Geometrische Wahrscheilichkeite für ichtkovexe Testelemete Dissertatio zur Erlagug des akademische Grades Dr. rer. at. FerUiversität i Hage Fakultät für Mathematik ud Iformatik vorgelegt vo Dr.-Ig. Uwe Bäsel Jauar 28
1. Gutachter: Prof. Dr. Adrei Duma Hage) 2. Gutachter: Prof. Dr. Marius I. Stoka Turi) Tag der müdliche Prüfug: 31. März 28
Ihaltsverzeichis Eileitug iii 1 Grudlage 1 1.1 Wahrscheilichkeitstheoretische Grudlage.............. 1 1.2 Kiematische Dichte ud kiematisches Maß.............. 2 1.3 Kovexe geometrische Objekte...................... 6 1.4 Zwei kovexe Objekte.......................... 1 2 Sterförmige Testelemete 13 2.1 Testelemete ud Gitter......................... 13 2.2 Schittwahrscheilichkeite....................... 14 2.2.1 Wahrscheilichkeit für midestes eie Schittpukt..... 14 2.2.2 Wahrscheilichkeite für geau i Schittpukte........ 14 2.2.3 Erwartugswerte ud Variaze................. 18 2.2.4 Spezialfälle............................ 2 2.2.5 Wahrscheilichkeite für große................ 2 2.2.6 Verteilugsfuktioe ud Momete.............. 23 2.3 Bedigte Wahrscheilichkeite...................... 31 2.3.1 Bedigte Wahrscheilichkeit für i Schittpukte........ 31 2.3.2 Bedigte Erwartugswerte ud Variaze........... 32 2.3.3 Bedigte Verteilugsfuktioe................. 33 2.4 Simulatio................................. 35 3 Gitterförmige Testelemete 39 3.1 Geometrische Wahrscheilichkeite................... 39 3.2 Simulatio................................. 45 3.3 Verteilugsfuktioe........................... 47 4 Gelekige Testelemete ud kovexe Hülle 53 4.1 Testelemete............................... 53 4.2 Schittwahrscheilichkeit p........................ 54 4.3 Testelemete mit zwei Teilelemete.................. 56 4.4 Testelemete mit drei Teilelemete................... 6 4.4.1 Theorie.............................. 6 4.4.2 Beispiel: Dreigliedrige Kette................... 63 i
ii INHALTSVERZEICHNIS 4.5 Testelemete mit mehr als drei Teilelemete............. 71 4.6 Erwartugswerte............................. 71 5 Gelekadel auf Rechteckgitter 73 5.1 Eileitug................................. 73 5.2 Wahrscheilichkeit für midestes eie Schitt............ 74 5.3 Schlussfolgeruge............................ 77 5.4 Erwartugswert für die Azahl der Schittpukte........... 77 5.5 Simulatio................................. 78 6 Nadelbüschel 81 6.1 Testelemete............................... 81 6.2 Wahrscheilichkeite für geau i Schittpukte............ 82 6.3 Erwartugswerte ud Variaze..................... 85 6.4 Spezialfälle................................ 87 6.5 Verteilugsfuktioe ud Momete.................. 9 6.6 Kovexe Hülle der Testelemete.................... 94 6.7 Nadelbüschel mit uterschiedlich lage Nadel............ 95 6.8 Simulatio................................. 99 7 Dreigliedrige Kette 11 7.1 Testelemete ud Theorie........................ 11 7.2 Berechuge............................... 19 7.3 Simulatio................................. 112 A Simulatiosprogramme 115 A.1 Nadelster auf Parallelegitter...................... 115 A.2 Gitterelemet auf Parallelegitter.................... 118 A.3 Gelekadel auf Rechteckgitter..................... 121 A.4 Nadelbüschel auf Parallelegitter.................... 123 A.5 Dreigliedrige Kette auf Parallelegitter................. 125 Literaturverzeichis 127
Eileitug Die Theorie der geometrische Wahrscheilichkeite utersucht Wahrscheilichkeite für geometrische Objekte, die i der Ebee oder i eiem geeigete adere euklidische Raum zufällig positioiert werde. Ihre Ursprüge hat diese Diszipli i dem berühmte Buffosche Nadelproblem. Dieses wurde vo Georges- Louis Leclerc, Comte de Buffo 177-1788) formuliert ud 1777 i seiem Essai d Arithmétique Morale gelöst [1], [15], [3]. Bei diesem Problem wird ach der Wahrscheilichkeit gefragt, dass eie Nadel, die auf ei ebees Gitter paralleler Gerade falle gelasse wird, eie dieser Gerade scheidet. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Läge der Nadel kleier als der Abstad beachbarter Gerade ist. Eie erste Erweiterug des Nadelproblems erfolgte 1812 durch Pierre Simo de Laplace, der es für ebee Rechteckgitter betrachtete. Geometrische Wahrscheilichkeite köe vo zwei grudlegede Stadpukte aus betrachtet ud behadelt werde: Der erste ist der itegralgeometrische Stadpukt, der auf Crofto zurückgeht ud vo Blaschke [7] ud seie Schüler zu eier eigestädige Diszipli ausgebaut wurde. Der zweite Stadpukt ist die auf Bertrad [6] zurückgehede Awedug vo Methode der Wahrscheilichkeitsrechug ud -theorie zur Utersuchug vo geometrische Wahrscheilichkeite. Die historische Etwicklug wird i dem schöe Übersichtsartikel [3] dargestellt. Wichtige Werke zu Itegralgeometrie ud geometrische Wahrscheilichkeite sid die Moographie vo Czuber [1], Kedall ud Mora [22], Sataló [29], Solomo [31] ud Mathai [25]. I euerer Zeit wird das Gebiet der geometrische Wahrscheilichkeite wesetlich durch die Arbeite vo Duma ud Stoka bereichert z. B. [12], [13], [14], [16], [17], [18], [32] ud [33]). Eie iteressate ud prägate Überblick über diese Forschuge bietet [15]. I der vorliegede Arbeit werde geometrische Wahrscheilichkeite für ichtkovexe Testelemete ud ebee Parallele- ud Rechteckgitter utersucht. Auf Grud ihrer Nichtkovexität köe alle Testelemete eie Gerade des jeweilige Gitters mehrfach scheide. Die Kapitel 2 ud 3 habe ster- ud gitterförmige Testelemete, die aus mehrere Nadel bzw. Strecke bestehe, zum Gegestad. Die Gestalt dieser Testelemete ist uveräderlich. Es werde die Wahrscheilichkeite ud Verteilugsfuktioe für die Azahl der Schittpukte zwische Testelemet ud Parallelegitter iii
iv EINLEITUNG berechet ud die Grezverteiluge für Nadelazahl agegebe. Die Kapitel 4 bis 7 sid Testelemete gewidmet, die aus gelekig miteiader verbudee Teilelemete Glieder) bestehe ud demzufolge veräderliche Gestalt besitze. I Kapitel 4 wird eie allgemeie Theorie für derartige Testelemete etwickelt ud auf zwei- ud dreigliedrige Testelemete agewedet. Geometrische Wahrscheilichkeite für Rechteckgitter ud Testelemete, die aus zwei gelekig miteiader verbudee Nadel bestehe, werde i Kapitel 5 betrachtet. I sechste Kapitel stellt sich heraus, dass die dort utersuchte Nadelbüschel bei gleichem Verhältis vo Nadelläge zu Gitterabstad die gleiche Grezverteilug für Nadelazahl wie die sterförmige Testelemete aufweise. Dreigliedrige Nadelkette mit verschiede lage Nadel fugiere im siebete Kapitel als Testobjekte. Hier wird aber ei völlig aderer Zugag zur Berechug der Schittwahrscheilichkeite als im vierte Kapitel etwickelt ud agewedet. I der vorliegede Arbeit wird weder de itegralgeometrische och de wahrscheilichkeitstheoretische Methode der Vorzug gegebe. Vielmehr fide beide Betrachtugsweise Awedug, je achdem mit welcher ma scheller ud durchsichtiger die gestellte Aufgabe bewältige ka. Sämtliche Probleme wurde mittels computergestützter Zufallsexperimete simuliert. Die Ergebisse der Simulatioe sid i de eizele Kapitel zu fide, die Quellcodes der Programme i de Alage. Numerische Berechuge, wo erforderlich, wurde mittels Mathematica durchgeführt. Mathematica wurde ebefalls für die Erstellug der Diagramme verwedet. Für die Aregug zur Beschäftigug mit dem iteressate ud schöe Gebiet der geometrische Wahrscheilichkeite, für seie Uterstützug ud die wertvolle Hiweise möchte ich mich hiermit gaz herzlich bei Herr Prof. Dr. A. Duma bedake. Herr Prof. Dr. Marius I. Stoka gilt mei besoderer Dak für sei Iteresse a der vorliegede Arbeit ud die Überahme des Koreferates. Für iteressate fachliche Diskussioe dake ich Herr Dr. Roger Böttcher Ludwigshafe) ud Herr Prof. Dr. L. Heirich Augsburg). Nicht zuletzt dake ich meier Lebesparteri Caria für die moralische ud all)täglich-praktische Uterstützug.
Kapitel 1 Grudlage 1.1 Wahrscheilichkeitstheoretische Grudlage Für wahrscheilichkeitstheoretische Utersuchuge siehe z.b. [26]) ist der Begriff des Maßes vo grudlegeder Bedeutug. Für eie Grudmege Ω ud ei Megesystem K über Ω heißt eie Abbildug µ : K R mit R = R {+ } { } ei Maß auf K, we gilt: i) µ ) =, ii) µa) für alle A K, iii) für jede Folge A N) paarweise disjukter Mege aus K mit =1 A K ist µ N A ) = N µa ) σ-additivität). We das Megesystem speziell eie σ-algebra A ist, so wird das Tripel Ω, A, µ) ei Maßraum geat. Ei System A vo Teilmege eier Mege Ω heißt σ-algebra, we für jede Mege A A = A c A gilt, wobei A c die komplemetäre Mege vo A ist, ud für jede Folge A N) vo Mege aus A auch N A i A liegt. Für Ω := R ud de Halbrig I der rechts halboffee Itervalle i R heißt die vo I erzeugte σ-algebra B := σi ) die Borelsche σ-algebra über R ). Der durch µ[a, b)) = i=1 b i a i ), a, b R, a i b i, defiierte Ihalt ka zu eiem eideutig bestimmte Maß auf B fortgesetzt werde. Dieses Maß wird als Borel-Lebesgue-Maß λ auf B bezeichet. Ω, A, µ) = R, B, λ ) ist der geeigete Maßraum zur Utersuchug geometrischer Wahrscheilichkeite. Hierbei ist die Azahl der Parameter, die die Lage des jeweilige geometrische Objektes beschreibe. Ω := R wird achfolged als Parameterraum bezeichet. Eie Wahrscheilichkeitsraum ist ei Maßraum, der zusätzlich die Eigeschaft PΩ) = 1 besitzt. 1
2 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 1.2 Kiematische Dichte ud kiematisches Maß Seie x 1, x 2,...,x die Parameter zur Beschreibug der Lage eies starre geometrische Objektes d. h. x 1, x 2,..., x ) ei Pukt des -dimesioale Paramterraumes). Da ist durch µa) = f dλ = fx 1, x 2,...,x ) dx 1 dx 2 dx A A ei Maß für alle zur Mege A gehörede kogruete Lage dieses Objektes defiiert. f : Ω R wird allgemei als λ -Dichte vo µ oder Lebesgue-Dichte vo µ bezeichet. Mittels der Stokasche Formel PA) = µa) µm) wird u eie geometrische Wahrscheilichkeit defiiert. Mit M wird hierbei die Mege aller betrachtete Lage des geometrische Objektes bezeichet ud mit A M die Mege aller Lage, die eie bestimmte Eigeschaft E habe, PA) ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass das geometrische Objekt eie zu M gehörede Lage eiimmt, i der es die Eigeschaft E besitzt. Nachfolged solle die Grudlage für geometrische Wahrscheilichkeite i der Ebee bereitgestellt werde. Die Lage eier starre ud bewegliche geometrische Objektes i der Ebee ist vollstädig bestimmt, we ma die Lage eies fest mit ihm verbudee ξ, η-koordiatesystems bezüglich eies feste x, y-koordiatesystems ket. Der Zusammehag zwische beide Koordiatesysteme ist durch die Gleichuge x = ξ cosφ η si φ + a, 1.1) y = ξ si φ + η cos φ + b. gegebe, wobei a, b die Koordiate des Urspruges des ξ, η-systems im x, y-system sid ud φ der Wikel zwische der x-achse des feste Systems ud der ξ-achse des bewegliche Systems. Die Lage des bewegliche Koordiatesystems ud damit eies fest mit ihm verbudee geometrische Objektes) ist offesichtlich durch die Agabe vo a, b ud φ eideutig festgelegt. Ebee Koordiatetrasformatioe ud Beweguge köe zweckmäßig durch die Verwedug komplexer Zahle beschriebe werde. Mit ζ := ξ + iη, z := x + iy ud c := a + ib köe wir die Gleichuge 1.1) zusammegefasst i der Form schreibe. z = ζ e iφ + c Nachfolged soll gezeigt werde, dass die kiematische Dichte dx dy dφ bewegugsivariat ist. Aus der Bewegugsivariaz der kiematische Dichte folgt die Bewegugsivariaz des Maßes µa) = fx, y, φ) dx dy dφ, A
1.2. KINEMATISCHE DICHTE UND KINEMATISCHES MASS 3 falls f kostat ist. Die Bewegugsivariaz der kiematische Dichte umfasst ach Blaschke [7, S. 21-22] die folgede Eigeschafte: 1. Bewegugsivariaz im egere Sie): Die kiematische Dichte ädert sich icht, we ma ei eues festes Koordiatesystem eiführt. 2. Wahlivariaz: Die kiematische Dichte ädert sich icht, we ma ei eues bewegliches Koordiatesystem eiführt. 3. Umkehrivariaz: Die kiematische Dichte ädert sich abgesehe vom Vorzeiche) icht, we statt der Bewegug die Umkehrbewegug betrachtet wird. zu 1. Bewegugsivariaz: Wir führe ei eues festes x, y -Koordiatesystem ei, desse Ursprug bezüglich des bisherige feste x, y-koordiatesystems im Pukt c = a +ib liegt ud gegeüber dem x, y-system um dem Wikel φ gedreht ist. Damit ist die Lage des x, y -Systems bezüglich des x, y-system eideutig festgelegt. Wir betrachte u de Ursprug des bewegliche ξ, η-koordiatesystems. Bezüglich des x, y-systems liege der Ursprug im Pukt c = a + ib ud bezüglich des x, y -Systems im Pukt c = a + ib. Da gilt c = c + c e iφ, also Kompoeteweise erhält ma c = c c ) e iφ. a = a cosφ + b si φ a cosφ b si φ, b = a si φ + b cosφ + a si φ b cosφ. Für de Wikel φ zwische x - ud ξ-achse gilt φ = φ φ. Die Differetialform da db dφ trasformiert sich durch de Übergag vom x, y- zum x, y -System gemäß da db dφ = a, b, φ ) da db dφ, a, b, φ) wobei a,b,φ ) a,b,φ) die Jacobische Fuktioaldetermiate ist. Es gilt a, b, φ ) a, b, φ) = cosφ si φ si φ cosφ 1 = 1 ud demzufolge da db dφ = da db dφ, womit die Bewegugsivariaz im egere Sie) der kiematische Dichte gezeigt ist. zu 2. Wahlivariaz: c = a + ib ist der Ursprug des alte ξ, η-systems bezüglich des feste Koordiatesystems. c = a +ib soll der Ursprug des eue bewegliche Koordiatesystems ξ, η bezüglich des alte bewegliche Koordiatesystems ξ, η sei. Das ξ, η -System soll gegeüber dem ξ, η-system um de Wikel φ gedreht
4 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN sei. Da gilt für de Ursprug c = a + ib des ξ, η -Systems bezüglich des feste Koordiatesystems c = c + c e iφ. Es folgt ud a, b, φ ) a, b, φ) = a = a + a cosφ b si φ, b = b + a si φ + b cosφ, 1.2) φ = φ + φ 1 a si φ + b cosφ) 1 a si φ b cosφ 1 = 1, 1.3) womit die Wahlivariaz gezeigt ist. Alterativ lässt sich die Wahlivariaz auch folgedermaße zeige. Schreibt ma c i Polarkoordiatedarstellug c = l e iα, so erhält ma c = c + l e iα e iφ = c + l e iφ+α), also ud a, b, φ ) a, b, φ) = a = a + l cosφ + α), b = b + l siφ + α), φ = φ + φ 1 l siφ + α) 1 l cosφ + α) 1 = 1. Das ist der Ausdruck, de Poicaré i [27, S. 128] bei der Herleitug des bewegugsivariate kiematische Maßes i der Ebee agibt. zu 3. Umkehrivariaz: Die Umkehrbewegug erhält ma, we das feste ud das bewegliche Koordiatesystem ihre Rolle tausche: Aus dem bewegliche Koordiatesystem wird das feste Bezugssystem, vo dem aus die Bewegug des bisher feste Koordiatesystems betrachtet wird. Die Bewegug des bisher feste Koordiatesystems ist die Umkehrbewegug. Aus z = ζ e iφ + c folgt ζ = z c) e iφ. Es gilt also ξ = x cos φ + y si φ a cosφ b si φ, η = x si φ + y cos φ + a si φ b cosφ, φ = φ. Der Koordiateursprug des bisherige feste Koordiatesystems trasformiert sich also etspreched a a cos φ b si φ =: a, b a si φ b cos φ =: b. Es folgt a, b, φ ) a, b, φ) = cosφ si φ a si φ b cosφ si φ cosφ a cosφ + b si φ 1 = 1.
1.2. KINEMATISCHE DICHTE UND KINEMATISCHES MASS 5 Die kiematische Dichte ädert sich abgesehe vom Wechsel des Vorzeiches) also icht, we ma statt der Bewegug die Umkehrbewegug betrachtet. Die Beweguge i der euklidische Ebee bilde eie Gruppe M. Jede Bewegug u M defiiert zwei Bijektioe vo M, die Likstraslatio ud die Rechtstraslatio L u : u u u R u : u uu [29, S. 81/82]. Wir zeige u, dass die kiematische Dichte ud damit das kiematische Maß) liks- ud rechtsivariat sid, d. h. ivariat bezüglich Liks- ud Rechtstraslatioe. Zuächst zur Liksivariaz: Wir betrachte eie Likstraslatio u u mit de ebee Beweguge u := a, b, φ) bzw. z = z e iφ + c ud u := a, b, φ ) bzw. z = z e iφ + c. Es gilt z = z e iφ + c)e iφ + c = z e iφ+φ ) + c e iφ + c. Durch Aufteilug i Real- ud Imagiärteil erhält ma x = x cosφ + φ ) y siφ + φ ) + a cosφ b siφ ) + a, y = x siφ + φ ) + y cosφ + φ ) + a si φ + b cosφ ) + b. Der Ursprug des bewegte Koordiatesystems trasformiert sich etspreched a a cosφ b si φ + a =: a, b a si φ + b cosφ + b =: b ud für de Gesamtdrehwikel gilt φ = φ + φ. Somit erhält ma für die Fuktioaldetermiate a, b, φ ) a, b, φ) = cos φ si φ si φ cosφ 1 = 1, womit die Liksivariaz gezeigt ist. Nu zur Rechtsivariaz: Wir betrachte eie Rechtstraslatio uu mit de ebee Beweguge u = a, b, φ ) bzw. z = z e iφ + c ud u = a, b, φ) bzw. z = z e iφ + c. Es folgt z = z e iφ + c )e iφ + c = z e iφ+φ ) + c e iφ + c. Treug i Real- ud Imagiärteil liefert x = x cosφ + φ ) y siφ + φ ) + a cosφ b si φ + a, y = x siφ + φ ) + y cosφ + φ ) + a si φ + b cosφ + b.
6 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Für die Trasformatio des Koordiateursprugs erhält ma a a cosφ b si φ + a =: a, b a si φ + b cosφ + b =: b, für de Gesamtdrehwikel φ = φ + φ ud für die Fuktioaldetermiate a, b, φ ) a, b, φ) = 1 a si φ + b cosφ) 1 a si φ b cosφ 1 = 1. Damit ist die Rechtsivariaz gezeigt. Wie der Vergleich mit 1.2) ud 1.3) zeigt, etspricht eie Rechtstraslatio eier Neuwahl des bewegte Koordiatesystems. 1.3 Kovexe geometrische Objekte Eie herausragede Rolle bei der Utersuchug geometrischer Wahrscheilichkeite spiele kovexe Testobjekte. Bild 1.1: Stützfuktio p = pφ) Eie Gerade i der Ebee ist durch ihre Abstad p = PH vom Koordiateursprug ud de Wikel φ zwische ihrer Normale ud der x-achse festgelegt Bild 1.1). Ihre Gleichug ist da x cosφ + y si φ = p. We p eie Fuktio vo φ ist, da defiiert diese Gleichug eie Familie vo Gerade, dere Eveloppe ma uter der Voraussetzug, dass p differezierbar ist, aus dem Gleichugssystem } x cosφ + y si φ = p x si φ + y cosφ = p mit p = dp/dφ erhält. Hieraus ergibt sich die folgede Parameterdarstellug der Eveloppe: x = p cosφ p si φ, y = p si φ + p cosφ.
1.3. KONVEXE GEOMETRISCHE OBJEKTE 7 Diese Formel liefer die x- ud die y-koordiate des Puktes P, i dem die Gerade mit dem Paramter φ die Eeveloppe tagiert Bild 1.1). We die Eveloppe eie geschlossee kovexe Kurve C ist ud der Koordiateursprug O ierhalb vo C liegt, wird p = pφ) Stützfuktio vo C bezüglich O geat. Wir ehme zuächst a, dass p zweimal stetig differezierbar ist. Da gilt dx = p + p ) si φ dφ, dy = p + p ) cosφ dφ. Mit ds = dx 2 + dy 2 erhält ma für die Läge u vo C 2 u = ds = p + p ) dφ. Wege der 2-Periodizität der Stützfuktio ist ud demzufolge 2 p dφ = p 2) p ) = u = 2 p dφ. 1.4) Diese Formel wurde bereits vo Cauchy gefude. Es ka gezeigt werde, dass p + p > die otwedige ud hireichede Bedigug dafür ist, dass eie periodische Fuktio p die Stützfuktio eier kovexe Mege ist. Die hier verwedete Voraussetzug p C 2 ist icht erforderlich. Ma ka zeige, das u = 2 p dφ für jede geschlossee kovexe Kurve gilt [35, S. 165-167]. Die Berechug des Flächeihaltes F eier kovexe Mege, dere Rad C stetig differezierbar ist, uter Verwedug der Leibizsche Sektorformel liefert F = 1 2 2 2 xy x y) dφ F = 1 p 2 p 2 ) dφ. 2 Wir bezeiche de Durchmesser eier ebee kovexe Mege i Abhägigkeit vo der Richtug φ als Projektiosfuktio prφ). Zwische der Stützfuktio ud der Projektiosfuktio besteht der Zusammehag Demzufolge habe wir u = = = 2 pφ) dφ = pφ) dφ + prφ) dφ. prφ) = pφ) + pφ + ). pφ) dφ + 2 pφ + ) dφ = pφ) dφ [ pφ) + pφ + )] dφ
8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Als Beispiel für die Awedug der Cauchysche Formel 1.4) wolle wir u die Wahrscheilichkeit p dafür bereche, dass ei ebees kovexes Objekt achfolged als Testobjekt bezeichet), das zufällig auf die Ebee geworfe wird, ei i der Ebee befidliches Parallelogrammgitter scheidet [2]. Ei Parallelogrammgitter ka ma sich als Vereiigug zweier Parallelegitter vorstelle. Der Abstad beachbarter Gerade des eie Gitters sei a, der Gerade des adere Gitters b. Der Wikel zwische de Gerade des eie Gitters ud dee des zweite Gitters sei α. Wir wolle voraussetze, das für die Projektiosfuktio des Testobjektes max prφ) < mi{a, b} φ< gilt. Wir betrachte zuächst die Wahrscheilichkeit p dafür, dass das Testobjekt das Parallelogrammgitter icht trifft. Es gilt Stokas Formel p = µn) µm) ; hierbei bezeichet M die Mege aller Testobjekte, dere Bezugspukte ierhalb eies Gitter-Parallelogramms Π liege, ud N die Mege aller Testobjekte, dere Bezugspukte ierhalb vo Π liege, die aber das Parallelogramm icht scheide. Es gilt 2 µm) = dx dy dφ = dφ dx dy = 2ab M x, y) Π si α. Betrachtet ma für feste Wikel φ alle Lage des Testobjektes, bei dee es ierhalb vo Π liegt also das Gitter icht scheidet), so bildet die Mege aller Bezugspukte ei Parallelogramm Π φ, desse Seite parallel zu dee vo φ sid. Die Seiteläge vo Π φ sid Wir erhalte µn) = = = = N 1 si α 1 si α a prφ) ud dx dy dφ = 2 2 b prφ + α) si α x, y) Π φ dx dy a prφ))b prφ + α)) dφ 2ab a + 2 1 2ab 2a + b)u + si α. ) dφ 2 2 prφ + α) dφ b prφ) dφ ) prφ) prφ + α) dφ 2 ) prφ) prφ + α) dφ,
1.3. KONVEXE GEOMETRISCHE OBJEKTE 9 wobei u der Umfag des Testobjektes ist, ud folglich p = µn) µm) 2ab 2a + b)u + = 2ab 2 prφ) prφ + α) dφ Uter Berücksichtigug vo prφ + ) = prφ) folgt umehr p = 1 p = 1 ) a + b)u prφ) prφ + α) dφ. 1.5) ab Diese Formel ethält eiige iteressate Spezialfälle. Für b erhält ma p = u a. 1.6) Das ist das bekate Resultat vo Barbier [5] für die Wahrscheilichkeit, dass ei kovexes Testobjekt mit max prφ) < a ei Gitter äquidistater Gerade mit Abstad a scheidet. Für eie Nadel mit Läge l ud Umfag 2l) ergibt sich die Lösug p = 2l a des Buffosche Nadelproblems. Für de Wurf eier Nadel auf ei Parallelogrammgitter erhält ma das folgede Ergebis vo Stoka [32, S. 55] p = l [2a + b) si α + /2 α) cosα)l ]. ab Die Wahrscheilichkeit p für de Fall vo Rechteckgitter ud Ellipse als Testobjekte wurde vo Duma ud Stoka [13] utersucht. Betrachtet ma kovexe Figure mit kostater Projektiosfuktio prφ) =: d, so folgt für dere Umfag u = prφ) dφ = d dφ = d. Solche Figure werde auch als Gleichdicke bezeichet. Ei Gleichdick ist z.b. das Reuleauxsche Bogedreieck, das ma aus eiem gleichseitige Dreieck erhält, idem ma um die Ecke Kreise mit der Läge d der Dreiecksseite als Radius zeichet ud aschließed de megetheoretische Durchschitt dieser drei Kreisscheibe bildet siehe z.b. [37, S. 47/48]). Setzt ma d < mi{a, b} voraus, so erhält ma für ei Gleichdick mit prφ) = d p = 1 ) a + b)u d 2 = d a + b + d). ab ab Für eie Kreis wurde dieses Ergebis i [33, S. 42] hergleitet..
1 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 1.4 Zwei kovexe Objekte Wir betrachte umehr zwei kovexe geometrische Objekte C 1 ud C 2 Bild 1.2), die als starr miteiader verbude ageomme werde, ud utersuche geometrische Wahrscheilichkeite für de zufällige Wurf vo C 1 ud C 2 auf ei ebees Gitter R D äquidistater Parallele. D ist der Abstad zwische beachbarte Gittergerade. Es soll vorausgesetzt werde, dass C 1 ud C 2 icht mehr als eie Gerade vo R D gleichzeitig scheide köe also distp 1, P 2 ) < D für alle Pukte P 1 C 1 ud P 2 C 2 ) ud sich C 1 ud C 2 icht überlappe also C 1 C 2 = ). kovexe Hülle vo C ud C 1 2 Bild 1.2: Zur Berechug vo PA 1 A 2 ) Zuächst soll die Wahrscheilichkeit dafür ermittelt werde, dass C 1 ud C 2 gleichzeitig das Parallelegitter scheide. Legt ma die gemeisame iere Tagete a C 1 ud C 2, so ka ma zwei geschlossee Kurve Γ 1 ud Γ 2 bilde: Γ 1 besteht aus der gestrichelte Liie um C 1 bis zum Schittpukt S der Tagete; Γ 2 aus der gestrichelte Liie um C 2 bis zum Pukt S. Γ 1 ud Γ 2 habe de Pukt S gemeisam. Die Mege aller Lage vo Γ 1 ud Γ 2 bzw. C 1 ud C 2 ), bei dee S das Gitter scheidet, habe das Maß Null ud brauche deswege icht berücksichtigt zu werde. Nachfolged werde die folgede Bezeichuge verwedet: A 1 A 2 A 1 B 1 Ereigis, dass C 1 das Gitter scheidet; Ereigis, dass C 2 das Gitter scheidet; Ereigis, dass Γ 1 das Gitter scheidet; Ereigis, dass Γ 2 das Gitter scheidet. We ma vo der obe erwähte Nullmege absieht, scheide C 1 ud C 2 geau da das Gitter, we Γ 1 ud Γ 2 das Gitter scheide, also PA 1 A 2 ) = PA 1 A 2 ) = PA 1 ) + PA 2 ) PA 1 A 2 ). Das Ereigis A 1 A 2 ist äquivalet zu dem Ereigis, dass die kovexe Hülle vo Γ 1 ud Γ 2 das Gitter scheidet. Die kovexe Hülle vo Γ 1 ud Γ 2 ist idetisch mit der vo C 1 ud C 2. Wir bezeiche de Umfag dieser kovexe Hülle mit uc 1, C 2 ) sowie mit lγ 1 ) ud lγ 2 ) die Läge der Kurve Γ 1 ud Γ 2. Somit folgt ach 1.6) PA 1 A 2 ) = PA 1 A 2 ) = lγ 1) D + lγ 2) D uc 1, C 2 ) D.
1.4. ZWEI KONVEXE OBJEKTE 11 Die durch Vereiigug der Kurve Γ 1 ud Γ 2 etstehede Kurve ka als sich i S kreuzede Seilliie um C 1 ud C 2 aufgefasst werde. Ihre Läge, die mit lc 1, C 2 ) bezeichet werde soll, ist gleich lγ 1 ) + lγ 2 ). Es folgt PA 1 A 2 ) = lc 1, C 2 ) uc 1, C 2 ) D Diese Formel wurde bereits vo Bertrad [6, S. 485/486] hergeleitet. Aus dieser Formel erhält ma sofort PA 1 A 2 ) = PA 1 ) + PA 2 ) PA 1 A 2 ) = uc 1) + uc 2 ) lc 1, C 2 ) uc 1, C 2 )) D. 1.7) sowie die bedigte Wahrscheilichkeit PA 2 A 1 ), dass C 2 das Gitter scheidet, falls C 1 das Gitter scheidet, PA 2 A 1 ) = PA 1 A 2 ) PA 1 ) = lc 1, C 2 ) uc 1, C 2 ) uc 1 ) wobei uc 1 ) ud uc 2 ) die Umfäge vo C 1 bzw. C 2 bezeiche. Das ist die bekate Formel vo Crofto, die die Wahrscheilicheit dafür agibt, dass eie i der Ebee zufällig platzierte Gerade, die ei festes kovexes Objekt C 1 trifft, auch ei zweites festes kovexes Objekt C 2 mit C 1 C 2 = trifft siehe z.b. [3, S. 513/514]). Wir bereche u och die Wahrscheilichkeit des Ereigisses, dass C 1 ud C 2 auf verschiedee Seite eier Gittergerade liege. Dieses Ereigis ist äquivalet zu dem Ereigis, dass C 1 ud C 2 das Gitter icht scheide, aber die kovexe Hülle H vo C 1 ud C 2 das Gitter scheidet. Es gilt PC 1 R D =, C 2 R D =, H R D ) = PH R D ) PA 1 A 2 ) = uc 1, C 2 ) D uc 1) + uc 2 ) lc 1, C 2 ) uc 1, C 2 )) D = lc 1, C 2 ) uc 1 ) + uc 2 )). D Falls sich C 1 ud C 2 überlappe, gilt PA 1 A 2 ) = PA 1 ) + PA 2 ) PA 1 A 2 ) = uc 1) + uc 2 ) uc 1, C 2 ) D,. 1.8) Setzt ma i diesem Fall lc 1, C 2 ) := uc 1 ) + uc 2 ), so stimmt 1.8) mit der Bertradsche Formel 1.7) überei. Die i diesem Abschitt hergeleitete Beziehuge behalte auch i diesem Fall ihre Gültigkeit. Verallgemeieruge auf mehr als zwei starr miteiader verbudee kovexe Objekte fidet ma i [34] ud [3, S. 115/116].
12 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Kapitel 2 Sterförmige Testelemete 2.1 Testelemete ud Gitter Uter eiem sterförmige Testelemet S, a siehe Bild 2.1) wird achfolged die sterförmige Aordug vo 2 < ) gleich lage Strecke Nadel) um eie gemeisame Mittelpukt verstade, so dass die Edpukte der Nadel ei regelmäßiges -Eck bilde. α ist der Wikel zwische beachbarte Nadel ud a die Läge eier Nadel. g 3, 4 g 4, 5 s 4 s s 3 5 s 2 g 2, 3 s 1 g 1, 2 a s g,1 Bild 2.1: Sterförmiges Testelemet S, a Diese Testelemete werde zufällig auf ei Buffosches Parallelegitter R D geworfe, wobei D der Abstad beachbarter Gittergerade ist. Wir setze voraus, dass das Testelemet S, a höchstes eie Gerade des Gitters R D scheide ka, was bedeutet, dass der maximale Durchmesser vo S, a D sei muss. Das führt auf die Bedigug [ 2λ si 1 mit λ := 2]) a D, wobei [/2] der gazzahlige Ateil vo /2 ist. 13
14 KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE Für die maximale Azahl M der Schittpukte zwische Testelemet ud eier Gerade des Gitters gilt M = { 2, falls gerade ist, +1 2, falls ugerade ist. 2.2 Schittwahrscheilichkeite 2.2.1 Wahrscheilichkeit für midestes eie Schittpukt Wie bereche zuächst die Wahrscheilichkeit p für midestes eie Schittpukt. Ei Testelemet S, a scheidet das Parallelegitter geau da, we seie kovexe Hülle das Gitter scheidet. Nach dem Theorem vo Barbier Formel 1.6)) gilt p = u D, wobei der u der Umfag der kovexe Hülle ist. Für 2 folgt mit u = 2a si α 2 ud α = 2 p = p, λ) = 2λ si. 2.1) 2.2.2 Wahrscheilichkeite für geau i Schittpukte Mit pi,, λ) bezeiche wir achfolged die Wahrscheilichkeit für das Auftrete vo geau i Schittpukte zwische Testelemet S, a ud Parallelegitter R D. Aus Formel 2.1) erhält ma sofort die Wahrscheilichkeit p,, λ) für keie Schittpukt: p,, λ) = 1 p, λ) = 1 2λ si. Wir bezeiche mit s i für 1 i die Nadel des Testelemets S, a ud mit g i, j die Seite des die kovexe Hülle vo S, a bildede regelmäßige -Ecks siehe Bild 2.1). Die Seite g i, j verbidet die Edpukte der beachbarte Nadel s i ud s j. Mit S i wird das Ereigis bezeichet, dass die Nadel s i das Gitter scheidet ud mit G i, j das Ereigis, dass die Seite g i, j das Gitter scheidet. Uter IIdexliste) verstehe wir achfolged das Ereigis, dass alle Nadel, dere Idizes i der Idexliste ethalte sid, das Gitter scheide, alle übrige Nadel aber icht. PE,, λ) ist die vo ud λ abhägige Wahrscheilichkeit für das Eitrete eies Ereigisses E. d i ist der Abstad zwische de äußere Edpukte zweier Nadel, zwische dee sich i 1 Nadel befide. Es gilt d i = 2a si iα 2 = 2a si i. Der Eifachheit halber setze wir für die Läge der Seillie F um g,1 ud g i, i+1 Bild 2.2) l i := lg,1, g i,i+1 ).
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN 15 ud für de Umfag der kovexe Hülle C der Seite g,1 ud g i, i+1 u i := ug,1, g i, i+1 ) g i, i+1 g i, i+1 s i+1 s i F s i+1 s i C s 1 s 1 s g,1 g,1 s Bild 2.2: Seilliie F ud kovexe Hülle C vo g,1 ud g i, i+1 Aus de folgede Betrachtuge schließe wir das Testelemet S 3, a zuächst erst eimal aus. Wir bestimme u die Wahrscheilichkeit p1,, λ) für geau eie Schittpukt zwische S, a ud R D. Zu diesem Zweck wird die Nadel s 1 betrachtet. Diese Nadel ud keie adere) scheidet das Gitter geau da, we die Kate g,1 ud g 1,2 das Gitter scheide. Die diesbezügliche Wahrscheilichkeit ist PI1),, λ) = PG,1 G 1,2,, λ) = l 1 u 1 D = 4d 1 2d 1 + d 2 ) D ) = 2d 1 d 2 D = 2λ 2 si si 2 Geau eie Schittpukt zwische S, a ud R D gibt es, we eies der uvereibare Ereigisse I1), I2),..., I) eitritt. Mit PI1),, λ) = PI2),, λ) =... = PI),, λ). erhält ma p1,, λ) = i=1 PIi),, λ) = PI1),, λ) = 2λ 2 si si 2 ). Wir betrachte jetzt die beide Fälle, dass eie gerade bzw. ugerade Zahl ist, gesodert. ist eie gerade Zahl M = /2): Für 2 i M 1 betrachte wir die Wahrscheilichkeite PI1,..., i),, λ), dass alle Nadel s 1,..., s i ud keie adere) das Gitter scheide. Diese Nadel scheide geau da das Gitter, we
16 KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE die Seite g,1 ud g i, i+1 das Gitter scheide, also PI1,..., i),, λ) = PG,1 G i, i+1,, λ) = l i u i D = 2d 1 + 2d i ) 2d 1 + d i+1 + d i 1 ) = 2d i d i+1 d i 1 D D = 2λ 2 si i ) i + 1) i 1) si si. Geau i Schittpukte zwische S, a ud R D gibt es, we eies der uvereibare Ereigisse auftritt, dass i ebeeiader ageordete Nadel das Gitter R D scheide, alle übrige Nadel aber icht. Folglich ist pi,, λ) = PI1,..., i),, λ) = 2λ 2 si i i + 1) si si ) i 1). Es soll u die Wahrscheilichkeit pm,, λ) berechet werde. Dazu betrachte wir die Nadel s 1 ud s M. Das Scheide des Gitters durch diese beide Nadel bedeutet, dass auch alle dazwische liegede Nadel s 2,...,s M 1 das Gitter scheide, die Nadel s M+1,..., s aber icht. Es gilt PI1,..., M),, λ) = PS 1 S M,, λ) = 4a 2a + d M 1) D = 2λ ) M 1) 1 si. Hieraus folgt pm,, λ) = PI 1,...,M),, λ) = 2λ 1 si = 2a d M 1 D ) M 1). ist eie ugerade Zahl M = +1 ): Für 1 i M 2 erhält ma das selbe 2 Ergebis wie bei geradem, also pi,, λ) = PI1,..., i),, λ) = 2λ 2 si i ) i + 1) i 1) si si. Der Fall i = 1 ist hieri eigeschlosse.) Für pm,, λ) erhält ma ebefalls das selbe Ergebis wie bei geradem. Die Berechug vo pm 1,, λ) erfordert eie gesoderte Betrachtug. Das Scheide des Gitters durch die Seite g,1 ud g M 1, M z. B. g 5,1 ud g 2,3 vo S 5, a i Bild 2.3) ist äquivalet damit, dass die M 1 Nadel s 1, s 2,...,s M 1 oder die M Nadel s M,..., s das Gitter scheide, also die sich gegeseitig ausschließede Ereigisse I1,...,M 1) oder IM,...,) eitrete. Das bedeutet, dass PG,1 G M 1, M,, λ) = PI1,..., M 1),, λ) + PIM 1,...,),, λ) = PI1,..., M 1),, λ) + PI1,..., M),, λ)
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN 17 g 2,3 s 3 s 2 s 4 s 5 s 1 g 5,1 Bild 2.3: Berechug vo p M 1 für ugerades gilt. Hieraus folgt PI1,..., M 1),, λ) = PG,1 G M 1, M,, λ) PI1,..., M),, λ) Numehr folgt = [2d 1 + 2d M 1 ) 2d 1 + d M 2 + d M 1 )] [2a d M 1 ] D = 2d M 1 d M 2 2a D = 2λ ) M 1) M 2) 2 si si 1. pm 1,, λ) = PI1,..., M 1),, λ) = 2λ ) M 1) M 2) 2 si si 1. Afags wurde das Testelemet S 3, a aus de Betrachtuge ausgeklammert. Desse Schittwahrscheilichkeite p1, 3, λ) ud p2, 3, λ) erhält ma für = 3 ud M = 2 aus pm,, λ) ud der zuletzt hergleitete Formel für pm 1,, λ). Der folgede Satz fasst die bisherige Ergebisse dieses Abschitts zusamme. Satz 2.1. Ei Testelemet S, a mit 2 wird zufällig auf ei Parallelegitter R D geworfe. Für 2λ si [ 2]) 1 scheidet das Testelemet höchstes eie Gerade des Parallelegitters, wobei für die maximale Azahl M der Schittpukte M = { 2, falls gerade ist, +1 2, falls ugerade ist, gilt. Da sid die Wahrscheilichkeite pi,, λ) für geau i, i M, Schitt-
18 KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE pukte zwische Testelemet ud Gitter mit δi,, λ) := 2λ si i gegebe durch p,, λ) = 1 δ1,, λ), pi,, λ) = 2δi,, λ) δi + 1,, λ) δi 1,, λ), we 1 i M 2, pm 1,, λ) = 2δM 1,, λ) δm 2,, λ) 2λ/, pm,, λ) = 2λ/ δm 1,, λ). Amerkug: Uter Verwedug vo si i + 1) + si i 1) = 2 si i cos ud 1 cos = 2 si2 2 köe wir die Wahrscheilichkeite pi,, λ) für 1 i M 2 i der Form darstelle. pi,, λ) = 8λ si2 2 si i 2.2.3 Erwartugswerte ud Variaze Mit der Zufallsvariable Z, λ bezeiche wir achfolged die Azahl der Schittpukte zwische Testelemet S, a ud Gitter R D. Für de Erwartugswert ud die Variaz vo Z,λ gilt der folgede Satz: Satz 2.2. Für 2λ si [ 2]) 1 sid der Erwartugswert EZ, λ ) ud die Variaz VarZ, λ ) für die Azahl Z, λ der Schittpukte zwische Testelemet S, a ud Gitter R D gegebe durch EZ, λ ) = 2λ ud VarZ, λ ) = 2λ Beweis. Für beliebige reelle Zahle β i, i M, gilt M i= β i pi,, λ) = γ + 2λ M 1 i=1 cot 2 2λ ). γ i si i + 2λ γ M mit γ = β, γ i = 2β i β i 1 β i+1 für 1 i M 1 ud γ M = β M β M 1. Mit β i = i erhält ma hieraus sofort de Erwartugswert für die Azahl der Schittpukte M EZ, λ ) = i pi,, λ) = 2λ. 2.2) i=1 Dieses Ergebis ergibt sich aufgrud der Additivität des Erwartugswertes auch aus der Schittwahrscheilichkeit 2λ/ für eie eizele Nadel.
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN 19 Für die Variaz VarZ, λ ) gilt VarZ, λ ) = EZ 2, λ) EZ, λ )) 2. Zu bereche ist also och das Momet 2. Ordug EZ, 2 λ ) = M i=1 i2 pi,, λ). Für gerades gilt EZ 2, λ ) = M i=1 = 2λ = 2λ = 2λ i 2 pi,, λ) = 2λ 2M 1 2 2M 1 cos 2 cos M 1 2 si 2 M 1 i=1 si i ) ) ) 2M 1 cos si ) 2 si 2 cot ). 2.3) 2 Für ugerades erhält ma dieselbe Formel. Folglich ist VarZ, λ ) = EZ 2, λ) EZ, λ )) 2 = 2λ ) cot 2 2λ ). Wir defiiere die eue Zufallsvariable X, λ durch X, λ := Z, λ /. Hierfür ergebe sich der Erwartugswert das zweite Momet EX 2, λ) = ud die Variaz EX, λ ) = M i=1 M i=1 i pi,, λ) = EZ, λ) ) 2 i pi,, λ) = EZ2, λ ) 2 VarX, λ ) = EX 2, λ) EX, λ )) 2 = 2λ = 2λ = 2λ, 1 1 cot ) 2 1 1 cot 2 2λ ). Es folge umittelbar lim EX, λ) = 2λ, ud lim VarX, λ ) = 2λ lim EX2, λ ) = 2λ 1 2 2λ 1 2 ) ). 2.4)
2 KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE 2.2.4 Spezialfälle 1) Für = 2 ist p, 2, λ) = 1 4λ si 2 = 1 4λ, p1, 2, λ) = 4λ 1 cos ) = 4λ 2. Das ist das Buffosche Resultat, we ma berücksichtigt, dass die Nadelläge im vorliegede Fall gleich 2a ist. 2) Für = 3 ist M = 2 ud es gilt p, 3, λ) = 1 6λ si 3 = 1 3λ 3, p1, 3, λ) = 6λ p2, 3, λ) = 6λ 2 si ) 3 1 = 6λ 3 1), 1 si ) = 3λ 3 2 3). 3) Für = 4 erhält ma p, 4, λ) = 1 8λ si 4 = 1 4λ 2, p1, 4, λ) = 8λ p2, 4, λ) = 8λ 2 si 4 si ) = 8λ 2 2 1), 1 cos ) = 4λ 4 2 2). Amerkug: Die Wahrscheilichkeite p1,, λ) ud p2,, λ) für = 3 ud = 4 erhält ma auch als Lösug des lieare Gleichugssystems } p1,, λ) + p2,, λ) = p, λ) p1,, λ) + 2p2,, λ) = EZ, λ ) mit p, λ) = 2λ si etspreched Formel 2.1) ud EZ, λ) = 2λ. 2.2.5 Wahrscheilichkeite für große Nachfolged solle Näherugsausdrücke für die Wahrscheilichkeite pi,, λ), i M, für hergeleitet werde. Wir werde dabei die Ladausche Notatio beutze: Mit Of)) wird eie Fuktio bezeichet, die ach Divisio durch f) für beschräkt bleibt. Weiterhi werde wir de Sachverhalt beutze, dass der Fehler bei Abbruch eier alterierede Reihe 1) k a k, bei der die positive a k mooto zu Null
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN 21 abehme, dasselbe Vorzeiche hat wie das erste verachlässigte Glied, absolut geomme aber kleier als dieses ist [23, S. 259]. Für i = gilt p,, λ) = 1 2λ si = 1 2λ 1 1! 1 ) 3 1 ) ) 5 + +... 3! 5! = 1 2λ + 1 ) 2 3 λ 1 ) 4 6 λ +... ud für 1 i M 2 pi,, λ) = 2λ = 4λ = 1 2λ + O 2 ) = 4λ = 4λ Für gerades ud M = /2 ist pm 1,, λ) = 2λ 2 si i 1 cos ) si i i + 1) si si [ 1 1 1 ) 2 1 + 2! [ 1 ) 2 1 2 24 = 2λ si i O 3 ). = 2λ = 2λ = 4λ ) i 1) 4! ) ] 4 +... si i M 1) M 2) 2 si si 2 cos cos 2 ) 1 [ 2 1 1 2! ) 4 +... )] si i ) 1 ) 2 1 ) ) 4 + +... 4! 1 1 ) 2 2 + 1 2! 4! 1) k+1 2 2k 1 1 ) 2k 1 ) k=1 = 2λ 7λ 6 2k)! ) 3 +... = 2λ O 3 ) ) ] 4 2 +...) 1
22 KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE ud pm,, λ) = 2λ = 2λ 1 si 1 cos ) = λ O 3 ). ) M 1) Für ugerades erhält ma mit M = + 1)/2 pm 1,, λ) = 2λ M 1) 2 si ud = 2λ = 2λ = 2λ = 7λ 4 2 cos 3 cos 2 [ 2 1 1 2! = λ λ 12 ) 3 +... ) 1 M 2) si ) 2 1 ) 2 1 ) ) 4 + +... 2 4! 2 1 1 ) 2 3 + 1 2! 2 4! 1) k+1 3 2k 2 ) 2k)! 2 2k k=1 pm,, λ) = 2λ = 2λ 79λ 192 1 si 1 cos 2 ) 2k 1 ) ] 4 3 +...) 1 2 ) 3 +... = 7λ 4 O 3 ) ) M 1) ) = λ 4 λ ) 3 +... 192 = λ 4 O 3 ). Der folgede Satz fasst die Ergebisse dieses Abschitts zusamme: Satz 2.3. Für gerades ud gilt p,, λ) = 1 2λ + O 2 ), pi,, λ) = 2λ si i O 3 ), falls 1 i M 2, pm 1,, λ) = 2λ O 3 ), pm,, λ) = λ O 3 ).
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN 23 Für ugerades ud gilt p,, λ) = 1 2λ + O 2 ), pi,, λ) = 2λ si i O 3 ), falls 1 i M 2, pm 1,, λ) = 7λ 4 O 3 ), pm,, λ) = λ 4 O 3 ). 2.2.6 Verteilugsfuktioe ud Momete Für die Verteilugsfuktioe F Z, λ der Zufallsvariable Z, λ, F Z, λ x) = PZ,λ x) für < x <, = i j= pi,, λ) für i x < i + 1, i M 1, 1 für M x <, erhalte wir mit δi,, λ) = 2λ si i die folgede eifache Ausdrücke: für < x <, 1 + δi,, λ) δi + 1,, λ) für i x < i + 1, i M 2, F Z, λ x) = 1 + δm 1,, λ) 2λ/ für M 1 x < M, 1 für M x <. Die Verteilugsfuktioe F X, λ der Zufallsvariable X, λ = Z, λ / sid durch F X, λ x) = PX, λ x), also für < x <, 1 + δi,, λ) δi + 1,, λ) für i F X, λ x) = x < i+1, i M 2, 1 + δm 1,, λ) 2λ/ für M 1 x < M, 1 für M x < gegebe. Nachfolged soll das Kovergezverhalte dieser Verteilugsfuktioe für utersucht werde. Zu diesem Zweck betrachte wir zuächst das folgede Zufallsexperimet: Ei Kreis mit dem Radius a wird zufällig auf ei Parallelegitter R D geworfe, wobei 2a D vorausgesetzt werde soll. We der Kreis eie Gerade vo R D trifft, scheidet er aus dieser Gerade eie Strecke, die eie Sehe des Kreises bildet. Der
24 KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE zu dieser Sehe gehörede Zetriwikel werde mit φ bezeichet. We der Kreis das Gitter R D icht trifft, setze wir φ =. Wir iterpretiere φ als Zufallsvariable ud defiiere die Zufallsvariable X λ mittels X λ := φ/2). Wege φ ist X λ 1/2. Die Verteilugsfuktio F Xλ vo X λ ist durch für < x <, F Xλ x) := 1 2λ cosx für x < 1, 2 gegebe. Es gilt der folgede Satz: 1 für 1 2 x < Satz 2.4. Die Verteilugsfuktioe F X, λ kovergiere für gleichmäßig gege die Verteilugsfuktio F Xλ. Dabei ist F X, λ x) F Xλ x) x R < λ, 2. Beweis. Wir betrachte die vertikale Abstäde, λ x) := F X, λ x) F Xλ x) zwische der jeweilige Verteilugsfuktio F X, λ ud der Verteilugsfuktio F Xλ Bild 2.4). Bild 2.4: Vertikale Abstäde zwische F X, λ ud F Xλ Für < x < ud M/ < x < gilt offesichtlich, λ x) =. Nu zum Itervall x M/: Auf Grud der Mootoie vo F Xλ köe Extrema vo, λ x) ur a de Sprugstelle x = i/, i M, vo F X, λ x) auftrete siehe Bild 2.4). Deswege sid isbesodere die vertikale Abstäde der Pukte i/, F X, λ i/)), i M 1, ud i/, F X, λ i 1)/))), 1 i M, vo F Xλ x) zu utersuche. Die Pukte i/, F X, λ i 1)/))) gehöre icht zu
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN 25 F X, λ x), köe aber als stetige Fortsetzug vo F X, λ x), x < i/, für x i/ aufgefasst werde, so dass lim, λ x) = lim FX, x i x i λ x) F Xλ x) ) = F X, λ i 1)/) F Xλ i/) gilt. Zur Abkürzug setze wir, λ Für i = erhält ma i/) := lim, λ x) = F Xλ i/) F X, x i λ i 1)/)., λ ) = F X, λ ) F Xλ ) = 1 2λ si 1 2λ) = 2λ 2λ si. Tayloretwicklug vo si mit Restglied ach Lagrage liefert si = 1 ) 2 si ξ mit < ξ < 2, so dass, λ ) = λ λ si ξ <. Wir utersuche u die Abstäde, λ i/) ud begie mit 1 i M 2. Es gilt, λ i/) = F X, λ i/) F Xλ i/) = 1 2λ i + 1) si = 2λ cos i 2λ si i ) i + 1) si si i 1 2λ cos i ) Uter Verwedug der Taylorsche Reiheetwicklug mit Lagrageschem Restglied i + 1) si si i = cos i 1 ) 2 i si ξi, 2 < ξ i + 1) i <, folgt, λ i/) = 2λ cos i 2λ cos i + λ si ξ i = λ si ξ i < λ. Für i = M 1 gilt, λ M 1)/) = F X, λ M 1)/) F Xλ M 1)/) = 1 2λ = 2λ cos 1 si M 1) ) M 1) 1 si 2λ ). 1 2λ cos ) M 1). ) M 1)
26 KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE Für gerades = 2M ist, λ M 1)/) = 2λ cos M 1) ud aalog zur obige Vorgehesweise) si M si M 1) = 2λ cos M 1) si M ) M 1) si 1 2 M 1) also, λ M 1)/) = λ si ξ M 1 < λ. Für ugerades ist M = + 1)/2 ud M 1) +1 1 ) 2 = = 1) 2 2 Es folgt, λ M 1)/) = 2λ cos 2 2) 2λ Mit folgt Für i = M ist = 2λ si 2 2λ = 2λ si 2 + 2λ ) 2 si ξm 1, = 2 2. < ξ M 1 < M, 1 si 2 2)) 1 cos ) 2 cos ) 2 cos cos 2 cos = 2 si 2 + 1 ) 2 cosξ, < ξ < 2 2 2,, λ M 1)/) = 2λ si 2 λ si 2 + λ 4 cosξ = λ si 2 + λ λ cosξ < 4 2 + λ 4 < λ., λ M/) = F X, λ M/) F Xλ M/) = 1 1 =. Wir betrachte u die Pukte i/, F X, λ i 1)/)). Für 1 i M 1 gilt, λi/m) = F Xλ i/) F X, λ i 1)/) = 1 2λ cos i 1 2λ = 2λ si i si i 1) si i ) 2λ cos i. )) i 1) si
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN 27 Uter Verwedug vo folgt si i si i 1) = cos i + 1 2, λi/) = 2λ cos i + 1 2 Für i = M ist Für gerades = 2M folgt ) si ξ i ) 2 si ξi mit i 1) < ξ i < i 2λ cos i = λ si ξ i < λ., λ M/) = F X λ M/) F X, λ M 1)/), λm/) = 2λ = 2λ = 1 = 2λ 1 si [ 1 2λ 1 si 1 cos ). 1 si ) M 1) 2M ) M 1). Tayloretwicklug mit Restglied ach Lagrage liefert cos = cos si 1 2 Hiermit erhalte wir )] M 1) = 2λ 1 cos ) 2M ) 2 1 ) 2 cos ξ = 1 cos ξ mit < ξ < 2. λ λ, λ M/) = cosξ <. Für ugerades erhält ma uter Berücksichtigug vo M 1) = 2 2 Mit 2λ, λ M/) = 1 si 2 2)) cos 2 = 1 1 2 2 = 2λ ) 2 cos ξ, < ξ < 2, 1 cos ). 2
28 KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE folgt, λm/) = 2λ Isgsamt köe wir feststelle, dass ud gelte, also Damit ist der Satz bewiese. 1 ) 2 λ λ cosξ = cos ξ < 2 2 4 4 < λ., λ i/) < λ, i M, <, λi/) < λ, 1 i M, F X, λ x) F Xλ x) x R < λ. F Xλ ist für λ = 1/2 eie auf R stetige Fuktio; für λ < 1/2 ist sie im Pukt x = ustetig. Nach eiem Satz vo Lebesgue ka jede Verteilugsfuktio F eideutig i der Form F = α 1 F 1 + α 2 F 2 + α 3 F 3 mit α i 1, α 1 +α 2 +α 3 = 1 dargestellt werde, wobei F 1 diskret, F 2 absolutstetig ud F 3 sigulär ist [9, S. 35]. Im vorliegede Fall besitzt die Grezverteilug F Xλ eie diskrete ud eie absolutstetige Kompoete, aber keie siguläre. Es gilt also F Xλ = α 1 F 1 + α 2 F 2, α i 1, α 1 + α 2 = 1. Die diskrete Verteilugsfuktio F 1 ist durch { für < x <, F 1 x) = 1 für x < gegebe ud die absolutstetige Verteilugsfuktio F 2 durch für < x <, F 2 x) = 1 cos x für x < 1 2, 1 1 für x <. 2 Weiterhi ist α 1 = 1 2λ ud α 2 = 2λ. Für λ = 1/2 ist F Xλ rei absolut) stetig. Für λ = ist F Xλ rei diskret; i diesem Fall ist das Testelemet auf eie Pukt zusammegeschrumpft a = ), die Wahrscheilichkeit für keie Schittpukt ist da gleich Eis.
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN 29 Satz 2.5. g : R R sei eie stetige ud beschräkte Fuktio. Da kovergiere die Erwartugswerte M EgX,λ )) = g i ) pi,, λ) für gege EgX λ )) = i= 1/2 gx) df Xλ x) = 1 2λ) g) + 2λ gx) six dx. Beweis. Wir führe de Beweis uter Verwedug des Stieltjessche Itegrales. Es gilt Hieraus folgt EgX,λ )) = lim EgX, λ)) = M i= g i ) pi,, λ) = g) p,, λ) + = g) p,, λ) + M i=1 M/ g i ) [ F X, λ i ) F X, λ i 1 )] gx) df X, λ x). M/ lim [g) p,, λ)] + lim gx) df X, λ x) M/ = 1 2λ) g) + lim gx) df X, λ x) Nach Satz 2.4 kovergiert die Folge der Verteilugsfuktioe F X, λ für gleichmäßig ud demzufolge auch schwach) gege die Grezverteilug F Xλ. Nach eiem Resultat, das ma z.b. i [9, S. 11/12] fidet, ist die schwache Kovergez der Folge F X, λ gege F Xλ äquivalet zur Kovergez der Folge gx) df X, λ x) gege gx) df X λ x) für jede stetige ud beschräkte Fuktio g. M Uter Berücksichtigug vo lim = 1 erhält ma 2 M/ 1/2 lim gx) df X, λ x) = lim gx) df X, λ x) = gx) df Xλ x) ud folglich = 1/2 lim EgX, λ)) = 1 2λ) g) + 2λ womit der Satz bewiese ist. gx) d1 2λ cosx) = 2λ 1/2 1/2 gx) six dx gx) si x dx = EgX λ )),
3 KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE Korollar 2.6. Die Momete EX, k λ ), k = 1, 2,..., kovergiere für gege 1/2 EXλ k ) := 2λ x k si x dx. Beweis. Für 2 < gilt M/ 2/3. Die Eischräkug x k [,2/3] ka leicht zu eier stetige ud beschräkte Fuktio auf R fortgesetzt werde. Uter Beutzug vo Satz 2.5 folgt das Ergebis. Speziell ist ud 1/2 EX λ ) = 2λ x si x dx = 2λ, 1/2 EXλ 2 ) = 2λ x 2 si x dx = 2λ 1 2 ) VarX λ ) = EX 2 λ) EX λ )) 2 = 2λ 1 2 2λ ) i Übereistimmug mit de Formel 2.4). Aus Satz 2.5 erhält ma, we ma gx) = 1 für x R setzt: 1/2 df Xλ x) = 1 2λ + 2λ si x dx = 1 2λ + 2λ = 1. Beispiele. I de Bilder 2.5 ud 2.6 sid die Verteilugsfuktioe F X2;,4 ud F X19;,4 im Vergleich zur Grezverteilugsfuktio F X,4 dargestellt. Die maximale Azahl M der Schittpukte ist für S 2, a ud S 19, a jeweils gleich Zeh. 1 F.8.6.4.2.1.2.3.4.5.6 x Bild 2.5: Verteilugsfuktioe F X2;,4 ud F X,4
2.3. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN 31 1 F.8.6.4.2.1.2.3.4.5.6 x Bild 2.6: Verteilugsfuktioe F X19;,4 ud F X,4 2.3 Bedigte Wahrscheilichkeite 2.3.1 Bedigte Wahrscheilichkeit für i Schittpukte Wir bereche u och de bedigte Erwartugswert für die Azahl der Schittpukte uter der Voraussetzug, dass das Testelemet das Gitter scheidet Ereigis I). Das Ereigis des Auftretes vo geau i i = 1, 2,..., M) Schittpukte wird mit Y i bezeichet. PY i I) ist die bedigte Wahrscheilichkeit für das Auftrete vo geau i Schittpukte, we das Gitter geschitte wird. Zuächst gilt PY i I) = PY i I) PI), i = 1, 2,..., M. 2.5) Wege Y i I ist PY i I) = PY i ). Wir setze pi,, λ) für PY i ) ei ud p, λ) siehe Gleichug 2.1)) für PI). Außerdem setze wir qi, ) als Wert vo PY i I) für das Testelemet S, a. Aus 2.5) folgt damit qi, ) = pi,, λ) p, λ) für i = 1, 2,..., M. Damit erhalte wir die kokrete bedigte Wahrscheilichkeite qi, ) für geau i Schittpukte: qi, ) = 2 si i i+1) si si si i 1), we 1 i M 2, qm 1, ) = qm, ) = 2 si M 1) 1 si M 1) si si M 2) 1 si,.
32 KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE 2.3.2 Bedigte Erwartugswerte ud Variaze Für die bedigte Erwartugswerte EZ, λ I) für die Azahl der Schittpukte uter der Voraussetzug, dass das Testelemet S, a das Gitter scheidet, gilt EZ, λ I) = M i qi, ) = i=1 M i i=1 pi,, λ) p, λ) = 1 p, λ) M i=1 i pi,, λ) = EZ, λ) p, λ). Mit 2.1) ud 2.2) folgt EZ, λ I) = 2λ 2λ si = 1 si. Uter Beachtug vo Formel 2.3) erhalte wir für das bedigte Momet zweiter Ordug EZ 2, λ I) = M i 2 qi, ) = i=1 1 p, λ) M i=1 i 2 pi,, λ) = cot 2 si. Somit ergibt sich für die bedigte Variaz VarZ, λ I) = EZ, 2 λ I) EZ, λ I)) 2 = cot csc 2 si. X, λ bezeichet wiederum die Zufallsvariable X, λ = Z, λ /. Für de bedigte Erwartugswert ud das bedigte Momet zweiter Ordug vo X, λ erhält ma EX, λ I) = M i=1 i qi, ) = 1 M i=1 i qi, ) = EZ, λ I) = 1 si ud EX 2, λ I) = M i=1 ) 2 i qi, ) = 1 2 = cot 2 2 si. Das liefert die bedigte Variaz vo X, λ : M i=1 i 2 qi, ) = EZ2, λ I)) 2 VarX, λ I) = EX 2, λ I) EX, λ I)) 2 = cot 2 csc 2 si. Wir utersuche die Grezwerte vo EX, λ I), EX, 2 λ I) ud VarX, λ I) für. Es gilt lim EX 1, λ I) = lim si = 1, 2.6)
2.3. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN 33 lim EX2, λ I) = lim cot 2 2 si = 2/ = 2 2 2.7) ud Spezialfälle: 1) Für = 3 ist lim VarX, λ I) = lim cot 2 csc 2 si = 2 2 1 2 = 3 2. 2.8) EZ 3, λ I) = 1 si 3 2) Für = 4 erhält ma = 1 = 2 ud EX 3, λ I) = 1 3 3 3 si 3 1 2 = 2 3 3. EZ 4, λ I) = 1 si 4 = 1 = 2 ud EX 4, λ I) = 1 2 4 si 4 1 2 = 2 4. 2.3.3 Bedigte Verteilugsfuktioe Für die bedigte Verteilugsfuktioe F Z, λ I) für die Azahl der Schittpukte zwische Testelemet ud Gitter uter der Bedigug I, dass das jeweilige Testelemet das Gitter scheidet, erhält ma mit F Z, λ x I) = PZ,λ x I) für < x < 1, = i j=1 qi, ) für i x < i + 1, 1 i M 1, 1 für M x < uter Verwedug der bedigte Wahrscheilichkeite pi, ) aus Abschitt 2.3.1 die folgede Formel für < x < 1, si i+1) si i 1 si für i x < i + 1, 1 i M 2, F Z, λ x I) = M 1) 1 si 1 si für M 1 x < M, 1 für M x <.
34 KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE Wir betrachte u die bedigte Verteilugsfuktioe F X, λ x I) = PX, λ x I) für die Zufallsvariable X, λ = Z, λ /. Es gilt für < x < 1, F X, λ x I) = 1 1 si i+1) si i si M 1) 1 si si für i x < i+1, 1 i M 2, für M 1 x < M, 1 für M x <. Satz 2.7. Für kovergiere die bedigte Verteilugsfuktioe F X, λ I) gege die bedigte Verteilugsfuktio F Xλ I) mit für < x <, F Xλ x I) = 1 cosx für x < 1 2, 1 für 1 x <. 2 Beweis. Für 1/ x < M/ gilt F X, λ x I) = i qi, ) = j=1 i j=1 pi,, λ) pi, ) = [ 1 p,, λ) + pi, ) ] i pi,, λ). j= Uter Verwedug des Ergebisses vo Satz 2.4 folgt lim F X, λ x I) = 1 [ 1 2λ) + 1 2λ cosx] = 1 cosx. 2λ Wie ma erket, ist die bedigte Verteilugsfuktio F Xλ I) gleich der absolut) stetige Kompoete F 2 der Verteilugsfuktio F Xλ. Satz 2.8. Es sei g eie i [, 1] stetige Fuktio. Da kovergiere die bedigte Erwartugswerte M EgX, λ ) I) = g i ) qi, ) für gege EgX λ ) I) = i=1 1/2 gx) df Xλ x I) = gx) six dx. x=
2.4. SIMULATION 35 Beweis. Die Beweis dieses Satzes verläuft uter Verwedug des Ergebisses vo Satz 2.7 aalog zum Beweis vo Satz 2.5. Aus diesem Satz folgt umittelbar: Korollar 2.9. Die Momete EX, k λ I), k = 1, 2,..., kovergiere für gege 1/2 EXλ k I) = x k df Xλ x I) = x k si x dx. Wir bereche de Erwartugswert ud das Momet zweiter Ordug vo X λ bezüglich I: EX λ I) = EXλ 2 I) = x 2 df Xλ x I) = 1/2 x df Xλ x I) = x si x dx = 1, 1/2 Damit erhalte wir für die Variaz vo X λ bezüglich I x 2 si x dx = 2 2. VarX λ I) = EX 2 λ I) EX λ I)) 2 = 3 2. Diese Ergebisse stimme - wie es sei muss - mit de Ergebisse lim EX, λ I) = 1, lim VarX, λ I) = 3 2 lim EX, 2 2 λ I) =, 2 überei, die wir auf aderem Wege i 2.6), 2.7) ud 2.8) erhielte. 2.4 Simulatio Für die Simulatio der Zufallsexperimete mit de Testelemete S, a wurde das Programm ster1.pas, das im Ahag A.1 zu fide ist, etwickelt. Es gliedert sich im Wesetliche i die Teile: a) Eigabe der erforderliche Werte: Azahl der Strecke Nadel) pro Testelemet, a Läge der Strecke, D Abstad beachbarter Gittergerade, imax Azahl der Würfe des Testelemets; b) Berechug der maximale Azahl max der Schittpukte zwische Testelemet S, a ud Gitter R D mittels max=m div 2)+m mod 2) m div 2 liefert de gazzahlige Ateil der Divisio vo m durch 2 ud m mod 2 de gazzahlige Rest dieser Divisio, also, we m geradzahlig ist, sost 1.); c) Überprüfug, ob das Testelemet bei eiem Wurf icht mehr als eie Gerade des Gitters scheide ka We das icht der Fall ist, wird das Programm mit der
36 KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE Fehlermeldug Testelemet zu gross! abgebroche.); d) Simulatio: Bestimmug der Realisieruge der Zufallsvariable phi Wikel vo S, a bezüglich R D ) ud ym Lage des Mittelpuktes vo S, a bezüglich eier Gittergerade) ud Ermittlug der relative Häufigkeite für die Azahle der Schittpukte zwische Testelemet ud Gitter sowie der diesbezügliche Mittelwerte; e) Berechug der Wahrscheilichkeite ud Erwartugswerte etspreched de i de Abschitte 2.2 ud 2.3 hergeleitete Ergebisse; f) Ausgabe der Ergebisse i Dateiform Diese Art der Ausgabe gestattet die ratioelle Abspeicherug der Ergebisse für verschiedee Kombiatioe der Eigabewerte.). Nachfolged u eiige Beispiele für Ausgabedateie, die mittels dieses Programms erzeugt wurde. Die erste Zeile jeder Datei ethält die Eigabegröße. Aschließed sid die berechete Wahrscheilichkeite ud die durch Simulatio ermittelte relative Häufigkeite aufgelistet. p[i] ist die Wahrscheilichkeit pi,, λ) für das Auftrete vo geau i Schittpukte zwische Testelemet S a ud Gitter R D ud h[i] die experimetell ermittelte relative Häufigkeit des Auftretes vo geau i Schittpukte. ps ud hs sid die zur Plausibilitätskotrolle ermittelte Summe der Wahrscheilichkeite bzw. relative Häufigkeite. Aschließed sid der Erwartugswert EZ, λ ) ud der mittels der relative Häufigkeite ermittelte Mittelwert MZ) für die Azahl Z der Schittpukte agegebe. Der ächste Block i de Ausgabedateie ethält die bedigte Wahrscheilichkeite qi, ) bezeichet mit pb[i]) für das Auftrete vo geau i Schittpukte uter der Voraussetzug, dass das Testelemet das Gitter scheidet Ereigis I), ud die diesbezügliche experimetell ermittelte relative Häufigkeite hb[i]. pbs ud hbs sid die zur Plausibilitätskotrolle ermittelte Summe der bedigte Wahrscheilichkeite bzw. relative Häufigkeite. Abschließed sid jeweils och der berechete bedigte Erwartugswert EbZ) = EZ, λ I) ud der mittels der relative Häufigkeite ermittelte Mittelwert MbZ) gegeübergestellt. Simulatiosergebisse für Testelemet S 7, a mit a = 1 auf Gitter R D mit D = 2, 1 6 Versuche: = 7, a = 1., D = 2., imax = 1 Wahrscheilichkeite ud relative Häufigkeite: p[] =.33234, h[] =.3325 p[1] =.19148, h[1] =.191666 p[2] =.34535, h[2] =.345738 p[3] =.374387, h[3] =.373551 p[4] =.55865, h[4] =.5584 ps = 1., hs = 1. Erwartugswert ud Mittelwert: EZ) = 2.228169, MZ) = 2.227155