Lösungen zu Grundwissensaufgaben. Jahrgangstufe Teil. Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen Umformungen DD ff NS GW ff(xx) xx + (xx )(xx + ) + xx² + xx xx(xx + ) xx + xx + xx + xx + RR\{ } xx xx xx² 4xx ff(xx) xx² 4 xx(xx ) (xx + )(xx ) RR\{ } xx xx ff(xx) xx xx² xx + xx(xx + ) (xx ) xx + xx + xx + RR\{ } xx,5. Funktionsterme gebrochen-rationaler Funktionen finden Gib einen (möglichst einfachen) Funktionsterm an, so dass der Graph GG ff der Funktion die folgenden Eigenschaften aufweist. a) Doppelte NS bei xx, Polstelle mit VZW bei xx 3 sowie ff() : ff(xx) 3 (xx )² 4 (3 xx) b) Keine NS, Polstelle ohne VZW bei xx, xx ff(xx) : ff(xx) c) Asymptoten von GG ff sind: xx xx 3 yy, keine NS: ff(xx) d) Die einzige Definitionslücke bei xx ist hear: ff(xx) (xx+) (xx+) 3. Grenzwert berechnen Zu zeigen: Faktorisieren: h-methode: 4. Asymptoten ff(xx) xx² 4 gg(xx) xx² xx³ xx xx ± xx² 8 4 xx³ xx xx²(xx ) xx ± xx² 8 xx ± ff(xx) ff( + h) xx ± h h xx² (xx+)(xx ) xx ± (+h) 3 (+h) (+h) 8 8+h+6h²+h³ (8+8h+h ) h 8+8h+h 8 h +4h+4 4 h (h+4) 4 (xx+)(xx ) xx²+8xx xx(xx+8) (xx+)(xx ) xx³+8xx xx(xx +8) : Senkrecht: xx 8 und xx Waagrecht: yy : Senkrecht: xx Waagrecht: yy (xx+) 4 4 xx²+ (xx+)² (xx )(xx 3) h3 +4h +4h h h +4h+4 h h +8h h h(h+4) 5. Sekante und Tangentensteigung Gegeben: ff(xx) xx² xx +. a) ff() und ff() 7 mm yy yy 7 xx xx b) Punkt PP( ) in yy 5xx + tt einsetzen: 5 + tt tt 3 Sekante: ss(xx) 5xx 3 ff(+h) ff() c) mm tt, (+h)+ () +4h+h² h+ h(h+3) h h h h h h h h (h + 3) 3 h
Lösungen zu Grundwissensaufgaben. Jahrgangstufe Teil. Ableiten mit Summen-, Produkt- und Quotientenregel a) ff (xx) xx (xx + ) + xx 4xx + xx b) ff (xx) 9xx² + c) ff (xx) (3xx + ) + (xx + ) 6xx 9xx + 6xx + d) ff (xx) (4xx 3 5xx ) (xx 3) + ( 5xx 3 ) e) ff (xx) xx ( xx) xx ( ) ( xx)² f) ff (xx) (xx+)(xx ) xx²+ (xx )+(xx+) xx + (xx+)(xx )xx (xx +)². Gebrochen-rationale Funktionen untersuchen ff(xx) 4xx xx² 4 und gg(xx) xx³+ xx²+xx+4. a) Definitionsbereiche: DD ff RR\{ ; } DD gg RR, da xx² + xx + 4 keine Lösung hat ff( xx) ff(xx) punktsymmetrisch zum Ursprung Graph von gg hat keine Symmetrie zum Koordinatensystem, da sowohl gerade als auch ungerade Potenzen vorkommen. b) ff(xx) ff(xx) waagrechte Asymptote yy xx xx ff(xx) ff(xx) + senkr. Asymp. xx xx ( ) xx (+) ff(xx) ff(xx) + senkr. Asymp. xx xx ( ) c) ff (xx) 4 xx 4 4xx xx (xx 4)² xx (+) xx 6 xx / ± 4 3 x xx < 4 3 4 3 4 3 < xx < 4 3 4 3 4 3 < xx 3. Stammfunktion ff (xx) + - + ff(xx) Steigt MAX Fällt MIN steigt FF(xx) 3 xx³ 4 xx4 + xx + CC Punkt PP( ) einsetzen: 3 4 + + CC CC Steigung der Funktion ff im Punkt PP( ): ff (xx) xx 3xx² ff () Steigung der Stammfunktion FF im Punkt PP( ): FF (xx) ff(xx) ff() 4. Extrema und Kurvendiskussion ff: xx 3 xx4 + xx³ 8xx + 4 mit xx εε R. a) Grad 4, Vorfaktor negativ f(x) x f(x) x + b) Symmetrie: Gerade und ungerade Exponenten gemischt keine Symmetrie c) Monotonieverhalten: ff (xx) 6xx 3 + 3xx 36xx ff (xx) ff (xx) 6xx(xx )(xx 3) xx xx xx 3 3 x x< x <x< x <x<3 x3 x>3 f (x) + - + - f(x) steigt Max. ( 4) fällt d) Punkte: AA( 5,5) BB( ) mm 6,5 yy 6,5xx + Min. ( -) steigt 6,5 tt yy mmmm 5,5 + 6,5 Max. (3-9,5) fällt
Lösungen zu Grundwissensaufgaben. Jahrgangstufe Teil 3. Wurzelfunktionen und verkettete Funktionen ableiten a) ff (xx) 3xx 3 b) ff (xx) (xx² + xx + 3 ) 3 (xx + ) c) ff (xx) ( sin xx) cos xx d) ff (xx) cos (xx + ) xx + 3 e) ff (xx) (xx + ) 99 4xx f) ff (xx) cos (cos xx) ( sin xx) g) ff (xx) ( xx) ( ). Wurzelfunktionen untersuchen Gegeben sei die Funktion ff(xx) xx 3 + a) Definitionsbereich: DD [3; [ (Wertemenge: WW [; [) Nullstellen: xx 3 keine Nullstellen b) ff (xx) xx 3 Steigung der Tangente: mm ff (4) tan φφ φφ 6,6 c) ff (xx) (yy ) + 3 Definitionsmenge: DD ff WW ff [; [ Wertemenge: WW ff DD ff [; [ 3. Umkehrfunktion Gegeben ist die Funktion ff(xx) xx +. a) DD ff [; [ WW ff ] ; ] b) xx yy xx 4 yy² yy + 4 ff(xx) 4 xx² xx + 4 WW ff DD ff [; [ DD ff WW ff ] ; ] 4. Sinusfunktion untersuchen Gegeben ist die Kurvenschar ff(xx) aa ssssssss + ( DD ff RR ) a) Untersuche die Scharkurven auf Symmetrie bzgl. des Koordinatensystems. f( x) a sin( x) + b ( x) a sinx bx f(x) G f ist punktsymmetrisch bzgl. O( ) b) f (x) a cosx + b f (,75π) a + b (I) und f (,5π) a + b (II) II) I) a a b c) f (x) cosx + f (x) cosx x 3 π oder x 5 π 4 4 Steigungsbetrachtung ergibt HOP 3 4 π + 3 π 8 TIP 5 4 π + 5 π 8
Lösungen zu Grundwissensaufgaben. Jahrgangstufe Teil 4. ee-funktion ableiten Differenziere die folgenden Funktionen und bestimme die Nullstellen der Ableitungsfunktion: a) ff(xx) ee xx xx ff (xx) ee xx xx b) ff(xx) ee 5xx 3 ff (xx) ee 5xx 3 5 keine Nullstelle c) ff(xx) ee xx sin xx ff (xx) ee xx sin xx ( sin xx + xx cos xx) Nullstelle: Näherungslösung der Gleichung tan xx xx d) ff(xx) 5 xx ff (xx) 5 xx ln ( ) keine Nullstelle e) ff(xx) eexx ee xx + keine Nullstelle ff (xx) eexx (ee xx +) (ee xx )ee xx (ee xx +)² eexx (ee xx +)² (ee xx +)² ee xx. llll-funktion ableiten Differenziere die folgenden Funktionen und bestimme die Definitionsmenge: a) ff(xx) ln(4xx + 8) ff (xx) 4 DD ] ; [ 4xx+8 xx+ b) ff(xx) ln( xx) ff (xx) DD RR + xx xx c) ff(xx) (xx ee) ln xx ff (xx) ln xx + (xx ee) DD RR + xx d) ff(xx) ee xx ln(xx + ) ff (xx) ee xx ln(xx + ) + ee xx e) ff(xx) ln 4xx xx+3 ff (xx) xx+3 4xx 4(xx+3) (4xx ) (xx+3) xx+ 4 (4xx )(xx+3) DD ] ; [ 3. Kurvendiskussion einer ee-funktion ff(xx) (xx + ) ee xx Symmetrie: ff( xx) ff(xx) und ff( xx) ff(xx) weder achsensym. zur y-achse, noch punktsym. zum Ursprung Nullstellen: ee xx (xx + ) xx Extrema: ff (xx) ee xx + (xx + ) ee xx ( ) (xx + ) ee xx ff (xx) hat Nullstelle mit Vorzeichenwechsel bei xx ff( ) ee MMMMMM( ee ) Verhalten im Unendlichen: xx ee xx + xx ee xx ( e-funktion gewinnt ) 4. Kurvendiskussion einer llll-funktion Untersuche die Funktion ff(xx) ( xx) ln(3 xx) auf Symmetrie, Nullstellen und das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs. Bestimme die Gleichung der Tangenten an den Graphen an der Stelle xx. Symmetrie: ff( xx) ff(xx) und ff( xx) ff(xx) weder achsensym. zur y-achse, noch punktsym. zum Ursprung Nullstellen: ln xx ( xx) xx Extrema: ff (xx) ln(3 xx) + xx 3 xx Verhalten an den Rändern: DD ] ; 3[ Tangente: xx xx 3 ( xx) ln(3 xx) + ( xx) ln(3 xx) + ff (xx) ln(3 xx) + xx 3 xx ff () und ff() Punkt ( ) in yy xx + tt einsetzen: tt(xx) xx tt
Lösungen zu Grundwissensaufgaben. Jahrgangstufe Teil 5. Funktionsterme mit vorgegebenen Eigenschaften Im Text sind drei Bedingungen vorgegeben Grad ff (xx) aaaa + I) A( 3): 3 a+b+c II) N(- ): 4a-b + c III) f () : b Lösung des linearen Gleichungssystems I II : 3-3a + 3b 3-3a + 6 a in I: 3 + + c c Lösung: f(x) x + x ff(xx) aaaa² + + cc. Funktionsterme bestimmen ff(xx) (xx + aa)ee ff (xx) ee + (xx + aa)ee Zwei Bedingungen für zwei Unbekannte: I) ff() aa II) ff () 4 + aaaa 4,5 Somit: ff(xx) (xx + )ee,5 xx 3. Geometrische Optimierung a) FF ll und somit ll Der Umfang ist: ff + ll + ff() + b) Suche Extremum von ff(): ff () ² (nur positive Lösung relevant) Den minimalen Umfang hat ein Rechteck mit FFFF, wenn es ein Quadrat mit Seitenlänge ist. 4. Kurven einpassen Die beiden Streckenstücke sollen mit einer ganzrationalen Funktion verbunden werden. a) I) ff() II) ff () III) ff() 3 IV) ff () b) Wegen der vier Bedingungen muss die Funktion mindestens vom Grad drei sein, da sie dann vier Parameter hat: ff(xx) aaaa³ + ² + cccc + dd c) ff (xx) 3aaaa² + + cc d) I) dd II) cc III) 3 8aa + 4 + IV) aa + 4 Lösung des linearen Gleichungssystems: IV) III): 3 4aa aa 4 In IV): 3 4 Funktionsterm: ff(xx) xx³ + 3 xx² + xx 4 4
Lösungen zu Grundwissensaufgaben. Jahrgangstufe Teil 6. Graphische Bestimmung von Flächeninhalten Abschätzung der Fläche durch Kästchen zählen : ca.,5 Kästchen Vier Kästchen entsprechen einer Flächeneinheit Somit: AA,5 4,6FFFF. Hauptsatz der Differentialrechnung Zeigen, dass FF(xx) eine Stammfunktion zu ff(xx) ist: Ableiten von FF(xx), da FF (xx) ff(xx) Bestimmtes Integral: ff(xx) dddd FF() FF() 3 3 3. Flächeninhalte zwischen Graphen, Achsen, a) Nullstellen bei xx und xx, wegen der Lage unterhalb der xx-achse gilt AA ff(xx) dddd xx3 xx dddd 4 xx4 3 xx3 8 3 3 b) Schnittstellen: ff(xx) gg(xx) xx / und xx 3 AA ff(xx) gg(xx) dddd 7 8 (xx3 3xx + 4)dddd 4 xx4 xx 3 + 4xx,5 c) AA 3 xx3 xx dddd 4 xx4,5 3 xx3 8,54,5 3,7 Von den 3 8 3 Flächenstücken, die zu diesem Integral beitragen, liegt mehr unterhalb als oberhalb der xx-achse. d) gg(xx) 6 dddd ( xx ) dddd xx³ xx ³, 3 somit 6 und daraus, /3 ± 3 Bei geht das Integral von bis und ist somit Null, bei ± 3 sind die Flächen ab dem Ursprung ober- und unterhalb der xx-achse gleich groß. 4. Berechnen von bestimmten Integralen Berechne: a) (sin xx xx) dddd cos xx ππ xx² 4 ππ 4 ππ 4 ππ b) 3xx dddd FF(aaaa + ) + CC 3xx mit ff(aaaa + )dddd aa dddd (3xx 3 3 )3 6 4 9 9 9 c) xx³+xx+ dddd (xx + + xx² xx xx ) dddd xx² + ln xx xx 4,5 + ln 4 3 d) (4 xx 5) dddd 4 3 4 xx4 3 5xx 3 4 4 3 ( ),95 e) 4xx ee xx² dddd mit ff (xx) ee ff(xx) dddd ee ff(xx) + CC 4xx ee xx² dddd xx ee xx² dddd ee xx² (ee ) 4 ( + ln + )
Lösungen zu Grundwissensaufgaben. Jahrgangstufe Teil 7. Erste und zweite Ableitung a) ff(xx) 3 xx3 + xx xx ff (xx) xx + xx + xx ff (xx) xx + xx 3 b) ff(xx) xx ee xx ff (xx) ee xx + xx ee xx ( ) ( xx) ee xx ff (xx) ee xx + ( xx) ee xx ( ) (xx ) ee xx. Krümmung und Wendepunkte NNNN: llllll xx ee,5 NN(ee,5 ) ff (xx) xx (llllll + ) xx xx ff (xx) xx3 4 xx ( 4llllll) 3xx xx 6 xx 4xxxxxxxx xx 4xxxxxxxx 4llllll xx 3 4xx +xx llllll xx ( 4+llllll ) llllll 4 xx 6 xx 6 ff (xx) llllll xx ff() uuuuuu ff () 4 < HHHHHH ( ) ff (xx) llllll 4 llllll 3 xx ee 3 ff ee 3 3 + ee 3 5 ff (xx) ännnnnnnnnn VVVV WWWW ee 3 5 3 ee 3 [Wendetangente: yy 4 3ee xx + 3ee 3 ] 3ee 3 3. Wendepunkt von Funktionenscharen Gegeben ist die Funktionenschar gg kk (xx) 4 kkkk mit kk R. xx² a) gg kk (xx) kk xx (4 kkkk) xx kkkk 8 xx³ gg kk (xx) kk xx3 3xx (kkkk 8) xx 6 4 kkkk Notwendige Bedingung für Wendepunkt: gg kk (xx) 4 kkkk Für kk kein Wendepunkt! b) 4 kkkk xx kk gg kk (xx ) 4 kk kk 44 kk² 8 kk² WWWW kk kk 8 c) Wendepunkt für k : WWWW( ) gg 6 () WP in Ansatz yy xx + tt einsetzen: + tt tt 3 tt(xx) xx 3 4. Wendepunkt einer Funktionenschar a) Wendepunkte, wenn der Funktionsgraph GG ff sein Krümmungsverhalten ändert. In der Aildung wechselt der Graph bei ( ) sein Krümmungsverhalten von rechts- nach linksgekrümmt. b) Extremstellen der Ableitungsfunktion ff (xx) sind Wendestellen der Funktionff(xx). Wendestellen sind somit xx und xx. c) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitungsfunktion ff (xx) sind Wendestellen von ff(xx). Wendestellen sind somit xx,8, xx,6 und xx,5.
Lösungen zu Grundwissensaufgaben. Jahrgangstufe Teil 8. Wachstums- und Zerfallsprozesse a) zu V): aa bestimmt den Startwert und die Halbwertszeit b) zu II): bestimmt, wie schnell die Hüllkurve abfällt c) zu I): cc beschreibt den Endwert, z.b. die Raumtemperatur, (aa + cc) den Startwert d) zu IV): aa beschreibt den Startwert und, wie schnell das Wachstum abläuft e) zu III): aa beschreibt den Endwert a) Radioaktiver Zerfall I) ff(xx) aa ee xx +c b) Exponentielle Abnahme (als II) ff(xx) gg(xx) ee xx Hüllkurve) beim Schwingkreis c) Abkühlung einer heißen Flüssigkeit III) ff(xx) aa( ee xx ) d) Exponentielles (unbeschränktes) IV) ff(xx) aa ee xx Wachstum bei Geldverzinsung e) Aufheizen eines Backofens V) ff(xx) aa ee xx. Funktionsterme finden I) ff() II) ff (3) III) ff(3) IV) ff(xx) xx Ansatz: f(x) a(x )e bx f (x) a( bx + b)e bx Lösung:ff(xx) ee 3 (xx )ee xx 3. Geometrische Optimierung Zu optimierende Größe: Querschnittsfläche in Abhängigkeit des Winkels β Randbedingungen: cc 3cccc und cccc Trapezfläche berechnen: h sin ββ aa cc + cos ββ AA(ββ) (aa + cc) h (cc + cos ββ + cc) sin ββ (cc + cos ββ) sin ββ Zielfunktion optimieren: AA (ββ) sin ββ sin ββ + (cc + cos ββ) cos ββ AA (ββ) cos ²ββ + cos ββ ² AA (ββ) cos ²ββ + 3 cos ββ cos ββ 3± 5 4 Einzig relevante Lösung: cos ββ 3+ 5,8 4 ββ 77,4 4. Kurvendiskussion zusammengesetzter Funktionen a) f a (x) ( x + a) e x f a (x) (x a ) e x Nullstelle ff mit Vorzeichenwechsel bei xx aa + b) x f(x) f(x) x