Portfoliooptimierung in HJM-Modellen

Porfolioopimierung in HJM-Modellen Maserarbei von Eugenia Kiefel Bereuer: Privadozen Dr. V. Paulsen Mahemaisches Insiu für Saisik Fachbereich - Mahemaik und Informaik Wesfälische Wilhelms-Universiä Münser

Einleiung Eine zenrale Rolle in der modernen Finanzmahemaik spiel die Porfolioopimierung. Die Porfolioopimierung beschäfig sich mi der Besimmung opimaler Invesiionssraegien. Somi räg diese Theorie nich nur zur Erforschung der Finanzmahemaik bei, sondern liefer vor allem für Finanzinsiue ein unverzichbares Insrumen im Bereich Invesiion. Die Opimierung des Porfolios kann in verschiedenen Finanzmärken wie Akienmärken, Bondmärken oder Währungsmärken durchgeführ werden. Wir wollen uns mi der Porfolioopimierung in einem Bondmark befassen, welcher miels eines Zinssrukurmodells modellier wird. In diesem Zusammenhang sell sich die Frage wie in einem Bondmark opimal in Bonds verschiedener Reslaufzeien gehandel werden kann. Zur Klärung dieser Frage wählen wir das zeiseige Zinssrukurmodell von Heah, Jarrow und Moron HJM-Modell. Die Wahl dieses Modells zur Konsrukion des Bondmarkes is aus mehreren Gründen sinnvoll. Zum einen is in dem Modell die zeiliche Enwicklung der Bondpreise explizi und in einfacher Form gegeben. Zum anderen is die Wahl vielmehr durch die Wichigkei dieses Modells moivier. Das HJM-Modell sell einen enscheidenden Schri in der Enwicklung seiger Zinssrukurmodelle dar. Es beschreib die Enwicklung der gesamen Zinssrukur und nich nur des kurzfrisigen Zinses. Außerdem bilde dieses Modell einen ganzen Modellrahmen, sodass durch dessen Berachung allgemeine Ergebnisse erziel werden. Diese Arbei beschäfig sich somi mi der Besimmung einer opimalen Invesiionssraegie in einem HJM-Bondmarkmodell. In diesem Bondmarkmodell ermieln wir die opimale Invesiionssraegie durch das Lösen des Problems der Erwarungsnuzenmaximierung, welches als Meronproblem bekann is. Das Lösen dieses Problems führen wir mi der Maringalmehode durch. Dadurch erhalen wir eine Invesiionssraegie, die dem Invesor zu jedem Zeipunk vorgib, wie viel Kapial in welchen Bond er invesieren soll, dami sein erwareer Nuzen aus dem Endvermögen maximal wird. Das Ziel dieser Arbei is somi die Lösung des Meronproblems der Porfolioopimierung mi der Maringalmehode in einem HJM-Modell. Wobei wir zusäzlich den besonderen Fall berachen, dass das Geldmarkkono nich verfügbar is. Im ersen Kapiel sellen wir zunächs ein vollsändiges, arbiragefreies HJM- Bondmarkmodell auf, in dem die Porfolioopimierung safinden wird. Des Weieren zeigen wir einige Beispiele von besimmen HJM-Modellen. Im Besonderen i

sellen wir ein praxisrelevanes Gaußsches HJM-Modell vor, für welches wir im Weieren konkree Ergebnisse der Porfolioopimierung angeben. Im zweien Kapiel formulieren wir das Meronproblem der Porfolioopimierung und sellen die Maringalmehode zu seiner Lösung vor. Im Anschluss darauf führen wir einige Beispiele der Finanzmarkmodelle, in denen die Maringalmehode zur Porfolioopimierung anwendbar is. Dabei verwenden wir die logarihmische Nuzenfunkion und die Poenznuzenfunkion zur Darsellung der Präferenzen eines Invesors. Im drien Kapiel lösen wir das Meronproblem in einem Mehrfakor-HJM- Bondmarkmodell. Wir berachen dabei den besonderen Fall, dass das Geldmarkkono nich zur Verfügung seh. Zu Beginn des Kapiels erörern wir die Anwendbarkei der Maringalmehode im HJM-Modell. Insbesondere zeigen wir an einem Beispiel, dass die Porfolioopimierung mi der Maringalmehode nich in allen HJM-Modellen durchführbar is. Anschließend besimmen wir die opimale Invesiionssraegie für die logarihmische Nuzenfunkion und die Poenznuzenfunkion. Die Anwendung der Ergebnisse auf ein konkrees Gaußsches Mehrfakor-HJM- Modell schließ dieses Kapiel ab. Das Fazi resümier die Ergebnisse und führ die Arbei zum Abschluss. An dieser Selle möche ich mich ganz herzlich bei meinem Dozenen Dr. Volker Paulsen für seine engagiere Unersüzung bedanken. Mi seinem fachlichen Ra und seinen zahlreichen Anregungen begleiee er mich bei der Ersellung dieser Maserarbei und war ses für mich ansprechbar. Ein großer Dank gebühr auch meinem Ehemann. Sein Glaube an mich sowie seine Unersüzung gaben mir Kraf und halfen mir die Herausforderungen während meines Sudiums zu meisern. Hiermi besäige ich, dass ich die vorliegende Arbei selbsändig verfass und keine anderen als die angegebenen Hilfsmiel benuz habe. Die Sellen der Arbei, die dem Worlau oder dem Sinn nach anderen Werken dazu zählen auch Inernequellen ennommen sind, wurden uner Angabe der Quelle kennlich gemach. Münser, 5. Augus 24 Unerschrif ii

Inhalsverzeichnis Einführung in das HJM-Modell. Grundlagen.....................................2 Aufbau des HJM-Modells............................ 3.3 Beispiele...................................... 9.3. Vasicek- und CIR-Modelle........................ 9.3.2 Das Gaußsche HJM-Modell mi Markovscher Shor-Rae....... 2 2 Einführung in die Porfolioopimierung 2 2. Grundlagen.................................... 2 2.2 Formulierung des Meronproblems....................... 28 2.3 Maringalmehode zur Lösung des Meronproblems.............. 28 2.3. Darsellung der Mehode........................ 28 2.3.2 Beispiele zur Anwendbarkei...................... 3 3 Porfolioopimierung im HJM-Modell 38 3. Anwendbarkei der Maringalmehode..................... 38 3.2 Porfolioopimierung mi der Maringalmehode................ 44 3.2. Porfolioopimierung für die logarihmische Nuzenfunkion..... 5 3.2.2 Porfolioopimierung für die Poenznuzenfunkion.......... 55 3.3 Anwendung auf ein praxisrelevanes Modell.................. 63 4 Fazi 65 iii

Einführung in das HJM-Modell In diesem Kapiel erfolg eine Einführung in das arbiragefreie und vollsändige HJM- Bondmarkmodell, in dem späer die Porfolioopimierung safinden wird. Als Erses erklären wir die grundlegenden Begriffe und machen die nowendigen Annahmen für die Formulierung dieses Modells. Danach sellen wir das HJM-Bondmarkmodell vor und führen einige Beispiele von besimmen Modelle an. Dabei präsenieren wir ein praxisrelevanes HJM-Modell, für welches wir im Weieren die konkreen Ergebnisse der Porfolioopimierung angeben werden.. Grundlagen In diesem Unerkapiel werden die grundlegemden Begriffe sowie einige Annahmen für die Aufsellung des HJM-Modells eingeführ. Insbesondere werden die Zero-Coupon Bonds und die Forward-Raen Terminzinsen vorgesell. Hierfür werden [Bjö3], [BS4], [Küh7] und [Fil9] als Lieraurquellen verwende. Zudem wird im Folgenden ein endlicher Handelszeiraum [, ˆT ] vorausgesez. Definiion.. Zero-Coupon Bond Ein Zero-Coupon Bond mi der Fälligkei τ [, ˆT ] is ein Konrak, der seinem Inhaber zum Zeipunk τ eine Auszahlung von einer Geldeinhei garanier. Der Preis eines solchen Bonds zum Zeipunk < τ wird mi B, τ bezeichne. Ein Zero-Coupon Bond leise somi außer seiner Auszahlung am Ende, keine weieren Kuponzahlungen während der Laufzei. In dieser Arbei werden ausschließlich Zero- Coupon Bonds mi der Fälligkei τ berache und zur Vereinfachung als Bonds bzw. τ-bonds bezeichne. Als Nächses werden die nowendigen Annahmen an die Bondpreise geroffen: Es sei Bτ, τ = für alle τ mi τ ˆT erfüll. Das Ausfallrisiko der Bonds wird dami ausgeschlossen. Es gele B, τ > für alle, τ mi τ ˆT. Diese Forderung schließ die riviale Arbiragemöglichkei aus, bei der eine sichere Zahlung einer Geldeinhei ohne Einsaz von Kapial erziel werden kann. Für jedes fixes sei der Bondpreis B, τ, als Funkion in τ, für alle τ mi τ ˆT differenzierbar. Diese Bedienung garanier die Wohldefinierhei der Forward- Raen. Siehe [HJM92], S.79.

Einführung in das HJM-Modell Ausgehend von den Bondpreisen kann in mi < τ ein Zins für eine Invesiion in einem zukünfigen Zeiinervall [τ, S] vereinbar werden. Dies läss sich an der folgenden Invesiionssraegie veranschaulichen: Sei < τ < S. In : Verkaufe einen τ-bond und kaufe dafür B,τ B,S Bonds mi der Fälligkei S. Dabei ensehen zum Zeipunk keine Kosen. In τ: Zahle eine Geldeinhei für den verkaufen τ-bond. In S: Erhale die Auszahlung aus den S-Bonds in Höhe von B,τ B,S. Diese Sraegie ensprich einer Anlage von einer Geldeinhei in τ für den Zeiraum [τ, S] und führ zu einer sicheren Rückzahlung in S von B,τ B,S Geldeinheien. Durch diese Sraegie haben wir zum Zeipunk einen Konrak geschaffen, welcher uns eine risikolose Zinsrae für den zukünfigen Zeiraum von τ bis S garanier. Dieser Zinssaz wird als Forward-Rae Terminzins bezeichne. Wird eine seige Verzinsung angenommen, so kann aus dieser Sraegie die seige Forward-Rae R; τ, S besimm werden e R;τ,SS τ = = R; τ, S = B, τ B, S log B, τ log B, S. S τ Wenn wir die Länge des Zeiinervalls gegen Null laufen lassen, enseh daraus die augenblickliche Forward-Rae. Definiion.2. Die augenblickliche Forward-Rae mi der Fälligkei τ is zum Zeipunk τ definier durch log B, τ f, τ := lim R; τ, S =.. S τ τ Die Funkion τ f, τ wird als Forward-Raen-Kurve zum Zeipunk bezeichne. Die augenblickliche Forward-Rae f, τ ensprich dem Zins, der vom Mark zum Zeipunk für einen zukünfigen Zeipunk τ erware wird. Bemerkung.3. Die Definiion der augenblicklichen Forward-Rae implizier, dass sich der Preis eines Bonds aus den Forward-Raen wie folg berechnen läss τ B, τ = exp f, u du..2 Umgekehr kann die Forward-Rae aus dem Bondpreis ensprechend der Darsellung.2 besimm werden. 2

.2 Aufbau des HJM-Modells Ausgehend von der augenblicklichen Forward-Rae wird die augenblickliche Shor-Rae definier. Definiion.4. Die augenblickliche Shor-Rae is zum Zeipunk τ definier durch r := f, = lim τ R, τ. Die Shor-Rae kurzfrisiger Terminzins kann als ein Zinssaz versanden werden, der im Augenblick zum Zeipunk am Mark gil. In dieser Arbei werden nur die augenblicklichen Forward-Raen bzw. Shor-Raen berache und als Forward-Raen bzw. Shor-Raen bezeichne. Dabei sind die augenblicklichen Zinssäze am Mark nich beobachbar und bilden lediglich ein heoreisches mahemaisches Konsruk. Ausgehend von der Shor-Rae wird ein Geldmarkkono definier. Definiion.5. Der Wer des Geldmarkkonos zum Zeipunk is definier durch β := exp ru du,.3 bzw. in differenieller Form dβ = rβd. Somi ensprich β zum Zeipunk dem Wer einer Geldeinhei, welche ausgehend vom Zeipunk rollierend bis zur jeweiligen Shor-Rae r risikolos angeleg wurde. Außerdem represenier dieses Kono die Möglichkei einer frislosen Geldanlage bzw. Geldaufnahme in beliebiger Höhe und über eine beliebige Laufzei. Das Geldmarkkono wird nich am Mark gehandel und is deshalb ein künsliches Finanzgu..2 Aufbau des HJM-Modells Das Zinssrukurmodell von Heah, Jarrow und Moron, welches als HJM-Modell bezeichne wird, sell einen enscheidenden Schri in der Enwicklung seiger Zinssrukurmodelle dar. Es beschreib die zeiliche Enwicklung der gesamen Forward-Raen-Kurve und nich nur der Shor-Rae. Die Enwicklung der Bondpreise über die Zei enseh in diesem Modell in einfacher Form aus der Dynamik von Forward-Raen. Dieses Unerkapiel sell des arbiragefreie und vollsändige HJM-Modell mi dem Fokus auf die bevorsehende Porfolioopimierung vor. Dabei dienen [Bjö3], [Shr4], [Küh7], [Sch5] und [HJM92] als Lieraurquellen. Zunächs wird für die Formulierung des Modells der wahrscheinlichkeisheoreische Rahmen eingeführ: Es sei ein ˆT mi < ˆT < fixier, sodass ein endlicher Handelszei- 3

Einführung in das HJM-Modell raum [, ˆT ] enseh. Das bedeue, dass ein seiger Handel innerhalb des Zeiinervalls [, ˆT ] berache wird. Dabei werden die risikobehafeen Bonds mi dem Preisprozess B, τ τ für alle τ mi τ ˆT, als Basisfinanzgüer und das Geldmarkkono β ˆT als Numéraire gewähl. Die Unsicherhei in dem Modell sei durch den Wahrscheinlichkeisraum Ω, F ˆT, P charakerisier, mi einem Ergebnisraum Ω, einer Filraion F ˆT und einem Wahrscheinlichkeismaß P. Im Folgenden werden wir eine Bedingung angeben, uner welcher dieses Maß ein Maringalmaß wird. Weier wird angenommen, dass die Quelle des Zufalls von einem n-dimensionalen Wiener- Prozess W ˆT mi W = W,..., W n gerieben wird. Somi enwickel sich der Informaionsverlauf gemäß einer rechsseiig seigen und vollsändigen Filraion F ˆT, die von einem n-dimensionalen Wiener-Prozess erzeug wird. In einem HJM-Modell is für jedes τ mi τ ˆT die Dynamik der Forward-Rae f, τ uner dem Wahrscheinlichkeismaß P wie folg modellier 2 : f, τ = f, τ + bzw. in differenieller Form νu, τ du + df, τ = ν, τd + σ i u, τ dw i u, τ,.4 σ i, τdw i, τ..5 Zudem is vorausgesez, dass die anfängliche Kurve der Forward-Raen {f, τ; τ ˆT } zum Zeipunk = bekann und mi inegrierbar is. ˆT f, u du < P f. s. Die Drif der Forward-Rae is durch einen R-werigen sochasischen Prozess ν = νω,, τ beschrieben. Ihre Volailiä is durch einen R n -werigen sochasischen Prozess σ = σ ω,, τ,..., σ n ω,, τ dargesell. Für diese Prozesse gelen die nachfolgenden Eigenschafen 3 : ν, σ sind bezüglich P rog B-messbar, τ τ νs, ds d < für alle τ ˆT, punkweise für jedes ω Ω, sup s, τ σs, < für alle τ ˆT, punkweise für jedes ω Ω, 2 Siehe [HJM92], S.8, sowie [Bjö3], S. 342. 3 Siehe [Fil9], S.93 und S.59. sowie [HJM92], S.8. 4

.2 Aufbau des HJM-Modells wobei die euklidische Norm auf R n darsell. Aufgrund der Beziehung r = f, besiz die Shor-Rae r in diesem Modell die folgende Dynamik: r = f, + νu, du + σ i u, dw i u, ˆT..6 Bemerkung.6. Der Shor Rae-Prozess is im Allgemeinen kein Markov-Prozess 4. Dies läss sich aus der Berachung des Prozesses D mi D := σ i u, dw i u, ˆT erschließen. Dieser Prozess kann für ein τ mi < τ ˆT wie folg aufgeeil werden Dτ = D + τ σ i u, τ dw i u + σ i u, τ dw i u σ i u, dwi u. Offensichlich is der eingeklammere Teil weder nich zufällig, noch sell er eine deerminisische Funkion von D dar. Deshalb gil die folgende Ungleichhei E [Dτ D] E [Dτ F ], wobei mi E [ ] der Erwarungswer bezüglich des Wahrscheinlichkeismaßes P bezeichne wird. Somi erfüll der Prozess D die Markov-Eigenschaf nich. Hieraus folg, dass der Shor Rae-Prozess im Allgemeinen kein Markov-Prozess is. Dami das Wahrscheinlichkeismaß P ein Maringalmaß wird, muss die Drif der Forward- Rae durch ihre Volailiä fesgeleg sein. Diese sogenanne Drifbedingung wird im folgenden Saz zusammengefass siehe [Sch5], Theorem.3.. Saz.7. Drifbedingung Folgen die Forward-Raen der Dynamik.4, so is das Maß P ein Maringalmaß, genau dann, wenn die Prozesse ν und σ für alle τ ˆT die folgende Relaion erfüllen ν, τ = τ σ i, τ σ i, s ds..7 Annahme.. Die Drifbedingung.7 sei erfüll. Folgerung.. Da die Drifbedingung gil, exisier ein Maringalmaß und das HJM- Modell is somi arbiragefrei. 4 Siehe [APa], Kapiel 4.4.3 und [Sch5], Definiion.4.. 5

Einführung in das HJM-Modell Nachdem die grundlegenden Aspeke des HJM-Modells vorgesell wurden, formulieren wir im nächsen Schri die Bondpreisdynamik. Die zeiliche Enwicklung der Bondpreise leie sich in dem HJM-Modell aus der Dynamik der Forward-Rae und wird im folgenden Saz dargesell. Saz.8. Es sei P das Maringalmaß. Dann für jedes τ mi τ ˆT enwickeln sich die Bondpreisprozesse B, τ gemäß der folgenden Dynamik: db, τ = B, τ rd + σi B, τdwi, τ.8 für einen n-dimensionalen Prozess σ B, τ = σ B, τ,..., σb n, τ mi τ σi B, τ := σ i, s ds, i =,..., n..9 Beweis: Es is die sochasische Differenialgleichung der Bondpreisprozesse uner dem Maringalmaß zu besimmen. Diese Differenialgleichung läss sich aus der Dynamik der Forward-Raen mihilfe der Relaion.2 τ B, τ = exp f, u du ermieln. Ensprechend dieser Relaion wird zunächs die Dynamik des Prozesses y mi y, τ := τ f, u du hergeleie. Für diesen Prozess gil mi der Darsellung der Forward- Rae.4 die folgende Gleichhei y, τ = τ f, u du = τ f, u + νs, u ds + σ i s, u dwi s du. Da die Drif der Bondpreise uner dem äquivalenen Maringalmaß der Shor-Rae ensprich, is es nüzlich die Shor-Rae in diese Darsellung von y einzubringen. Hierzu wird die Shor-Rae in.6 inegrier τ ru du = τ f, u + u νs, u ds + u σ i s, u dwi s du. Mi diesem Ausdruck erhalen wir die folgende Darsellung des Prozesses y y, τ = τ τ τ f, u du ru du τ + u τ νs, u ds du νs, u ds du + 6 τ u σ i s, u dw i s du σ i s, u dw i s du.

.2 Aufbau des HJM-Modells Dami wir das Inegral über dem Inervall [, ] erhalen, wird die obere Darsellung mi dem Saz von Fubini für sochasische Inegrale 5 umgeform. Es ergib sich y, τ= τ f, u du τ ru du + τ νs, u du ds + s τ σ i s, u du dwi s. Aus diesem Ausdruck folg die sochasische Differenialgleichung für den Prozess y τ dy, τ = rd + ν, u du d + τ s σ i, u du dwi. Dami ergib sich uner Verwendung der Io-Formel 6 aus der Relaion.2 die Dynamik des Bondpreisprozesses: db, τ = B, τdy, τ + 2 B, τd y, τ τ = B, τ rd + ν, u du d + + τ 2 2 B, τ σ i, u du d = B, τ r + B, τ τ τ ν, u du + τ 2 σ i, u du 2 }{{} µ B,τ:= τ σ i, u du dwi. }{{} σi B,τ:= σ i, u du dwi Weier zeig die Anwendung der Drifbedingung.7, dass die Drif des Bondpreisprozesses uner dem Maringalmaß asächlich der Shor-Rae ensprich. Hierfür sezen wir ν, τ = n σ i, τ τ σ i, s ds für die Drif der Forward-Rae und erhalen zunächs die folgende Drif des Bondpreisprozesses µ B, τ = r τ u σ i, u σ i, s ds du + 2 d τ 2 σ i, u du. } {{ } γ i,τ:= Der Prozess γ 2 i kann mi der pariellen Differenialgleichung τ γ 2 i, τ = 2γ i, τσ i, τ durch τ γi 2, τ = 2 γ i, uσ i, u du = 2 τ u σ i, s ds σ i, u du 5 Siehe [Fil9], Theorem 6.2. 6 Siehe [KS9], Theorem 3.6. 7

Einführung in das HJM-Modell dargesell werden. Dami wird die Drif des Bondpreisprozesses berechne und es folg µ B, τ = r. Insgesam ergib sich die folgende Dynamik der Bondpreisprozesse uner dem Maringalmaß: db, τ = B, τ rd + σi B, τdwi für einen n-dimensionalen Prozess σ B, τ mi σ B i, τ := τ σ i, u du für i =,..., n. Bemerkung.9.. Aus den Darsellungen.8,.9 is es ersichlich, dass sich die Volailiä des Bondpreisprozesses aus den Volailiäen der Forward-Raen besimmen läss. Dami sind die Dynamiken der Bondpreise durch die Volailiässrukur der Forward- Raen eindeuig charakerisier. 2. Aus der Drifbedingung folg, dass die Dynamiken der Forward-Raen allein durch ihre Volailiässrukur spezifizier sind. Dami is das HJM-Modell, in welchem das Maringalmaß exisier, durch die Volailiässrukur der Forward-Raen {σ, τ τ ; τ ˆT } und die anfängliche Forward-Raen-Kurve {f, τ; τ ˆT } vollsändig fesgeleg. Diese Fessellung mach die Volailiä der Forward-Rae σ, τ zu einer zenralen Größe des HJM-Modells. Abschließend machen wir eine Annahme, welche die Vollsändigkei des Modells garanier. Annahme.2. Das Maringalmaß sei eindeuig besimm. Folgerung.2. Aus der Eindeuigkei des Maringalmaßes folg die Vollsändigkei des HJM-Modells 7. Deshalb exisieren n verschiedene Bonds mi den Preisprozessen 8 db, τ i = B, τ i rd + σj B, τ i dwj }{{}, τ i, τ <,..., < τ n, :=σ ji sodass die folgende Volailiäsmarix der Bondpreisprozesse für alle mi τ n inverierbar is 9 : 7 Siehe [Shr4], Theorem 5.4.9. 8 Siehe den Saz.8. 9 Siehe [Pau2]. σ B, τ... σ B, τ n σ ij i,j n =...... σn B, τ... σn B, τ n 8

.3 Beispiele.3 Beispiele Das HJM-Modell sell einen Modellrahmen dar. In diesen Rahmen gehören alle Zinssrukurmodelle, die von einem Wiener-Prozess gerieben werden. Einige Beispiele für die konkreen Modelle präsenier dieses Unerkapiel. Im ersen Teil dienen Vasicek- und CIR-Modelle als Beispiele für ein Ein-Fakor-HJM- Modell. Dor erfolg die Reformulierung dieser Shor-Rae-Modelle als ein HJM-Modell. Hierfür werden die Enwicklung der Forward-Rae und die ensprechende Volailiä ermiel. Die Ausführungen in diesem Teil beziehen sich auf [Shr4] und [BS4]. Im zweien Teil wird das Gaußsche Mehrfakor-HJM-Modell mi der Markovschen Shor- Rae als Beispiel für ein Mehrfakor-HJM-Modell vorgesell. Zur Herleiung dieses Modells wird die Spezifizierung der Volailiässrukur mi dem Fokus auf die prakische Anwendung vorgenommen. So enseh ein für die Praxis relevanes Modell. In diesem Modell erfolg späer die Anwendung der Ergebnisse aus der Porfolioopimierung. Dieser Teil orienier sich an [APa] und [APb]..3. Vasicek- und CIR-Modelle Als Erses werden das Vasicek Modell und das CIR-Modell kurz vorgesell. Hierzu sei der Wahrscheinlichkeisraum Ω, F ˆT, P ensprechend dem Kapiel.2 zu Grunde geleg. Dabei sei P das äquivalene Maringalmaß und die Filraion F ˆT sei von einem eindimensionalen Wiener-Prozess W erzeug. Die beiden Modelle gehören zu den Shor-Rae-Modellen. Das bedeue, dass am Anfang dieser Modelle die zeilichen Enwicklung der Shor-Rae seh. Die Bondpreise ergeben sich modellendogen aus der Dynamik der Shor-Rae. Vasicek-Modell: Im Vasicek-Modell is die Enwicklung der Shor-Rae über die Zei uner einem äquivalenen Maringalmaß durch die sochasische Differenialgleichung dr = κθ rd + σdw, r = r. beschrieben. Dabei sind r, θ, σ, κ srik posiive Konsanen. Der Preis eines Bonds in diesem Modell is besimm durch B, τ = exp rc, τ A, τ,. Siehe [Bjö3], Proposiion 22.3 und [BS4], Saz 6.. 9

gil B, τ = exp rc, τ A, τ,.4 Einführung in das HJM-Modell wobei C, τ := κ e κτ,.2 A, τ := κ τ C, τ κ 2 θ σ2 2 2 + 4κ σ2 C, τ 2. CIR-Modell: Im CIR-Modell is die Dynamik der Shor-Rae uner einem äquivalenen Maringalmaß gegeben durch dr = κθ rd + σ rdw, r = r,.3 wobei r, θ, σ, κ srik posiive Konsanen sind. Und für den Preis eines Bonds wobei 2 e γτ C, τ := γ + κ e γτ + 2γ,.5 A, τ := 2κθ σ 2 ln 2γe.5γ+κτ γ + κ e γτ, + 2γ γ := κ 2 + 2σ 2. Als nächses wird die Einbeung dieser Shor-Rae-Modelle in den Modellrahmen von HJM gezeig. Hierzu wird uner Verwendung der Dynamik der Bondpreisprozesse die Forward-Raen-Dynamik hergeleie. Um anschließend die spezielle Volailiäsfunkion der Forward-Rae für das jeweilige Shor-Rae-Modell zu ermieln. Die Ergebnisse werden in dem nachfolgenden Saz fesgehalen. Saz... Es sei das Modell von Vasicek mi der Shor-Rae Dynamik. gegeben. Dann is für alle τ ˆT die Dynamik Forward-Rae f, τ in diesem Modell durch eine sochasische Differenialgleichung mi der folgenden Forward-Raen-Volailiä beschrieben: σ, τ = σe κτ. 2. Es sei das CIR-Modell mi der Shor-Rae Dynamik.3 gegeben. Dann is für alle τ ˆT die Dynamik der Forward-Rae f, τ in diesem Modell durch eine sochasische Siehe [Bjö4], Proposiion 22.6 und [BS4], S.8 f.

.3 Beispiele Differenialgleichung mi der folgenden Forward-Raen-Volailiä beschrieben: σ, τ = 4γ 2 e γτ γ + κ e γτ + 2γ 2 σ r. Beweis: Es wird die Dynamik der Forward-Rae für das Modell von Vasicek und das CIR-Modell hergeleie. In beiden Modellen gil die sochasische Differenialgleichnug der Shor-Rae dr = m, rd + n, rdw bezüglich des äquivalenen Maringalmaßes für die jeweiligen Prozesse m und n. Zudem wird der Bondpreis in diesen Modellen mi. und.4 für die jeweiligen Prozesse A und C dargesell durch B, τ = exp rc, τ A, τ. Dami kann, ensprechend der Darsellung., die Forward-Rae aus dem Bondpreis in folgender Weise besimm werden: f, τ = log B, τ = r C, τ + A, τ. τ τ τ Daraus ergib sich die Dynamik der Forward-Rae für diese Modelle: df, τ = C, τdr + r τ τ C, τd + τ A, τd = C, τm, r + r τ τ C, τ + τ A, τ d + τ C, τn, rdw, wobei C, τ bzw. A, τ die pariellen Ableiungen bzgl. bezeichnen. Dies ensprich einem HJM-Modell mi folgender Volailiä der Forward-Rae σ, τ = C, τn, r. τ Für das Vasicek Modell mi n, r = σ aus. gil nach.2 die folgende Gleichhei C, τ = τ τ κ e κτ = e κτ. Somi ensprich das Vasicek Modell einem HJM-Modell mi der Volailiä der Forward- Rae: σ, τ = σe κτ. Für das CIR-Modell mi n, r = σ r aus.3 gil nach.5 die folgende

Einführung in das HJM-Modell Gleichhei 2 e γτ C, τ = τ τ γ + κ e γτ = + 2γ 4γ 2 e γτ γ + κ e γτ + 2γ 2 Somi ensprich das CIR-Modell einem HJM-Modell mi der Volailiä der Forward-Rae: σ, τ = 4γ 2 e γτ γ + κ e γτ 2 σ r. + 2γ.3.2 Das Gaußsche HJM-Modell mi Markovscher Shor-Rae In diesem Unerkapiel leien wir ein anwendungsorienieres Mehrfakor-HJM-Modell her. Wie bereis in der Bemerkung.9 2 erwähn wurde, enseh durch die Feslegung der Volailiässrukur der Forward-Rae ein besimmes Modell. Wir machen die folgende Annahme. Annahme.3. Die Volailiäsfunkion der Forward-Rae σ, τ sei eine deerminisische Funkion von und von τ für τ ˆT. Ein HJM-Modell mi dieser Volailiässrukur sell einen wichigen Spezialfall dar und wird als ein Gaußsches HJM-Modell bezeichne. In diesem Modell finde späer unsere Porfolioopimierung sa, da die deerminisische Volailiässrukur uns die Lösung des Porfolioproblems in einer geschlossenen Form ermöglich. Bevor wir eine weiere Spezifizierung der Volailiässrukur vornehmen, is folgendes anzumerken: Wie bereis in der Bemerkung.6 fesgehalen wurde, besiz der Shor-Rae- Prozess die Markov-Eigenschaf im Allgemeinen nich. Die Markov-Eigenschaf bring jedoch konzepionelle Voreile für das Modell. Eine Volailiässrukur, welche der Shor- Rae diese Eigenschaf verleih wird im nachfolgenden Saz vorgesell 2. Saz.. Es sei für alle τ ˆT die Volailiä der Forward-Rae σ, τ ungleich Null und die Shor-Rae besize die Markov-Eigenschaf. Dann is die Volailiässrukur der Forward-Rae separabel σ, τ = ghτ, τ ˆT. Ensprechend diesem Saz erfolg eine weiere Spezifizierung der Volailiässrukur. Dabei verwenden wir im Folgenden eine Marixschreibweise zum Zwecke der Übersichigkei. 2 Siehe [Sch5], Saz.4.2. 2

.3 Beispiele Annahme.4. Die Volailiässrukur der Forward-Rae sei separabel im folgenden Sinne σ, τ = ghτ, τ ˆT.6 wobei g eine deerminisische n n-marix und hτ ein n-dimensionaler deerminisischer Vekor sind. Als Nächses wird die Komponene h der Volailiässrukur fesgeleg. Hierzu machen wir die folgende Annahme. Annahme.5. In der Darsellung.6 der Forward-Raen-Volailiässrukur sei der Vekor h durch h := e κ u du e. κnu du,.7 für deerminisische Funkionen κ i mi i =,..., n definier, sodass h i für alle ˆT gil. Die Dynamik der Forward-Rae für diese Wahl der Volailiässrukur wird im nachfolgenden Saz präsenier. Saz.2. Die Volailiässrukur der Forward-Rae sei separabel im Sinne von der Annahme.4. Weier seien eine n n-dimensionale Diagonalmarix H durch H := diagh und ein n-dimensionaler Vekor h ensprechend.7 definier. Zudem seien ein n-dimensionaler Zufallsvekor x und eine deerminisische, symmerische n n- Marix y wie folg definier x := H gs gs hu du ds + H gs dw s,.8 s y := H gs gs ds H..9 Uner diesen Voraussezungen is für jedes τ mi τ ˆT die Forward-Rae auf folgende Weise dargesell τ f, τ = f, τ + M, τ x + y M, s ds,.2 für M, τ := HτH, wobei =,..., R n gil. Dabei enwickel sich der Prozess x über die Zei gemäß dx = y κxd + σ x dw,.2 3

Einführung in das HJM-Modell für eine n n-dimensionale Marix σ x := gh und eine n n-dimensionale Diagonalmarix κ := diag κ,..., κ n mi κ i aus.7. Beweis: Es is die Darsellung der Forward-Rae uner dem äquivalenen Maringalmaß für die Volailiässrukur zu besimmen, welche im Sinne von den Annahmen.3 bis.5 fesgeleg is. Hierzu wird die Forward-Rae zunächs für die separable Volailiässrukur.6 spezifizier. Aus.5 und.7 is bekann, dass sich die Forward-Rae in der Zei uner dem äquivalenen Maringalmaß gemäß τ df, τ = σ, τ σ, u du d + σ, τ dw enwickel. Wir sezen in diese Gleichung σ, τ = ghτ ein und inegrieren anschließend nach der Zei. Dadurch erhalen wir die folgende Darsellung der Forward-Rae für die separable Volailiä τ f, τ = f, τ + hτ gs gs s hu du ds + hτ gs dw s, wobei g eine deerminisische n n Marix und h ein n dimensionaler deerminisischer Vekor sind. Weier sei die Komponene h der separablen Volailiässrukur ensprechend.7 fesgeleg. Jez definieren wir einen sochasischen Prozess x durch x := H gs gs s hu du ds + H sowie einen weieren deereminisischen Prozess y durch y := H gs gs ds H, gs dw s, für eine Marix H := diag h. Mihilfe dieser Prozesse läss sich die Forward-Rae wie folg schreiben: τ f, τ = f, τ + hτ gs gs s τ = f, τ + Hτ gs gs s τ = f, τ + Hτ gs gs hu du ds s + HτH x Hτ gs gs hu du ds + hτ hu du ds + Hτ s gs dw s hu du ds τ = f, τ + HτH x + HτH yh hu du. 4 gs dw s

.3 Beispiele Es is anzumerken, dass aufgrund von h i für alle in.7, die Marix H exisier. Weier definieren wir einen n-dimensionalen deerminisischen Vekor durch M, τ := HτH. Für diesen Vekor gil zum einen M, τ = HτH, da H eine symmerische Marix is, und zum anderen τ H hu du = τ H Hu du = Dami ergib sich nun die folgende Darsellung der Forward-Rae τ M, u du. τ f, τ = f, τ + M, τ x + y M, u du. Aus diesem Ausdruck folg, dass die zeiliche Enwicklung der Forward-Rae von dem sochasischen Prozess x gerieben wird. Deshalb besimmen wir als Nächses seine Dynamik. Hierzu führen wir die Marixmuliplikaion in der Darsellung.8 von dem Zufallsvekor x aus, wodurch wir x i = h i g ji s l= g jl s s h l u du } {{ } :=k i,s ds + h i g ji s dwj s, } {{ } :=z i für jedes i mi i =,..., n erhalen. Jez kann die sochasische Differenialgleichung für jedes x i besimm werden. Hierfür wenden wir die Produkregel auf den Prozess h i K i mi K i := k i, s ds und die parielle Inegraion für Io-Prozesse 3 auf den Prozess h i z i an. Dadurch erhalen wir dx i = dh i d K i d + h i dk i + dh i z i d + h i dz i + d h i, z i. d Dabei gil d h i, z i =, da h i deerminisisch is. Weier wird die deerminisische Funkion K i mi der Leibniz-Regel wie folg differenzier [ ] [ d dk i = d k i, s ds d = g ji s [ ] = g ji s g jl sh l ds d. l= g jl s d h l u du ] ds d d Miels dieser Gleichung kann die sochasische Differenialgleichung für x i wie folg l= s 3 Siehe [Sch8], Saz 2.3.9. 5

Einführung in das HJM-Modell berechne werden: dx i = dh i K i d + h i dk i + dh i z i d + h i dz i d [ d = dh i g ji s g jl s h l u du ] ds d d l= s [ ] + h i g ji s g jl sh l ds d [ + dh i d l= ] g ji s dwj s d + h i g ji dwj. Die sochasischen Differenialgleichungen für x i mi i =,..., n ergeben zusammen die folgende sochasische Differenialgleichung für den Zufallsvekor x in Marixschreibweise: dx = dh d [ gs gs s ] [ hu du ds d + H gs gsh ] ds d + dh [ ] g s dw s d + Hg dw. d Ferner gil, da h durch h i := e κ iu du für i =,..., n definier is, dass dh H = diag κ,..., κ n. d Zudem definieren wir σ x := gh und κ := diag κ,..., κ n. Dami erhalen wir schließlich die folgende sochasische Differenialgleichung für den Zufallsvekor x: dx = dh d [ ] gs gs hu du ds + g s dw s d s }{{} [ + H gs gs ds =H x h }{{} =H = dh [ H xd + H d = y κx d + σ x dw. ] d + Hg dw ] gs gs ds H d + gh dw Die Annahmen.3-.5 spezifizieren die Volailiässrukur der Forward-Rae und führen zu einem Gaußschen Mehrfakor-HJM-Modell mi Markovscher Shor-Rae. Dieses Modell wird im Folgenden mihilfe des Sazes.2 beschrieben. 6

.3 Beispiele Das Gaußsche HJM-Modell mi Markovscher Shor-Rae: Es sei ein Mehrfakor-HJM-Modell mi folgender Volailiässrukur der Forward-Rae gegeben σ, τ = ghτ, τ ˆT. Dabei sind g eine deerminisische n n-marix und h ein n-dimensionaler deerminisischer Vekor mi h = e κ u du,..., e κnu du, für deerminisische Funkionen κ i mi i =,..., n, sodass h i für alle ˆT gil. Dann is die Forward-Rae, ensprechend dem Saz.2 uner einem äquivalenen Maringalmaß durch einen sochasischen Prozess x aus.8,.2 und eine deerminisische Funkion y aus.9 wie folg dargesell wobei M, τ = τ f, τ = f, τ + M, τ x + y M, s ds, e τ κ u du,..., e τ in diesem Modell die folgende Gesal r = f, = f, + x = f, + κnu du gil. Insbesondere erhäl die Shor-Rae x i. Des Weieren enwickeln sich die Bondpreise über die Zei gemäß 4 B, τ = für einen Prozess G, τ mi G, τ := τ B, τ B, exp G, τ x 2 G, τ yg, τ,.22 M, u du. Das Gaußsche 3-Fakor-HJM-Modell mi Markovscher Shor-Rae Hier wird ein konkrees, praxisbezogenes, Gaußsches 3-Fakor-HJM-Modell mi Markovscher Shor-Rae vorgesell. Ensprechend der oberen Beschreibung des n-dimensionalen Modells wird die folgende Volailiässrukur der Forward-Rae berache: σ, τ = ghτ, τ ˆT. 4 Siehe [APb], Korollar 2..3. 7

Einführung in das HJM-Modell Dabei sind g eine deerminisische 3 3-Marix und h ein deerminisischer Vekor mi h = e κ u du, e κ 2u du, e κ 3u du,.23 für deerminisische Funkionen κ i mi i =, 2, 3, sodass h i für alle ˆT gil. Weier wird die Marix g wie folg gewähl: σ e κ u du σ 2 e κ 2u du σ 3 e κ 3u du g = σ 2 e κ u du σ 22 e κ 2u du σ 23 e κ 3u du σ 3 e κ u du σ 32 e κ 2u du σ 33 e..24 κ 3u du Aus Vereinfachungsgründen kann ohne Beschränkung der Allgemeinhei angenommen werden, dass g die unere Diagonalmarix is 5, d. h. wir können σ 2 =, σ 3 = sowie σ 23 = sezen. Der sochasische Prozess x = x, x 2, x 3 zur Beschreibung der Forward-Rae is ensprechend dem Saz.2 wie folg gegeben dx = y κx σ d + σ x dw, σ x = σ 2 σ 22, σ 3 σ 32 σ 33 wobei x =, κ = diag κ, κ 2, κ 3 und y eine 3 3-dimensionale deerminisische Marix aus.9 sind. Zu bemerken is, dass die reibenden Prozesse x, x 2 und x 3 mieinander korrelier sind. Die augenblickliche Korrelaion ρ ij zwischen x i und x j kann wie folg besimm werden 6 ρ ij = σi x σx j σx i σx j, i, j =, 2, 3, wobei σ i x die i-e Spale der Marix σ x is. Der Einfachhei halber werden diese Prozesse bezüglich korrelierer Wiener-Prozesse W mi dwi, dwj = ρ ij d umgeschrieben 7. Wir erhalen auf diese Weise die folgende sochasische Differenialgleichung dx = y κx d + σ x dw..25 5 Wenn g nich die unere Diagonalmarix is, so kann diese Form mi der Cholesky Zerlegung erreich werden. 6 Siehe [Bjö3], Kapiel 4.8, S.58. 7 Siehe [Bjö3], Kapiel 4.8, Proposiion 4.9. 8

.3 Beispiele Dabei is die Marix σ x besimm durch σ 2 σx + σ2 2 + σ2 3 = σ 2 22 + σ23 2. σ 33 Weier sind für alle τ mi τ ˆT die Forward-Raen und die Bondpreise ensprechend.2 und.22 durch dargesell, wobei G, τ = f, τ = f, τ + M, τ x + yg, τ.26 B, τ B, τ = B, exp G, τ x 2 G, τ yg, τ, τ M, u du, M, τ = e τ κ u du, e τ κ 2u du, e τ κ 3u du gil. Die Angaben.25 und.26 definieren dieses Gaußsche 3-Fakor-HJM-Modell. 9

2 Einführung in die Porfolioopimierung 2 Einführung in die Porfolioopimierung In diesem Kapiel erfolg eine Einführung in die Theorie der Porfolioopimierung. Hierzu definieren und erläuern wir zunächs die grundlegenden Begriffe. Darauf folgend formulieren wir das Meronproblem der Porfolioopimierung und sellen die Maringalmehode zu ihrer Lösung vor. Hierfür dienen [KK], [KS98], [Kor97] und [Kar97] als Lieraurquellen. Im Anschnluss darauf führen wir einige Beispiele der Finanzmarkmodelle an, in denen die Maringalmehode anwendbar is. Dabei wählen wir zur Darsellung der Präferenzen eines Invesors die logarihmische Nuzenfunkion und die Poenznuzenfunkion. 2. Grundlagen In diesem Abschni werden die grundlegenden Begriffe der Porfolioopimierung, wie die Porfolio- und Vermögensprozesse sowie die Nuzenfunkion, definier und erläuer. Wir beginnen mi der Beschreibung des arbiragefreien und vollsändigen Finanzmarkmodells, welches den bevorsehenden Formulierungen zugrude geleg wird. Das Finanzmarkmodell Wir berachen ein vollsändiges Finanzmarkmodell in dem ein äquivalenes Maringalmaß P exisier 8 Der Handelszeiraum [, ˆT ] is endlich mi einem Wahrscheinlichkeisraum Ω, F ˆT, P. Dabei is die Quelle des Zufalls von einem n-dimensionalen Wiener-Prozess W ˆT mi W = W,..., W n gerieben. Der Informaionsverlauf is durch eine rechsseiig seige und vollsändige Filraion F ˆT dargesell, welche von diesem Wiener-Prozess erzeug is. Des Weieren enhäl der Finanzmark n Basisfinanzgüer Akien und Bonds, deren Preisprozesse S i ˆT für i =,..., n auf folgende Weise modellier sind ds i = S i µ i d + σ ij dw j, ˆT, S i = s i,. 2. Ein weieres Finanzgu is das Numéraire-Finanzgu. Dieses wird mi N bezeichne und kann als das Geldmarkkono oder als ein weieres risikobehafees Finanzgu S n+ mi S n+ > P -fas sicher für alle ˆT gewähl werden. Somi is der Preisprozess 8 Die Forderung der Arbiragefreihei is für die Exisenz eines äquivalenen Maringalmaßes in einem seigen Finanzmarkmodell nich ausreichend. Dami die Exisenz eines äquivalenen Maringalmaßes garanier is, muss das Modell die sogenanne no free lunch wih vanishing risk - Bedingung NFLVR erfüllen. Dagegen sicher die Exisenz eines äquivalenen Maringalmaßes die Arbiragefreihei des Modells siehe [Pau3]. 2

2. Grundlagen des Numéraire-Finanzgues im Falle des Geldmarkkonos durch dβ = βrd, ˆT 2.2 und im Falle eines n + -Finanzgues durch ds n+ = S n+ µ n+ d + σ n+,j dw j, ˆT 2.3 dargesell, mi β = und S n+ = s n+,. Dabei sind die Prozesse r, µ := µ,..., µ n, σ := σ ij i,j n, σ n+ := σ n+,,..., σ n+,n progressiv messbar und erfüllen die folgende Inegrabiliäsbedingung ˆT rs + µn+ s + µs + σ n+ s 2 + σ i s 2 ds <, P f. s., 2.4 wobei die euklidische Norm im R n, i =,..., n und σ i die i-e Zeile der Marix σ sind. Zudem is die n n-marix σ auf [, ˆT ] Ω inverierbar. Des Weieren geben wir mi dem nachfolgenden Saz ein äquivalenes Maringalmaß für dieses Finanzmarkmodell an 9. Saz 2.. Es sei für das obere Finanzmarkmodell P das äquivalene Maringalmaß bezüglich des Numéraire N. Dann exisier ein R n -weriger, previsibler Prozess ϑ ˆT mi P ϑs 2 ds < = für alle ˆT, sodass dp dp = exp F ϑ i u dw i u 2 ϑ i u 2 du := L 2.5 gil. Der Dichequoienenprozess L erfüll dann die folgende sochasische Differenialgleichung dl = L ϑ i dw i. 2.6 Wobei der Prozess ϑ als der Markpreis des Risikos bezeichne wird. Des Weieren gil, dass der Prozess S i N für i =,..., n + ein P -Maringal is. Zudem is der Wiener- Prozess uner dem Maßes P dargesell durch dw i = dw i ϑ i d, i =,..., n. 2.7 9 Siehe hierzu [Pau2]. 2

2 Einführung in die Porfolioopimierung Porfolio- und Vermögensprozesse Nachdem das Finanzmarkmodell fesgeleg wurde, soll das Handeln des Invesors modellier werden. Hierzu werden folgende Annahmen geroffen: Der Invesor kann sein Vermögen umschichen 2, d.h. er kann einige seiner Finanzgüer verkaufen und das Geld in andere Finanzgüer invesieren. Dabei beeinfluss sein Handel die Markpreise nich. Außerdem riff er seine Invesiionsenscheidungen zum Zeipunk auf der Basis in verfügbarer Markinformaionen und ohne Kennnis der zukünfigen Ereignisse. Der Invesor sare zum Zeipunk = mi einem fixen Anfangskapial x > und handel koninuierlich in der Zei bis zu einem besimmen Planungshorizon T mi T ˆT. Als Invesiionsmöglichkeien sehen ihm n risikobehafee Finanzgüer sowie ein Numéraire- Finanzgu zur Verfügung. Sein Handeln wird durch einen R n -werigen Porfolioprozess π = π,..., π n T, dargesell, dessen genaue Definiion späer folg. Dabei bezeichne π i den Geldberag, welcher zum Zeipunk in das i-e risikobehafee Finanzgu invesier wird. Zudem wird geforder, dass der Res des Geldvermögens, welcher mi π bezeichne wird, in das Numéraire-Finanzgu angeleg wird. Als Numéraire-Finanzgu können das Geldmarkkono oder ein weieres risikobehafees Finanzgu gewähl werden. Der Porfolioprozess kann auch negaive Were annehmen. Dabei wird eine negaive Posiion in dem Geldmarkkono als ein Kredi aufgefass. Ein negaiver Wer in dem risikobehafeen Finanzgu weis auf die Shor Posiion hin, d. h. der Invesor lieh sich ein risikobehafees Finanzgu und verkaufe dieses, wodurch eine Schuld gegenüber dem Gläubiger ensand. Durch das Verfolgen der Porfoliosraegie π zum Anfangskapial x wird ein Vermögensprozess Vx π erzeug. Das Vermögen zum Zeipunk sell den Gesamwer der Finanzgüer in dem Porfolio dar, d. h. es gil: Vx π = π N N + π i S i S i. Dann is der Geldberag, welcher zum Zeipunk in das Numéraire-Finanzgu invesier wird durch π = V π x n π i besimm. Weier wird geforder, dass der Porfolioprozess selbsfinanzierend is. Das bedeue, dass die Änderung des Vermögens ausschließlich aus dem Gewinn bzw. Verlus der Invesiion resulier. Deshalb wird die 2 Die Transakionskosen werden nich berücksichig. 22

2. Grundlagen Enwicklung dieses Vermögens in der Zei durch die folgende sochasische Differenialgleichung dv π x = π dn N + π i ds i S i mi V π x = x modellier. Um die Enwicklung des Vermögensprozesses für das berachee Finanzmarkmodell zu präzisieren, werden die Dynamiken der Finanzgüer 2.-2.3 eingesez und es ergib sich: Im Falle N = β gil dv π x = rv π x d + π µ rn d + σdw. 2.8 Im Falle N = S n+ gil dvx π = Vx π µ n+ d + σ n+ dw + π µ µn+ n d + σ n σ n+ dw, 2.9 wobei n =,..., R n is. Aus dieser Vermögensgleichung is es ersichlich, dass der Porfolioprozess besimme Inegrabiliäsbedingungen erfüllen muss, dami eine eindeuige Lösung für diese Gleichung exisier. Diese Forderungen werden in der nachfolgenden Definiion des Porfolioprozesses fesgehalen. Definiion 2.2. Ein progressiv messbarer R n -weriger Prozess π = π,..., π n T wird als ein Porfolioprozess bezeichne, falls er die folgenden Bedingungen erfüll: T T π σ 2 d + π µ r n d < P f. s. 2. Bemerkung 2.3. Die obere Inegrabiliäsbedingung für den Porfolioprozess resulier aus der Vermögensgleichung 2.8 bezüglich des Geldmarkkonos als Numéraire. Im Falle des risikobehafeen Finanzgues als Numéraire müsse der Porfolioprozess ensprechend 2.9 die folgende Bedingung erfüllen T T π σ n σ n+ 2 d + π µ µ n+ n d < P f. s. Die Güligkei dieser Bedingung folg jedoch aus den Inegrabiliäsbedingungen 2.4 und 2.. Somi is die gegebene Definiion des Porfolioprozesses auch für den Fall ausreichend, dass das risikobehafee Finanzgu als Numéraire dien. Definiion 2.4. Ein Porfolioprozess π heiß selbsfinanzierend, falls der ensprechende Vermögensprozess V π x die Vermögensgleichung 2.8 bzw. 2.9 eindeuig lös. 23

2 Einführung in die Porfolioopimierung Das Verfolgen der Porfoliosraegie kann Schulden verursachen, welche der Invesor nich mehr in der Lage zu begleichen is. Der Wer V π x < is also möglich. Dami solche Porfolioprozesse ausgeschlossen werden, wird die Zulässigkei des Porfolioprozesses eingeführ. Definiion 2.5. Ein selbsfinanzierender Porfolioprozess π heiß zulässig für ein Anfangskapial x >, wenn der zugehörige Vermögensprozess V π x die Bedingung V π x P f. s. für alle T erfüll. Die Menge der zulässigen Porfolioprozesse zum Anfangskapial x wird mi A x bezeichne. Aus der Perspekive der Porfolioopimierung sell sich die Frage, welches Endvermögen durch das Invesieren eines besimmen Kapials am Anfang erreich werden kann. Diese Frage wird im nachfolgenden Saz beanwore. Hierzu wird ein sochasischer Prozess H für den Dichequoienenprozess L des äquivalenen Maringalmaßes bezüglich des Numéraires N wie folg definier H := L N, ˆT. 2. Saz 2.6. Es sei der selbsfinanzierende Porfolioprozess π zulässig für ein Anfangskapial x, d. h. π A x. Dann erfüll der zugehörige Vermögensprozess Vx π sogenanne Budgebedingung die NE [ HV π x ] x für alle T. 2 Es seien ein Anfangskapial x und eine nichnegaive, F T -messbare Zufallsvariable ξ gegeben, für welche x = NE [ HT ξ ] < gil. Dann exisier ein Porfolioprozess π T mi π A x, sodass der zugehörige Vermögensprozess V π x die folgende Gleichhei erfüll V π x T = ξ P f. s. Beweis: Zu : Im Falle des Geldmarkkonos als Numéraire-Finanzgu ensprich dieser Saz dem Theorem 2.63 in [KK]. Somi können wir die Ergebnisse für N = β übernehmen und für den Fall, dass N = S n+ erweiern. Der Porfolioprozess π sei selbsfinanzierend und zulässig für ein Anfangskapial x. Weier sei P das äquivalene Maringalmaß bezüglich des Geldmarkkonos β als 24

2. Grundlagen Numéraire mi dp dp F = L. Dami definieren wir einen Prozess H durch H := L β. Für diesen Prozess gil nach dem Theorem 2.63 in [KK] mi β =, dass βe[h V π x ] x. Es sei P ein weieres äquivalenes Maringalmaß bezüglich S n+ als Numéraire mi dp F = L. Dazu definieren wir einen weieren Prozess H durch dp H := L S n+. Als Nächses besimmen wir den Dichequoienenprozess von dem Maß P bezüglich P. Da S n+ β definier werden 2 ein Maringal bezüglich P is, kann der Dichequoienenprozess wie folg dp dp := S n+ := R F β S n+ Weil P zu P und P zu P äquivalen sind, is das Maß P zu P äquivalen. Es bleib zu S zeigen, dass i S n+ für i =,..., n und β S n+ Maringale bezüglich P sind. Der Saz von Bayes 22 implizier, dass M genau dann ein P -Maringal is, wenn MR ein P -Maringal is. Deshalb berachen wir die folgenden Prozesse: S i S n+ R = β S n+ R = S i S n+ Sn+ β β S n+ Sn+ β S n+ = S i β S n+, S n+ = S n+. S Die oberen Gleichungen zeigen, dass die Prozesse i S n+ R und β bezüglich P sind. Somi folg die Maringaleigenschaf der Prozesse uner dem Maß P. S n+ R Maringale S i S n+ und β S n+ 2 Vergleiche [Pau2]. 22 Siehe [Bjö3], S.44 Proposiion B4 und [KS9], Lemma 5.3. 25

2 Einführung in die Porfolioopimierung Jez kann der Erwarungswer E[H V π x ] mi dem Saz von Bayes wie folg umgeform werden [ L E[H Vx π ] = E β V π [ V π = E x β ] [ V x = E π βs n+ S n+ = S n+ E[HV π x ], x β ] [ ] V = E π x R β R [ V π x S n+ ] =S n+ E [ V π = E ] =S n+ E ] x β R [L V x π S n+ wobei E [ ] den Erwarungswer bezüglich P und E[ ] den Erwarungswer bezüglich P bezeichnen. Dami läss sich die obere Ungleichung wie folg umformen: ] S n+ E[HV π x ] x. Insgesam ergib sich für den Prozess H mi H := dp dp F N, wobei P nun das äquivalene Maringalmaß bezüglich des Numeraires N is, die folgende Ungleichung: NE[HV π x ] x. Zu 2: Es sei eine nichnegaive F T -messbare Zufallsvariable ξ gegeben. Diese Zufallsvariable ξ kann als ein Claim aufgefass werden. Da das berachee Finanzmarkmodell vollsändig is und das äquivalene Maringalmaß exisier, gib es einen selbsfinanzierenden und zulässigen Porfolioprozess π, sodass zugehörige Vermögensprozess zum Zeipunk T dem Wer des Claims ensprich 23, d. h. es gil V π T = ξ. Insbesondere is der arbiragefreie Anfangspreis für ξ wie folg gegeben [ V V π = NE π ] T = NE[HT ξ]. NT Dabei bezeichne P das äquivalene Maringalmaß bezüglich des Numéraires N und der Prozess H is durch H := dp dp F N definier. Es sei x := V π. Somi exisier für jede nichnegaive F T -messbare Zufallsvariable ξ mi x = NE [ HT ξ ] <, ein selbsfinanzierender und zum Anfangskapial von x zulässiger Porfolioprozess π, sodass V π x T = ξ gil. 23 Siehe [Pau3]. 26

2. Grundlagen Die Implikaion vom Teil dieses Sazes is, dass zum Erreichen eines besimmen Endvermögens ξ in = T das Anfangsvermögen in Höhe von mindesens E[HT ξ]n erforderlich is. Der Teil 2 dieses Sazes besag, dass jedes erwünsche Endvermögen ξ in = T durch das Handeln ensprechend einem selbsfinanzierenden, zulässigen Porfolioprozess π realisier werden kann. Es muss jedoch genügend Anfangskapial eingesez werden. Nuzenfunkion Jeder Invesor ha eine individuelle Einsellung zum Risiko. Außerdem wird der Wer eines Geldberages von jedem unerschiedlich empfunden. Deshalb wird eine Nuzenfunkion eingeführ, durch welche die Präferenzen des Invesors bei der Enscheidungsfindung modellier werden. Definiion 2.7. Eine Funkion U :, R wird als Nuzenfunkion bezeichne, falls sie sreng monoon seigend, sreng konkav sowie seig differenzierbar is und zudem die sogenannen Inada-Bedingungen erfüll: U + := lim x U x = +, U := lim x U x =. Ein Invesor mi einer solchen Nuzenfunkion wird immer ein höheres Level x z. B. vom Endvermögen gegenüber einem niedrigeren bevorzugen. Jedoch sein zusäzlicher Nuzen wird mi jeder weieren Einhei von x abnehmen. Schließlich, wenn x bereis sehr groß is, wird jeder weieren Einhei davon kein Nuzen mehr beigemessen. Dagegen bei einem sehr kleinen x wird jede zusäzliche Einhei einen sehr großen Nuzenzuwachs bewirken. Hier sind einige Beispiele solcher Nuzenfunkionen: Logarihmische Nuzenfunkion: Ux = logx, x,. Poenz-Nuzenfunkion: Ux = xp p, x,, p,. Exponenielle Nuzenfunkion: Ux = exp px p. x,, p,. 27

2 Einführung in die Porfolioopimierung 2.2 Formulierung des Meronproblems Es sei das Finanzmarkmodell aus dem Abschni 2. vorausgesez. In diesem Modell wird ein Invesor berache, der zum Zeipunk = ein besimmes Anfangskapial x > besiz und seinen erwareen Nuzen aus dem Endvermögen zum Planungshorizon T ˆT maximieren möche. Des Weieren sei angenommen, dass seine Präferenzen durch eine Nuzenfunkion U ensprechend der Definiion 2.7 beschrieben sind. Das Opimierungsproblem lieg somi in der Besimmung eines opimalen Porfolioprozesses, der seinen erwareen Nuzen aus dem Endvermögen maximier. Dieses Problem der Porfolioopimierung wird als Meronproblem bezeichne. Dabei is zu berücksichigen, dass die seige Änderung der Preise von Finanzgüern in der Zei eine koninuierliche Anpassung des Porfolioprozesses erforder. Somi handel es sich um ein dynamisches Opimierungsproblem. Im Folgenden wird das Meronproblem mahemaisch formulier: Meronproblem Finde einen selbsfinanzierenden Porfolioprozess π, welcher für ein vorgegebenes Anfangskapial x > zulässig is und den erwareen Nuzen aus dem Endvermögen zum Planungshorizon T ˆT maximier: Jx := sup E [ U Vx π T ], π Ax Ax = { π A x; E [ U V π x T ] < }. Dabei bezeichne y mi y := max{ y, } den negaiven Teil von y. 2.3 Maringalmehode zur Lösung des Meronproblems 2.3. Darsellung der Mehode In diesem Abschni wird die Maringalmehode zur Lösung des Meronproblems vorgesell. Die grundlegende Idee dieser Mehode beseh in der Aufeilung dieses zeilich dynamischen Opimierungsproblems in ein saisches Opimierungsproblem und in ein Darsellungsproblem. Wir beginnen mi der Erläuerung der Transformaion von einem dynamischen zu einem saischen Opimierungsproblem. Das Endvermögen läss sich als ein Claim auffassen. Somi garanier die Vollsändigkei des Finanzmarkmodells die Exisenz eines replizierenden Porfolioprozesses für das Endvermögen. Diese fundamenale Überlegung wurde in dem Saz 2.6 fesgehalen. Im Konkreen ha dieser Saz die folgende Aussage: Es sei ein feses Anfangskapial x > 28

2.3 Maringalmehode zur Lösung des Meronproblems vorgegeben. Für ein Endvermögen X uner der Voraussezung x = E[HT X] < N exisier ein Porfolioprozess, sodass der erzeuge Vermögensprozess zum Planungshorizon T dem Endvermögen in Höhe von X ensprich, d. h. es gil V π x T = X P f. s. Außerdem is dieser Porfolioprozess selbsfinanzierend und zulässig für das vorgegebene Anfangskapial. In diesem Zusammenhang is ensprechend dem ersen Teil des Sazes 2.6 anzumerken, dass zum Erreichen des gewünschen Endvermögens X das Anfangsvermögen mindesens den Wer NE[HT X] beragen solle. Insgesam folg, dass die Maximierung des erwareen Nuzens über Porfolioprozessen, zunächs durch die Maximierung über Endvermögen X ersez werden kann. Dies führ zu einem saischen Opimierungsproblem mi folgender Formulierung: Saisches Opimierungsproblem Bx = { sup E[UX], X Bx x,, X; X, X F T messbar, E [ U X ] <, NE[HT X] x }. Dami die Lösung des dynamischen Opimierungsproblems vollende wird, solle im nächsen Schri ein replizierender Porfolioprozess für das opimale Endvermögen besimm werden. Dieses Problem wird als ein Darsellungsproblem bezeichne und wird im Folgenden genauer formulier. Das opimale Endvermögen X is ein replizierbarer Claim, d. h. es exisier ein progressiv messbarer, selbsfinanzierender und zum x > zulässiger, R n+ -weriger Prozess ϕ mi 24 T ϕ d < und T ϕ i S i 2 d < P f. s., 2.2 sodass gil [ ] X E NT F = x N + Si u ϕ i u d, Nu für das äquivalene Maringalmaß P bezüglich des Numéraires N mi dem Erwarungs- 24 Siehe [Pau3]. 29

2 Einführung in die Porfolioopimierung wer E [ ]. Dabei is der zugehörige diskoniere Vermögensprozess dargesell durch Vx ϕ [ ] X N = E NT F, 2.3 wobei insbesondere V ϕ x T = X P f. s. gil. Der Prozess ϕ wird als eine selbsfinanzierende, zulässige Handelssraegie bezeichne. Der Wer ϕ i für i =,..., n gib die Anzahl an Aneilen im risikobehafeen Finanzgu S i an, welche der Invesor zum Zeipunk halen soll, dami er zum Planungshorizon T das opimale Endvermögen X erreich. Wobei der Res des Vermögens ses in das Numéraire-Finanzgu invesier wird. Sein Aneil wird mi ϕ bezeichne. Der Porfolioprozess π wird hingegen in Geldeinheien noier. Daher geh der Porfolioprozess aus der Handelssraegie ϕ wie folg hervor: π i = ϕ i S i, für i =,..., n, π = V π x π i. Aus diesen Überlegungen heraus wird nun das Darsellungsproblem formulier. Darsellungsproblem Gesuch is ein progressiv messbarer, selbsfinanzierender und zum x > zulässiger, R n+ - weriger Prozess ϕ mi der Eigenschaf 2.2, der die folgende Gleichhei erfüll [ ] X E NT F = x N + Si u ϕ i u d, 2.4 Nu wobei E [ ] den Erwarungswer bezüglich des äquivalenen Maringalmaßes P zum Numéraire N bezeichne. Der Porfolioprozess π ergib sich aus der Darsellung des Prozesses ϕ durch: π i = ϕ i S i, für i =,..., n, π = V π x Lösung des saischen Opimierungsproblems π i. 2.5 Zur Lösung des saischen Opimierungsproblems wird die Lagrange-Mehode angewand. Dadurch ergib sich, dass die Lösung von der Form 25 X = IλHT 25 Siehe [KS98], S.2. 3