Karlsruher Insiu für Technologie Insiu für Analysis Dr. Chrisoph Schmoeger Michael Ho, M. Sc. M. Sc. SS 6 9.7.6 Höhere Mahemaik II für die Fachrichung Physik Lösungsvorschläge zur Übungsklausur Aufgabe (+4+5= Punke) Seien für alle z C die Marizen + z A z = + z + z + z gegeben. a) Warum is A z für alle z C diagonalisierbar? b) Besimmen Sie alle Eigenwere von A z, z C, sam ihrer algebraischer Vielfachheien. Für welche z C sind alle Eigenwere von A z verschieden? Für welche R (!) is A posiiv semi-defini? c) Geben Sie für alle z C eine uniäre Marix S z C 3 3 an, vermöge welcher S za z S z diagonal is. a) Für alle z C is A z hermiesch und dami auch diagonalisierbar. b)/c) Sei z C. Für das charakerisische Polynom von A z gil λ + z p Az (λ) = + z λ + z = ( λ) λ + z + z λ + z λ ( + z ) + z + z λ = ( λ)[( λ) + z ] ( λ) + z = ( λ)[( λ) + z ]. Dabei haben wir im zweien Schri nach der ersen Spale enwickel. Offensichlich sind die Eigenwere von A z gegeben durch λ = und λ /3 = ± + z. Für z {±i} is λ //3 = und dami die algebraische Vielfachhei von 3. Sons sind ses alle Eigenwere unerschiedlich und haben algebraische Vielfachhei Eins. Für R is ses der Eigenwer + negaiv. Also is A nie posiiv semi-defini. b) Im Falle z = ±i is A z = I 3 die Einheismarix. Diese is rivialerweise vermöge der Einheismarix selbs ähnlich zu einer Diagonalmarix, nämlich die Einheismarix. Sei also z ±i. Dann is + z + z E Az () = Kern + z + z + z = lin + z + z,
E Az (± + z + z +z ) = Kern + z + z + z + z + z = lin + z + z ± + z + z. Dami erhalen wir, dass für die offensichlich uniäre Marix S z := +z +z +z +z +z +z +z +z +z +z +z +z S za z S z diagonal is. Speziell is S za z S z die Diagonalmarix mi den Einrägen, + + z und + z in dieser Reihenfolge, wie sich leich berechnen läss. Aufgabe (+3+3+= Punke) Die Funkion f : R R sei gegeben durch f (x,y) = 4xy (x+y),x y,,x = y. a) Unersuchen Sie die Funkion f auf Seigkei. b) Zeigen Sie, dass f zwar ein globales Maximum besiz, nach unen jedoch unbeschränk is. Hinweis: Zeigen Sie zunächs 4xy (x + y). c) Besimmen Sie alle Sellen, in denen f pariell differenzierbar is, und berechnen Sie dor die pariellen Ableiungen. d) Für welche v = (v x,v y ) R \{(,)} exisier die Richungsableiung (,) und für welche v R \ {(,)} gil (,) = (gradf (,) v)? a) In den Punken (x,y) R mi y x is f als Komposiion seiger Funkionen offensichlich seig. Sei nun x R beliebig. Dann gil für (x n,y n ) := (x n, x n ), n N, f (x n,y n ) = 4(x n )(x + n ) 4 n = (nx )(nx + ) = n x. D.h., dass im Falle x = f (x n,y n ) = = f (,) (n ) gil und im Falle x die Folge der Funkionswere unbeschränk is. Also is f für kein x R in (x, x) R seig. b) Zunächs einmal gil für alle x,y R (x y) (x + y) 4xy. Insbesondere gil dann für alle (x,y) R mi x y f (x,y). Schließlich gil für alle (x,y) R f (x,y), d.h., f is nach oben beschränk. Wegen der obigen Äquivalenz gil die Gleichhei genau dann, wenn x = y. Dami laue das globale Maximum von f gerade Eins. Wie wir in a) gezeig haben, is f in der Nähe der Punke (x, x) mi x nach unen unbeschränk.
c) In den Punken (x,y) R mi x y is f als Komposiion pariell differenzierbarer Funkionen selbs wieder pariell differenzierbar. Es gelen x (x,y) = 4y(x + y) 8xy(x + y) (x + y) 4 = 4xy + 4y 8xy (x + y) 3 = Symmerie 4x(x y) (x,y) = y (x + y) 3. 4y(y x) (x + y) 3 Außerdem erhalen wir f (,) f (,) (,) = lim = lim = analog = x y (,). Nun wollen wir auf die parielle Differenzierbarkei in Punken (x, x) mi x R \ {} eingehen. Es gil f (x + n, x) f (x, x) = f (x, (x + n )) f (x, x) = 4nx(nx + ), n n welches im Grenzfall n nich konvergier. Insbesondere is f in den Punken (x, x) mi x nich pariell differenzierbar. d) Sei v = (v x,v y ) R \ {(,)}. Für die Richungsableiung in Richung v müssen wir folgenden Differenzenquoienen berachen: Im Falle v x v y is dies gegeben durch ( f (vx,v y ) f (,) ) = f (v x,v y ). ( f (vx,v y ) f (,) ) = 4v x v y (v x + v y ) und konvergier daher genau dann im Grenzfall, wenn v x = oder v y = gil, und dann gegen. Im Falle v x = v y erhalen wir ( f (vx,v y ) f (,) ) = ( ), d.h., auch hier exisier die Richungsableiung. Insgesam exisier die Richungsableiung also genau dann, wenn v x = oder v y = oder v x = v y, und in diesem Fall gil (,) =. Trivialerweise erhalen wir also auch nur genau in diesem Fall (,) = = (gradf (,) ). 3
Aufgabe 3 ((+5)+3= Punke) a) Gegeben sei die Funkion f : D := {(x,y) R x x + y >, x + y > } R, (x,y) (x x + y) + log(x + y). (i) Zeigen Sie, dass D offen is. (ii) Geben Sie das zweie Taylorpolynom von f im Punk (,) an. b) Skizzieren Sie den Bereich B = {(x,y) R x y, y } und berechnen Sie für f : R R,(x,y) xy das Inegral f (x,y) d(x,y). B a) (i) Wir definieren die Hilfsfunkionen h : R R,(x,y) (x x + y,x + y). h is offensichlich seig und daher is D = h ((, ) (, )) als Urbild einer offenen Menge uner einen seigen Funkion selbs offen. (ii) Zunächs einmal gil (, ) D und f (, ) = + log(). Weier gelen x (x,y) = x (x x + y) + x + y y (x,y) = (x x + y) + x + y x (,) =, y (,) =, f x (x,y) = (x x + y) ( x)(x x + y)(x ) (x x + y) 4 (x + y) f x y (x,y) = = (3x 3x y + ) (x x + y) 3 (x + y) f x (,) = 4, f ( x) (x,y) = y x (x x + y) 3 (x + y) f x y (,) = f y x (,) = 7 4 f y (x,y) = (x x + y) 3 (x + y) = 7 4. Dami is das zweie Taylorpolynom T von f in (,) gegeben durch T (x,y) := f (,) + (x ) (,) + (y ) x y (,) + (x )(y ) f x y (,) + (x ) f (y ) f (,) + x y (,) = + log() x + y + 8 (x ) + 7 4 (x )(y ) + 7 (y ) 8 = 8 x + 7 4 xy x + 7 8 y 4y + 9 + log(). 4
b) B is der Epigraph von y = x geschnien mi der Halbebene y. Wegen x y y erhalen mihilfe des Sazes von Fubini xy d(x,y) = B +y xy dx dy =, +y da der Inegraionsbereich von x achsensymmerisch bzgl. der y-achse is, x x jedoch punksymmerisch bezüglich des Ursprungs is. Der Saz von Fubini läss sich wegen B [ 3, 3] [,] =: I I auf f (x,y) d(x,y) = f (x,y)c B (x,y) d(x,y) B I I anwenden. Aufgabe 4 (+4+4= Punke) a) Berechnen Sie die komplexen Fourierkoeffizienen der Funkion f : R R,x sin (x). b) Berechnen Sie den Fluss S + f do des Vekorfeldes f : R 3 R 3,(x,y,z) (,,) durch die obere Hälfe S + der Kugeloberfläche, S + := {(x,y,z) R 3 x + y + z =, z }. Hinweis: Besimmen Sie a,b R derar, dass für v : R 3 R 3,(x,y,z) (ay,bx,) für alle (x,y,z) R 3 gil. c) Seien a,b >. Maximieren Sie die Funkion f (x,y,z) = v(x,y,z) f : R R, (x,y) 4xy uner der Nebenbedingung x a + y b =. a) Es gil für alle x R sin (x) = 4 (eix + e ix ). Dami lauen die komplexen Fourierkoeffizienen (c k ) k Z von f gerade c ± = 4, c = und für alle k Z \ {;±} gil c k =. 5
b) Wie sich leich nachrechnen läss, gil y f (x,y,z) = x. Definier man also v(x,y,z) := (y, x,) und verwende man die bezüglich S+ posiiv orieniere Paramerisierung γ : [,π] R 3, ( cos(),sin(), ) des Randes S := {(x,y,z) R 3 x + y + z =,z = } von S +, so erhäl man mihilfe des Sazes von Sokes π sin() sin() f do = f (x,y,z) d(x,y,z) = cos() S + γ cos() d = π. c) Wir definieren ϕ : R R,(x,y) x + y. Da ϕ ({}) kompak und Rang(ϕ ) = auf a b ϕ ({}) is, läss sich die Muliplikaorenregel von Lagrange anwenden. Sei (x,y ) R Exremselle von f uner der NB ϕ(x,y ) =. Dann gib es ein λ R derar, dass gil, d.h., f (x,y ) = λ ϕ (x,y ) 4y = λ x a, 4x = λ y b. Muliplizier man die erse Gleichung mi y und subrahier dies vom x b -fachen der zweien a Gleichung, so erhäl man 4y b = 4x a y = b a x. Mihilfe der Nebenbedingung ϕ(x,y ) = erhalen wir also x {± Is x y <, so wird f negaiv, und daher wird das Maximum in ( angenommen. Dor gil f (x,y ) = ab. a} und dami y {± a}. a, b) oder in ( a, b) 6