J Manfred Reimer Grundlagen der Numerischen Mathematik II Studienbuch für Studenten der Mathematik, Informatik, Statistik und aller Naturwissenschaften Mit 29 Abbildungen Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 1982
INHALT 1. Extremalaufgaben 3 Freie Extrema - Extrema unter Restriktionen 1.1 Methode der Lagrange-Multiplikatoren 5 1.2 Lineare Optimierung 11 1.2.1 Normal formen 11 Struktur der Lösungsmenge 1.2.2 Schlupfvariable 17 dritte Normal form 1.2.3 Simplex-Algorithmus 25 zulässige Basispunkte Maximalitätskriterium, Austauschschritt, Unbeschränktheitskriterium, Endlichkeit des Algorithmus praktische Durchführung, Simplex-Tableau 1.2.4 Entartung zulässiger Basispunkte 45 1.2.5 Konstruktion eines Startpunktes 1.3 Diskrete Tschebyscheff-Approximation 49 Berücksichtigung von freien Variablen im Programm 2. Lokalisierung der Nullstellen von Polynomen 53 2.1 Problemstellung 53 Stabilitätsprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen und bei Differenzengleichungen Äquivalenz der Nunstellenprobleme für den Einheitskreis und für die linke Halbebene 2.2 Sturmsche Ketten 58 euklidischer Algorithmus
2.3 Routh-Hurwitz-Kriterium 70 2.4 Das Kriterium von Cohn 85 Satz von Rouche 2.5 Stabi1ität-erhaltende PolynomtransformatJonen 92 Sätze von Schur und von Grace-Szegö Numerische Behandlung von Anfangswertaufgaben 103 gewöhnlicher Differentialgleichungen 3.1 Problemstellung 103 Normierung des Gebietes, autonome Schreibweise 3.2 Diskrete Approximation 108 Gitter, Gitterfunktionen, diskrete Konvergenz 3.3 Polygonzug-Verfahren 111 bei nichtäquidistantem Gitter, Konvergenz 3.4 Runge-Kutta-Verfahren 115 K-stufige RKV, Diskretisierungsfehler, Konsistenz und Konsistenzordnung 3.4.1 Abgleich von Runge-Kutta-Verfahren 118 Polygonzug-, Heun-, Halbschrittverfahren klassische 3- und 4-stufige RKV 3.4.2 Runge-Kutta-Verfahren hoher Konsistenzordnung 129 implizite RKV 3.4.3 Behandlung nicht-autonomer Anfangswertaufgaben 130 3.5 Behandlung von AWA gewöhnlicher DGLn r-ter Ordnung 130 Nyström-Verfahren 3.6 Automatische Schrittweitenkontrolle und -Steuerung 132 Extrapolation nach Richardson, Einfluß der Rundungsfehler
3.7 Auf Interpolation beruhende Verfahren 137 3.7.1 Interpolation an den Knoten x,x,,...,x. 138 Differenzenform, -Verfahren, Anfangswerte 3.7.1.1 Berechnung der Parameter 142 3.7.1.1.1 Adams-Moulton-Verfahren 144 3.7.1.1.2 Newton-Cotes-Verfahren 146 3.7.2 Interpolation an den Knoten x,xi,...,x., 148 3.7.2.1 Adams-Bashforth-Verfahren 150 3.8 Berechnung der Anfangswerte 151 3.9 Lineare Differenzenformen 155 algebraischer Grad, FormfunktionaJ Charakterisierung des Grades, Gradabgleich, Beispiele 3.10 Integraldarstellung nach Peano 167 Peano-Kern 3.11 Lineare Differenzenverfahren 170 allgemeine Theorie 3.12 Ein- und Mehrschrittverfahren 174 3.13 Konsistenz 175 Konsistenzordnung 3.14 Stabilität 179 Diskretisierungsfehler, Störungen charakteristisches Polynom Stabilitätskriterium 3.15 Konvergenz 189 3.16 Maximaler Grad stabiler linearer Differenzenformen 191 4. Numerische Behandlung von Randwertaufgaben gewöhnlicher DGLn 202 4.1 Lineare Randwertaufgaben 202 4.2 Schießverfahren 205
4.3 Differenzenapproximation 206 4.4 Ritz-Galerkin-Verfahren 213 5. Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung 218 Charakteristi ken-methode 6. Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung 220 6.1 Typeneinteilung 220 6.2 Parabolische Differentialgleichung 223 6.2.1 Separationsansatz bei homogenen Randbedingungen 225 6.2.2 Diskretisierungsansatz Stabilität, Konvergenz 6.3 Elliptische Differentialgleichung 236 Dirichlet- und Neumann-Problem, Maximum-Prinzip 6.3.1 Approximationsansatz 239 6.3.2 Diskretisierungsansatz 240 Maximum-Prinzip für Gitterfunktionen Lösbarkeit des Ersatzproblems 6.4 Hyperbolische'Differentialgleichung 247 Separationsansatz Problem der schwingenden Saite Literatur 251 Symbol Verzeichnis 257 Sachregister 261