Schwingungen. Außerplanmäßig nächste Woche Dienstag, :30 Uhr Vorlesung, Kleiner Hörsaal Physik Mittwoch, Uhr, Übung, Hörsaal Schutow

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1 Außerplanäßig nächste Woche Dienstag, :30 Uhr Vorlesung, Kleiner Hörsaal Physik Mittwoch, Uhr, Übung, Hörsaal Schutow Schwingungen www-bereich Lehre in Arbeitsgruppe Cluster und Nanostrukturen Grundkurs Physik login: P4LA passwd: cluster

2 Haronische Schwingung Zeitliche Änderung einer physikalischen Größe, die it einer Sinus- oder Kosinusfunktion beschrieben werden kann. Haronische Schwingungen sind die a häufigsten Oszillationen i Alltag Alle Syste, die de Hookschen Gesetz genügen, führen haronische Schwingungen aus. Jedes Syste, das nur geringfügig aus seiner Ruhelage verschoben wird, schwingt haronisch u den Ruhepunkt. Labiles Gleichgewicht Kraftwirkung in Richtung Ruhelage Indifferentes Gleichgewicht Keine Kraftwirkung bei Auslenkung Stabiles Gleichgewicht Kraftwirkung in Richtung Ruhelage

3 Beispiele für schwingende Systee Fadenpendel Torsionspendel Masse an Feder Flüssigkeit in U-Rohr Masse durch Zugkräfte gehalten Elektrischer Schwingkreis Hydroeter Helholtzresonantor 3

4 Hase und Jäger i ganz noralen Leben sind die Zusaenhänge oft kopliziert Gegenseitige Abhängigkeiten Schneehasen S( Beutepopulation ds(/dt zeitliche Änderung der Beutepopulation S (S( natürliche Entwicklung der Beutepopulation S S(L( Entwicklung der Beutepopulation in Abhängigkeit von der Anzahl der Räuber Luchse L( dl(/dt L (L( L S(L( Räuberpopulation zeitliche Änderung der Räuberpopulation natürliche Entwicklung der Räuberpopulation Entwicklung der Räuberpopulation in Abhängigkeit von der Anzahl der Beutetiere Gekoppelte Differentialgleichung ds( = SS ( SS( L( dt dl( = LS( L( LL( dt Zeitliche Entwicklung der Population A hängt von der Entwicklung der Population B ab und kann nicht unabhängig voneinander betrachtet werden 4

5 Hooksches Gesetz Auslenkung aus der Ruhelage nach rechts x positiv Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetzt F negativ Gleichgewichtsposition Kraftwirkung verschwindet Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetzt F positiv Auslenkung aus der Ruhelage nach links x negativ Hooksches Gesetz F S = kx Robert Hooke ( ) 5

6 Einfache haronische Bewegung Vertikale Auslenkung reibungsfrei Newtonsche Bewegungsgleichung Experientelle Beobachtung: Beschleunigung a ist proportional der Auslenkung x Richtung von a ist entgegengesetzt zu x a a x r r F = a x = kx = k x Die Bewegung von Systeen, die sich in dieser Weise verhalten, nennt an einfache haronische Bewegungen oder Ein Körper führt eine einfache haronische Bewegung aus, wenn die Beschleunigung proportional der Auslenkung und entgegengesetzt der Richtung der Auslenkung ist. Das Hooksche Gesetz beschreibt solche Bewegungsforen Anfangsbeschleunigung axial bei x = A k A Geschwindigkeit axial bei x = 0, da a Vorzeichen wechselt 6

7 Objekt an Feder, jetzt vertikal acht es einen Unterschied, dass die Feder gespannt wird? Gleichgewichtsposition x xs ohne Gewicht it Gewicht Gleichgewichtsposition der Feder ohne angehängtes Gewicht Gleichgewichtsposition der Feder it angehängte Gewicht FS = kx g S FS Fg = k x g = kx g k xs = x k Kein Unterschied in der Beschreibung der Bewegung 7

8 Matheatische Beschreibung φ 0 Aplitude A d² k x = dt² Definiere d² dt² ω = k x x = ω² x Newtonsche Bewegungsgleichung Gesucht: Funktion, deren zweite Ableitung wieder sich selbst ergibt (al einer Konstante) φ = 0 Kreisfrequenz ω = Einheit k rad s Phase ω t +φ Sinus- und Kosinusfunktionen erfüllen solche Anforderungen Phasenwinkel Einheit rad [ ] x( = Ansatz cos Acos ( ωt + φ) d x( = Aω sin dt d² x( = Aω² cos dt² d² x( = ω² x( dt² ( ωt + φ) ( ωt + φ ) 8

9 Haronische Bewegung eines Oszillators Oszillierender Körper schreibt Sinus- bzw Kosinusfunktion auf gleichäßig bewegte Papier 9

10 Jupiteronde Aus Sicht der Erde führen die Jupiteronde eine haronische Schwingung aus Hinweis auf heliozentrisches Weltbild 0

11 x( = Acos t ( ω +φ) Aplitude Die Aplitude definiert die axiale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage Der Grad der Auslenkung kann unterschiedlich bestit werden Auslenkung = Längenänderung Auslenkung = Winkeländerung

12 x( = Acos t ( ω +φ) Phase Durch die Phase φ wird das Schwingungsverhalten unterschiedlicher Oszillatoren (gleicher Frequenz) verglichen Maxialer Unterschied (Phasenwinkel) ist π π Position der größten Auslenkung ist gegenüber de anderen Syste u einen gewissen Betrag verschoben Steve Reich - Violin Phase (967) Musikstück für vier Violinen oder eine Violine und Tonband

13 x( = Acos t ( ω +φ) Periode und Frequenz Definition der Periode Ein vollständiger Zyklus der Bewegung Position des Körpers identisch bei t und t+t ( ω( t + T ) + φ) ( ωt + φ) = π π Kosinusfunktion π f = = T ω π ωt = π π T = ω Periode SI Einheit [s] Frequenz SI Einheit [/s= Hz] π ω = πf = Kreisfrequenz T SI Einheit [ rad/s] T f π = = π ω = = T π k k Frequenz der Oszillation hängt nur von der Masse des Körpers und der Federkonstante k ab und nicht von den Paraeter der Schwingung wie Aplitude A und Phase φ 3

14 Geschwindigkeit und Beschleunigung x( = Acos t ( ω +φ) Geschwindigkeit des Körpers bei der Oszillation d d v = x = dt dt v = ωasin ( Acos( ωt + φ) ) ( ωt + φ) Beschleunigung des Körpers bei der Oszillation x( d² d² a = x = dt² dt² a = ω² Acos ( Acos( ωt + φ) ) ( ωt + φ) v( v v ax ax = ± ωa = ± A k Beschleunigung axial, wenn Auslenkung axial Geschwindigkeit axial wenn Beschleunigung inial a( a a ax = ± ω A ax ² = ± A k für eine willkürlich gewählte Phase 4

15 x( = Acos t ( ω +φ) Anfangsbedingung I Feder gespannt Randbedingung x( 0 ) = Acosφ = A v(0) = ωasinφ = 0 Als Phase wählen wir φ=0, dait die Gleichung oben erfüllt ist Lösung x = Acosωt t=0 x(0)=α v=0 5

16 x( = Acos t ( ω +φ) Anfangsbedingung II Durchgang durch die Gleichgewichtslage Anfangsbedingung I π x( 0 ) = Acosφ = 0 φ = ± vi v(0) = ωasinφ = vi A = ω resultierende Aplitude Phase u π/4 verschoben Lösung Randbedingung v > 0 und A positiv i π sinφ = - φ = - vi π x = cos ωt ω t=0 x(0)=α v=0 t=0 x(0)=0 v=v 0 6

17 Schlagloch Masse des Trabant 60 kg Fall A Oszillationsfrequenz des leeren Trabant Federkonstante der Einzelfeder 5000 N/ Fres = kx = ( k) x = keff x N keff = N keff = Fall B Zusätzlich Fahrer und drei Mitfahrer insgesat 50 kg f leer = π f k leer eff Trabi = π =.57 Hz N kg f f voll voll = π =.3 Hz Trabi k eff + Personen = π N kg + 50kg 7

18 Energie des einfachen haronischen Oszillators Erinnerung an die Vorlesung MECHANIK Viele Problee lassen sich unter Verwendung des Energiesatzes leichter lösen Ausgangslage schon berechnet x( = Acos v( = Aω sin ( ωt + φ) ( ωt + φ) PE = kx = E = KE + PE Kinetische Energie des haronischen Oszillators KE = v² = ω A sin ( ωt + φ) Elastische Energie des haronischen Oszillators Beerkung Sowohl die kinetische Energie als auch die elastische Energie sind stets positiv Gesatenergie des haronischen Oszillators E = sin Θ+ cos Θ= E = Die Gesatenergie eines haronischen Oszillators ist eine Konstante der Bewegung und ist proportional zu Quadrat der Aplitude ka ka ka cos ( ωt + φ) ( sin ( ωt + φ) + cos ( ωt + φ) ) 8

19 Energie des haronischen Oszillators Austausch von kinetischer und elastischer Energie i haronischen Oszillator E = Betrachte Position x = 0 v ax = PE = 0 E = ω A ka = k A x = 0 Beitrag von KE und PE als Funktion der Aplitude der Schwingung 9

20 Energie des haronischen Oszillators x = 0 Suche Aplitude bei der gilt 4 E = ka PE = kx Bedingung E = PE ka = kx A x = 0

21 Potentielle vs kinetische Energie PE ax KE ax PE ax KE ax PE ax

22 Geschwindigkeit v(x) Nutze Energiesatz u Geschwindigkeit des Körpers an beliebiger Position zu berechnen Geschwindigkeit an Position x ka v = ± E = KE + PE = v k v = ± ω k ω ² = + x ( A x ) ( A x ) = Check für Extrealpositionen x = 0 v = ±ωa Maxial a Gleichgewichtspunkt v = ± ωa x = A ( A A ) = 0 Minial a Ukehrpunkt

23 Hooksches Gesetz einfacher Ansatz für globale Problee Für größere Auslenkung aus der Gleichgewichtslage ist diese einfache lineare Beziehung nicht notwendigerweise erfüllt Für nahezu ALLE physikalischen Systee in der Natur, die in irgendeiner Weise aus ihrer Gleichgewichtslage bewegt werden, kann in erster Näherung ein Ansatz zur Beschreibung gewählt werden, der de Hookschen Gesetz entspricht. Man uß sich aber darüber klar sein, dass diese Näherung öglicherweise nur in eine engen Bereich gültig ist. Einige Beispiele außerhalb der Mechanik Vibration von Molekülen akustische Schwingungen i Festkörper (Phononen), Metallische Elektronen in Metallen Elektronen in eine Plasa Schwingungen der Kernbausteine (Protonen und Neutronen) Für geringe Auslenkungen ist die rücktreibende Kraft F proportional zur Auslenkung x Hooksches Gesetz 3

24 Haronische Näherung Typischer Potentialverlauf In der Nähe der Gleichgewichtslage entspricht die Potentialkurve einer Parabel 4

25 Anwendung Lennard-Jones Potential für Moleküle Wechselwirkungspotential zwischen zwei Molekülen Haronische Näherung Lennard-Jones Potential von einfach zu koplex Wechselwirkungspotential zwischen vielen Atoen wie zu Beispiel i Festkörper 5

26 Haronische Schwingung vs Kreisbewegung Kreisbewegung Objekt rotiert auf Scheibe Schwingungsbewegung Schatten führt Oszillation aus 6

27 Haronische Schwingung vs Kreisbewegung Eine einfache haronische Schwingung kann angesehen werden als Projektion einer Kreisbewegung auf einen Referenzkreis Referenzkreis Konstante Winkelgeschwindigkeit Mechanik v = ωr a = v² r Mechanik ω² r² = r = ω² r x-koponente x = Acos ( ) φ A < x < A für 0 < t < T x = Acos t Oszillation von x in den Grenzen ( ω +φ) ( ω φ) v x = Aω sin t + ( ω φ) = Aω ² cos t + Eine Kreisbewegung kann dargestellt werden als Kobination von zwei einfachen haronischen Schwingungen eine entlang der x-und eine entlang der y-achse a x 7

28 Matheatisches Pendel Oszillation it geringer Aplitude unter Einfluss der Gravitation Bewegungsgleichung für die Tangentialkoponente F t d s = dt = g sin Θ s= LΘ d LΘ d Θ = L dt dt d Θ g = sin Θ dt L T π = = π ω L g Einsetzen des Lösungsansatzes d Θ = ω Θax cos dt d Θ = ω Θ = dt ω = g L ( ωt + φ ) g L Θ Näherung für geringe Auslenkungen sin Θ Θ d Θ dt Θ = Θ ax = cos g L Θ Lösungsansatz haronische Schwingung ( ω t +φ) Die Frequenz und die Periode eines atheatischen Pendels hängt nicht von der Masse sondern nur von der Länge des Fadens und der Gravitation ab. A selben Ort (gleiches g) und gleiche L schwingen alle Objekte it derselben Periode! 8

29 Eine-Sekunde Pendel Gravietrie Geophysikalische Verfahren zur Auffindung von Bodenschätzen Christian Huygens Idee: Ein Pendel it einer Periode von einer Sekunden als Zeitnoral L s gt L s = 4π 9.8 s = s² = ππ Länge der Pendelschnur etwa ein Viertel eines Meters Gesucht ein Planet auf de die Periode des Pendels it eine Meter Aufhängung genau eine Sekunde beträgt g planet g planet = 4π L = 4π T s = 39. s² Zu Vergleich Jupiter g Jupiter = 4.8 s² 9

30 Physikalisches Pendel T Bewegungsgleichung gd sin Θ = d Θ dt gd = Θ = I Lösungsansatz Θ = Θ ax ω = Masse konzentriert in eine Punkt I = d d = π = π gd d g sin Θ Θ cos ( ωt + φ) gd I Lösung für das physikalische Pendel d Θ I dt ω Θ Drehoent bewirkt, dass sich der Schwerpunkt bewegt T Newtonsche Mechanik Rotation τ = Iα Periode des physikalischen Pendels π = = π ω I gd Anwendung Bestiung eines Trägheitsonents I aus der Periodendauer T 30