäß der fraktalen Methode aufbereitet (siehe u. a. Abschnitt 20.5), wobei wir uns auf drei wegerregte Einzelmassen eingeschränkt haben. Zuvor sind aber noch einige wichtige Vereinbarungen und Zuordnungen zu treffen. Dies betrifft insbesondere den Einbau der Heaviside-funktionen bei den DGn (23.3.5) der wegerregten Einmassensysteme (man vgl. hierzu auch die versteckte Zelle am Ende des Absatzes 23.3.9).
12 baudyn_23_straße_eisenbahn.nb t t[n] n Δt, tt s nn s Δt z s [t - tt s ] z s [t[n] - tt s ] mit nn s = Round tt s Δt z s[t - tt s] z s[n - nn s] folgt h[v (t - tt s)] h[s] h[x /. x -> v (t[n] - tt s)] h'[v (t - tt s)] hab[s] hab[x /. x -> v (t[n] - tt s)] Q[t] = - 1 m G -1 + 2 HeavisideTheta [] HeavisideTheta [t v - HeavisideTheta [-] - v tt 1] HeavisideTheta [ mit -t v + HeavisideTheta [] + v tt 1] Sin π v (t - tt 1) (P 1 + m 1 z 1 [t - tt 1]) + HeavisideTheta [t v - HeavisideTheta[-] - v tt 2] HeavisideTheta [ -t v + HeavisideTheta [] + v tt 2] Sin π v (t - tt 2) (P 2 + m 2 z 2 [t - tt 2]) + HeavisideTheta [t v - HeavisideTheta[-] - v tt 3] HeavisideTheta [ -t v + HeavisideTheta [] + v tt 3 ] Sin π v (t - tt 3) (P 3 + m 3 z 3 [t - tt 3 ]) ; heavi01 = -1 + 2 HeavisideTheta[] (HeavisideTheta [t[n] v - HeavisideTheta[-] - v tt 1] HeavisideTheta [-t[n] v + HeavisideTheta[] + v tt 1] ); heavi02 = -1 + 2 HeavisideTheta [] (HeavisideTheta [t[n] v - HeavisideTheta [-] - v tt 2] HeavisideTheta [-t[n] v + HeavisideTheta [] + v tt 2] ) heavi03 = -1 + 2 HeavisideTheta [] (HeavisideTheta [t[n] v - HeavisideTheta [-] - v tt 3] HeavisideTheta [-t[n] v + HeavisideTheta [] + v tt 3] ) Q[t] = - 1 m G π v (t - tt1) heavi01 Sin (P 1 + m 1 z 1 [t - tt 1]) + π v (t - tt2) heavi02 Sin (P 2 + m 2 z 2 [t - tt 2]) + heavi03 Sin π v (t - tt 3) (P 3 + m 3 z 3 [t - tt 3 ])
baudyn_23_straße_eisenbahn.nb 13 ω 2 z 1[n + 1 - nn 1] - z 1[n - 1 - nn 1] fz,1 z 1[n - nn 1] + 2 ω fzb,1 2 Δt + z 1[n + 1 - nn 1] - 2 z 1[n - nn 1] + z 1[n - 1 - nn 1] Δt 2 = π v (t[n] - tt1) hs1 + heavi01 q[n] Sin ω 2 fz,1 + π v Cos π v (t[n]-tt 1) heavi01 q[n] 2 ω fzb,1 + habs1 + π v (t[n] - tt1) Sin heavi01 q[n + 1] - q[n - 1] 2 Δt ; ω 2 z 2[n + 1 - nn 2] - z 2[n - 1 - nn 2] fz,2 z 2[n - nn 2] + 2 ω fzb,2 + 2 Δt z 2[n + 1 - nn 2] - 2 z 2[n - nn 2] + z 2[n - 1 - nn 2] Δt 2 hs2 + heavi02 q[n] Sin π v (t[n] - tt 2) ω 2 fz,2 + π v Cos π v (t[n]-tt 2) heavi02 q[n] 2 ω fzb,2 + habs2 + Sin π v (t[n] - tt 2) heavi02 q[n + 1] - q[n - 1] 2 Δt ; ω 2 z 3[n + 1 - nn 3] - z 3[n - 1 - nn 3] fz,3 z 3[n - nn 3] + 2 ω fzb,3 + 2 Δt z 3[n + 1 - nn 3] - 2 z 3[n - nn 3] + z 3[n - 1 - nn 3] Δt 2 π v (t[n] - tt3) hs3 + heavi03 q[n] Sin ω 2 fz,3 + π v Cos π v (t[n]-tt 3) heavi03 q[n] 2 ω fzb,3 + habs3 + π v (t[n] - tt3) Sin heavi03 q[n + 1] - q[n - 1] 2 Δt ; 23.3.8 Der globale Zeitpunkt t = 0 stellt den Start der Berechnung dar. Solange der erste Einmassenschwinger noch nicht auf das Tragwerk aufgefahren ist, verweilt dieses im Ruhezustand. Nach der Eingabe der Systemparameter werden die jeweils aktuelle Unebenheitsfunktion und ihre zugehörige erste Ableitung ausgewiesen. Zum Abschluss erfolgt die Darstellung des Zeitverlaufs des Schwingweges in Balkenmitte.
14 baudyn_23_straße_eisenbahn.nb = 40, v = 20, μ = 2670, ω 1 = 18.41, ω b,1 =.3682, m G = μ 2 ; π x /. x -> 2 formwert = Sin ; Gesamtlängenfaktor = 5; {Δt =.01, tt 1 = 1.0001, tt 2 = 1.6999, tt 3 = 2.3999, P 1 = 1 200 000, P 2 = 1 150 000, P 3 = 150 000, m 1 = 20 000, m 2 = 15 000, m 3 = 15 000, ω fz,1 = 18.85, ω fz,2 = 18.85, ω fz,3 = 18.85, ω fzb,1 =.55, ω fzb,2 =.55, ω fzb,3 =.55}; {nn1 100., nn2 170., nn3 240., überfahrt_punkte 200., max 247.998, max_punktanzahl 1240.} Anmerkung: Man wähle maxn (max_punktanzahl - nn 3 ) und vermeide HeavisideTheta[0] (siehe u. a. Testausdruck für heavi0s )! {maxn = 1000, maxfourier = 300};
baudyn_23_straße_eisenbahn.nb 15 Bild 23.3.8: Zeitverlauf des Schwingweges des Balkens in Feldmitte (schwarz) sowie der Verschiebungen der Punktmassen m 1 (rot), m 2 (blau) und m 3 (grün) 23.3.9 In Anlehnung an die Analyse eines Ensembles von Zufallsfunktionen, wie es in den Absätzen 2.5.13 f. durchgeführt worden ist, werden verschiedene Stichproben erzeugt, wobei aber nur die Unebenheitsfunktion als eine stationäre Zufallsgröße Berücksichtigung findet. Im Anschluss erfolgt die Bestimmung der zeitabhängigen Funktionen der Mittelwerte und der Standardabweichungen für die Zufallsfunktion der dynamischen Durchbiegung w(/2, t) in Feldmitte des Einfeldbalkens. Anmerkung: In der grafischen Übersicht der Schwingwege des Gesamtensembles ist nur jede neunte Stichprobe wiedergegeben.
16 baudyn_23_straße_eisenbahn.nb = 40, v = 20, μ = 2670, ω 1 = 18.41, ω b,1 =.3682, m G = μ 2 ; π x /. x -> 2 formwert = Sin ; Gesamtlängenfaktor = 5; Δt = 10-2, tt 1 = 1.0001, tt 2 = 1.6999, tt 3 = 2.3999, P 1 = 200 000, P 2 = 150 000, P 3 = 150 000, m 1 = 20 000, m 2 = 15 000, m 3 = 15 000, ω fz,1 = 18.85, ω fz,2 = 18.85, ω fz,3 = 18.85, ω fzb,1 =.565, ω fzb,2 =.565, ω fzb,3 =.565 ; {nn1 100., nn2 170., nn3 240., überfahrt_punkte 200., max 247.998, max_punktanzahl 1240.} {maxn = 1000, maxfourier = 300, maxmc = 120}; Anmerkung: Man wähle maxn (max_punktanzahl - nn 3 ) und vermeide HeavisideTheta[0] (siehe u. a. Testausdruck für heavi0s )!
baudyn_23_straße_eisenbahn.nb 17 Bilder 23.3.9: Stochastische Simulation der Überfahrten von Einmassenschwingern, wobei nur die Fahrbahnebenheit als Zufallsgröße betrachtet worden ist Versteckte Zelle zur Voruntersuchung des obigen Basisalgorithmus anhand einer harmonischen Wegerregung.