15b Schwingungen. Violin Phase (1967)

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1 15b Schwingungen Violin Phase (1967) 1

2 Zusammenfassung Frequenz Anzahl der Oszillationen eines Systems pro Sekunde 1 [ f ] [ 1Hz 1 s ] Periode Zeitdauer einer Oszillationen des Systems 1 ; f [ ] [ 1 s] F S Einfache harmonische Oszillation Ortsabhängigkeit Geschwindigkeit der Oszillation x( t) Acos( ωt + φ) d v( t) x( t) Aω sin( ωt + φ) A: Amplitude Aω : Geschwindigkeitsamplitude ωt + φ : Phase φ : Phasenwinkel ω : Kreisfrequenz π ω πf Hooksches Gestez N kx, [] k m m 1 k π f ω k π m k m Beschleunigung der Oszillation d a( t) x( t) Aω cos Aω : Beschleunigungsamplitude ( ωt + φ ) Energie der harmonischen Schwingung 1 KE mv 1 PE kx E KE + PE const

3 Kleine esoterische Frage Wovon hängt die Periode eines Pendels ab? Masse, Länge, Gravitation 3

4 Zusammenhang Rotation Kreisbewegung Objekt rotiert auf Scheibe Schwingungsbewegung Schatten führt Oszillation aus 4

5 Zusammenhang Rotation Eine einfache harmonische Schwingung kann angesehen werden als Projektion einer Kreisbewegung auf einen Referenzkreis Referenzkreis Konstante Winkelgeschwindigkeit Mechanik v ωr a v² r Mechanik ω² r² r ω² r x-komponente x Acos ( ) φ A < x < A für < t < x Acos t Oszillation von x in den Grenzen ( ω +φ) ( ω φ) v x Aω sin t + ( ω φ) Aω ² cos t + Eine Kreisbewegung kann dargestellt werden als Kombination von zwei einfachen harmonischen Schwingungen eine entlang der x-und eine entlang der y-achse a x 5

6 Mathematisches Pendel Oszillation mit geringer Amplitude unter Einfluss der Gravitation Bewegungsgleichung für die angentialkomponente F t d s m mg sin Θ s LΘ Kreisbogen Näherung Punktmasse d LΘ d Θ m ml mg sin Θ d Θ g sin Θ L Komponente der rücktreibenden Kraft Bis auf den Sinus entspricht das schon dem Ausdruck für das Hooksche Gesetz Näherung nur geringe Auslenkung sin Θ Θ sehr hilfreich wird oft genutzt für geringe Amplituden d Θ g L Θ Θ Θ max verwende Lösungsansatz für harmonische Schwingung cos ( ω t +φ) 6

7 Mathematisches Pendel Oszillation mit geringer Amplitude unter Einfluss der Gravitation Hooksches Gesetz d Θ Θ Θ max cos g L Θ Lösungsansatz harmonische Schwingung ( ω t +φ) Praktikumsversuch Koeffizientenvergleich Einsetzen des Lösungsansatzes in die Differentialgleichung d Θ ω Θ max cos d Θ ( ωt + φ ) g L Θ ω Θ Die Frequenz und die Periode eines mathematischen Pendels π L g hängt nicht von der Masse sondern nur von der Länge des π ω ω g L Fadens und der Gravitation ab. Am selben Ort (gleiches g) und gleichem L schwingen alle Objekte mit derselben Periode! 7

8 Anwendung Gravimeter Pendelexpeditionen Sir Edward Sabine ( ) Hinweise auf die Abplattung der Erde George Bidell Airy ( ) Versuche in Bergwerksschacht in Cornwall g-abweichung am Boden der Mine (383 m) von 1/1986 Gesteine beeinflussen über ihre unterschiedliche Dichte den Wert von g 8

9 F WS Flüssigkeitsschwingung im U-Rohr Lösung für harmonischen Oszillator Rücktreibende Kraft ist Gewicht der ausgelenkten Wassersäule A π URohr m k (x) ρ H O g l URohr A URohr m Schwingende Masse URohr A URohr l URohr ρ H : Gesamtlänge der Flüssigkeitssäule : Querschnittsfläche des U Rohrs k WS Hooksche Konstante F A ws x k A WS Gleichgewichtslage URohr URohr (x) ρ x ρ H O g H O g l URohr π r + h URohr Schwingung unabhängig von der Masse des Schwingers URohr Periodendauer π URohr π l URohr A π m k A URohr URohr URohr WS l g gρ URohr gρ H H 9

10 Drop it! Lösung des Problems abhängig von der Position der Feder, wenn die Masse landet Annahme: inelastischer Stoß Masse fällt aus geringer Höhe auf schwingende Feder bei Durchgang durch die Gleichgewichtslage t < t > : kurz vor dem Stoß : kurz nach dem Stoß x-komponente Impulserhaltung ist erfüllt Energie hat sich verringert x Mechanische Energie kurz vor dem Stoß E t< 1 < t ka PE also nur kinetische Energie E t< v < t 1 Mv k M < t ka A < t < t nutze Impulserhaltung Mv M + m v v < t > t ( ) M v M + m < t > t E t> 1 Überschussenergie emperaturerhöhung Mechanische Energie im inelastischen Stoß E t> M M 1 ( M + m) v t> M 1 vt> Mv + m M + m M Et> Et< M + m t< 1

11 Drop it! Masse fällt aus geringer Höhe auf schwingende Feder bei Durchgang durch die Gleichgewichtslage Veränderte Amplitude nach dem Stoß E 1 ka A M E M + m t> t< M ka M + m M A M + m je größer die die Masse der stoßenden Körpers, desto geringer ist die spätere Amplitude < t < t M + m π k Periode erhöht sich bei geringerer Amplitude x 11

12 Drop it! Masse fällt aus geringer Höhe auf schwingende Feder bei maximaler Amplitude Schwingende Masse ist am Umkehrpunkt in Ruhe Gesamte Energie gespeichert in elastischer Energie der Feder x-komponente Impulserhaltung ist erfüllt NULL kurz vor und kurz nach dem Stoß allerdings auch kinetische Energie ist NULL kurz vor und kurz nachdem Stoß x keine Änderung der Amplitude nach dem Stoß 1 Et< Et> ka< Periode erhöht sich bei gleicher Amplitude π M + m k 1

13 Physikalisches Pendel Bewegungsgleichung Aufhängepunkt mgd sin Θ d Θ d Θ I mgd Θ I Lösungsansatz Θ Θ max ω rägheitsmoment sin Θ Θ cos ( ωt + φ) mgd I Iα ω Θ Newtonsche Mechanik Drehmoment τ bewirkt, dass sich der Schwerpunkt bewegt τ Iα Periode des physikalischen Pendels π π ω Zusammenhang Linear Rotation r r r r F ma τ Iα I mgd Masse konzentriert in einem Punkt I md md π π mgd d g Das ist die Lösung für das physikalische Pendel Anwendung Bestimmung eines rägheitsmonents aus der Periodendauer 13

14 Physikalisches Pendel schwingender Stab Drehpunkt Periode dieses physikalischen Pendels rägheitsmoment eines Stabes π I Mg L 1 I ML 3 π L 3g 14

15 Wie schnell bewegen sich Dinosaurier? Anwendung Physikalisches Pendel Erinnerung an Kapitel Rotation rägheitsmoment eines Zylinders I Stab 1 ML 3 Physikalisches Pendel Länge des Dinisaurierbeins L3 m Abstand der Fußabdrücke A4 m v Geschwindigkeit des Saurier A 4 m m s s Rex km 5 h Rex Rex π π 1 ML 3 L Mg 3 3 m m 9.81 s² π 3 L g.84 s 15

16 urmspringerin 1 3 ml L vereinfachtes Modell Stab mit Länge L Ergebnis aus Kapitel Rotation Hebelarm L a Neue Situation verglichen mit den Problemen aus der Mechanik veränderliches Drehmoment, da auch die Kraft (-kx) sich ändert Auflagepunkt αr r L a α L d x a Lkx a dx t 3k m Feder x ω x τ LF sin 9 τ Iα τ 1 3 ml α ml α LF ml α Lkx Rotation r entspricht der Länge des Hebelarms k Linear rägheitsmoment eines Stabes Bewegungsgleichung Flugzeit und Auflagepunkt m π 3 4π m 3k je länger die urmspringerin in der Luft ist, desto geringer muss die Federkonstate des Brettes sein 16

17 Machsches Pendel Machsches Pendel Position der Masse A kann verändert werden Machsches Pendel in geneigter Position um diese Achse schwingt das Pendel Schwerpunkt Periode des Machschen Pendels Schwingungsperiode d CM π I M π A d M g A M Ad M I mgd A A W W ( M d M d ) A + M A A d A W M + M d W W + M W d W W d W d: Abstand der Achse zum Schwerpunkt d CM Annahme Punktmassen Spezialfall M d A A M d W W Winkelabhängigkeit Θ g g cosθ g cos const cosθ 1 const Periode vergrößert sich bei Neigung der Achse Messung von g möglich 17

18 orsionspendel orsionskonstante Lösung ist identisch zu den anderen Fällen τ κ Θ dθ I dθ κθ κ Θ I Im Gegensatz zu den anderen Fällen gibt es keine Einschränkung auf geringe Auslenkungen. Es muss nur erfüllt sein, dass das elastische Limit des Drahtes nicht überschritten wird. WICHIG Die Rückstellkonstante hängt von der Länge des Drahtes ab! Winkel der Auslenkung ω π κ I I κ Anwendung zusätzliches unbekanntes rägheitsmoment ' ' π ' I + I' I ' I' I I + I' κ 1+ 1 Periode verkürzt sich I' I 18

19 Reise zum Mittelpunkt der Erde (Science Fiction diesmal aber nicht Jules Verne) From Pole o Pole by George Griffith An Account of a Journey hrough the Axis of the Earth Collated From the Diaries of the Late Professor Haffkin and His Niece, Mrs. Arthur Princeps he Windsor Magazine Oktober 194 Ergänzung zum Kapitel Gravitation Newtons Schalentheorem für Objekte innerhalb der Erde Ein gleichförmige Schale von Materie übt keine Kraft auf einen Körper innerhalb aus mm inside F G r 4 3 M inside Vinsideρinside πr ρ 3 3 4π r 4π F Gmρinside Gmρ 3 r 3 F r inside inside r Gravitationskraft verschwindet im Zentrum der Erde 19

20 Fahrstuhl zum Mittelpunkt der Erde George Griffith ( ) - From pole to pole Gravitationskraft ausserhalb der Erde Re a g r² Gravitationskraft innerhalb der Erde a g r R e d r - g R e r π ω R g e g R π e m m 9.81 s² Zeit für eine Periode HRO HRO 84 min π ω 56 s Geschwindigkeitsamplitude Maximale Geschwindigkeit v max g ωre Re gre R 3 m vmax s kritische Geschwindigkeit eines niedrig fliegenden Erdsatelliten e

21 Hooksches Gesetz einfacher Ansatz für globale Probleme Für größere Auslenkung aus der Gleichgewichtslage ist diese einfache lineare Beziehung nicht notwendigerweise erfüllt Für nahezu ALLE physikalischen Systeme in der Natur, die in irgendeiner Weise aus ihrer Gleichgewichtslage bewegt werden, kann in erster Näherung ein Ansatz zur Beschreibung gewählt werden, der dem Hookschen Gesetz entspricht. Man muß sich aber darüber klar sein, dass diese Näherung möglicherweise nur in einem engen Bereich gültig ist. Einige Beispiele außerhalb der Mechanik siehe Beginn dieses Kapitels Vibration von Molekülen akustische Schwingungen im Festkörper (Phononen), Metallische Elektronen in Metallen Elektronen in einem Plasma Schwingungen der Kernbausteine (Protonen und Neutronen) u.v.a.m. Für geringe Auslenkungen ist die rücktreibende Kraft F proportional zur Auslenkung x Hooksches Gesetz 1

22 Harmonische Näherung ypischer Potentialverlauf In der Nähe der Gleichgewichtslage entspricht die Potentialkurve einer Parabel

23 Anwendung Lennard-Jones Potential für Moleküle Wechselwirkungspotential zwischen zwei Molekülen Harmonisches Potential Lennard-Jones Potential von einfach zu komplex Wechselwirkungspotential zwischen vielen Atomen wie zum Beispiel im Festkörper 3

24 Gedämpfte Schwingungen Beispiel für einen gedämpften Oszillator Beschreibung der Dämpfung erfolgt über einen zusätzlichen Reibungsterm in der Bewegungsgleichung R bv Reibungsterm ebenfalls negativ, da stets der Geschwindigkeit des Objektes entgegengerichtet neue Form der Bewegungsgleichung d d x kx bv x kx b d x So sieht der Lösungsansatz aus b x Aexp t cos t m ( ω +φ) 4

25 Gedämpfter harmonischer Oszillator Differentialgleichung d x kx b d x Lösung der Differentialgleichung b x Aexp t cos t m ( ω +φ) ω k m b m Bei geringer Dämpfung oszilliert das System mit der Frequenz Eigenfrequenz ω k m ω ω b m geringe Verschiebung der Schwingungsfrequenz Allerdings nimmt die Amplitude mit der Zeit ab und zwar mit der Zeitkonstante exp b m t 5

26 Gedämpfter harmonischer Oszillator Fallunterscheidung Wie beeinflusst die Reibung das Abklingverhalten? a R max 3 Fall überkritisch gedämpfte Schwingung bv max > ka und b > mω ω Fall ω ω Kritisch gedämpft b m kx bv b mω mω ω ω m 1 Fall Nahezu ungedämpfte Schwingung R bv < ka max max Reibungsterm R bv 6

27 Autofederung unterkritisch, kritisch oder überkritisch? 7

28 Brainstorming 8

29 Erzwungene Schwingungen m m dx dx F + b sinωt b dx F ma + kx F dx kx sinωt treibende Kraft der Oszillation Lösung für diesen Fall Amplitude steigt stark an, wenn ω ω Der Dämpfungsterm senkt den Wert der Amplitude. Ohne Dämpfung geht der Wert von A in Resonanz gegen eine unendlich hohe Amplitude A F m x Acos 1 ( ω ω ) ( ωt + φ) + ω m b Eigenfrequenz des Oszillators ohne Dämpfung, d.h. b ω k m 9

30 Getriebener harmonischer Oszillator Warum maximale Amplitude bei Anregung nahe der Eigenfrequenz? Geschwindigkeit v Betrachte die erste Ableitung x dx Acos ( ωt + φ) Aω sin ( ωt + φ) reibende Kraft F F sinωt Geschwindigkeit und Krafteintrag von außen haben die gleiche zeitliche Form Man sagt die treibende Kraft ist in Phase mit der Geschwindigkeit Starker Anstieg der Amplitude, wenn das System in der Nähe der Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators angeregt wird. Berechne die Arbeit von außen an dem Oszillator r W F r v Wenn treibende Kraft und Geschwindigkeit in Phase kann die maximale Arbeit ins System gepumpt werden 3

31 Resonanzen im menschlichen Körper 31

32 Nimitz Freeway Collapse Loma Prieta Earthquake, Oakland 17 Oktober 1989 Stärke des Erdbebens 7.9 auf der Richterskala (logarithmische Skala in der Amplitude!) stärkstes Beben in 37 Jahren Laterale Auslenkung circa 8 cm Einsturz erfolgte nur auf nicht kompaktiertem Bereich A-B 3

33 Nimitz Freeway Collapse Oakland 1989 Seismisches Signal des Erbebens, das zum Einsturz der Nimitz Freeways führte Laterale Auslenkung circa 8 cm Gravitationsbeschleunigung (9.81 m/s²) maximale Amplitude am Nimitz Freeway.6 g Zeit (s) Laterale (WE) Amplitude in der Nähe des Epizentrums.6 g Vertikale Amplitude in der Nähe des Epizentrums nur.1 g Oszillationsperiode etwa 1 Sekunde zusätzliche Frequenzkomponente von.6 Hz Mögliche Ursachen für den Einsturz A (statisch, nicht resonant ) untere Fahrbahnebene wird beschleunigt. Die Säulen sind nicht in der Lage das obere Deck in gleicher Weise zu beschleunigen (Designwert von. g überschritten ) B (dynamisch, resonant) Oszillationperiode des lokeren Bodenbereichs entspricht einer Resonanzfrequenz zwischen oberem und unterem Deck (.6 Hz) C zusätzlicher Beitrag durch Dominoeffekt 33

34 Milleniums Bridge London Amplituder der Brückenschwingung Zeit Selbstsynchronisation der Schrittfolge der Fußgänger (blau rechtes, rot linkes Bein) 34

35 Brückeneinsturz acoma Narrows Bridge 194 Schwingungsanregung der Brücke durch stetigen Wind, die die Brücke in die orsions-resonanzfrequenz treibt 35