Stroppel Musterlösung 3908, 80min Aufgabe 4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte und Funktionengrenzwerte a) 4n 3 9 lim b) lim n n + n) n + )5n 4) c) lim x 0 sinlnx + )) sinhx) a) Es ist lim 4n 3 9 n + )5n 4) = lim da Zählergrad und Nennergrad gleich sind 4n 3 9 50n 3 30n 48n + 3 = 4 50 = 7 5, b) Es ist lim n ) n n + n) n + n = lim n + n + n = lim = lim + + n = + =, n n + n + n wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion c) Es ist mit Hilfe der Regel von de l Hospital sinlnx + )) lim x 0 sinhx) 0 coslnx + )) 0 = lim x 0 coshx) x+ = Seite von 3
Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 3908, 80min Aufgabe 3 Punkte) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n N gilt n k=0 k k k + )! = n+ n + )! Induktionsanfang IA Es ist k=0 Damit ist die Behauptung für n = wahr k k k + )! = + 0!! =, + + )! = 4 = Induktionsschluss IS n n + Induktionshypothese IH Angenommen, die Behauptung sei wahr für n Dann ist k=0 Damit ist die Behauptung bewiesen n+ k k n k + )! = k k k + )! + n n+ n + )! k=0 = n+ n + )! + n+ n n + )! = n+ n + ) n + )! = + n+ n + n) n + )! = n+ n + )! + n+ n n + )! Seite von 3
Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 3908, 80min Aufgabe 3 6 Punkte) Gegeben sei die Potenzreihe n= 5 n/ lnn + ) z + i)n a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius ρ sowie den Entwicklungspunkt z 0 C der Reihe b) Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz für die folgenden Werte von z C: i) 5 i ii) 4 3i iii) 4 5 i a) Wir lesen sofort ab, dass z 0 = i Es ist lim 5 n+ lnn + ) lnn + ) 5 n/ = lnn + ) 5 lim lnn + ) = n + 5 lim = 5 }{{ n + } = = 5 lim n+ n+ Alternative: Es ist n 5 n/ 5 lnn + ) = 5, n lnn + ) denn n ln3) n lnn + ) n n für hinreichend großes n N, sodass nach dem Sandwichsatz gilt lim n lnn + ) = Damit ergibt sich ρ = 5 b) i) Wir betrachten den Abstand von z = 5i zum Entwicklungspunkt z 4 0 und erhalten 5 4 i + i = 4 i = 4 < = ρ 5 Damit liegt z innerhalb des Konvergenzkreises der Potenzreihe, sodass die Reihe dort absolut) konvergiert ii) Wir betrachten den Abstand von z = 4 3i von z 0 und erhalten 4 3i + i = i = > 5 = ρ Damit liegt z divergiert außerhalb des Konvergenzkreises der Potenzreihe, sodass die Reihe dort Seite 3 von 3
Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 3908, 80min iii) Wir setzen z 3 = 5 i in die Potenzreihe ein und erhalten n= 5 n/ ) n = lnn + ) 5 Da die Reihe alterniert und a n ) n N Potenzreihe in z 3 nach dem Leibnizkriterium ) n lnn + ) }{{} =:a n n= eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert die Seite 4 von 3
Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 3908, 80min Aufgabe 4 3 Punkte) Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a) x x dx b) 6x 3 sinx ) dx a) Wir sehen, dass der Integrand von der Form f f ist mit fx) = x Damit erhalten wir sofort x x dx = [ ln x ] Alternative: Wir führen eine Partialbruchzerlegung für den Integranden durch und erhalten nach leichter Rechnung Damit ist x x dx = x x = x + x + x dx + dx = [ln x + ln x + ] x + b) Wir führen die Substitution y = x durch und erhalten mit dy = x dx 6x 3 sinx ) dx = 3y siny) dy = [ 3y cosy)] + 3 cosy) dy = [3 siny) 3y cosy)] Rücksubst [ = 3 sinx ) 3x cosx ) ] Seite 5 von 3
Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 3908, 80min Aufgabe 5 9 Punkte) Gegeben sei f : R R + R mit fx, y) = ex 3y y a) Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen von f bis zur zweiten Ordnung b) Geben Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung von f zum Entwicklungspunkt 0, ) an c) Besitzt f im Punkt 0, ) ein lokales Minimum? a) Es ist f x x, y) = ex 3y y = fx, y), f y x, y) = 3ex 3y y e x 3y y = e x 3y 3 y + ), y f xx x, y) = f x x, y) = fx, y) = ex 3y 3, f yx x, y) = f xy x, y) = f y x, y) = e x 3y y y + ), y 3 f yy x, y) = 3e x 3y y + ) e x 3y 3 y y ) 9 = e x 3y y 3 y + 6 y + ) y 3 b) Es ist ) T f, x, y), 0, )) = e 3 + e ) x 3 4e 3 + y x y ) ) e 3 4e 3 x 4e 3 7e 3 y = e 3 + e 3 x 4e 3 y ) + e 3 x 4e 3 xy ) + 7 e 3 y ) ) ) e 3 0 c) Es ist f0, ) = Damit hat f in 0, ) keinen kritischen Punkt, weswegen 4e 3 0 dort auch kein Minimum vorliegen kann ) Seite 6 von 3
Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 3908, 80min Aufgabe 6 3 Punkte) Es bezeichne Pol C den komplexen Vektorraum der komplexen Polynome vom Grad höchstens zwei Gegeben sei die lineare Abbildung f : Pol C Pol C: pz) pz i), sowie die Basis Q: q, q, q 3 von Pol C mit q z) =, q z) = z und q 3 z) = z a) Bestimmen Sie die inverse Abbildung f : Pol C Pol C zu f b) Berechnen Sie die Matrizen Q f Q und Q f ) Q a) Die inverse Abbildung f : Pol C Pol C zu f ist gegeben durch pz) pz + i) In der Tat gelten für beliebiges p Pol C die Gleichungen f f)pz)) = f pz i)) = pz i + i) = pz) und f f )pz)) = fpz + i)) = pz + i i) = pz) b) Wir bestimmen zunächst fq z)) = q z i) = = q z) fq z)) = q z i) = z i = q z) iq z) fq 3 z)) = q 3 z i) = z iz = q 3 z) iq z) q z), sowie f q z)) = q z + i) = = q z) f q z)) = q z + i) = z + i = q z) + iq z) f q 3 z)) = q 3 z + i) = z + iz = q 3 z) + iq z) q z), Damit erhalten wir schließlich die Matrizen i i Qf Q = 0 i und Qf ) Q = 0 i 0 0 0 0 Seite 7 von 3
Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 3908, 80min Aufgabe 7 6 Punkte) Die Ellipse Q sei bestimmt durch die Gleichung 3x + 3x 0x x = 44 a) Geben Sie eine symmetrische Matrix A R, einen Vektor b R und einen Skalar c R so an, dass gilt Q = {x R x A x + b x + c = 0} b) Bestimmen Sie eine euklidische Normalform von Q c) Bestimmen Sie die Halbachsenlängen von Q d) Skizzieren Sie die Ellipse Q im Standardkoordinatensystem ) ) 3 5 0 a) Ein Koeffizientenvergleich liefert A =, b = und c = 44 5 3 0 b) Wir bestimmen die Eigenwerte der Matrix A als Nullstellen des charakteristischen Polynoms: 0 =! χ A λ) = deta λe ) = 3 λ) 5 = λ 6λ + 44 = λ 8)λ 8) Damit erhalten wir die Eigenwerte λ = 8 und λ = 8 Als Basis des R aus Eigenvektoren zu A bestimmen wir zum Beispiel ) ), Durch normieren erhalten wir daraus das kartesische Koordinatensystem ) ) ) 0 F: ;, 0 Bezüglich F wird die Ellipse Q nun durch die Gleichung 8z + 8z 44 = 0 beschrieben Als euklidische Normalform erhalten wir somit 8 z 8 z + = 0 c) Die euklidische Normalform einer Ellipse mit Halbachsenlängen h und h lautet z z + = 0 h h Ein Koeffizientenvergleich mit der euklidischen Normalform von Q liefert h = 8 = 3 und h = 8 = Seite 8 von 3
Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 3908, 80min d) Insgesamt ergibt sich die folgende Skizze: x 4 3 Q 4 3 0 3 4 x 3 4 Seite 9 von 3
Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 3908, 80min Aufgabe 8 5 Punkte) Gegeben ist das reelle lineare Gleichungssystem A α x = b mit α + 0 0 A α =, b =, α R a) Geben Sie die Spur der Matrix A α in Abhängigkeit von α an b) Geben Sie den Rang der Matrix A α in Abhängigkeit von α an c) Für welche Werte von α R besitzt das obige Gleichungssystem keine Lösung? µ d) Für welche Werte von α R besitzt das Gleichungssystem eine Lösung der Form x = µ für µ ein µ R? a) Die Spur der Matrix A α ist die Summe der Hauptdiagonalelemente Die Spur der Matrix A α, α R, ist also gleich 4 b) Der Rang von A α ist der Spaltenrang Die zweiten Zeile und die dritte Zeile von A α, α R, sind linear unabhängig Also ist RgA α ), α R Daher gilt, dass RgA α ) = wenn A α singulär ist Die Matrix A α ist singulär, wenn 0 = deta α ) = 7 + 3α Zusammengefasst ist wenn α = 7 RgA α ) = 3, 3 wenn α 7 3 Alternativ: Um den Rang von A α zu bestimmen, kann man den Gauß-Algorithmus benutzen: Durch Zeilenumformungen vereinfacht man sie zu α + 0 0 0 3α + 7 Rg 0 3 Also erhalten wir wenn α = 7 RgA α ) = 3, 3 wenn α 7 3 Seite 0 von 3
Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 3908, 80min c) Aus b) erhält man, dass für α 7 das obige Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt 3 Wir betrachten die erweiterte Matrix 4 0 0 3 [A 7 b] = 3 Durch Zeilenumformungen vereinfacht man sie zu [A 7 b] = 3 0 0 0 3 0 3 Also besitzt das obige Gleichungssystem keine Lösung für α = 7 3 µ d) Im Fall x = µ, µ R, folgt aus der zweiten Zeile von [A α b], dass µ = x + x + x 3 = µ Aus die erste Zeile folgt, dass α = sein muss Einsetzen in die dritten Zeile ergibt auch keinen Widerspruch, also ist x = eine Lösung für α = Seite von 3
Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 3908, 80min Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 9 8 Punkte) Es sei K die Kurve, die aus der Strecke von P =, ) ) nach Q =, 0) und der Viertelkreislinie von Q nach R = 0, ) besteht Weiter sei f : R R: x x x + x ) R P Q a) Geben Sie eine Parametrisierung C der Strecke von P nach Q sowie eine Parametrisierung C der Viertelkreislinie von Q nach R an C : [0, ] R : t ) + 4t + t, C : [ 0, π ] R : t ) cost) sint) ) 4 ) sint) b) Geben Sie C t) und C t) an C t) =, C t) = cost) c) Bestimmen Sie K fs) ds = 5 7 + π 6 d) Bestimmen Sie ein Potential von f f e) Bestimmen Sie K fx) dx = Seite von 3
Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 3908, 80min ) 0 Aufgabe 0 5 Punkte) Gegeben sei die Matrix A = a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A und geben Sie jeweils zugehörige Eigenvektoren an λ = + 5, v = + 5 ) λ = 5, v = 5 ) b) Geben Sie Matrizen T, D R so an, dass D Diagonalgestalt besitzt und T DT = A gilt T = + 5 5 ) D = ) + 5 0 0 5 α z 0 Aufgabe 8 Punkte) Für α, z C sei A α,z = 0 α 0 α a) Entscheiden Sie, für welche Paare α, z) C die Matrix A α,za α,z diagonal ist 0, z), z C b) Berechnen Sie deta α,z ) deta α,z ) = α 3 + z c) Bestimmen Sie für z = + i den Betrag z sowie das Argument ϕ [0, π) von z z = ; ϕ = 3 4 π d) Für welche α C ist A α, i singulär? Geben Sie die Lösungen in Polarkoordinaten an α { 6 cos π) + i sin π)), 6 cos π) + i sin 4 4 π)), 6 cos 9 π) + i sin 9 π))} e) Skizzieren Sie die Menge M = {α C : deta α,0 ) R + 0 } {α C : Imα) 0} Im α Re α Seite 3 von 3