Theoretische Physik Quantenmechanik II

Theoetische Physik Quantenmechanik II Sommesemeste 95 Geit Jahn 6. Juni 2004

Inhaltsvezeichnis 0 Einleitung 3 0.1 Hilfsmittel.................................... 5 1 Quantenmechanische Steutheoie 7 1.1 Gundbegiffe.................................. 7 1.1.1 Theoetische Konzepte......................... 7 1.1.2 Zweiteilchen-Steuung, Reduktion auf Einteilchen-Steuung..... 9 1.1.3 Stomdichten und Wikungsqueschnitt................ 10 1.1.4 Optisches Theoem........................... 12 1.2 Steutheoie mit Integalgleichungen..................... 14 1.2.1 Geensche Funktion........................... 14 1.2.2 Integalgleichungen de Steutheoie.................. 14 1.2.3 Bonsche Näheung........................... 16 1.2.4 Dastellungsfeie Fomulieung..................... 20 1.3 Patialwellenentwicklung............................ 24 1.3.1 sphäische Lösung de feien Schödingegleichung.......... 24 1.3.2 Steulösung fü Potential V 0.................... 26 1.3.3 Steuamplitude, Wikungsqueschnitt................. 29 1.3.4 Egänzungen.............................. 31 2 Symmetien in de Quantenmechanik 39 2.1 Tansfomationen von Obsevablen u. Zuständen............... 40 2.1.1 Guppeneigenschaften von Tansfomationen............. 41 2.2 Symmetien................................... 42 2.2.1 Diskete Symmetien.......................... 42 2.2.2 Kontinuieliche Symmetien...................... 43 2.2.3 Innee Symmetien........................... 45 2.3 Ehaltungsgößen................................ 46 2.3.1 Zeitentwicklung eines Zustands Ψ(t)................ 47 2.4 Dastellungen und Eigenwetpobleme.................... 50 2.4.1 Guppendastellungen......................... 50 2.4.2 EWP bei Symmetie.......................... 54 2.5 Dehungen.................................... 59 1

2 2.5.1 Ieduzible Dastellungen........................ 59 2.5.2 Podukt-Dastellungen, Addition von Dehimpulsen......... 61 2.5.3 Tenso-Opeatoen........................... 64 2.5.4 Wigne-Eckat-Theoem........................ 65 Index 66

Kapitel 0 Einleitung 3 Kapitel 0 Einleitung Dieses Skipt (noch ist es keines, da noch viele Volesungen fehlen) gibt die Volesung Theoetische Physik D (Quantenmechanik II), die Pof. Hollik im SS 1995 an de Uni Kalsuhe gehalten hat, wiede (ode vesucht dies zumindest). Das Skipt wude nicht von Pof. Hollik autoisiet, so daß diese nicht fü evtl. Fehle veantwotlich ist. Ich wede im Gegensatz zu meinen bisheigen Skipte vemutlich nicht alle Heleitungen komplett übenehmen bzw. einabeiten, da dies aufgund de Masse des Stoffes und dessen Komplexität kaum zu machen ist. Von dahe weden wohl einige Abschnitte geküzt weden müssen, die ich abe evtl. späte nachtagen wede. Ich wede mich abe totzdem bemühen, die Volesung weitestgehend zu ehalten... Z.B. sollte dieses einleitende Kapitel eine kleine Wiedeholung aus Theoie C enthalten, die ich abe est einmal weglassen wede. (Sollte ja eh alles bekannt sein (ähem!)) Meke: Wenn Dein Pofesso sagt, de Stoff de nächsten ein bis zwei Volesungen sei im Gunde genommen eine Tivialiät, wid s lustig.

4 Kapitel 0 Einleitung Ab sofot kann dieses Skipt von folgende WWW-Seite bezogen weden: http://www.planetjahn.de/skipte Falls Pobleme, Anmekungen ode Beichtigungen bzgl. des Skipts bestehen sollten, findet sich meine Email-Adesse auf obige Webseite. München, Mai 2003, Geit Jahn

Abschnitt 0.1 Hilfsmittel 5 0.1 Hilfsmittel Vollständigkeitselation im Hilbetaum. Die Vektoen Ψ, die von de Göße χ duchnumeiet weden, bilden eine Basis des Hilbetaums (sind vollständig), wenn sie die folgende Relation efüllen Σ dχ Ψ Ψ = 1. (1) Einfügen eines vollständigen Zustandes x x, sofen die x die Vollständigkeitselation (1) efüllen... Ψ Φ = Σ d 3 x Ψ x x Φ. (2)

6 Kapitel 0 Einleitung

Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie 7 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie 1.1 Gundbegiffe 1.1.1 Theoetische Konzepte Es wid davon ausgegangen, daß z.b. ein Teilchen (mit Wellenvekto k) an einem Taget (bzw. Potential) um den Winkel ϑ gesteut wid und danach mit k weitefliegt. (s. Abb. 1.1) k k ϑ Abbildung 1.1: Die einfallende (ebene) Welle k wid am Taget (Potential) um den Winkel ϑ gesteut. Man hat nun pinzipiell zwei Fälle von Steuung zu untescheiden: Elastische Steuung, d.h.: k = k. Das gesteute Teilchen behält also seine Enegie gemäß (1.1) bei. Inelastische Steuung: k k. De Seupatne nimmt z.b. igendwie Enegie auf. Im folgenden wid die elastische, nicht-elativistische Steuung betachtet, d.h., de Enegie- Impuls-Zusammenhang ist gegeben duch E = p2 2m = 2 k 2 2m = E k. (1.1) Die zeitabhängige Bescheibung des einlaufenden Wellenpakets egibt sich aus de allgemeinen Lösung de Schödingegleichung zu Ψ 0 ( x,t) = d 3 k e i k x e i E t A k0 ( k) f. t, (1.2)

8 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie wobei A k0 einen Peak bei k = k 0 hat. Die gesteute Welle besteht nun aus einem Anteil, de geade duch geht, also wiede eine Welle de Fom (1.2) und einem Steuanteil, den man (fü goße Zeiten) nach Kugelwellen zelegen kann... Ψ s ( x,t) = d 3 k eik E e i t A k0 ( k) F( k, ˆx) f. t +, (1.3) wobei = x und ˆx = x/. Dabei steckt man noch die zusätzliche Annahme hinein, daß das Wellenpaket schaf bleibt, also keine quantenmechanische Dispesion auftitt. De Fakto F( k, ˆx) bescheibt die Wechselwikung (Einfluß des Potentials, Winkelabhängigkeiten,... ). Gl. (1.3) kann man (auf wohl echt kompliziete At und Weise) umfomen und ehält (1.3) : Ψ s ( x,t) 1 F( k 0, ˆx) d 3 k e ik e i E t A }{{} k0 ( k). (1.4) f E (ϑ,ϕ) }{{} festgelegt duch Ψ 0 ( x, t) f E (ϑ,ϕ) bezeichnet man als Steuamplitude. Das Ziel de Steutheoie besteht nun dain, die Steuamplitude fü ein gegebenes WW- Potential zu beechnen und daaus dann weitee Gößen, wie z.b. Wikungsqueschnitte, zu beechnen. In de üblichen Vogehenweise idealisiet man das einfallende Teilchen als ebene Welle mit schafem Wellenvekto k( p). Somit ehält man einen stationäen Enegiezustand (d.h., das Integal in (1.2) entfällt) und kann die Zeitabhängigkeit absepaieen: Ψ 0 ( x,t) = Ψ k ( x) e i E k t, E k = 2 k 2 2m Ψ k ( x) = N e i k x. (1.5) Die Nomieungskonstante ehält man aus d 3 x Ψ k ( x)ψ k ( x) = δ (3) ( k k ) N = (2π) 3/2. Aufgund de Sepaiebakeit de Zeitabhängigkeit baucht man nu noch die stationäe Schödingegleichung zu lösen, die bei nichtveschwindendem Potential folgende Gestalt annimmt: ] HΨ( x) = [ 2 2m + V ( x) Ψ( x) = E k Ψ( x). (1.6) Sationä bedeutet auch, daß das Potential mit wachsendem x hineichend schnell veschwindet, also V ( x) schnell 0 f. x > R, wobei R die Reichweite des Potentials ist.

Abschnitt 1.1 Gundbegiffe 9 Gesucht ist nun gemäß den anfänglichen Übelegungen eine Lösung fü goße = x, die dann folgende Gestalt hat (mit feste Enegie, woduch das Integal auch in (1.4) entfällt): Ψ k ( x) = N ( Steuamplitude {}}{ e i k x + f(ϑ,ϕ) e ik }{{ } =Ψ s, gesteute Welle ). (1.7) Die Gesamt-Wellenfunktion fü goße Zeiten nach de eigentlichen Wechselwikung setzt sich (auch gemäß den obigen Übelegungen) zusammen aus einem Anteil de upspünglichen ebenen Welle, die geade duch geht und eine Kugelwelle (zu feste Enegie aus (1.3)), die am Taget ezeugt wid. Diese Lösung aus (1.7) efüllt die Schödingegleichung, wie man leicht feststellen kann. Die ebene Welle efüllt sie sowieso und de Radialanteil muß die adiale Schödingegleichung efüllen, wobei zu beachten ist, daß das Potential in de Schgl. veschwunden ist, da (1.7) nu asymptotisch, also fü goße bzw. t gilt... H 0 Ψ s 2 = 2 L 2m 2(Ψ s) + 2 2m 2Ψ s ( ) = 2 1 2 f(ϑ,ϕ) + eik 2m 2eik 2m 3 e ik =E k = 2 k 2 }{{} 2m f(ϑ,ϕ) = E k Ψ s, -unabhängig {}}{ L 2 f(ϑ,ϕ) } {{ } 1 3 0 womit gezeigt ist, daß Ψ s die Schgl. efüllt und somit Ψ k aus Gl. (1.7) eine asymptotische Lösung des Steuploblems ist. 1.1.2 Zweiteilchen-Steuung, Reduktion auf Einteilchen-Steuung Gegeben ist ein Potential V, welches vom Abstand x 1 x 2 de beiden Teilchen abhängt, die Gesamtwellenfunktion ist gegeben duch Ψ( x 1, x 2 ). Füht man nun Schwepunktskoodinaten und -Impulse ein, sepaiet das Poblem letzlich (wie in de klassischen Mechanik) zu einem effektiven Einteilchenpoblem... R = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2, = x 1 x 2 P = p 1 + p 2, p = m 1 p 1 + m 2 p 2 m 1 + m 2 Setzt man dies in den Hamiltonopeato des Zweiteilchensystems (H = p 2 i i 2m i +V ( x 1 x 2 )) ein, so sepaiet diese und man ehält H = H S + H, H S = P 2 2M, H = p2 2µ + V ( ),

10 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie wobei M = m 1 + m 2 die Gesamtmasse und µ = m 1 m 2 die eduziete Masse ist. Aufgund M de Sepaiebakeit de Hamiltonopeatoen ehält man fü die Gesamtwellenfunktion eine Faktoisieung mit Ψ( x 1, x 2 ) = Φ( R) ψ( ) H S Φ( R) = E S Φ( R) (1.8) H ψ( ) = E ψ( ), (1.9) wobei (1.8) die feie Bewegung des Schwepunkts bescheibt, welche im folgenden nicht weite beachtet wid, da man sie leicht echneisch eliminieen kann und (1.9) ein effektives Einteilchen-Steupoblem eines Teilchens mit Masse µ am Potential V ( ) bescheibt. Aus diesem Gund wid im folgenden stets Einteilchen-Steuung behandelt. 1.1.3 Stomdichten und Wikungsqueschnitt Gegeben sei eine Einteilchenzustand mit stationäee, nomiete Wellenfunktion Ψ( x,t). Dann kann man eine Stomdichte (sog. Wahscheinlichkeits-Stomdichte) wie folgt definieen j( x,t) = [ ] Ψ Ψ ( Ψ )Ψ = R [Ψ pm ] 2m Ψ, (1.10) wobei p = i, wie imme (in de Otsdastellung). Weite kann man eine Wahscheinlichkeitsdichte ϱ( x,t) definieen ϱ( x,t) = Ψ Ψ. (1.11) Wendet man nun auf (1.10) den Nablaopeato an und setzt dann die Schödingegleichung (und deen adjungiete) ein und benutzt noch (1.11), ehält man die j + ϱ t = 0 Kontinuitätsgleichung. (1.12) Diese Gleichung gilt in völlig analoge Fom in de Elektodynamik, nu bescheibt sie hie die Ehaltung de Wahscheinlichkeit und nicht die Ladungsehaltung, wie in de Elektodynamik. Mit Ehaltung de Wahscheinlichkeit ist gemeint, daß keine Teilchen ezeugt ode venichtet weden, wie in de Schödingetheoie üblich. In (1.7) konnte man die Wellenfunktion aufspalten in zwei Teile, einen einlaufenden Ψ in = N e i k x und den Steuanteil Ψ s. Die Stomdichte zu Ψ in egibt sich zu j in = N 2 k m = const. (1.13)

Abschnitt 1.1 Gundbegiffe 11 Die Stomdichte zu Ψ s ehält man duch Einsetzen von Ψ s in (1.10) zu ] j s = N2 [f m R (ϑ,ϕ) eik f(ϑ,ϕ) i eik. Vewendet man nun in Kugelkoodinaten, ehält man [ ] j s = N2 e ik m f(ϑ,ϕ) R e ik ê + ê ϑ O( 3 ) + ê ϕ O( 3 ). i }{{} 2 De dominante Tem fü goße lautet somit j s = ê N 2 ( k m = ê j in f(ϑ,ϕ) 2 2. ) f(ϑ,ϕ) 2 1 2 + O ( 1 3 ) Integiet man übe die Stomdichte j s, ehält man d o j s = dω f(ϑ,ϕ) 2 j in, (1.14) was nun unabhängig von ist. Bei einem Steuvesuch mißt man unte dem Winkel ϑ innehalb des Raumwinkels dω in einem Detekto die Stomdichte j s. Mit Hilfe diese Anschauung egibt sich aus de Definition des diffeentiellen Wikungsqueschnitts (auch diff. Steuqueschnitt) dσ dω folgende Gleichung = Zahl de in den Detekto gesteuten Teilchen/dΩ/Zeiteinheit Zahl de einlaufenden Teilchen /Zeiteinheit/Fläche k also dσ el dω = j s ê 2 dω/dω j in = f(ϑ,ϕ) 2, dσ el dω = f(ϑ,ϕ) 2 (1.15) Die Einheit des Steuqueschnitts ist m 2 und somit die de Steuamplitude m. Duch Integation übe einen vollen Raumwinkel ehält man den totalen elastischen (bishe wude nu elastische Steuung behandelt; dahe auch de Index el) Wikungsqueschnitt zu σ el = dω dσ el dω. (1.16)

12 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie 1.1.4 Optisches Theoem Mit de Stomdichte aus (1.13) egibt sich j in = 0 d o j in = 0, (1.17) V womit (via (1.12)) folgt, daß diese Stomdichte die Wahscheinlichkeit innehalb des Volumens V nicht veändet. Da abe das Obeflächenintegal de gesteuten Stomdichte übe den gesamten Raum nicht veschindet, veschwindet auch die Summe de beiden Stomdichten (eine At Gesamtstomdichte ) nicht: d o j s 0 d o ( j in + j s ) 0. gesamte Raum Um diesem Poblem vozubeugen muß man noch die Stomdichte beücksichtigen, die duch die Intefeenz 1 de einlaufenden und de gesteuten Welle (Ψ in und Ψ s ) entsteht j = j in + j s + j int = N2 k ] (ê z + f 2 m 2 ê + R [f eik( z) ) (ê + ê z ). Venachlässigt wuden bei de Beechnung de Ableitungen (in den Stömen) die Teme de Odnung 1 und eik( z). 3 2 Aus de Tatsache, daß die Gesamtwahscheinlichkeit konstant bleiben sollte, folgt nun, daß das Obeflächenintegal übe die Summe alle Stomdichten, de einfallenden, de gesteuten und de Intefeenzstomdichte, veschwinden muß. Es bleibt aufgund (1.17) noch übig, zu zeigen, daß das O-Integal übe den Rest veschwindet... d o ( j int + j s ) = 0 (1.18) Das O-Integal übe j s wude beeits in (1.14) beechnet. Mit den Gleichungen (1.15) und (1.16) egibt sich damit d o j s = j in dω f(ϑ,ϕ) 2 = j in σ el. (1.19) Bleibt noch d o j int [ = j in R = j in R 2π 2 dωf(ϑ,ϕ) e ik( z) (ê z + ê ) dϕ 1 von d o {}}{ ] ê d cosϑe ik(1 cos ϑ) (cosϑ + 1) f(ϑ,ϕ). (1.20) 0 1 1 Man stellt sich dabei vo, daß de diekte Stahl mit de einen Steuwelle de Kugelwelle, die am Steuzentum entsteht und adial nach außen läuft intefeiet, woduch in Wowätsichtung eine Schwächung des diekten Stahls auftitt, die letztlich die Wahscheinlichkeitsehaltung gewähleistet; de neu hinzugekommene Stom j int bescheibt geade diesen Intefeenz-Tem.

Abschnitt 1.1 Gundbegiffe 13 Dabei ist ϑ de Winkel zwischen ê und ê z. Läßt man nun den Radius gegen Unendlich gehen, so ist mit beliebigem ε > 0 : q cosϑ 1 ε, so daß man ehält: [ (1.20)... = j in 2π 2 R [ = j in 4πR f(0) f(0) }{{} f(ϑ, ϕ) ϑ=0 1 ik 1 1 ε ( 1 e ikε }{{} 0 f. dxe ik(1 x) ] Letztees ist wohl nu schwe zu zeigen. Man ehält also letztlich d o j int = 4π k I[f(0)] j in. (1.21) Setzt man nun noch das Egebnis von (1.19) in (1.21) ein und fodet (1.18), egibt sich das Optische Theoem: )]. σ el = 4π k If(0) Optisches Theoem. (1.22) Das Optische Theoem bescheibt den Zusammenhang zwischen dem Wikungsqueschnitt und de Steuamplitude in Vowätsichtung. Anmekungen: Diese Fom des Optischen Theoems ist nu eine Spezialisieung des allgemeinen Falls (inelastische Steuung) auf ein elastische Steuung. De allgemeine Fall wid in den nächsten Abschnitten (s. 1.3.3) nochmals ewähnt. Das Optische Theoem gilt nu (bzw. hat nu Sinn fü) fü Potentiale endliche Reichweite, also z.b. nicht fü das Coulomb-Potential, da ansonsten de totale Wikungsqueschnitt und und damit auch f(0) divegiet. Da bei Steuung fü den Wikungsqueschnitt stets gilt σ 0, egibt sich gemäß (1.22) imme eine Steuamplitude mit nichtveschwindendem Imaginäteil in Vowätsichtung. Im folgenden weden Methoden vogestellt, die Steuamplitude f(ϑ,ϕ) zu bestimmen. Es wid im wesentlichen unteschieden zwischen den beiden Möglichkeiten 1. Lösen de Schödingegleichung mit Randbedingungen, was abe, wie aus Theoie C bekannt ist, nu bei bestimmten Poblemstellung konket duchfühba ist und 2. Übefühen de Schödingegleichung in eine äquivalente Integalgleichung, die dann iteativ gelöst wid.

14 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie 1.2 Steutheoie mit Integalgleichungen 1.2.1 Geensche Funktion Sei D ein lineae Diffeentialopeato und DΨ( x) = f( x), mit vogegebem f( x) die zugehöige inhomogone Diffeentialgleichung. Diese Gleichung hat dann die allgemeine Lösung Ψ( x) = Ψ 0 ( x) + d 3 x G( x, x )f( x ), (1.23) wobei die Geensche Funktion des Opeatos D duch D (x) G( x, x ) = δ (3) ( x x ) (1.24) definiet ist. Ψ 0 ( x) ist eine Lösung de homogenen Gleichung DΨ 0 ( x) = 0. (1.25) Die Geensche Funktion G( x, x ) ist nicht eindeutig, da man zu ih noch eine beliebige Lösung de homogenen Gleichung (1.25) dazuaddieen kann und so (1.24) imme noch efüllt ist. Die Eindeutigkeit folgt aus den physikalischen Randbedingungen. 1.2.2 Integalgleichungen de Steutheoie Vogegeben ist ein stationäes Poblem, ein Teilchen ohne Spin und ein Wechselwikungspotential V ( x) mit endliche Reichweite. Die Schödingegleichung eines solchen Systems ist gegeben duch (1.6): ] HΨ( x) = [ 2 2m + V ( x) Ψ( x) = EΨ( x). Setzt man nun k 2 = 2mE mit E > 0 und U( x) = 2m V ( x), dann ehält man 2 [ ] 2 + k 2 Ψ( x) = U( x)ψ( x). (1.26) Gemäß den Übelegungen des voigen Abschnitts übe Geensche Funktionen, definiet man sich mittels D := + k 2 einen lineaen Opeato D, dessen Geensche Funktion analog (1.24) duch ( + k 2 )G( x, x ) = δ (3) ( x x ) (1.27) definiet ist. Falls G( x, x ) bekannt ist, bekommt man also in völlige Analogie 2 zu (1.23) als Lösung von (1.26): Ψ( x) = Ψ 0 ( x) + d 3 x G( x, x ) U( x )Ψ( x ), (1.28) 2 dabei tut man so, also kenne man die Funktion Ψ( x) auf de echten Seite von (1.26)

Abschnitt 1.2 Steutheoie mit Integalgleichungen 15 wobei Ψ 0 ( x) eine Lösung de Gleichung (1.26) zu U( x) = 0 ist. Mit (1.28) hat man somit eine Integalgleichung zu Schödingegleichung gefunden, die den Voteil eine kompakten Integaldastellung hat, die systematische Näheungsvefahen zum Finden de Lösung elaubt. Aus de Elektodynmamik ist die Geensche Funktion aus (1.27) bekannt (es handelt sich im wesentlichen um die Geensche Funktion de Helmholtz-Gleichung): G ± ( x, x ) = G ± ( x x ) = 1 e ±ik x x 4π x x. (1.29) (Diese Gleichung wid in den Gln. (1.38) - (1.44) nochmals hegeleitet.) Man wählt i.allg. das + -Zeichen, da dieses eine auslaufende Kugelwelle bescheibt, was ja im voliegenden Poblem auch beechtigt ist. Mathematisch sind die Vozeichen abe äquivalent. Setzt man in (1.28) nun die Geensche Funktion aus (1.29) und die Lösung de homogenen, stationäen Schödingegleichung (eine ebene Welle mit feste Fequenz/Enegie) ein und macht die zu (1.26) fühenden Umbenennungen wiede ückgängig, ehält man die Integal-Gleichung de Steutheoie, die Lippman-Schwinge-Gleichung ( LS-Gl. ): Ψ( x) = e i k x m 2π 2 d 3 x e±ik x x x x Beechnung de Steuamplitude V ( x ) Ψ( x ). (1.30) Das Potential V ( x ) sei um x = 0 lokalisiet und es weden goße Abstände x =: betachtet. Weite sei := x. Dann kann man den Betag in (1.30) entwickeln und ehält ) x x x = 2 + 2 2 x x x (1. 2 Mit diese Näheung kann man nun das Integal aus (1.30) umfomen d 3 x e±ik x x V ( x ) Ψ( x ) eik x x d 3 e ik goß eik x x 1 x x 2 d 3 x x ik e. (1.31) Definiet man sich nun k := k x = k ˆx, mit ˆx = ˆx(ϑ,ϕ), ehält man (1.31) = eik d 3 x e i k x V ( x ) Ψ( x ). (1.32) Vegleicht man nun diese Gleichung (1.32) mit (1.7): Ψ( x) = e i k x + f(ϑ,ϕ) eik, egibt sich f(ϑ,ϕ) = m 2π 2 wobei das Ψ eine Lösung de LS-Gl. (1.30) ist. d 3 x e i k x V ( x ) Ψ( x ), (1.33)

16 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie 1.2.3 Bonsche Näheung Es wid die LS-Gleichung (1.30) iteativ gelöst: Man geht von eine ebenen Welle als 1. Lösung aus und setzt dies dann in die LS-Gl. ein, das Egebnis davon wiede und so weite... Ψ 1 ( x) = e i k x Stat (1.34) (1.30) Ψ 2 ( x) = e i k x + m d 3 x G 2π 2 + ( x x )U( x ) e i k x }{{} (1.35) =Ψ 1 x Ψ 3 ( x) (1.30) = e i k x + m 2π 2 d 3 x d 3 x G + ( x x )U( x ) G( x x )U( x )e i k x. (1.36) Man bezeichnet dieses Vefahen als Bonsche Näheung. Setzt man die genäheten Wellenfunktionen aus den Gleichungen (1.34)- (1.36) in (1.33) ein, ehält man die Bonschen Näheungen fü die Steuamplituden. Setzt man speziell (1.34) in (1.33) ein, ehält man die sog. 1. Bonsche Näheung: f 1 (ϑ,ϕ) = m d 3 x e i( k k ) x V ( x ). (1.37) 2π 2 Man ehält somit, daß die Steuamplitude in este Näheung im wesentlichen einfach die Fouietansfomiete Ṽ ( k k ) des Potentials V ( x) ist. Anmekungen Die este Bonsche Näheung (f 1 (ϑ,ϕ)) ist eell, was im Wiedespuch zum Optischen Theoem (1.22) steht. Dies wid est duch das Hinzunehmen de höheen Odnungen ichtiggestellt. Jede Odnung de Bonschen Näheung liefet einen Fakto V, so daß fü geeignete Anwendungsmöglichkeiten ein schwaches Potential efodelich ist (d.h. V E 0, mit E 0 = Enegie de feien Bewegung). Bestimmung von G ± ( x x ) Die definieende Gleichung de Geenschen Funktion lautete (s. (1.27)) ( + k 2 )G( x x ) = δ (3) ( x x ), G + ( x x ) = G( x x ). (1.38) Man macht nun einen Fouieansatz fü G + ( x x ): G + ( x x 1 ) = d 3 q (2π) G( q)e i q ( x x ). (1.39) 3/2

Abschnitt 1.2 Steutheoie mit Integalgleichungen 17 Die Delta-Funktion hat folgende Fouiedastellung δ (3) ( x x 1 ) = d 3 q e i q ( x x ), (2π) 3/2 womit (1.38) zu [ d 3 q ( q 2 + k 2 ) G( q) 1 ] e i q ( x x ) = 0 (1.40) (2π) }{{ 3 } =:( ) wid. Das funktioniet alledings nu, wenn q 2 k 2 (und was heißt das???). Da in (1.40) die e-funktion nicht zwangsläufig veschwindet, muß die eckige Klamme ( ) veschwinden, woaus sich unte Benutzung von (1.39) folgendes egibt: ( G + ( x x ) = lim ε 0 ) 1 (2π) 3/2 d 3 q e i q ( x x ) k 2 q 2 ± iε (1.41) Dabei wude de Tick angewandt, daß man mal eben ±iε im Nenne dazuzählt, damit die Pole nicht meh auf de eellen Achse liegen und man nun integieen kann. Setzt man nun q := q, := x x und bezeichnet mit θ den Winkel zwischen q und x x, ehält man fü G ± (Beechnung in Kugelkoodinaten): G ± = 1 (2π) 2 = 1 i4π 2 = 1 i4π 2 q = q = 0 0 1 dq q 2 1 d cosθ dq q eiq e iq k 2 q 2 ± iε dq q 0 dq q 1 i4π 2 = 1 4π 2 i dq 0 iq cos θ e k 2 q 2 ± iε e iq k 2 q 2 ± iε 0 e iq k 2 q 2 ± iε + e iq dq q k 2 q 2 ± iε 0 dq q e iq k 2 q 2 ± iε q k 2 q 2 ± iε eiq. (1.42) Betachtet wid nun nun G +, also +iε. Den Nenne kann man in folgende Weise umfomen ( k 2 q 2 + iε = k q + iε ) ( k + q + iε ) + ε2 2k 2k }{{} 4 ε klein 0

18 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie mit Nullstellen bei q 1 = k i ε 2k Das G + wid somit zu q 2 = k + i ε 2k G + = 1 4π 2 i dq q e iq ( )( ), (1.43) k q + iε 2k k + q + iε 2k was nun mit Hilfe des Residuensatzes beechnet wid. De Integationsweg wid übe die positive imaginäe Achse gewählt, da dot fü Iq die e-funktion im Zähle von G + veschwindet. Aus de linken Klamme im Nenne wid noch 1 ausgeklammet und somit wid aus (1.43) ( G + = 1 4π 2 i 2πiRes q e ( iq k + q + iε = 1 2π ( k + iε 2k ) e ik e ε 2k ) ( 2k + iε k 2k ) ) q=q 2 ε 0 eik 4π = 1 4π eik x x x x, (1.44) was mit de angegebenen Fomel aus (1.29) übeeinstimmt. Anwendung Steuung am Yukawa- und (im Genzfall) Coulomb-Potential. e µ Yukawa-Potential: V () = V 0, µ 0. Die Reichweite des Potentials wid duch den Paamete µ beschieben und egibt sich einfach zu R = 1/µ. Fü den Genzfall µ = 0 ehält man das Coulomb-Potential V (,µ = 0) = V 0 /. Es wid nun die 1. Bonsche Näheung de Steuamplitude beechnet, die aufgund de Dehsymmetie um die Polaachse nicht vom Azimutwinkel ϕ abhängt... f 1 (ϑ) (1.37) = m 2π 2 0 2 d dωv 0 e µ e i( k k ) x. (Das ϑ ist de Winkel zwischen k und k.) Man legt nun die z-achse in Richtung des Impulsübetags q := k k und dückt das Skalapodukt im Exponenten mit Hilfe des

Abschnitt 1.2 Steutheoie mit Integalgleichungen 19 Polawinkels θ aus. Die Integation übe den Azimut φ liefet einfach einen Fakto 2π... q := k k q x = q cosθ d e µ f 1 (ϑ) = mv 0 2 0 = mv ( 0 1 2 iq µ iq 1 µ + iq iq cos θ d cosθ e }{{} = 1 iq (eiq e iq ) ) = 2mV 0 1 (1.45) 2 q 2 + µ 2 Anhand dieses Egebnisses kann man auch die beeits auf S. 16 angespochene Veletzung des Optischen Theoems ekennen, da If(0) = 0. Dückt man nun das q 2 wiede duch die k s aus q 2 = ( k k ) 2 = k 2 + k 2 2kk cosϑ = 4k 2 sin 2 ϑ 2, das hintee Gleichheitszwichen gilt, da elastische Steuung behandelt wid, also k = k ist, so ehält man f 1 (ϑ) = 2mV 0 2 1 4k 2 sin 2 ϑ 2 + µ2. (1.46) Mit (1.15) wid de diffeentielle Wikungsqueschnitt zu dσ el dω = f(ϑ) 2 = 4m2 V0 2 1 4 (4k 2 sin 2 ϑ + (1.47) 2 µ2 ) 2 und damit, gemäß (1.16), duch Integation übe dω σ el = dω dσ el dω = 4m2 V0 2 4π 4 µ 2 (µ 2 + 4k 2 ). (1.48) De totale Wikungsqueschnitt ist also endlich fü ein von Null veschiedenes µ. Setzt man nun fü den Coulomb-Genzfall den Paamete µ = 0 (und setzt noch p = k ein), wid aus (1.47) die beühmte Ruthefodsche Steufomel µ=0 dσ dω (1.47) = Coulomb 4m 2 V 2 0 16 p 4 sin 4 ϑ 2, (1.49)

20 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie Anmekungen: De totale Wikungsqueschnitt des Coulomb-Potentials divegiet, wie man entwede duch Integation von (1.49) ode duch Einsetzen von µ = 0 in (1.48)) sehen kann. Das quantenmechanische Egebnis stimmt mit dem klassischen exakt übeein, was man damit ekläen kann, daß de Fakto nicht meh auftitt. Die 1. Bonsche Näheung liefet beeits das exakte Egebnis fü die Wikungsqueschnitte. Das liegt daan, daß alle höheen Odnungen de Bonschen Näheung lediglich die Phase von f(ϑ) änden, was abe nach de Betagsbildung letztlich wiede heausfällt. Man kann wohl sagen, daß bei allen Potentialen unendliche Reichweite die Pobleme in de Phase von f(ϑ) zu finden sind. 1.2.4 Dastellungsfeie Fomulieung Es wid die stationäe Schödingegleichung betachtet (H 0 + V ) Ψ = E Ψ, H0 = p2 2m. (1.50) k sei ein feie Zustand, de die feie Schgl. H 0 k = E k, E = 2 k 2 2m efüllt. Scheibt man nun (1.50) um (E H 0 ) Ψ = V Ψ (1.51) und löst dies fomal nach Ψ auf, ehält man, wenn man gleich noch die Lösung de feien Gleichung (1.51) dazuaddiet, (in Anfühungszeichen) Ψ = k + (E H0 ) 1 V Ψ. (1.52) Man bezeichnet G E := (E H 0 ) 1, mit (E H 0 )G E = 1 (1.53) wobei diese Ausduck übe seine Reihenentwicklung definiet ist (da ja (E H 0 ) keine Zahl, sonden ein Opeato ist). Das G E ist eine Analogon zu Geenschen Funktion in de Otsdastellung. Das Poblem liegt nun dain, daß G E nicht definiet ist, falls E Spektum(H 0 ), welches sich übe ganz R + esteckt. Dies sind abe geade die inteessanten Fälle! Man behilft sich nun damit, daß man einen Opeato R(z) definiet symbolisch 1 R(z) := (z H 0 ) 1 z H 0, (1.54)

Abschnitt 1.2 Steutheoie mit Integalgleichungen 21 de fü jedes z C definiet ist, daß nicht im Spektum des feien Hamiltonopeatos liegt. Man definiet nun weite die Resolvente von H 0 G ± E = lim R(z) = 1, ε > 0, bel. klein. (1.55) z E±iε E H 0 ± iε Es wid i.allg. das + -Zeichen gewählt, da dies einen auslaufenden Steuzustand dastellt ( natüliche Wahl ). Setzt man dies nun wiede (anstelle von G E ) in (1.52) ein, ehält man die dastellungsfeie Lippman-Schwinge-Gleichung (vgl. (1.30)) Ψ = k + 1 E H 0 + iε V Ψ. (1.56) Die Otsdastellung ehält man duch Multiplikation mit x : denn es ist x Ψ = x k + x G + E V Ψ (1.30), x Ψ = Ψ( x) x k = e i k x da k Lsg. v. (1.51) x G + E V Ψ (2) = d 3 x x G + E x x V Ψ }{{}}{{} G + ( x x ) ( ) = V ( x )Ψ( x ). ( ) gilt, da x V Ψ (2) = d 3 x x V x x Ψ. }{{}}{{} =V ( x )δ (3) ( x x ) =Ψ( x ) Die Lösung von (1.56), die sog. Bonsche Reihe ehält man wiede (analog zu Bonschen Näheung) via Iteation zu Ψ = k + G + E V k + G + E V G+ E V k + = (1 + G + E V + G+ E V G+ E V + ) k geom. Reihe = 1 1 G + E V }{{} =:Ω + (1.57) k. (1.58) Dabei ist weitehin zu beachten, daß die obige Anwendung de geometischen Reihe als Egebnis de Summation nu fomalen Chaakte hat, de Mølle-Opeato Ω+ ist nu übe seine Reihe (1.57) definiet.

22 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie T-Opeato De T-Opeato ist wie folgt definiet T E := V Ω + (1.58) 1 = V 1 G + E V. (1.59) Man ehält dasselbe Egebnis beim fomalen Auflösen de Gleichung T e = V + T E G + E V nach T E (wohe auch imme die kommt???). Man kann diesen Opeato übe sein Matixelement in Vebindung mit de Steuamplitude bingen... k TE k =: TE ( k, k ) f(ϑ,ϕ) T E ( k, k ) k = k elastische Steuung!, was man zeigen kann, indem man entwde T E in seine Reihe entwickelt und in die Otsdastellung übegeht und dann mit de Bonschen Reihe fü f(ϑ,ϕ) vegleicht; bzw. diekt... k T E k (2) = = d 3 x k x x T E k }{{} ( ) = V Ψ d 3 x e i k x V x (1.33) Ψ f(θ). }{{} =Ψ( x ) Die Umfomung ( ) gilt wegen (1.58) und (1.59). De Opeato T E ist wohl wichtig fü die fomale Steutheoie, welche anscheinend die analytischen Eigenschaften de Steuamplitude bescheibt und aus de sich dann igendwelche Dispesionselationen egeben (wid schon stimmen... ). Zu den Eigenschaften von T E : T E als Funktion de Enegie E ist singulä, wenn gilt det[1 G + E V ] = 0, det[1 G+ E V ] = 1 det[e H 0 ] det[e H 0 V ]. (1.60) Fü gegebenes Potential V, welches die in Abb. 1.2 beschiebene Fom hat, gilt E > 0 ist Eigenwet von H 0 und von H = H 0 + V ; diese E s sind eell und kontinuielich, in (1.60) haben sowohl de Zähle als auch de Nenne dieselbe Nullstelle die sich dann ausküzt. Die Steuamplitude ist also fü E > 0 nicht singulä. E = E n < 0 aus disketem Spektum ist EW von H, abe nicht von H 0, da H 0 nu positive EW hat. In diesem Fall (und nu in diesem) ist also die T E singulä und auch die Steuamplitude (als Funktion von E) hat damit Pole bei E = E n, da f E 1 E E n.

Abschnitt 1.2 Steutheoie mit Integalgleichungen 23 V () Kontinuum v. Steuzuständen, E > 0 Bindungszustände E < 0, disket Abbildung 1.2: Bei Potentialen diese Bauat lassen sich aus de Lage de Bindungszustände Pole de Steuamplitude beechnen Betachtet man nochmals die Wellenfunktion Ψ fü, so ehält man gemäß (1.7) Ψ f E eik, E = 2 k 2 2m. Ist nun, wie oben beeits beschieben, die Enegie E < 0, so befindet man sich (im voliegenden ) Fall in einem Bindungszustand und es gilt 2mE E < 0 : k i k = i Ψ f e ik 2 Daaus folgt nun (???), daß die Steuamplitude als Funktion von k: f(k) Pole auf de positiven imaginäen Achse hat, falls das Potential Bindungszustände hat. Die Umkehung gilt nicht, d.h. nicht jede Pol von f E entspicht einem Bindungszustand im Potential (es könnte z.b. einen metastabilen Beeich (bei einem Potential wie in Abb. 1.3) mit E > 0 geben, in dem sich sog. Resonanzen (kuzlebige Bindungszustände, die weite hinten noch ausfühliche behandelt weden) bilden ). Kontinuum, echte Steuung V () Resonanzen, metastabile Beeich echte Bindung Abbildung 1.3: Bei einem deatigen Potential können fü Enegien E > 0 auch sog. Resonanzen aufteten, also kuzlebige Bindungszustände.

24 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie 1.3 Patialwellenentwicklung Es weden im folgenden die Wellenfunktionen bzw. alles was man so baucht, also Steuamplituden, Wikungsqueschnitte,... nach den Eigenfunktionen des Dehimpulses L 2,L z entwickelt. 1.3.1 sphäische Lösung de feien Schödingegleichung Die feie Schödingegleichung lautet H 0 Ψ( x) = EΨ( x), H 0 = p2 2m = 2. (1.61) 2m Setzt man nun den Laplace-Opeato in Kugelkoodinaten und den Dehimpuls ein, ehält man die adiale Schödingegleichung H 0 Ψ = 2 1 2 2m 2( Ψ) + L 2 2m2Ψ = EΨ. (1.62) Da die Kommutatoen zwischen H 0 und L 2,L z veschwinden: [H 0, L 2 ] = [H 0,L z ] = 0, folgt, daß H 0, L 2 und L z gemeinsame Eigenfunktionen haben. Es handelt sich dabei um eine Radialfunktion R() und die Kugelflächenfunktionen Y lm (θ,φ): Ψ = R() Y lm (θ,φ) mit (1.63) L 2 Y lm = 2 l(l + 1)Y lm (l = 0, 1, 2,...) (1.64) L z Y lm = m Y lm (m = l, l + 1,...,0,...,l 1,l). (1.65) Setzt man die Fomeln (1.63)-(1.65) in (1.62) ein, ehält man die Radialgleichung fü R() d 2 1 ( ) R() + d 2 Setzt man nun [ k 2 ] l(l + 1) R() = 0. (1.66) 2 ϱ := k, R() = R(ϱ/k) =: χ(ϱ) ein, ehält man aus (1.66) die sphäische Bessel-Diffeentialgleichung d2 χ(ϱ) dϱ 2 + 2 [ dχ ϱdϱ + 1 Diese Gleichung hat zwei linea unabhängige Lösungen: ] l(l + 1) χ = 0. (1.67) ϱ 2

Abschnitt 1.3 Patialwellenentwicklung 25 1. sphäische Besselfunktionen j l (ϱ) mit j l (ϱ) ϱ 0 ϱ l (2l + 1)!!. (1.68) ) (1.69) j l (ϱ) 1 ϱ sin ( ϱ l π 2 Dabei bedeutet (2n + 1)!! = 1 3 5 (2n + 1) die Doppelfakultät. 2. sphäische Neumannfunktionen n l (ϱ) mit n l (ϱ) ϱ 0 (2l + 1)!! 2l + 1 n l (ϱ) 1 ϱ cos( ϱ l π 2 1 ϱl. (1.70) ) (1.71) Die physikalischen Randbedingungen lauten lim R() = 0, 0 0 d.h. R = const. (???) (1.72) Aus diese Bedingung folgt, daß die Neumannfunktionen n l keine Lösung des Eigenwetpoblems (1.61) sind, da sie fü ϱ 0 divegieen. Als Begündung hiefü kann man anfühen, daß die Neumannfunktionen keine Eigenfunktionen des feien Hamiltonopeatos H 0 sind, denn wenn man diesen z.b. auf n 0 = anwendet, ehält man (wegen dem cos k k Laplace-Opeato ) im wesentlichen eine δ-funktion. Die Lösung des physikalischen Poblems kann also nu aus den sphäischen Besselfunktionen j l bestehen. Man kann sich die explizite Fom de Besselfunktionen heleiten, indem man z.b. einen Ansatz fü l = 0 macht j 0 (ϱ) = u(ϱ) ϱ. (1.73) Setzt man diesen Ansatz in (1.67) ein, ehält man d 2 u(ϱ) dϱ 2 + u(ϱ) = 0 u(ϱ) = sinϱ. (1.74) Und mit (1.73) ehält man dann j 0 (ϱ) = sin(ϱ). ϱ (Fü die Neumannfunktion n 0 ehält man mit de 2. Lösung von (1.74), dem Kosinus: n 0 (ϱ) = cos(ϱ)/ϱ. Fü l >= 1 gilt die Fomel ( ) l 1 j l (ϱ) = ( 1) l ϱ l d sin ϱ ϱdϱ ϱ. (1.75) (Beweis duch vollständige Induktion.)

26 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie Nomiete Eigenfunktionen von H 0 Somit egeben sich letztlich die nomieten Eigenfunktionen (=Lösungen von (1.62)) zu 2k 2 Ψ klm ( x) = π j l(k) Y lm (θ,φ), (1.76) die sphäischen feien Wellen. Diese sind othonomiet und vollständig d 3 x Ψ klm( x)ψ k l m ( x) = δ ll δ mm δ(1) (k k ) (1.77) dk Ψ klm( x)ψ klm ( x ) = δ (3) ( x x ). l,m Entwicklung de ebenen Wellen nach den sphäischen Mit Hilfe de Othogonalität kann man nun die ebenen Wellen nach sphäischen Wellen entwickeln: e i k x = c l m Ψ k l m Ψ ( x) klm ( x), d 3 x l,m (1.77) c lm = d 3 xψ klm( x) e i k x Letztees kann man wohl ausechnen. Dazu legt man die z-achse in k-richtung, woduch die φ-abhängigkeit entfällt und die Kugelflächenfunktionen Y lm in die Legende-Polynome P lm übegehen. Man ehält e ikz = e ik cos θ = i l (2l + 1) j l (k) P l (cosθ). (1.78) l=0 1.3.2 Steulösung fü Potential V 0 V ( x) sei ein Potential mit endliche Reichweite, damit die in den voigen Abschnitten (z.b. Kap. (1.2.3)) angespochenen Pobleme nicht aufteten. Aus de feien Schödingegleichung (1.61) wid dann [H 0 + V ( x)]ψ( x) = EΨ( x). (1.79) Im folgenden weden de Einfacheit halbe nu kugelsymmetische Potentiale betachtet: V ( x) V (). Es gilt wiede [H, L 2 ] = [H,L z ] = 0, (H = H 0 + V ()),

Abschnitt 1.3 Patialwellenentwicklung 27 de Hamiltonopeato hat also wiedeum dieselben Eigenfunktionen wie die L s, die gesuchte Lösung ist also wiede von de Fom Φ klm ( x) = R kl () Y lm (θ,φ). Aus de Radialgleichung fü R kl () und deselben Randbedingung wie im feien Fall (s. (1.72)) ehält man die Φ kl, die sog. Patialwellen. Man geht mit dem Ansatz R kl () = u kl() in die Radialgleichung ein ( ) d 2 u kl () = d 2 + k2 [ U() + ] l(l + 1) u 2 kl (), Die asymptotischen Lösungen diese Gleichung lauten : sin ( k l π 2), cos ( k l π 2). U() = 2m V (). (1.80) 2 Die allgemeine Lösung von (1.80) ist eine Lineakombination diese beiden Lösungen u kl () = a kl sin ( k l 2) π + bkl cos ( ) k l π 2 = c kl sin ( k l π + δ 2 l), mit ckl = a 2 kl + b2 kl. (1.81) De einzige Unteschied zum feien Poblem liegt also in de Phasenveschiebung δ l, de sog. Steuphase. Ein nicht unwesentliche Punkt in de Steutheoie besteht nun auch dain, die Steuphasen bzw. aus den bekannten Steuphasen die Wikungsqueschnitte, Steuamplitude,... zu beechnen. Aus de Lösung de Radialgleichung zu gegebenem Potential V () mit den bekannten Randbedingungen (1.72) ehält man also i.allg. eine (bis auf die Nomieung) eindeutige Lösung, die stetig diffeenzieba sein sollte und asymptotisch wie (1.81) gehen sollte. In de Paxis muß man z.b. fü ein Potential, welches f. > R veschwindet, die Schödingegleichung (bzw. die Radialgleichung) f. < R lösen und dann an die Lösung im Außen- aum, also an eine Lösung de feien Schödingegleichung, anschließen, d.h. sowohl de Funktionswet als auch die Ableitungen de Funktionen im Innen- und Außenaum müssen f. = R übeeinstimmen, woaus sich dann die fehlenden Konstanten bzw. Koeffizienten egeben. Im folgenden seien die Steuphasen δ l bestimmt. Die asymptotische Fom de de Steulösung ist (wenn man die obigen Egebnisse zusammenfaßt) Ψ a = sin ( k l π c + δ ) 2 l l a m Y lm (θ,φ). (1.82) l m }{{} =P l (cos θ) bei V ()

28 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie Diese muß abe gemäß den anfänglichen Übelegungen mit (1.7) (1.7) : Ψ k ( x) = e i k x + f(ϑ,ϕ) eik (1.83) übeeinstimmen, so daß sich via Koeffizientenvegleich folgende Ausduck fü die Steuamplitude egibt (den man abe auch allgemein ansetzen könnte, da die P l vollständig sind) f(θ) = b l P l (cosθ). (1.84) l=0 In den nächsten paa Zeilen wid de Unteschied zwischen dem feien Poblem und dem Fall mit Potential V () 0 eabeitet. (Nebenbei wid noch de Koeffizient b l aus (1.84) bestimmt.) Dazu entwickelt man die ebene Welle aus (1.83) gemäß (1.78) und setzt noch den gefundenen Ausduck fü die Steuamplitude (1.84) ein und ehält e ikz + f(θ) eik [ = 1 i l (2l + 1) sin( ) ] k l π 2 + b l e ik P l (cosθ) k l = 1 ([ ] 2l + 1 2k ( 1) + b l e ik 2l + 1 ) 2k i2l 1 e ik P l (cosθ). (1.85) l Andeeseits ist gemäß (1.82) die asymptotische Wellenfunktion Ψ a = sin ( k l π c + δ ) 2 l l P l (cosθ) l = 1 1 i c [ l ( i) l+1 e iδ l e ik i l 1 e iδ l e ik] P l (cosθ). (1.86) l Vegleicht man nun in (1.85) und (1.86) die Koeffizienten de untestichenen e-funktionen und löst diese nach b l bzw. c l auf, ehält man c l = 2l + 1 k Somit wid aus (1.84) i l e iδ l, b l = 2l + 1 e iδ l sin δ l (1.87) k f(θ) = 1 k (2l + 1) e iδ l sin δ l P l (cosθ). (1.88) l=0 Das kann man auch scheiben als f(θ) = 1 (2l + 1) e2iδ l 1 P l (cosθ). (1.89) k 2i l

Abschnitt 1.3 Patialwellenentwicklung 29 Setzt man den Koeffizienten c l aus (1.87) in (1.86) ein, ehält man somit letztlich die asymptotische Fom de Wellenfunktion fü den Fall V () 0 Ψ a = l=0 2l + 1 2k ) (( i)e 2iδ eik i2l 1e ik l P l (cosθ). (1.90) Vegleicht man dies mit dem feien Poblem (kein Potential), indem man (1.78) analog (1.85) entwickelt e ikz s 2l + 1 2k ) (( i) eik i2l+1e ik P l (cosθ), (1.91) läßt sich als Fazit sagen, daß de einzige Unteschied zwischen den beiden Fällen (mit/ohne Potential), also de Effekt des Potentials, dain besteht, daß die auslaufende Welle im Fall mit Potential eine Phasenveschiebung (vgl. Untesteichung in (1.90) mit (1.91)) um e 2iδ l hat. 1.3.3 Steuamplitude, Wikungsqueschnitt Gemäß (1.88) lautet die Entwicklung fü die Steuamplitude f(θ) = 1 k (2l + 1) e iδ l sin δ l P l (cosθ). (1.92) l=0 Daaus ehält man den diffeentiellen (elastischen) Wikungsqueschnitt mittels (1.15) zu dσ el dω = f(θ) 2 = 1 k 2 l,l (2l + 1)(2l + 1)e i(δl δl ) sin δ l sinδ l P l (cosθ)p l (cosθ). (1.93) Integiet man (1.93) übe einen vollen Raumwinkel, ehält man den totalen (elastischen) Wikungsqueschnitt, ausgedückt duch die Steuphasen, unte Ausnutzung de Othogonalität de Legende-Polynome zu 1 1 d cosθ P l (cosθ)p l (cosθ) = 2 2l + 1 δ ll σ el = 4π k 2 (2l + 1) sin 2 δ l. (1.94) l=0

30 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie De Beitag de einzelnen Patialwelle σ l (zu festem l) ist demgemäß σ = σ l, l=0 σ l = (2l + 1) sin 2 δ l 4π k 2. Aus diese Gleichung ehält man duch einfache Abschätzung die sog. Unitaitätsschanke σ l 4π (2l + 1). k2 Anmekungen Anhand von z.b. Gl. (1.94) kann man ekennen, daß die Egebnisse (in dem Fall die Wikungsqueschnitte) einfach zu beechnen sind, sofen die Steuphasen δ l bekannt sind. Demgemäß liegt die Hauptabeit beim Lösen de Radialgleichung (s. voiges Kap. 1.3.2) und de nachfolgenden Beechnung de Steuamplituden (Bsp. s. S. 33 ff.). Dieses Vefahen (Lösen de Radialgleichung Bestimmung de Steuphasen) hat nu dann paktische Relevanz, wenn man nu wenige Steuphasen beechen muß, wenn also nu wenige l-wete signifikant beitagen. Abschätzung fü l, halb-klassisch Es wid nun abgeschätzt, wieviele Schitte l man in de Paxis beechen muß. Ausgegangen wid von einem Potential, was außehalb eine Kugel mit Radius R 0 veschwindet (das könnte z.b. klassisch eine At Pendel sein). Auf dieses Pendel tifft nun eine Welle mit Impuls k, de maximale Dehimpuls, de bei de Steuung auftitt ist also l max k R 0. Fü das quantenmechanische System muß also gelten l max (l max + 1) kr 0, woduch man duch Auflösen nach l max als ungefähen Wet l max k R 0 ehält. Demgemäß ist also die Patialwellenmethode nu von Inteesse fü kleine Enegien k E ode fü kleine Reichweiten R 0 de Potentiale. Fü seh kleine Enegien kann es sein, daß man nu den Fall l = 0, 1 (s,p-wellensteuung) betachten muß.

Abschnitt 1.3 Patialwellenentwicklung 31 Nimmt man z.b. an, nu s- und p-wellen seien elevant (also l = 0, 1), so ehält man gemäß (1.92) und (1.93) f(θ) = 1 [ ] e iδ 0 sin δ 0 + (2 1 + 1)e iδ 1 sin δ 1 cosθ k }{{} =P 1 (cos θ) dσ el dω = f(θ) 2 = 1 k 2 [ sin 2 δ 0 + 6 sin δ 0 sin δ 1 cosθ + 9 sin 2 δ 1 cos 2 θ ]. Letztees ist ein Polynom in cos θ. Aus de Messung (auch bei veschiedenen Enegien k 2 ) de Winkelabhängigkeit folgt dahe leicht de Wet de s- und de p-steuphasen, wenn man aus dem Optischen Theoem noch das globale Vozeichen ehält (If(0) > 0). Letztlich ehält man aus eine einfachen Messung die Steuamplitude als komplexe Göße und aus diese alles weitee. 1.3.4 Egänzungen 1. Optisches Theoem (f. elastische Steuung) Mit Hilfe de Patialwellenentwicklung kann man das Optische Theoem (veglichen mit de Heleitung aus Kap. 1.1.4) seh elegant und kuz ableiten. If(0) (1.92) = 1 =1 {}}{ (2l + 1) sin 2 δ l P l (cos 0) k l=0 k = 4π 4π (2l + 1) sin 2 δ k 2 l l=0 }{{} (1.94) = σ el Somit folgt (in Übeeinstimmung mit (1.22)): σ el = 4π k If(0) Optisches Theoem. Bevo de nächsten Punkt betachtet wid, müssen noch einige Dinge zum Optischen Theoem Ewähnung finden. In de obigen Fassung gilt es nu fü elastische Steuung. Wüde man den Wikungsqueschnitt de absoptiven Steuung kennen, so könnte man auf völlig analoge Weise das allgemeine Optische Theoem folgen. De absoptive Wikungsqueschnitt ist jedoch einigemaßen umständlich ohne Kenntnis des allgemeinen Optische Theoems hezuleiten, so daß an diese Stelle das allgemeine Optische Theoem einfach angegeben (und damit dann im nächsten Punkt de absoptive WQ beechnet) wid. σ tot = 4π If(0). (1.95) k

32 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie In diese Fom gilt das Optische Theoem fü den totalen Wikungsqueschnitt, de sich additiv zusammensetzt aus dem elastischen und dem absoptiven WQ (σ tot = σ el + σ abs ). 2. Steuung mit Absoption Zunächst scheibt man den totalen elastischen WQ aus (1.94) um in σ el = π =4sin δ {}} l { (2l + 1) k 2 1 e 2iδ l }{{}. (1.96) l =:δ l (E) Dabei ist δ l (E) das Steumatix-Element. Die Veallgemeineung auf Steuung mit Absoption, die abe eigentlich imme noch elastisch behandelt wid, geschieht duch Einfühung eines Faktos η l im Steumatixelement δ l (E): δ l (E) = e 2iδ l η l e 2iδ l, 0 η l 1. De Fall η l = 1 bescheibt offenba die elastische Steuung, wähend η l < 1 eine Dämpfung bescheibt. Das ist so zu vestehen, daß bei Steuung mit Asoption Teilchen aus de elastischen Gesamtheit veschwinden (sie duchlaufen andee Reaktionskanäle ). Somit wid aus (1.96) σ el = π (2l + 1) 1 ηl e 2iδ l Pl (cosθ), (1.97) k 2 l da aus de Steuamplitude (s. (1.89)) folgendes wid f(θ) = 1 (2l + 1) η le 2iδ l 1 P l (cosθ). (1.98) k 2i l Man kann nun leicht übepüfen (betagsquadieen und übe dω integieen), daß aus diese Gleichung (1.97) folgt. Wie im voigen Punkt beschieben, gilt das Optische Theoem in seine allgemeinen Fom fü die inelastische Steuung, also fü Steuung mit Absoption. Mit Hilfe des O.T. aus (1.95) wid nun de totale absoptive WQ beechnet... (1.95) σ tot = 4π k If(0) = 2π (2l + 1) (1 η k 2 l cos 2δ l ). }{{} l =1 R(η l e 2iδ l )

Abschnitt 1.3 Patialwellenentwicklung 33 Somit ehält man letztlich aus σ tot = σ el + σ abs σ abs = σ tot σ el = π (2l + 1) (1 η k 2 l ) 2, (σ abs 0), (1.99) Extemfälle l=0 η l = 1: Dann ist gemäß (1.99) de absoptive WQ = 0 und de totale entspicht dem elastischen WQ. Es handelt sich um ein elastische Steuung und es gelten alle Fomeln de el. Steuung. η l = 0 f. l L. Es handelt sich in diesem Fall um ein total absobieendes Potential (Steuzentum), z.b. einen Atomken. Man ehält aus (1.99) σ abs = π k 2 L l=0 (2l + 1) (1.96) = σ el, σ tot = 2σ el. Man beachte, daß in de Quantenmechanik im Gegensatz zum klassischen Fall de elastische Wikungsqueschnitt nie veschwindet, nicht einmal bei einem vollständig absobieendem Potential. 3. Paktische Bestimmung de Steuphasen δ l Es muß die Radialgleichung mit nichtveschwindendem Potential (abe V () = 0 f. > R) (1.80) [ d 2 u du + k 2 2 gelöst weden. ] l(l + 1) u 2m 2 V ()u = 0 2 (a) Lösung im Beeich < R mit de Randbedingung u(0) = 0 finden. Die i.allg. numeisch gefundene Lsg. ist bis auf eine Nomieung (die abe letztlich heausfällt) eindeutig und heiße u i (). (b) Die Lösung f. > R ist aus Kap. 1.3.1 bekannt, es ist eine Lineakombination de sphäischen Bessel- und Neumman-Funktionen j l bzw. n l. u a () = AF l () BG l () welche f. goße übegeht in mit u a () mit F l () = k j l (k), G l () = k n l (k), ( ) ( A sin k l π 2 + B cos k l π 2 = C sin ( k l π + δ ) 2 l tanδ l = B/A. (1.100) )

34 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie (c) Festlegung de B/A duch Anschlußbedingung f. = R. Die u,u müssen bei = R stetig ineinande übegehen: u i (R) = u a (R) = AF l (R) BG l (R) u i(r) = u a(r) = AF l(r) BG l(r) Dividiet man dies beiden GLeichungen ducheinande und löst sie dann nach B/A auf und setzt das in (1.100) ein, ehält man tanδ l = F l (R) u (R) u(r) F l(r) G l (R) u (R) u(r) G l(r). (1.101) 4. Steuung bei niedigen Enegien k 0 Da k 0, geht auch (bei venünfitge, also endliche Reichweite des Potentials) kr 0. Dahe F l R 0 k l+1, G l R 0 k l. Dieselbe Popotinalität gilt fü die Ableitungen von F l,g l, da nach R diffeenziet wid. Somit ist de Fakto u /u aus (1.101) unabhängig von k und man ehält aus (1.101) tanδ l k 0 = a l k 2l+1. (1.102) Fü seh kleine k tägt nu die s-welle (l = 0) bei und man ehält l = l : tanδ 0 = a 0 k. (1.103) Den Fakto a 0 nennt man Steulänge. Die zugehöige Steuamplitude lautet f(θ) = f 0 (θ) = 1 k eiδ 0 sinδ 0 = und de Wikungsqueschnitt a 0 1 ia 0 k σ = σ 0 = 4π a2 0 + a4 0 k2 (1 + a 2 0k 2 ) 2 k 0 4πa 2 0. a 0 ist also so etwas wie die geometische Queschnittsfläche des Potentials. Man sieht leicht, daß die Steuamplitude f 0 (θ) bei k 0 = i/a 0 ein Pol hat, de fü a 0 < 0 auf de positiven imaginäem Achse liegt, was man in Vebindung mit Bindungszuständen de Enegie E = E B bingen kann, falls das Potential Bindungszustände zuläßt (s. S. 23) E B = 2 k 0 2 2m k 0 im. = 2 k 2 0 2m

Abschnitt 1.3 Patialwellenentwicklung 35 Setzt man k 0 = i/a 0 ein, ehält man als Fazit einen Bindungszustand mit Bindungsenegie 2 E B = 2m a 0 2 s-zustand, falls das Potential Bindungszus. zuläßt. Abe Vosicht!, diese Beechnung des Bindungszutands hängt von de Qualität de Näheung tanδ 0 a 0 k ab, die nu gut ist, falls E B 0 ist, also fü goße Steulängen. Geometische Bedeutung de Steulänge a 0 Die Lösung de Radialgleichung u l (k) lautet fü die s-welle u 0 (k) = sin(k + δ 0 ) R sink( + a 0 ) k 0 k( + a 0 ). Sie bescheiben also eine Tangente an die Kuve u l () (???) im Punkte R. Man ehält z.b. bei einem abstoßenden Potential eine negative Steulänge (s. Abb. 1.4). u() V 0 R E a 0 R Abbildung 1.4: abstoßendes Potentiel negative Steulänge Bei einem schwach attaktiven Potential ehält man eine positive Steulänge, woaus man wohl schließen kann, daß es totz V < 0 f. < R keine Bindungszustände gibt (s. Abb. 1.5). u() V 0 R E a 0 R Abbildung 1.5: schwach attaktives Potential positive Steulänge Andes bei einem stak anziehenden Potential. Man ehält, da die Tangente est hinte dem Beg angelegt wid, eine negative Steulänge, die bei einem negativen

36 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie Bindungszustand u() R E V 0 R a 0 Abbildung 1.6: stak att. Potential a 0 < 0, Bindungszust. Potential auf einen Bindungszustand schließen läßt (???) (s. Abb. 1.6). Man beachte, daß man mit Hilfe de Steulängen-Methode i. allg. keine exakten Egebnisse ehält; sie liefet ehe eine schnelle Abschätzung f. kleine k, ob Bindungszustände vohanden sind. 5. Resonanzen Falls eine Steuphase beim Enegiewet E = E 0 den Wet δ l = π/2 annehmen sollte, folgt daaus fü eine kleine Umgebung von E 0 tan δ l = Γ l/2 E 0 E Γ l = const. Und fü die Steuamplitude (s. (1.88)) f l (θ) = e iδ l sin δ l 2l + 1 P l (cosθ) = k tanδ l, 1 i tanδ }{{} l Γ = l /2 E 0 E iγ l /2 die somit einen Pol bei E = E 0 iγ/2 hat. Somit ehält man fü den Wikungsqueschnitt (da aufgund de Göße von f l (θ) im wesentlichen nu diese Tem beitägt) σ σ l = 4π k (2l + 1) Γ 2 l /4 (1.104) 2 (E E 0 ) 2 + Γ 2 l /4, die sog. Beit-Wigne-Fom. Wenn f.γ l E 0 (???) die Kuve σ l gegen E die Fom eine Gauß-Kuve hat, handelt es sich um eine Resonanz; Γ l bescheibt die Beite diese Resonanz. Die Phasenveschiebung von δ l hat eine At klassisches Analogon, denn auch in de Mechanik gibt es Resonanz bei Schwingungen, wenn die Phasenveschiebung π/2 betägt.

Abschnitt 1.3 Patialwellenentwicklung 37 Anmekungen: Wenn eine Steuphase den Wet δ l = π/2 hat, ist die zugehöige Steuamplitude f l (E) ein imaginä. De maximale Wikungsqueschnitt σ max, de dem Wet σ l (E 0 ), also dem WQ zu dem l an de Stelle de Resonanz entspicht, ist eine obee Schanke de Patialwellenanalyse σ l (E) = σ max = 4π k 0 2(2l + 1), k 2 0 = 2m 2 E2 0. Wie beeits beschieben, liegen die Pole von f bei E = E 0 iγ/2. Tägt man IE gegen RE auf, ehält man, daß die Bindungszustände auf de (negativen) eellen Achse liegen, wähend die Resonanzen auf de positiven eellen Seite liegen, abe einen negativen Imaginäteil haben (??????). Zeitvehalten von Resonanzen Bishe wude nu behandelt, unte welchen Umständen Resonanzen (die als stationä angenommen wuden), die ja so etwas wie tempoäe Bindungszustände sind, entstehen können, wähend nun ihe Zeitvehalten behandelt wid. Die Gesamtwellenfunktion (fü ein u.a. auch esonantes System) sieht gemäß (1.83) (wenn man die Steuamplitude als Summe übe die einzelnen Patialwellenanteile (f l aus (1.92)) ausdückt) wie folgt aus, wenn beim Index l die Resonanz auftitt Ψ( x,t) = e ikz + eik + eik l l f l Γ l /2 E 0 E iγ l /2 2l + 1 P l (cosθ). (1.105) k }{{} =:Ψ es (Dabei ist k = 2mE.) De hintee Summand Ψ es bescheibt also die Resonanz und soll im weiteen ausfühliche betachtet weden. Wie beeits ewähnt, soll eine Resonanz, wenn ihe Amplitude gegen die Enegie E aufgetagen wid, Gaußfom haben mit Maximum bei k = k 0 und de Beite Γ l. Legt man nun einen Kasten um diesen Peak (s. Abb. 1.7) und nimmt diesen Peak als Wellenpaket de A(E)Ψ(E,θ)e i E t (1.106) mit de Bedingung E 0 E Γ l

38 Kapitel 1 Quantenmechanische Steutheoie A(E) Resonanz A(E) Γ l E 0 E E 0 E 0 + E E Abbildung 1.7: Zu Beechnung des Zeitvehaltens von Resonanzen an und setzt in (1.106) nun das Ψ es aus (1.105) ein, ehält man (1.106) E 0 + E E 0 E k 0 (E) k 0 =const. de e i E t E 0 E iγ l /2 2l + 1 eik0(e) k 0 (2l + 1) eik 0 k 0 }{{}? =Ψ(E 0, x) de e i(e 0/ )t E 0 E iγ l /2 } {{ } =:Φ(t) Man kann nun Φ(t) fü t 0 betachten, da Resonanzen nu kleine Zeiten übeleben. Φ(t) t 0 e i(e 0/ )t }{{} stationä mit E = E 0 Γ e l /2 t }{{} Dämpfung. Aus dem Betagsquadat Φ 2 ehält man nun die Lebensdaue de Resonanz zu Φ 2 Lebensdaue τ = /Γ l τ Γ l =. Somit kann man (nun offiziell ) eine Resonanz als einen tempoäen (quasistationäen) bindungsatigen Zustand mit endliche Lebensdaue bezeichnen..

Kapitel 2 Symmetien in de Quantenmechanik 39 Kapitel 2 Symmetien in de Quantenmechanik Auf die Bedeutung von Symmetien in de Physik wid hie nicht meh eingegangen, sie sollte aus de klassischen Theoie bekannt sein. In de Quantenmechanik gibt es zwei Möglichkeiten, Symmetien auszunutzen : entwede ist de Hamiltonopeato eines Systems bekannt und man kann unte Vewendung de Symmetien von H die physikalischen Eigenschaften leichte heausabeiten ode die empiischen Eigenschaften eines Systems sind beeits bekannt (und weisen Symmetien auf), woduch evtl. ein Ansatz fü den Hamiltonopeato dieses Systems möglich wid, de dann nu noch veabeitet weden muß.