Ähnlihkeit hülerbuhseite 52 55 Ähnlihkeit uftkt eiten 52, 5 eite 52 1 ie reieke bzw. die Viereke sind zwr niht gleih groß, hben ber die gleihe Form. Wenn mn nhmisst, stellt mn fest, dss die Winkel jeweils gleih sind. 2 Individuelle Lösungen ie ilder oben rehts und unten links stellen die Ktze verzerrt dr. eim ild oben rehts wird die Länge beibehlten und die reite verdoppelt; beim ild unten links wird die reite beibehlten und die Länge verdoppelt. s ild unten rehts stellt eine mßstäblihe Vergrößerung des ursprünglihen ilds dr, d die reite und die Länge verdoppelt werden. er Kopf im rehten ild ist 2 m hoh. Im mittleren ild ist er etw 0,5 m hoh, die Girffe ist insgesmt m hoh. Mn müsste lso ds ild rehts mit dem Fktor vergrößern, um die Girffe gnz zu zeigen. Es wäre dnn 2 m = 1 m hoh. ie uhseite ist mehr ls 25 m hoh. s ild würde lso uf die eite pssen. eite 55 1 Für ds Rehtek R gilt: = m und b = 1 m. R 1 ist ein mßstäblihes ild von R; k = 2. ( = m = 2 m = 2 und b = 2 m = 2 1 m = 2 b) R ist ein mßstäblihes ild von R; k = 0,5. ( = 1,5 m = 0,5 m = 0,5 und b = 0,5 m = 0,5 1 m = 0,5 b) R 5 ist ein mßstäblihes ild von R; k = 1,5. ( =,5 m = 1,5 m = 1,5 und b = 1,5 m = 1,5 1 m = 1,5 b) eite 5 2 ) b) s ild ist eine mßstäblihe Verkleinerung des Originls und steht verkehrt herum. Wenn mn mit der Kmer näher n ds Originl herngeht, vergrößert sih ds ild. R K 1K K K 1 Vergrößern. Verkleinern eiten 5, 55 ) eite 5 Einstieg Mßstb 1 100 bedeutet, dss 1 m in der bbildung 100 m = 1 m in der Wirklihkeit entsprehen. Im ild ist die Girffe m groß, lso ist sie in Wirklihkeit 00 m = m groß. ie Girffe ist im ild links 2 m groß. mit entsprehen 2 m in diesem ild 00 m in der Wirklihkeit. 00 2 = 200 ie Girffe ist im Mßstb 1 200 bgebildet. lterntiv knn mn sih klr mhen, dss die Girffe im Vergleih zum mittleren ild (Mßstb 1 100) hlb so groß bgebildet ist, der Mßstb ist lso 1 200. b) 12K R K K 12K 55
Ähnlihkeit hülerbuhseite 55 5 ) b) 9K d) 9K ) K 10 K ) d) b) 5 ) b) ) 1 m 9 m 1 m b 27 m 1,5 m 2 m 2 m 1 m 2 m Es ist k = 0,5. 1 Vergrößern. Verkleinern eite 5 eite 5, links ) 5
Ähnlihkeit hülerbuhseite 5 57 7 ʺ b) k = = = 0,5 Mit dem Fktor k = 0,5 kommt mn in einem hritt von R zu Rʺ. lterntiver Lösungsweg: s Rehtek wird zuerst mit dem Fktor 1,5 vergrößert und nshließend mit dem Fktor 1 verkleinert. er Fktor k beträgt: k = 1 1,5 = 0,5. ) Mn vergleiht zwei Quotienten: Länge der lngen eite des Posters Länge der lngen eite des Originls und Länge der kurzen eite des Posters Länge der kurzen eite des Originls er kleinere dieser zwei Quotienten ist der größtmöglihe Vergrößerungsmßstb k. Formt Quotient lng Quotient kurz k eite 5, rehts 20 20 20 20 10 = 2 7 2,9 2 0 20 0 20 10 = 7 2,9 2,9 ) 0 0 0 0 10 = 7 5,7 5,7 0 0 0 0 10 = 7, b) k = 1,25 k = 0,75 b) Weil sih die Quotienten immer untersheiden, bleibt uh immer ein Rnd frei. Vergrößert mn ds Originl mit k = uf 0 0; wird es 0 m lng und 7 m = 5 m breit. er seitlihe Rnd ist lso insgesmt 0 m 5 m = 2 m breit. Pltziert mn ds ild in der Mitte, entstehen zwei 12 m breite seitlihe Ränder. k = k = 2 EXTR: Zentrishe trekung eite 57 eite 57 ) 1 Z k = 1,2 k = 0, 5 ) eitenlängen von R : = 1,5 = 1,5 m = 9 m; b = 1,5 b = 1,5 5 m = 7,5 m. eitenlängen von R : 1 ʺ = 1 = 9 m = m; 1 bʺ = 1 b = 7,5 m = 2,5 m. 57
Ähnlihkeit hülerbuhseite 57 2 ) 5 ) (1) 7 5 2 1 O M M 1 M M 1 Z M 2 1 2 5 7 9 10 11 M 2 Z 1 b) (1,5 2,5); (7,5 1); (9 7) ) M 1, M 2 und M sind die Mittelpunkte der treken, und. ie ildpunkte M 1, M 2 und M liegen uf den zugehörigen ildstreken, und und bilden deren jeweiligen Mittelpunkt. (2) ) Z 2 () Z b) Mn knn den Fktor k durh Messen er Z mitteln: k = Z =,7,2 1,5. mn die Längen nur näherungsweise messen knn, ist der Wert für k nur ein Näherungswert. urh Zählen der Kästhen sieht mn, dss Z 1,5-ml so lng ist wie Z, lso gilt k = 1,5. 7 5 Z 2 1 Z = = b) ie Reihenfolge der uhstben n den pitzen des Prllelogrmms ist bei llen ildern gleih, ber im Vergleih zum Originl gespiegelt: ist zum eispiel beim Originl die untere eite, bei llen ildern ist die obere. Entsprehend liegt bei den ildern links sttt rehts, rehts sttt links et. O 1 2 5 7 9 10 11 5
Ähnlihkeit hülerbuhseite 5 59 2 Ähnlihe Figuren eiten 5, 59 eite 5 Einstieg Leo meint, dss Mutter und Kind viele gemeinsme Merkmle hben, beispielsweise Frbe und Rüssel. Lis shut sih die Größenverhältnisse n und meint, dss ds Elefntenkind im Vergleih zu seiner Mutter niht so lnggestrekt ist. Es psst ungefähr in ein Rehtek mit,5 K, die Mutter psst in ein Rehtek mit 10,5 K. ie Mutter ist etw 10,5 1,-ml so lng wie hoh und ds Kind nur wenig länger ls hoh. Mn müsste ds Elefntenkind mit dem Fktor 2,7 vergrößern, dmit es die Höhe K bekommt. eine Länge wäre dnn,5 9, K. Es wäre dnn immer noh kürzer ls seine Mutter (10,5 K). eite 59 1 ) R: = m; b = 2 m R : = 1,5 m; b = 1 m Vergleih der Längenverhältnisse: 1,5 = = 0,5 und b b = 1 2 = 0,5 ie Längenverhältnisse sind gleih. Es gilt k = 0,5. lle Winkel betrgen 90. ie Rehteke sind ähnlih. b) R: = 2 m; b = 1 m R : = m; b = 1,5 m Vergleih der Längenverhältnisse: b = 2 = 1,5 und b = 1,5 1 = 1,5 ie Längenverhältnisse sind gleih. Es gilt k = 1,5. lle Winkel betrgen 90. ie Rehteke sind ähnlih. 2 ) Vergleih der Längenverhältnisse: 9 = 12 = 0,75 und b b = = 0,75 ie Längenverhältnisse sind gleih. Es gilt k = 0,75. ußerdem sind zusmmengehörige Winkel gleih groß. iese betrgen 110 bzw. 10 110 = 70. ie Prllelogrmme sind lso ähnlih. b) Vergleih der Längenverhältnisse: 7,5 = = 1,25 und b b = 5 = 1,25 ie Längenverhältnisse sind gleih. Es gilt k = 0,75. ußerdem sind zusmmengehörige Winkel gleih groß. iese betrgen 72 bzw. 10 72 = 10. ie Prllelogrmme sind ähnlih. Tipp: In einem Prllelogrmm reiht es, wenn jeweils nur ein Winkel ngegeben ist. ie ndere Winkelgröße knn berehnet werden. die reieke ähnlih sind, reiht es, wenn mn jeweils nur ein Längenverhältnis betrhtet, um den Fktor k zu bestimmen. b ) k = b = = 1,5 Vergleih zusmmengehöriger Winkel: α = α = 90 ; bzählen der Kästhen bei β und β bzw. γ und γ : γ γ b α β b α β ei dieser Teilufgbe wird ds Kästhenzählen einml usführlih beshrieben: Es gilt α = α = 90. ie Winkel β und β sind durh den Weg 2 K nh oben und K nh links bestimmt. ie sind lso gleih. ie Winkel γ und γ sind durh den Weg K nh rehts und 2 K nh unten bestimmt. ie sind lso gleih. b) k = = = 0,75 Vergleih zusmmengehöriger Winkel: b b lterntive: die eiten und b bzw. und b genu durh die Kästhendigonle gehen, knn mn shnell erkennen: α = α = 5 ; β = β = 5 und γ = γ = 90. b ) k = b = = 1,5 Vergleih zusmmengehöriger Winkel: b d) Hier knn mn die eitenlängen niht nhnd der Kästhen bestimmen; stttdessen unterteilt mn die eiten in gleih lnge Teilstreken. bʹ k = b = 2 b 59
Ähnlihkeit hülerbuhseite 59 Vergleih zusmmengehöriger Winkel: b b eite 59, links ) Um ds Rehtek zu zeihnen, muss die Länge der eite b berehnet werden. 9 k = = = 1,5; b = k b = 1,5 5 m = 7,5 m R: = m; b = m R : = 7,5 m; b = 5 m R : = 9 m; b = m R : = m; b = m R und R : 7, 5 = = 1,25 b 5 b = = 1,25 s Rehtek R ist zum Rehtek R ähnlih. R und R : 9 = = 1,5 b b = = 1,5 s Rehtek R ist zum Rehtek R ähnlih. R und R : = = 2 0,7 b = = 0,75 b s Rehtek R ist zum Rehtek R niht ähnlih. P: = 9 m; b = 7,5 m P : = m; b = 2,5 m P : = m; b = 5 m P und P : 1 2, 5 25 1 = 9 = ; b b = 7, 5 = 75 = Es gilt α = α = 75 und β = β = 10 75 = 105. s Prllelogrmm P ist zum Prllelogrmm P ähnlih. P und P : 2 5 = 9 = ; b b = 7, 5 = 2 s Prllelogrmm P ht die Winkel 75 und 10 75 = 105. s Prllelogrmm P ht die Winkel 100 und 10 100 = 0. ie Prllelogrmme stimmen lso in den Winkeln niht überein. ie sind niht ähnlih. Wenn mn die Winkel vor den eitenlängen prüft, knn mn sih die erehnung der eitenverhältnisse spren. R R d = m d = 9m b) d = 7, m; d = 11,7 m 11,7 7, = 1,5 b = 5m b = 7,5m ie igonlen stehen im gleihen Längenverhältnis zueinnder wie die eiten des Rehteks. eite 59, rehts b ) k = b = 12 = 1,5 b) = k = 1,5 9 m = 1,5 m ) Fläheninhlt R: R = 9 R = 72 m 2 Fläheninhlt von R : R = 1,5 12 R = 12 m 2 Verhältnis der Fläheninhlte: R 12 = R 72 = 2,25 2,25 = 1,5 2 = k 2 er Fktor 2,25 ist ds Qudrt des Fktors 1,5; mit dem die eitenlängen vergrößert werden. er Fläheninhlt von R wird lso mit dem Fktor k 2 vergrößert. 0
Ähnlihkeit hülerbuhseite 0 2 Ähnlihe Figuren eite 0 eite 0, links 5 Vergleih der Längenverhältnisse zusmmengehöriger eiten R und R : 9 = 55 1,12; b b = 55 1,17 R und R : ʺ 1 = 55 2,12; bʺ b = 9 2,17 R und Rʺ: ʺ 1 bʺ = 9 1,10; b = 9 55 1,12 ie Längenverhältnisse sind immer vershieden. ro ht lso reht, die drei Rehteke sind niht ähnlih zueinnder. Rihtig ist: = 1,2 m = 7,2 m b = 1,2 m = 9, m ) Zeihnungen im Mßstb 1 2 ursprünglihes reiek b = m = 10m reiek von Len b = m = m = m erehnung der Länge von b : k = = = 0, 10 b = 0, 7,5 m = m = m reiek von Linus P b = m b = 10m = m 5 = m 7 Es sind nur zwei zusmmengehörige eiten gegeben, nämlih und., k = = 11 = 0, b = 0, 5 m = m Um zu berehnen, ist die Gleihung = k zu lösen:, = 0, 0,, 0, = = = m ) ie eite ist um 2 m kürzer ls die eite. Len ht uh die eiten und b um 2 m verkürzt. ie hätte die eiten und b mit k = = 10 = 0, verkleinern müssen. Rihtig ist: = 0, m =, m b = 0, m =, m b) Lino mht denselben Fehler wie Lis: Weil ʺ um 2 m länger ist ls, verlängert er uh und b um 2 m. Er hätte und b mit 12 k = = 10 = 1,2 vergrößern müssen. = 12m Es fällt uf, dss bei den reieken zusmmengehörige Winkel niht gleih groß sind. s reiek ist rehtwinklig, stumpfwinklig und spitzwinklig. eite 0, rehts 5 hris ht reht. egründung: ie Prllelogrmme P und P sind niht ähnlih zueinnder, weil zusmmengehörige Winkel niht gleih groß sind: P ht die Winkelgrößen 9 und 10 9 = ; P die Winkelgrößen und 10 = 9. ie Prllelogrmme P und P sind ebenflls niht ähnlih. ei P und P sind zwr zusmmengehörige Winkel gleih groß, die Längenverhältnisse zusmmengehöriger eiten ber ungleih, denn es gilt: 10,5,5 20 = 0,525 und 12,5 = 0,52 1
Ähnlihkeit hülerbuhseite 0 2 k = = ; b = d =,5 m = m d = m 0 T = m b = m 7 ) ludios ussge ist whr. Zwei Qudrte sind immer ähnlih zueinnder, weil die Winkel lle gleih groß sind und der Vergrößerungsfktor für lle eiten gleih ist (d lle eiten im Qudrt gleih lng sind). b) Julin könnte ds gleihseitige reiek und den Kreis gemeint hben. gleihseitiges reiek: Für die gleihseitigen reieke gilt ds Gleihe wie für die Qudrte: lle Winkel sind gleih groß, und d lle eiten gleih lng sind, gilt der Fktor k, der us einem eitenlängenverhältnis errehnet wird, uh für lle nderen eiten. Kreis: lle Kreise sind ähnlih zueinnder, der Fktor k wird us dem Quotienten der Längen der Kreisrdien errehnet. ) Individuelle Zeihnungen s reiek ist genuso wie ds reiek gleihseitig. ie reieke sind somit ähnlih (vgl. dzu uh ufgbe 7 b)). eispielsweise erhält mn für = m die eitenlänge,9. s ergibt k 2,. Für ndere Werte von ergibt sih derselbe Fktor k. b) eispiel für = 2 m: Es entsteht immer wieder ein Qudrt. und sind ähnlih zueinnder (vgl. uh ufgbe 7 )). Unbhängig von gilt k 2,2. Ähnlihkeitssätze für reieke eite 1 eite 1 Einstieg lle reieke hben die gleihen Winkelgrößen: 50 ; 70 und 0 (d 10 50 70 = 0 gilt). eim ufeinnderlegen stellt mn fest, dss die freien eiten prllel sind. ie Längenverhältnisse prlleler bzw. ufeinnder liegender eiten sind gleih. Zum eispiel ist ds größte reiek die Vergrößerung des kleinsten reieks mit dem Fktor k = 2. Individuelles Eperimentieren Mn stellt fest, dss bei reieken mit zwei gleih großen Winkeln die eitenverhältnisse immer gleih sind. s blue reiek psst ebenflls dzu. Nh dem Winkelsummenstz ist der dritte Winkel 50 groß. Ähnlihkeitssätze für reieke eite 2 eite 2 1 Mn berehnet: 21 = 1 = 2 = 1,5; b b = 9 2 = 2 = 1,5; 2 = 1 = 2 = 1,5 ie Längenverhältnisse sind gleih. Nh dem tz VVV sind und ähnlih. 2 ) β = α = 0 und α = β = 0 ie reieke stimmen in zwei Winkeln überein. Nh dem tz WW sind sie somit ähnlih. Tipp: hte uf die jeweiligen Winkelgrößen; die enennung mit α, β und γ muss niht übereinstimmen. b) β = 10 0 0 = 90 mit gilt α = α = 0 und β = β = 90. ie reieke stimmen in zwei Winkeln überein. Nh dem tz WW sind sie somit ähnlih. ) Für reiek gilt α = 0 und β = 5. Für reiek gilt β = 5 und γ = 75. Nh dem Winkelsummenstz für reieke gilt α = 10 5 75 = 0 ; lso α = α. ie reieke und stimmen in den zusmmengehörigen Winkeln α und α bzw. β und β überein. ie sind lso ähnlih. b) reiek : = 27 m; b = m; = 2 m reiek : = 1 m; b = 22 m; = 2 m 1 = 27 = 2 b 22 2 ; b = = ; 2 2 = 2 = 2
Ähnlihkeit hülerbuhseite 2 ie Längenverhältnisse zusmmengehöriger eiten sind lso gleih. ie reieke und sind ähnlih. eite 2, links 5 ) = = 1,25; b b = 7,5 12,5 = 1,25; = 10 = 1,25 ie Längenverhältnisse sind gleih. und sind ähnlih. 5 b) = 5 = 1 b 9 ; b = 1 27 = 9 ; = = 1 9 ie Längenverhältnisse sind gleih. und sind ähnlih. b ) = =,25; b = 55 21 1 =,207 ; = 5 =,2 ie Längenverhältnisse zusmmengehöriger eiten sind niht gleih. und sind niht ähnlih. Mn betrhtet die Längenverhältnisse zusmmengehöriger eiten, d.h. der zwei kürzesten eiten, der zwei mittellngen und der zwei längsten eiten. Es gilt: 5 d = = 1,25; e b = 12,5 5 = 2,5; = = 2,5 ie reieke sind niht ähnlih zueinnder, weil nur zwei Längenverhältnisse gleih sind. mit die reieke ähnlih sind, muss d uh = 2,5 gelten. Es gibt zwei Möglihkeiten: 1. Mn ändert die Länge der eite d im reiek d EF: = 2,5; lso d = 2,5 = 10 m 2. Mn ändert die Länge der eite im reiek 5 : = 2,5; lso = 5 2,5 = 2 m 5 ) ie reieke und E sind ähnlih. Zusmmengehörige eiten: und ; und E ; und E. b) ie reieke und E sind ähnlih. Zusmmengehörige eiten: und E ; und ; und E. eite 2, rehts 12 k = = 9 = b = m = m = 7,5m = 10 m lr vergleiht die Längen der eiten nh der lphbetishen Reihenfolge der ezeihnungen, lso mit d; b mit e und mit f. o ergeben sih sehr untershiedlihe Längenverhältnisse. Mn muss ber die Längenverhältnisse zusmmengehöriger eiten vergleihen. Ordnet mn die eiten der Länge nh, so wie Meike empfiehlt, dnn erkennt mn, welhes die zusmmengehörigen eiten sind. Es gilt: < b < und f < d < e. rus folgt: f = d 10 = 1,5; b = 21 e 27 1 = 1,5; = 1 = 1,5. ie reieke sind lso ähnlih. 5 Vergleih der reieke und : ie reieke sind nh WW ähnlih, denn sie hben jeweils einen rehten Winkel und den gemeinsmen Winkel α. Vergleih der reieke und : ie reieke sind nh WW ähnlih, denn sie hben jeweils einen rehten Winkel und den gemeinsmen Winkel β. Vergleih der reieke und : 1. Möglihkeit: iese sind zueinnder ähnlih, weil jedes der reieke zum reiek ähnlih ist. 2. Möglihkeit: Es gilt α = γ 2 (oder uh β = γ 1 ), zudem gibt es je einen rehten Winkel. α = γ 2 ergibt sih us der Ähnlihkeit der reieke und. enn es gilt: α = 10 90 β (in ) und γ 2 = α = 10 90 β (in ). Entsprehend ergibt sih β = γ 1 us der Ähnlihkeit der reieke und. trhlensätze eite eite Einstieg Individuelle hätzungen ie Höhe des ums ist die kleinste eitenlänge im reiek, dher muss sie kleiner ls 2 m sein; lso sind die ngben 2 m und 0 m niht pssend. ie Höhe des ums ist etw die Hälfte der Entfernung. mit sind die hätzungen 25 m und 0 m gnz gut. Genuer betrhtet ersheint die Höhe des ums deutlih größer ls die hlbe Entfernung. s mht die hätzung 0 m whrsheinliher. Ver bildet mit dem Meterstb ein reiek, welhes ähnlih ist zu dem reiek uf dem rehten ild im hülerbuh. (s folgt us der Gleihheit der entsprehenden Winkel.) kizze: 0, m 0, m 2 m
Ähnlihkeit hülerbuhseite 5 Über die eitenverhältnisse knn mn die unbeknnte eitenlänge berehnen. Es gilt: 2 = 0, 0, 2 = 2 = 2 = 2 Um die Länge des ums zu erhlten, muss mn zu = 2,0 m noh 1,50 m ddieren; ds ist der bstnd vom oden bis zu Vers uge. er um ist demnh 29,5 m hoh. trhlensätze eiten, 5 d) 10 = 12 10 = 10 12 10 12 = 12,5 m ) 1. trhlenstz b) 2. trhlenstz = 1 = 21 1 1 2 = = 2 1 = m = 2 m eite 1 ) 12 = 9 12 = 9 12 = 20 m 21 2 ) = 1 ) b) ) 21 = 1 = 12 m 1 2 7 9 2 12 1 b) 12 = 12 1 = 12 = 27 m 25 b) 1 = 10 1 25 = 10 1 = 5 m 12 = 9 12 9 = 12 = 7,2 m = 2 1 2 = 1 = 22,5 m 2 = 7 2 7 = 2 = 11,2 m ) b) 11 21 1 7,5 10 2. trhlenstz 11 = 21 11 1 = 7,5 10 1 = 21 11 = 7,5 10 1 =, m = 10,5 m eite 5, links ) 21 = 2 17 21 2 = 17 21 m 5 ) 10 5 = ) 5 10 10 (1. trhlenstz) 12 10 = 10 (2. trhlenstz) b) 9 = 5 9 = 5 9 5 m b) 1 12 1 12 = (2. trhlenstz)
Ähnlihkeit hülerbuhseite 5 ),0 =,0 5,0,0 = 5,0,0 =, m eite 5, rehts b) 10 = 9 10 9 = 10 = m grün + lil rot + blu ) grün = rot + 20 + = 20 2 + = 20 + = 21 = m grün + lil blu b) grün = rot + 27 = 27 + = + = 1, =, m rot + blu grün + lil ) rot = grün + 5 + = ( 0) 12 + 5 = + 5 = 1,5 5 = 0,5 0,5 = 10 m 5 ) Erster trhlenstz Zu begründen ist, dss für die reieke und der erste trhlenstz (1) = gilt. Für die reieke und gilt nh dem der ersten trhlenstz (2) =. die reieke und kongruent sind, gilt = und =. Mn knn lso in der Formel (2) die Länge durh und die Länge durh ersetzen. s gibt genu die Formel (1). Zweiter trhlenstz Zu begründen ist, dss für die reieke und der zweite trhlenstz () = und = gilt. Für die reieke und gilt nh dem zweiten trhlenstz () = und = die reieke und kongruent sind, gilt = und = und =. Mn knn lso in der Formel () die Länge durh und die Länge durh und die Länge durh ersetzen. s gibt genu die Formel (). b) (1) 7 = 7 7 (2) 25 = 9 2 25 25 mm 1 mm trhlensätze eite eite, links 7 ie flshe Gleihung ergibt 20 m. iese Länge ist im Vergleih zu den gegebenen Längen viel zu groß. Lrs ht sttt der gnzen treke nur die äußere Teilstreke in die trhlenstzformel eingesetzt. Rihtig ist: 9 + 112 9 = 5 9 112 9 + = 5 9 9 1 er ee ist etw 1 m lng. 20 = 9 52 20,92 er Fluss ist etw 7 m breit. 9 ) us der trhlenstzfigur ergibt sih die Gleihung: l = b. Es gilt: b = m, l = 5 m = 0,5 m und = m = 0,0 m. mit erhält mn: 0,5 = 0,0 0,5 = ie Länge beträgt m. b) ie Entfernung müsste senkreht zur Front des hlosses gemessen werden. ie treke läuft niht senkreht uf die Front des hlosses zu. ie ist ber nur wenig größer ls die Entfernung, weil die beiden reiekswinkel in der pitze (beim umen) sehr klein sind. mit ist die Länge eine gute hätzung für den bstnd zwishen Person und hloss. ) Individuelle Lösungen. 5
Ähnlihkeit hülerbuhseite eite, rehts ) kizze: 0,0 2,50 1,70 2,20,0 h 1,70 2,50 1,70 b) 2,20 +,0 = 2,20 h 1,70 0,0 11,00 = 2,20 11,0 h 1,70 =,00 + 1,70 h = 5,70 ie Muer ist 5,70 m hoh. h 1,70 7 ) h: Höhe des Msts bis zur vom Punkt us sihtbren pitze h 10,5 =,5 + 2,0 + 11,5,5 h 10,5 = 1,0,5 10,5 h = 2 er Mst ist 2 m hoh. b) Entfernung des Punkts s von der Muer: 2,5 m = 9,0 m h h = 2 us der trhlenstzfigur erhält mn die d E r Gleihung: d = EM r. M Wenn die ussge im Tet rihtig ist, d.h. wenn die trhlenstzfigur stimmt, dnn erfüllen die eingesetzten Zhlen für den Rdius von onne bzw. Mond und die Mittelpunktentfernung von Erde onne bzw. Erde Mond die Gleihung. 0 10 7 10 000 = 5 1700 0 000 7000 = 17 90,25 11,75 ie Gleihung stimmt in etw; die bweihung hängt huptsählih mit den gerundeten ngben für Entfernungen zusmmen. s heißt, die trhlenstzfigur ist in etw rihtig: die onne wird bei einer onnenfinsternis fst genu bgedekt. nmerkung: ie Zhlen vriieren von Fll zu Fll, d die Mondbhn niht genu kreisförmig ist. ie Größe des httens uf der Erde rihtet sih nh der Entfernung Mond Erde beim urhgng des Mondes durh die Linie onne Erde. die Mondbhn niht in der Ebene der Erdbhn liegt, verdekt der Mond die onne niht bei jedem Neumond. eshlb ist eine onnenfinsternis selten. sistrining eiten, 9 eite 1 s Rehtek ht eine Länge von 12 Kästhen und eine reite von Kästhen. ) k = 1,5 neu 10,5,5,5 11,5 2,0 : von der Position neu sihtbrer Teil des Msts 2 9,0 + 2,0 + 11,5 10,5 = 9,0 2 22,5 10,5 = 9,0 10,5 2 = 2,25 2 =,75 ( 1) =,75 Mn könnte vom oberen Teil des Msts,75 m sehen. R 1k 12k
Ähnlihkeit hülerbuhseite 9 b) k = 1,25 (1) und ; Fktor: k = 0,5 (2) und ; Fktor: k = 2 () und ; Fktor: k = 0, R 10k Zum grünen reiek ist nur ds reiek ähnlih; der Fktor beträgt k = 0,5. 5 b k b ) k = 0,5 k d) k = 0,75 ) 5 2 10 12 1 b) 1 1 0,5 7,5 9 2 ) 9 12 1 12 d) 7 2 1 21 R k R k e) 10 1,5 12 9 2 ) k 9k ) k = = = 1,5 b = 1,5 m = 9 m = 1,5 9 m = 1,5 m b) ie reieke stimmen in zwei eitenlängen überein. Es gilt: = b = m und b = = 9 m. b) k = 2 k = 0,5 7 ) ie eiten des reieks bestehen us je zwei gleih lngen Teilstreken. ie eiten des reieks bestehen us jeweils drei dieser Teilstreken. Es gilt somit: k = b = b = = 1,5 bzählen der Kästhen ergibt, dss zusmmengehörige Winkel gleih groß sind. Es gilt lso: α = α; β = β; γ = γ. eite 9 ) k = k = 2 d) k = 1,25 k = 1,5 k = 0,75 er dritte Winkel im reiek beträgt: 10 0 0 = 0. Nh dem Ähnlihkeitsstz WW sind die reieke und ähnlih, d sie zwei gleih große Winkel hben (0 und 0 ). Nh WW sind die reieke und ebenflls ähnlih, d sie zwei gleih große Winkel hben (0 und 0 ). mit sind die reieke und ebenflls ähnlih zueinnder, d jedes zum reiek ähnlih ist. (Wenn mn in einem der reieke den dritten Winkel berehnet, knn mn hier uh direkt mit WW rgumentieren.) 9 überll die eitenlängen der reieke gegeben sind, verwendet mn den Ähnlihkeitsstz VVV und überprüft die Längenverhältnisse zusmmengehöriger eiten. k = 0,5 7
Ähnlihkeit hülerbuhseite 9 ʹ bʹ ʹ und ʹ b ähnlih? ) = 1,5 1,5 9 = 1,5 10 = 1,5 j b), 9, 9,0 5,5 = 1,2 = 1,2 7,5 = 1,2 j ),0 5,1,,0 = 0,75, = 0,75 9,2 0,7 nein d),0,0 7,5,0 = 1,5,0 = 1,5 5,0 = 1,5 j e) 5,2, 7, 5,1 1,020,2 1,01 7, 1,01 nein 2,0 0,9 2,0 = 1,5 2 2 = 1,2 2 = 0, ( 1) = 0, m er hrnk knn miml 0 m breit sein. b) Höhe des hrnks: reite des hrnks: 1,20 m kizze: 10 ) ie reieke und E sind ähnlih. Zusmmengehörige eiten sind: und ; und E ; und E. b) ie reieke und E sind zueinnder ähnlih. Zusmmengehörige eiten sind: und E ; und ; und E. 11 ), = 9,0,0, = 7,2 m b) 7,5 = 5,0,0 7,5 = 12,5 m ), =,0,, =,0 m 12 ) 1,7 = 9,2 9,2 +,0 1,7 10,2 m b) 2,2 =,9 + 5,,9 2,2 5, m,2 + 5, + 2,9 ),2 = 5, 1,2,2 + =,75,2 2,2 m +,2,9 d) =,5 ( 0),9 +,2 =,5 2 2,2 = 5 5, =,7 m 1 ) reite des hrnks: Höhe des hrnks: 90 m = 0,90 m kizze: 0, 1,2 2 1,5 = 0, 2 1,5 = 0, m er hrnk könnte höhstens 0 m hoh werden. 1 ) h Es gibt zwei ähnlihe reieke (vgl. kizze). er htten des Windrds ist etw 10 m lng. mit gilt: h 10 = 1,7 2,0 10 h = ie Höhe h des Windrds beträgt etw m. b) uf dem ild ist der Mst etw 7-ml so hoh wie die Person. Wäre ds ild mßstäblih rihtig, wäre ds Windrd nur 7 1,70 m = 11,9 m hoh. s ild ist lso niht mßstäblih gezeihnet. 1,5 1,5 0,9 2 2
Ähnlihkeit hülerbuhseite 70 nwenden. Nhdenken eiten 70, 71 eite 70 er Fläheninhlt des gegebenen Rehteks ist = 72 m 2. er neue Fläheninhlt ergibt sih us den vergrößerten bzw. verkleinerten eiten. k in m b in m in m 2 2 1 1 2 1,5 1,5 12 12 2,25 10 90 0 7200 100 0,5,5 1 0,25 0,1 0,9 0, 0,72 0,01 Vergleiht mn die Werte für k mit dem Quotienten, erkennt mn folgende Regel: Wenn mn die eitenlängen mit dem Fktor k vergrößert bzw. verkleinert, dnn vergrößert bzw. verkleinert sih der Fläheninhlt mit dem Fktor k 2. 1 ) = 10 7 = 70 m 2 eitenlängen nh der Vergrößerung: 1,1 10 m = 1,1 m 1,1 7 m = 9,7 m Fläheninhlt: = 1,1 9,7 19,2 m 2 er Fläheninhlt ist ungefährt doppelt so groß. b) eitenlängen nh der zweiten Vergrößerung: 1,1 1,1 m = 19,1 m 20 m 1,1 9,9 m = 1,92 m 1 m Fläheninhlt: = 20 1 = 20 m 2 Im Vergleih zum Originl sind die eiten etw doppelt so lng, der Fläheninhlt ist etw -ml so groß. 17 Verkleinern eines Quders bedeutet, dss lle Knten mit demselben Fktor verkleinert werden. mit mn zusmmengehörige Knten vergleihen knn, muss mn zuerst die Knten der Größe nh ordnen. kürzeste Knte zweitkürzeste Knte längste Knte roter Quder m m m Quder 2 m m m Quder 2 m m m Quder 5 m 7 m 9 m Längenverhältnisse berehnen: 2 : = 0,5; = 2 ; = 0,75 2 : = 0,5; = 0,5; = 0,5 : ieser Quder knn keine Verkleinerung des grünen Quders sein, d lle Knten länger sind ls die zugehörigen Knten des grünen Quders. Nur der Quder ist eine Verkleinerung des grünen Quders (k = 0,5). 1 ) Oberfläheninhlt des gegebenen Quders: O = 2 ( 5 + + 5 ) O = 1 m 2 Kntenlängen des vergrößerten Quders: = 12 m; b = 10 m; = m Oberfläheninhlt des vergrößerten Quders: O = 2 ( 5 + + 5 ) O = 592 m 2 O 592 O = 1 = er Oberfläheninhlt wähst mit dem Fktor ; lso mit k 2. b) Volumen des gegebenen Quders: V = 5 V = 120 m Volumen des vergrößerten Quders: V = 12 10 V = 90 m V 90 V = 120 = s Volumen wähst mit dem Fktor ; lso mit k. 19 ) Oberfläheninhlt des gegebenen Würfels: O = 2 O = 5 2 O = 0 m 2 Oberfläheninhlt des vergrößerten Würfels: O = 2 O = 00 m 2 mit gilt für die Kntenlänge : ( ) 2 = 00 ( ) 2 = 50 = 50 7,07 m Vergrößerungsfktor k: 50 50 k = = 5 = 25 = 50 25 = 2 1,1 b) Volumen des gegebenen Würfels: V = V = 125 m Volumen des vergrößerten Würfels: V = 2 V = 250 m mit gilt für die Kntenlänge : ( ) = 250 = 250,0 m 9
Ähnlihkeit hülerbuhseite 70 71 Vergrößerungsfktor k: 250 250 k = = 5 = 250 125 125 = 2 1,2 12, = 1,5 b) ie Rehteke sind ähnlih, denn es gilt: 19,2 b = 12 = 1,; b = 12, = 1, ) urh Umformungen erhält mn: b = b b b b = b b = b = b ie obere Gleihung gibt ds eitenverhältnis s n, die untere Gleihung den Fktor k. s heißt: Wenn zwei Rehteke ds gleihe eitenverhältnis hben, dnn sind uh die Längenverhältnisse zusmmengehöriger eiten gleih. ie Rehteke sind dmit ähnlih. d) Formt eitenverhältnis s 9 119 1, 9 127 1, 102 1 1, 102 2 1,9 11 2 1, 11 19 1, 127 19 1, 17 27 1, Prktish ähnlih sind die Formte 9 119; 102 1; 11 2; 127 19 und 17 27; die Formte 102 2 und 11 19. 20 ) s R = 12 = 1,5; s R = 19,2 21 ) IN in mm b in mm eitenverhältnis s 0 119 1 1,1 1 1 59 1,1 2 59 20 1,1 20 297 1,1 297 210 1,1 5 210 1 1,19 1 105 1,10 7 105 7 1,19 7 52 1,2 s eitenverhältnis s ist immer ungefähr 1,. b) Mit jeder Hlbierung verdoppelt sih die nzhl der lätter. IN nzhl nzhl in Potenzen von 2 0 1 2 0 1 1 2 = 2 2 1 2 2 2 = 2 2 2 = 2 2 = 1 2 5 1 2 = 2 2 5 2 2 = 2 7 2 = 12 2 7 12 2 = 25 2 ) b = 2 b 2 b = 2 b b 2 = 2 b 2 b 2 2 = 2 b 2 ( b 2 ) = 2 b = 2 s genue eitenverhältnis ist lso 2 1,1. ie kleinen Untershiede zu den Ergebnissen in der Tbelle entstehen durh die Rundungen. eite 71 22 ie reieke stimmen im Winkel β überein, ußerdem sind beide rehtwinklig. Nh dem Ähnlihkeitsstz WW sind sie lso ähnlih. 2 ) = b) 21 = 10 2 21 = 2 m =,75 m ) + 5 = 10 ( + 5) = R \ { 5} = 10 ( + 5) 10 10 = + 0 = 0 = 7,5 m ( + ) 7 d) = = R \ {0} + 1 = 7 1 =,5 = =,5 m 2 Individuelle hätzung; zum eispiel: ie treke von der Eisdiele zu 1 ist etw doppelt so lng wie die 5 m lnge treke, lso etw 100 m lng. Im Vergleih dzu ist die treke von der Eisdiele zu 2 etws kürzer, lso etw 0 m lng. erehnung der trekenlängen: 70
Ähnlihkeit hülerbuhseite 71 25 Mn bezeihnet die Eisdiele mit. Es gilt: 1 1 + 5 = 0 92 ( 1 + 5) 92 1 = 0 ( 1 + 5 ) 92 1 = 0 1 + 20 0 1 2 1 = 20 2 1 = 101,25 1 101 m 2 berehnet mn entsprehend. us 2 2 + = 0 92 folgt: 2 m. ie Eisdiele ist dher etw 101 m von der nlegestelle 1 und m von der nlegestelle 2 entfernt. 2 27 10 m 7 m 10 m 1 m 12 m er untere Teil der treke ist 10 m lng. Für den oberen Teil knn mn die Gleihung ufstellen: 10 1 7 = 1 + 12 ( 10) 7 = 7 7 10 = + 10 = 1 ie treke ist etw 1 m lng. 0,m 1 1 0m 2 0,m 0,7m 0,9m O 2 us der Ähnlihkeit der reieke und 1 1 folgt: 1 1 h = 1 0,7 = + 0,0 0, 0,7 + 0,0 h = 0, 0,7 0,7 + 21,0 h = 0, (1) us der Ähnlihkeit der reieke O und O 2 2 folgt: 2 2 h = O O 2 0,9 = 0, 0,9 h = 0, 0,9 (2) Gleihsetzen von (1) und (2) liefert: 0,9 0,7 + 21,0 0, = 0, 0, 0,9 = 0,7 + 21,0 0,7 0,2 = 21,0 0,2 = 105,0 Einsetzen in (2): 105,0 h = 0, 0,9 = 7,5 er endemst ist 7,5 m hoh. h b b g g g u g Weitere eispiele: ie Figuren können sehr untershiedlih usfllen, weil die Größe des Winkels und dmit die Lge der trhlen niht eindeutig festgelegt ist. Zum eispiel: = m; = 9 m; b = 2 m; b = m 2 g 2 ) ie Umkehrung des 2. trhlenstzes lutet: Gilt in der trhlenstzfigur =, dnn sind die Gerden g und g prllel zueinnder, es gilt lso g g. b) Tonio ht reht. egründung: Lin ht die Figur so gezeihnet, dss gilt = ; denn: = 1,5 = 2 und = = 2. ufgrund der beiden rehten Winkeln gilt gleihzeitig g g. 9 g 71
Ähnlihkeit hülerbuhseite 71 Toni ht erknnt, dss es noh eine weitere Lge der Länge gibt, sodss = gilt und somit die Vorussetzungen des Kehrstzes erfüllt sind. ber trotzdem die Gerden, uf denen und liegen, niht prllel zueinnder sind. er Kehrstz gilt lso niht. Vgl. dzu die neue treke = m in der Zeihnung: g 1,5 m m m m g m nmerkung: Es gibt zwr Figuren, in denen nur prllele Gerden möglih sind. Ein tz ist ber eine ussge, die ohne usnhme für lle Figuren gilt. 72