Arnod Sommerfed Center Ludwig Maximiians Universität München Prof. Dr. Viatchesav Muhanov Sommersemester 0 Übungen zu Theoretischer Mechani T) Übungsbatt 7, Besprechung ab.05.0 Aufgabe 7. Gedämpfter harmonischer Osziator Betrachten Sie einen gedämpften, harmonischen Osziator mit Masse m. Die Eigenfrequenz des ungedämpften Osziators sei ω 0 und die Dämpfungsonstante sei κ. Die Bewegungsgeichung autet ẍ + κẋ + ω 0x = 0 ) iii) Lösen Sie die Bewegungsgeichung ) für den Fa ω 0 > κ mit den Anfangsbedingungen x0) = x 0 und ẋ0) = v 0 über den Standardansatz xt) = expλt). Ermitten sie die für den Fa ω 0 = κ as Grenzfa von. Sei nun ω 0 = κ. Berechnen Sie für den Fa x 0 = 0 den Zeitpunt t, bei dem die maximae Ausenung, aso der Umehrpunt, erreicht wird. Mit dem Ansatz xt) = expλt) erhaten wir das charateristische Poynom der Differentiageichung ): λ + κλ + ω0 = 0, λ ± = κ ± i ω0 κ ) Mit ω = ω0 κ erhaten wir ein Fundamentasystem für die en der Bewegungsgeichung: {exp κt + iωt), exp κt iωt)} oder aternativ {e κt sin ωt, e κt cos ωt} 3) Die agemeine ist daher xt) = e κt c sin ωt + c cos ωt), ) ẋt) = e κt ωc κc ) sin ωt + ωc κc ) cos ωt) 5) Die Anfangsbedingungen iefern c = ω v 0 + κx 0 ), c = x 0 6) Im Fa ω 0 = κ ist ω = 0 und damit die beiden en aus nicht mehr inear unabhängig. Da λ = κ nun doppete Nustee des charateristischen Poynoms ist, erhaten wir as ein Fundamentasystem: {e κt, te κt } Die agemeine ist daher xt) = c t + c )e κt, 7) ẋt) = c c κt c κ)e κt ) Die Anfangsbedingungen iefern erneut c = v 0 + κx 0 ), c = x 0 9)
Diese ergibt sich auch durch Grenzwertbetrachtung. Für ω 0 git Satz von Hôpita!) sin ωt im = t, im cos ωt = ω 0 ω ω 0 Damit erhaten wir mit der aus Tei diret ) v0 + κx 0 im xt) = im ω 0 ω 0 e κt sin ωt + x 0 cos ωt = e κt v 0 + κx 0 )t + x 0 ) 0) ω iii) Sei nun x 0 = 0. Am Umehrpunt bei t ist ein oaes Maximum, so dass git: 0 = ẋt ) = v 0 v 0 κt )e κt ) t = κ ) Aufgabe 7. Erzwungene Schwingung Der gedämpfte, harmonische Osziator aus Aufgabe 7.. werde nun von einer Kraft F t) = F cos ωt 3) angetrieben. Finden Sie die agemeine xt) und betrachten Sie den Fa später Zeiten. Sizzieren Sie die Abhängigeit der Ampitude der erzwungenen Schwingung von der Frequenz ω für eine Dämpfung, ω 0 und stare Dämpfung. iii) Disutieren Sie die Ampitude und die Phasenverschiebung für schwache Dämpfung und ω ω 0. Die Differentiageichung für die erzwungene Schwingung autet in Erweiterung von Geichung um die äußere Kraft F t) ẍ + x + ω0x = F cos ωt ) m Die agemeine setzt sich zusammen aus der agemeinen der homogenen Geichung aus Aufgabe 7.. und einer partiuären xt) = x hom t) }{{} e t +x partt) t x part t) 5) Da die homogene stets einen exponentie abfaenden Fator enthät, spiet sie im eingeschwungenen Zustand aso für große Zeiten t eine Roe mehr. Wir müssen noch eine partiuäre finden. Auf Grund der Linearität der Differentiageichung ) git das Superpositionsprinzip und wir önnen sie zur einfacheren in eine äquivaente Differentiageichung für ompexe xt) umwanden. Da F t) = F cos ωt = RF e i ωt ), 6) git für jede ompexe) der "ompexifizierten"differentiageichung ẍ + x + ω 0x = F m ei ωt 7) dass Rxt)) eine der ursprüngichen Differentiageichung ist.wir erwarten, dass durch den Antrieb eine Schwingung mit der Frequenz der äußeren Kraft induziert wird. Der Osziator wird der äußeren Kraft fogen, es ann aber eine Phasenverschiebung auftreten. Wir machen daher für die partiuäre von ) Ansatz
x t) = ae i ωt φ ) ) Einsetzen in ) iefert a ω + i ω + ω 0)e i ωt φ) = F m ei ωt 9) ω 0 ω + i ω = F am eiφ. 0) Auf der rechten bzw. inen Seite dieser etzten Geichung steht jeweis eine ompexe Zah in artesischer Darsteung bzw. in Poardarsteung. Die beiden Zahen sind geich, wenn ihre Beträge und ihre Imaginärteie geich sind, aso ω 0 ω ) + ω = F Daraus erhaten wir für die Ampitude a und Phase φ unserer a = a m ) ω = F sin φ ) am F m ω 0 ω ) + ω 3) tan φ = ω ω 0 ω ) Mit diesen Parametern ist die erzwungene Schwingung as von ) gegeben durch xt) = Rx t)) = Rae i ωt φ) ) = a cos ωt φ) 5) vt) = ẋt) = a ω sin ωt φ) 6) Für sehr große ω fät die Ampitude in beiden Fäen wie / ω ab. Für schwache Dämpfung dominiert für eine Frequenzen der Term ω 0 ω) Abb. a)). Für stare Dämpfung wird die Ampitude durch ω bestimmt Abb. b)).
0.5.0.5.0 a a0) 5.0 a a0) 0. 3 0.6 0. 0 0.5.0.5.0 0 iii) Wir schreiben die treibende Frequenz as ω = ω + ɛ, mit ɛ. Mit ω 0 haben wir ω ω 0 ω 0 ɛ. Damit ergeben sich Ampitude und Frequenz zu a = F m ω 0 ɛ + 7) tan φ = ɛ ) Da die Phasenverschiebung stetig sein muss, sehen wir aus G. ), dass 0 φ π, d.h. die erzwungene Schwingung fogt immer der treibenden Schwingung hinterher. In Resonanz ist die Phasenverschiebung genau π/ und für sehr große ω nähert sie sich schne an π. Aufgabe 7.3 Nichtineare Schwingungen Ein System mit einem Freiheitsgrad xt) führt nichtineare Schwingungen aus und genügt der Geichung ẍ + ω 0x = αx 5 9) Die Anfangsbedingung sei x0) = x 0 und ẋ0) = 0. Berechnen Sie die Änderung ω = ω ω 0 der Frequenz in führender Ordnung mittes Störungstheorie. Für weche Werte von α, ω 0 und x 0 ist eine Anwendung der Störungstheorie sinnvo? Für die Geichung 9) betrachten wir α as den einen Parameter und benutzen den Ansatz φ ωt, ω ω 0 + αω, xφ) = x 0 cos φ + αx φ) 30) Dieser Ansatz genügt den Anfangsbedingungen x0) = x 0 und ẋ0) = d x dt Ansatz und die Identität cos 5 φ = eiφ + e iφ ) 5 5 = = ω d x dφ cos5φ) + 5 cos3φ) + 0 cos φ 6 = 0. Wenn wir diesen
benutzen um x 5 zu ermitten), beommen wir für die Terme erster Ordnung in α, im Fogenden ohne α notiert) die Geichung x φ) + x φ) = ω x 0 cos φ 5 ω 0 ω0 x 5 0 cos φ +... Wir argumentieren nun, dass die Terme mit cos φ auf der rechten Seite verschwinden müssen, da die ine Seite nicht proportiona zu cos φ sein darf. Dies ergibt sich aus den Anfangsbedingungen: x 0 = xφ = 0) = x 0 cosφ = 0) + αx φ = 0) mit der Foge x φ = 0) = 0. Dann ann x φ) aber nicht proportiona zu cos φ sein; geiches git deshab für x φ) denn die zweite Abeitung des Cosinus wäre wieder ein Cosinus). Dann ann die Summe auf der inen Seite fogich insgesamt nicht proportiona zu cos φ sein und die Terme mit cos φ müssen auf der rechten Seite verschwinden. Die Bedingung für ω ist deshab nach Ausammern von cos φ: Damit Die Störungstheorie ist gütig, wenn ω ω 0. Aso ω x 0 = 5 ω 0 ω0 x 5 0 ω = 5 6 Aufgabe 7. Getriebenes Pende mit Reibung x 0 x 0 ω 0 3) ω = ω ω 0 α 5 3) 6 ω 0 αx 0 ω 0 33) Ein mathematisches Pende Masse m, Länge ) ist in eine Füssigeit eingetaucht. Es wire das Erdschwerefed und die Reibungsraft F = α v, wobei v der Geschwindigeitsvetor ist. Die Archimedische Auftriebsraft ist zu vernachässigen. Der Aufhängepunt ist unbewegich. Sämtiche Bewegung sei nur in der vertiaen Ebene mögich. Verwenden Sie die harmonische Näherung. Bestimmen Sie die Bewegungsgeichung für ineare Schwingungen. Wähen Sie den Ausenungswine φt) as veragemeinerte Koordinate.) Zusätzich wird nun der Aufhängepunt getrieben, so dass seine x-koordinate eine festgeegte Bewegung xt) = x 0 cos ωt ausführt, wobei ω gegebene Frequenz ist. Berechnen Sie φt) für späte Zeiten. Wir bestimmen zuerst die Lagrangefuntion, um die Bewegungsgeichungen ohne Reibung herzueiten. Anschießend schreiben wir noch die Reibungsraft in die Geichungen dazu. Wenn die Geichungen ohne Reibung in der Form mẍ =..., m z =... 3) sind, dann addieren wir einfach F x, F z etc., auf der rechten Seite der Geichungen. Die Reibung ann zwar mit Lagrangefuntion nicht physiaisch beschrieben werden, die Geichungen ohne Reibung sind aber einfacher aus der Lagrangefuntion zu gewinnen. As Freiheitsgrad haben wir nun φt). Die Lagrangefuntion ist L = m φ + mg cos φ = m φ mg φ + Oφ ) 35) Die ineare) Bewegungsgeichung ist φ = g φ 36) Nun müssen wir die artesischen Koordinaten der Geschwindigeit und der Bescheunigung bestimmen, um die Reibungsraft schreiben zu önnen. Da x = sin φ φ, z = cos φ + φ, 37)
haben wir ẋ φ, ẍ φ, ż φ φ, z = φ + φ φ 3) Da nur die inearen Terme der Kraft zu berücsichtigen sind, önnen wir ż und z vernachässigen! Die Reibungsraft hat aso näherungsweise) nur die x-komponente, F x = αẋ = α φ. Die Geichung für die x-komponente ist aso Dieses ergibt mẍ = m φ = mgφ α φ 39) φ + λ φ + ω 0φ = 0, λ α g m, ω 0 0) Da die Bewegung des Aufhängepuntes in artesischen Koordinaten gegeben ist müssen wir die Bewegung des Pende ebenfas in artesischen Koordinaten ausdrücen jetzt schon in der harmonischen Näherung): xt) = x 0 cos ωt + φ, zt) = + φ ) Die Lagrangefuntion die das System ohne Reibung beschreibt) ist L = m ẋ + ż ) mgz = m φ x 0 φω sin ωt ) mgφ + Ct), ) wobei die expizite Zeitfuntion Ct) für die Bewegungsgeichungen ohne Bedeutung ist. Die Bewegungsgeichung ohne Reibung ist Oder mx 0 ω cos ωt + m φ = mgφ 3) φ = g φ + x 0 ω cos ωt ) Diese ist die Bewegungsgeichung ohne Reibung. Wir müssen jetzt die Komponenten ẍ und z berechnen. Wie in Tei a), önnen wir z vernachässigen. Daher ẋ = ωx 0 sin ωt + φ 5) Ohne Reibung hätten wir aso für ẍ die Bewegungsgeichung ẍ = ω x 0 cos ωt + φ 6) Die voständige Bewegungsgeichung für ẍ ist deshab ẍ = gφ 7) ẍ = gφ + F x m = m gφ m αẋ = gφ + α m ωx 0 sin ωt α m φ ) Aso ist die voständige Bewegungsgeichung für φ φ + α m φ + g φ = α m ωx 0 sin ωt + x 0 ω cos ωt 9) Die Bewegung φ für späte Zeiten berechnen wir wie fogt. Der Ansatz für φ ist φt) = R [ Ae st + Be iωt] 50)
Dabei ist s ompex und beschreibt die freie, und A, B sind ompexe Konstanten. Die freie geht bei späten Zeiten aufgrund der Dämpfung auf Nu, da Rs) < 0 ist. s + α m s + g = 0, s = α m ± i...) 5) Aso ist die Konstante A, die von Anfangsbedingungen abhängt, für die zu späten Zeiten ohne Bedeutung. Wir önnen aso A = 0 setzen. Nur die Konstante B beibt zu bestimmen. Einsetzen des Ansatzes für φt) iefert Die ist B = x 0 [ R B ω + α ) m iω + ω 0 e iωt] [ x0 = R ω i α ) m ωx 0 e iωt] 5) ω i αω m ω 0 ω + i αω m = x 0 ω 0 ω 0 ω + i αω m ) = x 0 ω 0 ω0 ω i αω m ) ) ω0 ω ) + αω m ) 53) Aso ist die zu späten Zeiten φt) = x 0 [ ω0ω 0 ω ) ) ω0 ω ) + αω cos ωt + m ) ω 0 αω m ω0 ω ) + αω sin ωt m ) ] 5) Aufgabe 7.5 Geoppete Pende: drei Moden Optionae Aufgabe) An drei starren masseosen) Stangen der Länge sei jeweis eine Masse m bzw. m befestigt. Die drei Pende seien über zwei Federn Federonstante ) geoppet siehe Abb. ). Die Federn befinden sich genau in der Mitte zwischen der Aufhängung der Pende und den Massen. Der Abstand zwischen den Aufhängungen der Pende entspricht genau den Ruheängen der Federn. Die gesamte Anordnung befinde sich in einem homogenen Schwerefed. Geben Sie die Lagrange-Funtion des Systems an. Beschränen Sie sich dabei auf den Fa, dass die Pende nur wenig aus der Vertiaen ausgeent werden, d.h. führen Sie bereits auf dem Niveau der Lagrange-Funtion eine harmonische Näherung durch. Hinweis: Benutzen Sie artesische Koordinaten. Leiten Sie für den in betrachteten Fa die Bewegungsgeichungen der Massen ab und geben Sie die Eigenfrequenzen und Eigenmoden des Systems an. Abbidung : Geoppete Pende Wir benutzen as Koordinaten die x-koordinaten der drei Massen, bzw. genauer gesagt, die Ausenung aus der vertiaen Ruheage x, x, x 3. Die Lagrange-Funtion in harmonischer Näherung ist wie fogt herzueiten. Zunächst die inetische Energie: E = m ẋ + ẋ + ẋ ) 3.
Dann die potentiee Energie in den Federn: E F = x x ) + x x 3 ) + Ox 3 i ) Die Fatoren / in den Ausenungen ergeben sich dadurch, dass die Federn auf haber Höhe befestigt sind. Die potentiee Energie im Schwerefed: die Höhe h eines Massenpuntes bei Ausenung x ist geich h = x = x + Ox3 ). Aso L = E E F mgh +h +h 3 ) = m Die Bewegungsgeichungen sind dann ẋ + ẋ + ẋ 3) x x ) + x x 3 ) mẍ = x x ) mg x mẍ = x x + x 3 ) mg x mẍ 3 = x 3 x ) mg x 3 In Matrixform: m r = Â r = q 0 q x x, 0 q x 3 Berechnen wir nun die Eigenwerte dieser Matrix: q λ 0 0 = det q λ 0 q λ ) [ ) ] = + q + λ + q + λ + [ 3 ) [ ) = + q + λ λ + λ + q + q + q ] Eine ist λ = q. Die anderen sind q mg. )] + q + λ mg x + x + x 3. λ,3 = q ±, λ = q, λ 3 = q. Die zugehörigen Eigenvetoren auten: λ = q, h = 0 λ = q, h = λ 3 = q, h3 = Eigenmoden: a) Mittere Masse ruht, die anderen schwingen gegeneinander; ω = m + g. b) Ae Massen schwingen miteinander; die Federn sind ohne Spannung. ω = g wie bei einem einfachen Pende. Diese Mode hat die einste Frequenz, da die Federn inativ beiben. c) Die mittere Masse schwingt entgegen den anderen mit geicher Ampitude; ω 3 = m + g. Diese Mode hat die größte Frequenz, da die Federn maxima ativ sind.