PN - Physik für Cheiker und Biologen Prof. J. Lipfert WS 208/9 Übungsblatt 2 Lösung zu Übungsblatt 2 Aufgabe Reinhold Messner schwingt in den Bergen: Reinhold Messner öchte den Mount Everest besteigen und hat sich versehentlich zur Sicherung Bungee-Seile eingepackt. Diese sind zwar zu Klettern untauglich, aber für einen kurzen Spaß gut geeignet. Er öchte dait an einer Felskante schwingen und kann dabei die Seile Parallel oder in Reihe schalten. Da Messner Hobbyphysiker ist, fragt er sich, wie sich das Syste verhält. Er nähert die Seile als Federn, obwohl Seile eigentlich nicht gestaucht werden können. Die beiden Seile haben die Federkonstanten c und c 2 und Messner die Masse. Er geht davon aus, dass die Bewegung nur entlang der vertikalen Achse erfolgt (d.h. eine eindiensionale Bewegung stattfindet). Beerkung: In beiden Fällen haben die Seile eine bestite (geeinsae) Ruhelänge, u die die zugehörige Masse oszilliert. Da die Bewegung hier entlang der vertikalen Achse erfolgt, uss die Gewichtskraft der Masse berücksichtigt werden. Diese führt allerdings nur dazu, dass die Seile eine neue (nach unten verschobene) Ruhelänge einnehen. Wir gehen davon aus, dass wir uns auf diese neue Ruhelage beziehen; Sie können die Schwerkraft also in der folgenden Rechnung einfach vernachlässigen. a) Messner sei it den Seilen so verbunden, dass diese in Reihe geschalten sind. Das Syste führt nach einer anfänglichen Anregung Oszillationen aus (Reibungseffekte werden vernachlässigt). Leiten Sie zunächst eine Forel für die Gesatfederkonstante c ges (in Abhängigkeit von c und c 2 ) her. Stellen Sie anschließend die Bewegungsgleichung (Differentialgleichung) für das beschriebene Syste auf und bestien Sie dessen Eigenfrequenz. Gehen wir zunächst von de Fall aus, dass das Syste noch nicht in Schwingung versetzt wurde. Wird von unten an der Masse it einer Kraft F gezogen, so überträgt sich die Kraft zunächst auf das untere Seil c 2, das dadurch u x 2 nach unten ausgelenkt wird. Dadurch wird die Kraft F auf das obere Seil c übertragen, das dann u x ausgelenkt wird. Die Seile erzeugen wiederu eine (zu F )
gleichgroße, aber entgegengesetzte Rückstellkraft F c = c x bzw. F c2 = c 2 x 2. Da beide Seile die selbe Kraft F spüren, ergibt sich folgende Gesatauslenkung: x ges = x + x 2 = F c F c 2 = F + F ( = + ) F. c c 2 c c 2 c c 2 Da andererseits F = c ges x ges und F = F gelten soll, ergibt sich für die Gesatfederkonstante der Reihenschaltung: c ges = c + c 2. (Hinweis für eine beliebige Anzahl N aneinander verketteter Federn gilt unter diesen Bedingungen: c ges = Das Syste sei nun zu Schwingen angeregt worden. Bewegt sich die Masse beispielsweise gerade von der Ruhelage aus gesehen nach unten, so erfährt sie durch die Seile eine Rückstellkraft F = c ges x ges nach oben. Andererseits ist eine Kraft allgeein durch F = a = ẍ ges gegeben. Daher erhält an folgende Bewegungsgleichung: N i= c i ẍ ges = c ges x ges ẍ ges = c ges x ges. Macht an den Ansatz x ges (t) = A sin(ωt + φ), und setzt diesen in die Differentialgleichung ein, so erhält an die Eigenfrequenz ω: ω 2 A sin(ωt + φ) = c ges A sin(ωt + φ) ω 2 = c ges ω = b) Nun seien die Seile it Messner durch eine Parallelschaltung, syetrisch zu Schwerpunkt (so dass kein Drehoent entsteht), verbunden. Das Syste wird in Schwingung versetzt (Reibungseffekte werden vernachlässigt). Bestien Sie zunächst wieder die Gesatfederkonstante c ges und stellen Sie anschließend die Differentialgleichung für das Syste auf. Eritteln Sie auch dessen Eigenfrequenz. 2
Zunächst sei das Syste in Ruhe. Wird nun wieder it einer Kraft F von unten an der Masse gezogen, verteilt sich diese auf beide Seile. Beide werden u x nach unten ausgelenkt. Dabei üben die Seile ihrerseits eine Rückstellkraft von F c + F c2 aus. Dait ergibt sich sofort: Andererseits gilt wiederu: Dait ist F = F c + F c2 = c x c 2 x = (c + c 2 ) x F = c ges x und F = F. c ges = c + c 2 die Gesatfederkonstante der Parallelschaltung. Analog zur Teilaufgabe b) erhält an die Bewegungsgleichung für das oszillierende Syste, ẍ = c ges x ẍ = c ges x, und it Hilfe des Ansatzes x(t) = A sin(ωt + φ) die zugehörige Eigenfrequenz ω =. c) Bestien Sie zu den Anfangsbedingungen x(t = 0) = 0 und ẋ(t = 0) = v 0 die eindeutige Lösung der Differentialgleichung aus Teilaufgabe b); d.h. in der Lösung dürfen keine unbekannten Konstanten ehr auftauchen. x(t = 0) = 0 A sin(ω 0 + φ) = 0 A sin(φ) = 0 φ = 0 ẋ(t = 0) = v 0 Aω cos(0) = v 0 A = v 0 ω Daher ist die eindeutige Lösung der Differentialgleichung aus Teilaufgabe b) x(t) = v 0 ( ) sin t. 3
Aufgabe 2 Schwingendes Seil: In folgenden beiden Abbildungen ist eine Welle dargestellt, die sich nach rechts fortbewegt. Links ist sie zur Zeit t = 0 s zu sehen, rechts 0 Sekunden später (die Periodendauer sei größer als 0 s). a) Bestien Sie i) die Wellenlänge der Welle, ii) die Frequenz der Quelle, welche das Seil zu schwingen bringt, sowie iii) die Geschwindigkeit der Welle. i) Die Wellenlänge ist λ = 6 c. ii) Für die Frequenz ist zunächst die Periodendauer T = 20 s abzulesen. Ferner ist dann f = = = 0, 05 Hz die gesuchte Frequenz. T 20 s iii) Die Geschwindigkeit ist v = 0, 3 c. s b) Zeichnen Sie einen Graphen der Auslenkung y als Funktion der Zeit für x = 0 c, x = 3 c, x = 6 c jeweils von t = 0 s bis t = 20 s. c) Stellen Sie eine Gleichung auf, die die Auslenkung y als Funktion von x und t beschreibt. 4
Die Gleichung, welche die Auslenkung y als Funktion von x und t beschreibt ist gegeben durch: y(x, t) = A sin(kx ωt) = 2 sin( 2π λ x 2π 2π t) = 2 sin( T 6 c x 2π 20 s t). Aufgabe 3 Gitarre: Die hohe e-saite einer Gitarre hat eine Länge von 65 c. Die Saite ist a Steg sowie an der Mechanik befestigt. An den fest eingespannten Enden üssen Knoten der Schwingung liegen; daher beträgt die Wellenlänge des Grundtons 2 L. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle der hohen e-saite beträgt c Saite = 428,5 s. a) Welche Frequenz besitzt der Grundton der Saite? Für die Wellenlänge des Grundtons gilt: λ = 2L. Und für die Frequenz: f = c Saite λ = 428,5 s = 329,6 Hz 2 0,65 Hinweis: Für eine Seite it 2 Knoten als Enden gilt allgeein: λ n = 2L, wobei für den n Grundton n = gilt und den ersten Oberton n = 2 (höhere Töne analog). Für eine Seite it eine Knoten und eine offenen Ende gilt: λ n = 4L, wobei 2n für den Grundton n = gilt und den ersten Oberton n = 2. b) Welche Frequenz besitzt der erste Oberton? Für die Wellenlänge des ersten Obertons gilt: λ 2 = L. Dait ist die Frequenz: f = c Saite λ 2 = 428,5 s = 659,2 Hz 0,65 c) Berührt an die Saite über de 2. Bund, so kann die Saite dennoch schwingen. Den resultierenden Ton nennt an Flageolettton. Waru kann die Saite schwingen, obwohl sie it de Finger gedäpft wird? Mit welcher Frequenz schwingt die Seite und welche wird dabei gedäpft? Hinweis: Der 2. Bund halbiert die Saite. Eine Zeichnung ist hilfreich. 5
Die Saite wird quasi in der Mitte festgehalten. Deswegen uss in der Mitte ein Knoten sein. Die Saite kann weiterhin it de ersten Oberton schwingen, da dieser in der Mitte einen Knoten hat. Es können aber auch der dritte, fünfte, siebte.. Oberton schwingen. Alle Töne, die keinen Knoten in der Mitte haben, werden vo Finger gedäpft. Die Saite schwingt it einer Überlagerung aller Obertöne, die einen Knoten in der Mitte haben. A prägnantesten ist der erste Oberton ( siehe Grafik ). Sie zeigt den ersten Oberton (lila), die Überlagerung des ersten und dritten Obertons (grün) sowie die Überlagerung des ersten, dritten und fünften Obertons (blau). 6