Volesung 9 Die elastische Steuung, optisches Theoem, Steumatix Steuexpeimente sind ein wichtiges Instument, das uns elaubt die Eigenschaften de Mateie bei kleinsten Skalen zu studieen. Ein typisches Setup sieht so aus: Ein Stahl von Teilchen wid von = aus geschickt. Die Teilchen wechselwiken mit dem Taget und weden gesteut. Wi messen die (elative) Zahl de gesteuten Teilchen als eine Funktion des Steuwinkels. Wi vesuchen aus diesen Messungen etwas übe die Eigenschaften des Steuzentums (Taget) zu lenen. Wie bescheiben wi dieses Setup in de Quantenmechanik? Wi nehmen an dass die Wechselwikung zwischen unseen Teilchen und dem Taget veschwindet, wenn de Abstand göße wid. D.h. fü = sind die Teilchen fei. Die Enegie de Teilchen und ihe Wellenfunktion ist dann vollständig bekannt ψ in = e i k, E = 2 k 2 2m. (1) Wi nehmen an, dass die Steuung elastisch ist; d.h., dass die Enegie des Teilchens ehalten bleibt. Die Steuung ändet die Wellenfunktion bei = ψ( ) = e i k + f(θ) eik = ψ in ( ) + ψ out ( ). (2) Die Göße f(θ) nennt man die Steuamplitude. Wi wählen das einlaufende k = k e z, sodass θ in de obigen Gleichung de Polawinkel ist. Um die Zahl de gesteuten Teilchen beechnen zu können, bauchen wi den Stom j = Fü die einlaufende Welle egibt sich 2mi (ψ ψ c.c. ). (3) j in = k m = p = v. (4) m Im Fall de gesteuten Welle müssen wi aufpassen, dass wi die ichtige Stomkomponente beechnen. In de Tat ist die Zahl de Teilchen, die in dem Raumwinkel dω fliegen, duch die folgende Fomel gegeben ist lim d S j out = dω lim 2 e j out. (5) D.h., wi bauchen die e -Komponente des Stoms. Weil = e / +..., haben wi j out e = ( ) ψout 2mi ψ out ψ out ψ out = k f(θ) 2 m 2 + O(1/ 3 ). (6) 1
D.h. lim d S j out = dω v f(θ) 2. (7) Das Vehältnis von ein- und auslaufenden Stömen egibt den Wikungsqueschnitt dσ = lim d S j out j in = dω f(θ) 2. (8) Wenn wi übe den Raumwinkel integieen, bekommen wi den totalen Wikungsqueschnitt dσ σ = dω. (9) dω Es gibt eine wichtige Relation zwischen dem totalen Wikungsqueschnitt und dem Wet de Steuamplitude bei θ = 0. Diese Relation folgt aus de Wahscheinlichkeitsehaltung. Die Wahscheinlichkeitsehaltung umfasst einlaufende und auslaufende Stöme sowie deen Intefeenzen; ohne die Intefeenz kann man die Wahscheinlichkeitsehaltung nicht efüllen. Um die Intefeenz beechnen zu können, bauchen wi eine altenative Bescheibung de einlaufenden ebenen Welle Ψ in = e ikz. Diese Bescheibung beuht auf de Entwicklung de ebenen Welle in Kugelflächenfunktionen e ikz = e ik cos θ = 4π C l,m 2l + 1 Y l,m(θ, ϕ) u l(), (10) l,m wobei u l () die Lösungen de feien Schödinge Gleichung sind d 2 [ u l d 2 + k 2 ] l(l + 1) 2 u l () = 0 (11) und de Nomieungsfakto 2l + 1 in Gl. (10) zu Veeinfachung de folgenden Rechnungen eingefüht woden ist. Wi wollen die Koeffizienten C l,m bestimmen. Weil e ikz von Azimuthwinkel ϕ unabhängig ist, finden wi C lm δ m0 ; wi wissen auch dass 2l + 1 Y l0 (θ, ϕ) = 4π P l(cos θ). (12) D.h., wi können Gl. (10) umscheiben ( C l,m C l,0 C l ) e ikz = e ik cos θ = l C l P l (cos θ) u l(), (13) 2
Die Legende-Polynome sind othogonal d cos θp l (cos θ)p l (cos θ) = 2δ ll 2l + 1. (14) D.h., dass wi die Koeffizienten C l von Gl. (13) bekommen, indem wi e ikz übe cos θ mit Gewicht P l (cos θ) integieen d cos θp l (cos θ)e ik cos θ = 2C l 2l + 1 u l (). (15) Dieses Egebnis ist exakt und gilt deswegen fü alle, insbesondee fü =. Fü wissen wi, was auf de echten Seite von Gl. (15) passiet, weil lim u l() = sin(k lπ/2) + O(1/). (16) Auf de linke Seite in Gl. (15) fühen wi eine patielle Integation aus d cos θp l (cos θ)e ik cos θ = P l (cos θ) eik cos θ ik 1 1 ik d cos θ dp l(cos θ) d cos θ eik cos θ. (17) De zweite Tem ist O(1/ 2 ) (um das zu sehen, muss man noch einmal patiell integieen) und kann venachlässigt weden. Wi benutzen dann P l (±1) = (±1) l, vegleichen Gl. (15,16,17) und bekommen (2l + 1) il C l =. (18) k Die Entwicklung de ebenen Welle in Kugelflächenfunktionen ist dann e ikz = e ik cos θ = l (2l + 1)i l P l (cos θ)u l (). (19) k Wi nehmen den Genzwet in de obigen Gleichung und bekommen lim eikz = = = (2l + 1)i l P l (cos θ) 2ik (2l + 1)i l P l (cos θ) 2ik (2l + 1) P l (cos θ) 2ik { e i(k lπ/2) e i(k lπ/2)} + O( 2 ) { ( i) l e ik (i) l e ik} + O( 2 ) { e ik () l e ik} + O( 2 ). (20) 3
Wi konzentieen uns jetzt auf die l-summen. Wi benutzen noch einmal P l (±1) = (±1) l und scheiben diese beide Summen um als (2l + 1)P l (cos θ)p l (cos θ ± ), (21) wobei θ + = 0 und θ = π ist. Die Legendepolynome efüllen die Vollständigkeitsbedingung D.h., dass sodass (2l + 1)P l (x)p l (x ) = 2δ(x x ). (22) (2l + 1)P l (cos θ)p l (cos θ ± ) = 2δ(cos θ cos θ ± ), (23) lim eik cos θ = 1 ik ( δ(1 cos θ)e ik δ(1 + cos θ)e ik) + O( 2 ). (24) Weil ψ( ) = ψ in ( ) + ψ out ( ) ist, bekommen wi dei Teme, wenn wi den Stom beechnen j = j in + j out + j int, (25) wobei, wie wi oben beechnet haben, und j int = j in = v, j out = v e f(θ) 2 2, (26) ( ψin ψ 2mi out + ψout ψ ) in c.c.. (27) Wi wollen j int fü beechnen; dazu benutzen wi in Gl. (27) die asymptotische Fom de Wellenfunktionen ψ in = 1 ( δ(1 cos θ)e ik δ(1 + cos θ)e ik), ψ out = f(θ) ik eik. (28) Außedem bauchen wi nu die adiale Komponente von j int und nu solche Teme, die ein endliches Limit lim 2 e j int (29) besitzen. D.h., dass wenn wi j int in Gl. (27) beechnen, müssen wi nu e ±ik in Gl. (28) nach ableiten. Wi ehalten 2 e j int = i m 2 [f(θ) f (θ)] δ(1 cos θ) = 2 m 4 Imf(0) δ(1 cos θ). (30)
Weil die Teilchen nicht ezeugt und venichtet weden, muss dass Flächenintegal des Stoms j bei unendlich Null sein 0 = lim ds j. (31) Die Limits de dei Komponenten von j egeben jeweils lim ds j in d cos θ cos θ = 0, lim ds j out = v dω f(θ) 2 = vσ lim ds j int = 4π m Imf(0). (32) Wi ehalten so das optische Theoem 0 = vσ 4π m Imf(0), σ = 4π k Imf(0). (33) Das optische Theoem kann veallgemeinet weden. Das Egebnis lautet 1 [ f( 2i k, k) f ( k, ] k ) = k d n f ( 4π k, k )f( k, k), (34) wobei f( k, k) duch das asymptotische Vehalten de Wellenfunktionen definiet ist lim ψ = ei k + f( k, k) e ik, (35) und k = k (falls k e z ist und k k/k 2 = cos θ ist, dann ist f( k, k) = f(cos θ) die Steuamplitude, die uns schon bekannt ist). Wi fühen jetzt den Steuopeato ˆT ein, de aus eine ebenen Welle eine ebene Welle in die andee Richtung macht ˆT d n k = 4π f( k, k) k (36) Die Steuamplitude ist das Matixelement des Steuopeatos Das entspicht de Nomieung k ˆT k = f( k, k). (37) k k = 4πδ( n n) (38) 5
und de Vollständigkeitsbedingung ˆ1 = Wi können dann Gl. (34) umscheiben zu dω n 4π k k. (39) ˆT ˆT = 2ik T T (40) Um die Bedeutung diese Gleichung zu sehen, fühen wi die Steumatix Ŝ ein Ŝ = 1 + 2ikT (41) und finden dass die Gl. (40) bedeutet, dass die Ŝ-Matix unitä ist Ŝ Ŝ = ˆ1. (42) 6