Kapitel 3 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 3.1 Gegeben ist die Funktion { fx= x,, <x <x. Setzen Sie die Funktion a als gerade Funktion, b als ungerade Funktion, c als -periodische Funktion auf das Intervall [, fort. Skizzieren Sie jeweils den Funktionsverlauf in, und berechnen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten c, c 1 und c 1 sowie die reellen Koeffizienten a, a 1 und b 1. Aufgabe 3. Leiten Sie aus der komplexen Darstellung der Parseval schen Gleichung siehe Seite 144 die folgende reelle Form her: Für eine reellwertige Funktion f L, mit den Fourierkoeffizienten a k, k N bzw. b k, k N gilt a + ak + b k = 1 fx dx. k=1 Aufgabe 3.3 Die mit -periodische Funktion f : R R besitzt im Intervall, die Werte fx= cosh x, x,. Begründen Sie, dass f stückweise stetig differenzierbar ist. Ist f auch stetig differenzierbar? Bestimmen Sie auch die Fourierreihe der Funktion in reeller Form. Ist diese punktweise konvergent? Tritt das Gibbs sche Phänomen auf? Aufgabe 3.4 Sind f, g : R C -periodische Funktionen mit f,g L,, so ist auch h definiert durch hx = fx tgtdt, x,, eine Funktion aus L,. Man nennt h die Faltung von f mit g. Wir bezeichnen mit f k, g k bzw. h k die Fourierkoeffizienten der entsprechenden Funktion. Zeigen Sie den Faltungssatz h k = f k g k, k Z. Aufgabe 3.5 Der Satz über die trigonometrische Interpolation von Seite 155 soll bewiesen werden. Dazu sind für N N die Interpolationspunkte durch x j = + j N, j =,...,N gegeben. Zeigen Sie:
5 Aufgaben zu Kapitel 3 a Es gelten die Gleichungen { N, l = k, e il kx j =, sonst, j= { N e ikx j x l N, j = l, =, sonst. k= N+1 b Erfüllen die Zahlen c N+1,...,c N C das Gleichungssystem so gilt N k= N+1 c k e ikx j = fx j, j =,...,N 1, c k = 1 fx j e ikx j, N j= k = N + 1,...,N. c Durch die c k aus der letzten Formel in Aufgabenteil b ist eine Lösung des Gleichungssystems aus Teil b gegeben. Rechenaufgaben Aufgabe 3.6 Bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten der Funktion f, die durch {, <x, fx= e ix, <x, gegeben ist. Aufgabe 3.7 Entwickeln Sie die Funktion fx= x cos x, x,, in eine Fourierreihe in reeller Form. Aufgabe 3.8 Die -periodische Funktion f ist auf dem Intervall, durch fx= x x gegeben. Skizzieren Sie f und berechnen Sie die reellen Fourierkoeffizienten. Warum konvergiert die Fourierreihe für jedes x R? Zeigen Sie außerdem 1 n 4 = 4 9. Aufgabe 3.9 Berechnen Sie den Wert der Reihe 1 n+1 1 4n 1 unter Verwendung der Fourierreihe der -periodischen Funktion f mit x fx= cos, x,.
Aufgaben zu Kapitel 3 51 Zeigen Sie dazu für n = 1,, 3,... cos x cosnx dx = 1n 4 1 4n Aufgabe 3.1 Die Funktion f ist auf R gegeben durch x x, x, fx=, sonst. a Zeigen Sie, dass g : R R, definiert durch gx = f x + eine gerade Funktion ist. b Bestimmen Sie die reellen Fourierkoeffizienten von g. c Zeigen Sie fxe inx dx = i n n Z,, x R, und bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten von f. gx cosnx dx, Anwendungsprobleme Aufgabe 3.11 Beim Anschlagen einer Saite werden Obertöne angeregt. Sie sind auch wichtig für die Klangfarbe. Nun ist es so, dass die zweite und vierte Oberschwingung genau ins Halbtonkonzept passen, in dem eine Oktave in 1 Halbtöne zerlegt wird, die dritte und sechste fast genau und die fünfte auch noch einigermaßen. Die siebente Oberschwingung aber liegt ziemlich genau zwischen zwei Halbtönen und sorgt entsprechend für Dissonanzen. Wo muss man eine Saite anschlagen, um die siebente Oberschwingung so weit wie möglich zu unterdrücken? Aufgabe 3.1 Ermitteln Sie mit einem Separationsansatz die Lösung u :[,] R < R des Problems u xx x, t + 4u t x, t 3ux, t = mit Anfangswert ux, = xx für x [,] und Randwerten u,t= u, t =. Aufgabe 3.13 Eine zirkulante n n-matrix ist eine Matrix C = c jk C n n mit c jk = γ j k, j,k = 1,...,n, mit γ j C, j = 1 n,...,n 1 und γ j n = γ j, j = 1,...,n 1. a Überlegen Sie sich ein Beispiel für eine zirkulante 4 4-Matrix. b Es ist C eine zirkulante N N-Matrix, a = a,...,a N 1 C N, γ = γ,...,γ N 1 und b = Ca. Mit F bezeichnen wir die Matrix der diskreten Fouriertransformation. Zeigen Sie: Fb j = N Fγ j Fa j, j =,...,N 1. c Wieso kann die Multiplikation mit einer zirkulanten Matrix effizient implementiert werden?
5 Hinweise zu Kapitel 3 Hinweise Verständnisfragen Aufgabe 3.1 Nutzen Sie die vereinfachten Formeln zur Berechnung der Fourierkoeffizienten für gerade bzw. ungerade Funktionen und den Zusammenhang zwischen reellen und komplexen Fourierkoeffizienten. Aufgabe 3. Berechnen Sie die reellen Fourierkoeffizienten und setzen Sie sie in die Parseval sche Gleichung in der komplexen Form ein. Aufgabe 3.3 Wie sieht f an den Stellen ± aus? Stellen sie für die Bestimmung der Fourierreihe fest, ob die Funktion gerade oder ungerade ist und nutzen Sie die vereinfachten Formeln für die Fourierkoeffizienten. Aufgabe 3.4 Schreiben Sie einen Ausdruck zur Berechnung von h k hin und vertauschen Sie die Reihenfolge der Integrale. Nutzen Sie dann die Periodizität von f bzw. von g. Aufgabe 3.5 a Nutzen Sie die geometrische Summenformel. b und c Die Aussagen folgen durch einfaches Einsetzen aus Teil a. Rechenaufgaben Aufgabe 3.6 Verwenden Sie die Formel für die Fourierkoeffizienten und berechnen Sie das Integral. Aufgabe 3.7 Ist die Funktion gerade oder ungerade, sodass die vereinfachten Formeln für die Fourierkoeffizienten verwendet werden können? Zur Berechnung der Integrale zeigen Sie zunächst cosx sinkx = 1/sink + 1x + sink 1x. Aufgabe 3.8 Verwenden Sie zur Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten die Tatsache, dass f gerade ist. Man muss partiell integrieren. Den Reihenwert erhält man durch Anwendung der Parseval schen Gleichung für die Funktion f. Aufgabe 3.9 Bei der zunächst zu zeigenden Formel führt man für die linke Seite zweimal eine partielle Integration durch. Man erhält wieder dasselbe Integral mit einem anderen Vorfaktor und kann auflösen. Die Fourierreihe müssen Sie an der Stelle betrachten. Aufgabe 3.1 a Berechnen Sie g explizit. b Nutzen Sie die vereinfachten Formeln für eine gerade Funktion. c Nutzen Sie, dass g außerhalb eines bestimmten Intervalls verschwindet und verwenden Sie die Euler sche Formel. Anwendungsprobleme Aufgabe 3.11 Betrachten Sie eine Saite der Länge. Die Anfangsauslenkung modelliert man als eine stückweise lineare Funktion. Aus ihren Fourierkoeffizienten erhält man die Lösung nach den Überlegungen vom Anfang des Kapitels. Aufgabe 3.1 Schreiben Sie ux, t = vtwx und stellen Sie gewöhnliche Differenzialgleichungen für v und w auf. Die Gesamtlösung ist eine Reihe über alle so erhaltene Lösungen. Indem man die Fourierreihe der Anfangswerte aufstellt, erhält man die Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich. Ausführlich sind Separationsansätze im Kapitel 9 beschrieben. Aufgabe 3.13 a In jeder Zeile müssen dieselben Einträge vorkommen, aber jeweils nach rechts verschoben. b Drücken Sie Fb j durch γ, a und ω jk aus und nutzen Sie die Periodizität von γ. c FFT.
Lösungen zu Kapitel 3 53 Lösungen Verständnisfragen Aufgabe 3.1 a c = a = 3/8, a 1 = /, b 1 =, c 1 = c 1 = 1/. b c = a = a 1 =, b 1 = 1 + /, c 1 = i 1/ + 1/, c 1 = i 1/ + 1/. c c = a = 3/8, a 1 = b 1 = c 1 = c 1 =. Aufgabe 3. Siehe ausführlichen Lösungsweg. Aufgabe 3.3 a = sinh/, a k = 1 k sinh/ 1 + k. Das Gibbs sche Phänomen tritt nicht auf. Aufgabe 3.4 Siehe ausführlichen Lösungsweg. Aufgabe 3.5 Siehe ausführlichen Lösungsweg. Rechenaufgaben Aufgabe 3.6 c 1 = 1/, c k = für k ungerade, k = 1 und c k = i/ 1 k, k gerade. Aufgabe 3.7 Die Fourierreihe lautet 1 sinx + 1 k k k 1 sinkx. k= Aufgabe 3.8 a = /6, a k 1 =, a k = 1/k, b k =, k N. Aufgabe 3.9 Die Fourierreihe von f lautet + 4 1 n+1 4n 1 cosnx. Aufgabe 3.1 a b Die Fourierkoeffizienten sind a n = 1k k für n = k, k = 1,, 3,..., bzw. a n = 4 1k k+1 3 für n = k + 1,k =, 1,, 3,...sowie b n =, n = 1,, 3,... c Die Fourierkoeffizienten sind c = /1 und c ±n = 1 k für n = k, k = 1,, 3,..., bzw. c ± = i k+1 für n = k + 1, k =, 1,, 3,... Anwendungsprobleme Aufgabe 3.11 Für eine Saite der Länge muss man an einer der Stellen x = n/7, n = 1,...,6, anschlagen. 1 1 n Aufgabe 3.1 Die Lösung lautet ux, t = n 3 e 3+n 4 t sinnx. Aufgabe 3.13 a Ein Beispiel ist C = 1 3 1 3 3 1 1 3 b siehe ausführlichen Lösungsweg. c Mithilfe der FFT ist der Aufwand ON ln N Operationen.
54 Lösungswege zu Kapitel 3 Lösungswege Verständnisfragen Aufgabe 3.1 In der Abbildung 3.17 sind die drei Fortsetzungen dargestellt. Für die Berechnung der Koeffizienten gilt: fx gerade -periodisch 1 f x 1 ungerade Abbildung 3.17 Die Funktion f und ihre Fortsetzungen auf das Intervall,. a Es soll f gerade fortgesetzt werden, es gilt also und c = a = 1 fxdx = 1 / x dx + 4 = 3 8 a 1 = fx cos x dx = / x cos x dx + / cos x dx = [x sin x + cos x]/ +[sin x] / = 1 1 =. Da f a reell und gerade sein soll, ist b 1 = und c 1 = c 1 = a 1 = 1. b Da f b reell und ungerade ist, gilt c = a = und a 1 =. Es bleibt b 1 = fx sin x dx = x sin x dx + sin x dx / = [sin x x cos x]/ [cos x] / = 1 = + 1.
Lösungswege zu Kapitel 3 55 Daraus folgt und c 1 = i b 1 1 = i + 1 c 1 = i b 1 1 = i + 1. c Es gilt hier c = a = 1 fxdx = fxdx = 3 8 wie in Teil a. Ferner ist a 1 = 1 fx cos x dx = 1 fx+ cos x dx + 1 fx cos x dx. Mit der Substitution t = x + im ersten Integral folgt a 1 = 1 ft cost dt + 1 fx cos x dx = 1 ft cost dt + 1 fx cos x dx =. und ganz analog folgt b 1 =. Damit ist auch c 1 = c 1 =. Aufgabe 3. Es ist nach der Parseval schen Gleichung auf beiden Seiten mit multipliziert 1 fx dx = k= c k = c + Da c = a ist, haben wir bereits den ersten Term gefunden. k=1 c k + c k. Weil f reellwertig ist, sind die Koeffizienten a k bzw. b k ebenfalls reell. Damit ist c k = a k i b k = 1 4 a k i b k a k + i b k = 1 ak 4 + i a k b k i a k b k + bk = 1 ak 4 + b k. Ganz analog folgt Somit erhalten wir c k = 1 4 c k + c k = 1 ak + b k. ak + b k. Setzen wir dies in die Formel oben ein, so steht die Behauptung da.
56 Lösungswege zu Kapitel 3 Aufgabe 3.3 Auf dem Intervall, ist f stetig differenzierbar mit der Ableitung f x = sinhx. Diese lässt sich stetig fortsetzen in die Randpunkte ±. Dasselbe Argument gilt für jedes andere Intervall der Form k 1, k + 1, k Z. Daher ist f stückweise stetig differenzierbar. Die Funktion ist allerdings nicht stetig differenzierbar, denn es ist zum Beispiel sinh = f = f + = sinh. Da f eine gerade Funktion ist, sind die Koeffizienten b k =, k N. Ferner ist und a k = a = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 coshx dx = 1 [sinhx] = sinh coshx coskx dx e x + e x e ikx + e ikx dx e 1+ikx + e 1 ikx + e 1 ikx + e 1+ikx dx [ e 1+ikx e 1+ikx 1 + ik e 1+ik e 1+ik 1 + ik ] + e1 ikx e 1 ikx 1 ik + e1 ik e 1 ik 1 ik. Da expik = exp ik = 1 k, k Z, folgt a k = 1k e e 1 + ik = 1k sinh = 1k sinh 1 + k. + e e 1 + ik 1 1 + ik + 1 1 ik Da f stetig und stückweise stetig differenzierbar ist, konvergiert die Fourierreihe an jeder Stelle x R gegen fx, es gilt also fx= sinh 1 k 1 + 1 + k coskx. k=1 Das Gibbs sche Phänomen kann nicht auftreten, denn f ist stetig. Aufgabe 3.4 Wir bestimmen die Fourierkoeffizienten h k durch h k = 1 hx e ikx dx = 1 fx tgtdt e ikx dx.
Lösungswege zu Kapitel 3 57 Da f, g L, und e ikx C [, ], ist der gesamte Integrand auf dem Quadrat,, integrierbar. Nach dem Satz von Fubini darf die Integrationsreihenfolge vertauscht werden. Es folgt h k = 1 gt fx te ikx dx dt. Nun Substituieren wir im inneren Integral x = t + s und erhalten h k = 1 t gt fse ikt+s ds dt t = 1 t gt e ikt fse iks ds dt. t Jetzt nutzen wir, dass f -periodisch ist und wir den Integrationsbereich des inneren Integrals wieder auf das Intervall, verschieben können. Dadurch separieren die Integrale, und wir folgern h k = 1 gt e ikt fse iks ds dt = 1 gt e ikt dt fse iks ds = g k f k. Damit ist der Faltungssatz bewiesen. Aufgabe 3.5 a Ist l k kein Vielfaches von N, so gilt unter Verwendung der geometrischen Summenformel Für l k = Nm, m Z, ist Für l, k { N + 1,...,N} ist j= Damit können wir beide Fälle durch N 1 e il kx j = e il k j= e il kj/n il k 1 eil k = e 1 e il k/n =. N 1 e il kx j = e i N+jm = N. j= j= l k { N + 1,...,N 1}. j= e il kx j = N δ lk zusammenfassen. Dabei ist δ lk das Kronecker-Delta siehe Kapitel mit δ lk = für k = l und δ ll = 1. Ganz analog erhalten wir auch die Formel N e ikx j x l = N δ jl. k= N+1
58 Lösungswege zu Kapitel 3 b Wir nehmen an, dass eine Lösung des Gleichungssystems c N+1,...,c N existiert. Dann gilt für k = N + 1,...,N, j= fx j e ikx j = N c l e il kx j j= l= N+1 N = c l e il kx j l= N+1 j= N = c l Nδ lk l= N+1 = N c k. c Mit den c k aus der Formel erhalten wir N k= N+1 c k e ikx j = 1 N N k= N+1 l= = 1 fx l N l= fx l e ikx j x l N k= N+1 = 1 fx l N δ jl N l= = fx j für j =,...,N 1. Also ist durch diese c k stets eine Lösung gegeben. e ikx j x l Rechenaufgaben Aufgabe 3.6 Es ist Für k = 1 ist c 1 = 1/. Für k = 1 erhalten wir Damit ist c k = für k ungerade, k = 1 und c k = 1 fxe ikx dx = 1 e i1 kx dx. c k = [ ] c k = 1 e i1 kx i1 k = 1 = i e i1 k 1 i1 k 1 k 1 1. 1 k i 1 k, k gerade.
Lösungswege zu Kapitel 3 59 Die Fourierreihe ist durch 1 i eix + 1 k eikx k= gegeben. Aufgabe 3.7 Die Funktion f ist ungerade, daher sind die Koeffizienten a k =, k =, 1,,... Zur Bestimmung der Koeffizienten b k berechnen wir zunächst cosx sinkx = 1 e ix + e ix e ikx e ikx 4i = 1 e ik+1x e ik 1x + e ik 1x e ik+1x 4i = 1 sink + 1x + sink 1x. Nun ergibt sich für k die Formel b k = 1 x sink + 1x + sink 1x dx = 1 [ sink + 1x x cosk + 1x k + 1 k + 1 ] sink 1x x cosk 1x + k 1 k 1 = 1k+1 k + 1 1k 1 k 1 = 1 k k k 1. Für k = 1 erhalten wir b 1 = x cosx sinx dx = 1 x sinxdx = 1 [ sinx x cosx ] 4 = 1. Damit haben wir die Fourierreihe 1 sinx + k= 1 k k k 1 sinkx gefunden.
51 Lösungswege zu Kapitel 3 Aufgabe 3.8 fx x x 1 Abbildung 3.18 Die Funktion fx= x x,,. x Da f gerade ist, sind die Koeffizienten b k =, k N. Für die Koeffizienten a k berechnen wir: a = 1 x x dx = 1 x xdx [ ] = 1 x x3 3 = 6 a k = x x coskx dx = [ ] x x sinkx x sinkx dx k k = [ ] x coskx k k k cosx dx = k 1k 4 k [sinx] = k 1 + 1k, k N Somit ist a k = für ungerades k und Nach der Parseval schen Gleichung ist 1 = a k = 1,k N. k k= = 4 36 + 1 fx dx c k = a + k=1 1 k 4. k=1 a k
Lösungswege zu Kapitel 3 511 Das Integral errechnet sich als 1 fx dx = 1 x x dx [ x 3 = 1 3 x4 4 = 4 1 3 1 + 1 5 ] + x5 5 = 4 3. Somit folgt k=1 1 k 4 = 4 3 4 = 4 36 9. Aufgabe 3.9 Es ist x cos cosnx dx [ x ] = sin cosnx + n [ = 4 sin cosn + n cos + n = 4 cosn + 4n cos x sin sinnx dx x ] sinnx x cos cosnx dx x cosnx dx. Also ist oder 1 4n x cos cosnx dx = 4 cosn = 4 1 n, x cos cosnx dx = 4 1n 1 4n. Nun berechnen wir die Fourierreihe von f.daf gerade ist, folgt b n = für n = 1,, 3,... Für die Koeffizienten a n gilt a n = 1 x cos cosnx dx = 1 4 1 n 1 4n = 4 1 n+1 4n 1, n 1, a = 1 cos x dx =. Also lautet die Fourierreihe von f + 4 1 n+1 4n 1 cosnx.
51 Lösungswege zu Kapitel 3 Den gesuchten Reihenwert erhalten wir durch Auswertung der Fourierreihe in x =. Da f stetig differenzierbar ist, stimmt der Wert der Fourierreihe mit dem Wert von f an jedem x, überein. Damit gilt 1 = f = + 4 1 n+1 4n 1, und somit 1 n+1 1 4n 1 = 1 4 =. 4 Aufgabe 3.1 a Wir berechnen g explizit: gx = f x + { x + = x, x +,, sonst, { = 4 x, x,, sonst. Offensichtlich ist somit g gerade. b Wir bezeichnen die reellen Fourierkoeffizienten von g mit a n, n =, 1,,... bzw. mit b n, n = 1,, 3,... Dann gilt b n = für alle n, dag eine gerade Funktion ist. Ferner ist Somit folgt c Es ist a = 1 gx dx = 1 [ ] / 4 x dx = 1 / x x3 = 4 3 1, a n = gx cosnx dx = / 4 x cosnx dx [ ] = / x x sinnx sinnx 4n n n cosnx + n 3 sinnx = 4 n n 3 sin n n cos, n = 1,, 3,... fxe inx dx = 1k a n = k, n = k, k = 1,, 3,... 4 1 k k+1 3, n = k + 1,k =, 1,, 3,... g x / e inx dx = e in/ gx e inx dx 3/ = i n gx e inx dx = i n Die vorletzte Umformung gilt, da g außerhalb des Intervalls /,/ verschwindet. Da g eine gerade Funktion ist, ist gx sinnx dx =. Somit folgt die letzte Umformung mit der Euler schen Formel. gx cosnx dx.
Lösungswege zu Kapitel 3 513 Es bleibt die Fourierreihe von f in der komplexen Form zu bestimmen. Wir bezeichnen die Fourierkoeffizienten mit c n, n Z. Mit der eben gezeigten Formel folgt c = a, c n = in a n Mit dem Ergebnis aus b folgt c = /1 und, c n = in a n, n = 1,, 3,... { 1 c ±n = k, n = k, k = 1,, 3,... i k+1, n = k + 1, k =, 1,, 3,... Anwendungsprobleme Aufgabe 3.11 Wir geben uns eine Saite der Länge vor, die Schwingung wird also durch die Fourierreihe b k sinkx k=1 dargestellt. Das Anschlagen der Saite an der Stelle x bringt diese in eine Ausgangslage der Form { A x ux = x, <x x A x x, x <x<. Dabei ist A > die Amplitude, die nur linear in das Ergebnis eingeht. Auf die relative Größe der Koeffizienten zueinander hat sie also keinen Einfluss, und wir setzen im folgenden A = 1. Wir bestimmen die Koeffizienten b k, indem wir u ungerade auf das Intervall, fortsetzen. Dann gilt b k = [ x x ] x sinkx dx + sinkx dx x x x = [ sinkx x k x coskx ] x [ ] coskx k x k x [ x coskx + sinkx ] x k k x = sinkx x k coskx cosk k x k + coskx x k + cosk xk x coskx x k + sinkx x k = sinkx [ x + x ] x x k + coskx [ x x ] x k = sinkx x x k. Die k-te Oberschwingung verschwindet also, falls kx eine Nullstelle der Sinusfunktion ist. Damit die 7-te Oberschwingung zu null wird, ist also x = n/7, n = 1,...,6, eine geeignete Wahl. Aufgabe 3.1 Mit dem Ansatz ux, t = vtwx folgt vtw x + 4v twx 3vtwx =
514 Lösungswege zu Kapitel 3 bzw. für alle x [,] und t>. w x wx = 4 v t vt + 3 = k R Setzen wir w x = kwx, so erfüllt v die separable Differenzialgleichung Wir erhalten eine Lösung Weiter gilt für w die allgemeine Lösung v t = k 3 vt. 4 vt = e 3 k 4 t. wx = c 1 e kx + c e kx. Mit den Randbedingungen folgt c 1 + c =, d. h. c 1 = c, und weiter c 1 e k e k =. Für nichttriviale Lösungen muss c 1 = sein, und, da der sinh nur die Nullstelle x = hat, muss k = n für ein n N gelten. Also ergeben sich die Möglichkeiten mit Konstanten c 1n R. Wir erhalten Lösungen in der Form Somit ist ux, t = wx = c 1n sinnx ux, = c 1n e 3+n 4 t sinnx. c 1n sinnx. Um die Anfangsbedingung einzusetzen, müssen wir den Ausdruck xx in eine Fourierreihe entwickeln. Da es sich um eine ungerade Funktion handelt, sind die Koeffizienten a n =, n N. Für die b n gilt b n = xx sinnx dx [ ] = xx cosnx n [ = n = n = x= + 3x cosnx dx n ] 3x sinnx n n 6x sinnx dx [ 6x cosnx 6 sinnx ] n n 1 1n n 3.
Lösungswege zu Kapitel 3 515 Aufgrund der Anfangsbedingung muss b n = c 1n sein. Wir erhalten die Lösung des Anfangs-Randwert-Problems. ux, t = Aufgabe 3.13 a Die Matrix ist zirkulant. Hier ist C = 1 1 n n 3 e 3+n 4 t sinnx 1 3 1 3 3 1 1 3 γ 3 =, γ = 3, γ 1 = 1, γ =, γ 1 =, γ = 3, γ 3 = 1. b Die Matrix der diskreten Fouriertransformation ist F = ω jk mit Daher gilt ω jk = 1 N e ijk/n, j,k =,...,N 1. ω jk+l = 1 k+l/n e ij N = 1 N e ijk/n e ijl/n = N ω jk ω jl und somit auch ω jk N = N ω jk 1 N e Ij = ω jk. Nun berechnen wir die linke Seite der zu beweisenden Gleichung: Fb j = k= ω jk b k = a l k= l= ω jk γ k l a l = ω jk γ k l l= k= N 1 l 1 = a l ω jk+l γ k + ω jk+l γ k l= k= k= l = l= N 1 l a l ω jk+l γ k k= + ω jk+l N γ k. k=n l
516 Lösungswege zu Kapitel 3 In der letzten Umformung haben wir die Formel γ k N = γ k genutzt. Mit unseren Vorüberlegungen von oben ergibt sich nun Fb j = l= = N a l l= k= ω jk+l γ k a l ω jl = N Fa j F γ j. k= ω jk γ k c Nach der in b gezeigten Formel, sind zunächst diskrete Fouriertransformationen mit einem Aufwand von ON ln N Operationen durchzuführen. Anschließend sind die transformierten Vektoren gliedweise zu multiplizieren, was N Multiplikationen entspricht. Am Ende steht eine inverse diskrete Fouriertransformation, die ebenfalls den Aufwand ON ln N besitzt. Ein Aufwand von ON ist gegenüber einem Aufwand von ON ln N zu vernachlässigen. Damit ist der Gesamtaufwand bei ON ln Nim Gegensatz zu ON, falls man die gewöhnliche Matrizenmultiplikation verwendet.