Ferenkurs Theoretsche Physk: Mechank Sommer 018 Vorlesung 4 (mt freundlcher Genehmgung von Gramos Qerm, Jakob Unfred und Verena Walbrecht) Technsche Unverstät München 1 Fakultät für Physk
Inhaltsverzechns 1 Knematk starrer Körper 3 1.1 Massendchte................................... 3 1. Bezugssysteme und Knematk.......................... 3 1.3 Lagrange-Funkton................................ 4 1.4 Der Stenersche Satz............................... 5 1.5 Drehmpuls.................................... 5 1.6 Bewegungsglechung............................... 6 1.7 De Eulerschen Kreselglechungen........................ 6 Grundlagen der Hamltonsche Mechank 8.1 De Hamlton Funkton.............................. 8. Hamltonsche Bewegungsglechung....................... 8.3 Energeerhaltungssatz............................... 8 3 Schwngungen 9 3.1 Free endmensonale Schwngungen...................... 9 3. Schwngungen von Systemen mt mehreren Frehetsgraden........... 9 Technsche Unverstät München Fakultät für Physk
1 Knematk starrer Körper 1.1 Massendchte Unter enem starren Körper versteht man en System mt festen Abständen zwschen zwe belebgen Telchen oder Massenelementen. De Massendchte enes solchen Körpers defnert sch we folgt: ρ(r) = ( Masse ) m(r) = lm Volumen V 0 V = dm dv (1) Heraus ergbt sch für de Gesamtmasse: M = d 3 r ρ(r) () 1. Bezugssysteme und Knematk Man geht von zwe Koordnatensystemen aus. Enem raumfesten (R-System) und enem körperfesten (K-System). Der Vektor R 0 verbndet de beden Koordnaten-Nullpunkte. (Oft wählt man als Verbndungsvektor den Schwerpunktsvektor R 0 = 1 M d 3 r r ρ(r)) Wr beschreben de Orte der Massenpunkte bezüglch des R-Systems durch R und bzgl des K-Systems durch r Für de Translatonsgeschwndgket des K-Systems gegenüber dem R-System erhält man: v R (t) = dr 0(t) (3) Weterhn kann sch das K-System relatv zum R-System drehen. Der Vektor φ beschrebt de Drehachse und den Wnkel, um den K bezüglch R verdreht st. ω = d φ st de Wnkelgeschwndgket deser Drehung. Durch dese Drehbewegung haben de Massenpunkte, de n K fest snd, ene Geschwndgket n R: v rot, (t) = dϕ r = ω r (4) Somt erhält man de Geschwndgket der Massenpunkte enes starren Körpers bezüglch des raumfesten R-Systems. Se setzen sch aus Translaton und Rotaton zusammen: dr = v R + ω r (5) Technsche Unverstät München 3 Fakultät für Physk
1.3 Lagrange-Funkton Um de Lagrange-Funkton aufzustellen muss de knetsche Energe näher untersucht werden. Herzu betrachtet man zunächst en System von starr mtenander verbundenen Massenpunkten. Für de knetsche Energe ergbt sch: T = 1 m ( dr ) = 1 m (v R + ω r ) = 1 (m v R + m v R (ω r ) + 1 ) m (ω r ) = 1 Mv R + v R ω m r + 1 [ ω r (ω r ) ] (6) Legt man das K-System ns Schwerpunktssystem dann glt, dass m r = 0 wodurch der zwete Term verschwndet. Zusammengefasst ergbt sch dann für de knetsche Energe: T = 1 MV + 1 m [ω r (ω r ) ] (7) De knetsche Energe setzt sch also aus Translatons- und Rotatonsenerge zusammen. Im K-System kann man den Term ω r (ωr) we folgt darstellen: Es defnert sch der Träghetstensor we folgt: ω r (ωr ) = ω α ω β [r δ α,β x α x β ] (8) α,β Θ αβ = N m [r δ α,β x α x β ] (9) =1 Damt ergbt sch nsgesamt für de knetsche Energe: T = 1 Mv R + 1 Θ αβ ω α ω β (10) Für ene kontnuerlche Massenvertelung st der Träghetstensor: αβ Θ αβ = d 3 r ρ(r) [r δ α,β x α x β ] = d 3 r ρ(r) y + z xy xz yx x + z yz zx zy x + y (11) Der Träghetstensor st ene symmetrsche Matrx. Durch de Wahl enes geegneten (orthogonalen) Koordnatensystems lässt sch jede symmetrsche Matrx auf Dagonalform brngen. I 1 0 0 Θ = 0 I 0 0 0 I 3 (1) Technsche Unverstät München 4 Fakultät für Physk
Damt erhält man für de Rotatonsenerge: T rot = 1 Θ αβ ω α ω β = αβ 3 I ω (13) =1 Somt erhält man de Lagrange-Funkton: L = 1 MV + 1 I αβ ω α ω β U (14) Der Träghetstensor (bzw. de Hauptträghetsmomente I 1,,3 ) charakterseren das Verhalten enes starren Körpers be Drehung. Man unterschedet zwschen: αβ unsymmetrscher Kresel I 1 I I 3 symmetrscher Kresel I 1 = I I 3 Kugelkresel I 1 = I = I 3 1.4 Der Stenersche Satz Der Träghetstensor Θ bezeht sch mmer auf enen bestmmten Drehpunkt (bs jetzt der Schwerpunkt). Er beschrebt nur Drehungen, deren Achsen durch den Drehpunkt laufen. Falls sch der Körper um ene Achse durch enen anderen Punkt dreht, der um a verschoben st (z.b. wenn der Körper an desem Punkt aufgehängt st), erhält man den Träghetstensor für desen anderen Drehpunkt mt dem Satz von Stener: Θ αβ = Θ αβ + M(a δ α,β a α a β ) (Stenerscher Satz) (15) 1.5 Drehmpuls Der Drehmpuls enes starren Körpers st: L = m r ṙ (16) Oder für ene kontnuerlche Massenvertelung L = d 3 r ρ(r) (r v) = (17) Es glt L = Θ ω (18) Man defnert das Drehmoment: M = dl (19) Technsche Unverstät München 5 Fakultät für Physk
Hermt kann de Rotatonsenerge we folgt geschreben werden: T rot = 1 (mt L α = β Θ αβ ω β ) Θ αβ ω α ω β = 1 ω α L α = 1 L ω (0) αβ α 1.6 Bewegungsglechung Ausgehend von der Lagrange-Funkton L = 1 M R 0 + 1 αβ Θ αβ ω α ω β U(R 0, ϕ) kann man de Bewegungsglechungen für Translaton und Rotaton aufstellen. Es ergbt sch für de Translaton: Falls R 0 zyklsch st, st M R 0 = P = const. Für de Rotaton erhält man: d L = L M R R 0 = U = F (1) 0 R 0 R 0 d L = L dl α = U =: M α () ω α ϕ α ϕ α 1.7 De Eulerschen Kreselglechungen Im folgenden soll auf de Eulerschen Kreselglechungen engegangen werden. Be hnen handelt es sch um Bewegungsglechungen für de Rotaton enes starren Körpers. Wr nehmen an, dass der Schwerpunkt n Ruhe blebt R 0 = 0 Es glt folgendes: 1. Betrachtet man enen festen Vektor m K-System, so st de Geschwndgket der Rotatonsbewegung m R-System: v = (ṙ) R = ω r. Gbt es zusätzlch ene Geschwndgket m K-System: (v) R = (v) K + ω r 3. De Verallgemenerung auf enen belebgen VektorA: ( da ) ( da ) = + ω A R K 4. Insbesondere glt des für den Drehmpuls L: ( dl ) ( dl ) = + ω L R K Technsche Unverstät München 6 Fakultät für Physk
Nun betrachte man en Bezugssystem, n dem der Träghetstensor auf de Hauptachsen transformert st (also dagonalsert st, sehe Glechung (1)), dann glt: ( dl ) = M = R I 1 ω 1 I ω I 3 ω 3 + ω I 3 ω 3 ω 3 I ω ω 3 I 1 ω 1 ω 1 I 3 ω 3 ω 1 I ω ω I 1 ω 1 (3) Daraus folgen de Eulerschen Glechungen: I 1 ω 1 + (I 3 I ) ω ω 3 = M 1 I ω + (I 1 I 3 ) ω 3 ω 1 = M (4) I 3 ω 3 + (I I 1 ) ω 1 ω = M 3 Technsche Unverstät München 7 Fakultät für Physk
Grundlagen der Hamltonsche Mechank.1 De Hamlton Funkton De Hamlton Funkton st we folgt defnert: H(p, q, t) = p q L (5) Falls de Transformaton von den Orten der Telchen r k zu den generalserten Koordnaten ncht explzt zetabhängg st q (r k, t) = q (r k ) dann entsprcht de Hamltonfunkton der Gesamtenerge. Des st für skleronome (ncht explzt zetabhängge) Zwangsbedngungen der Fall. Dann glt L H(p, q, t) = q L = T T + U = T + U = E (6) q. Hamltonsche Bewegungsglechung De Bewegungsglechungen der Hamltonschen Mechank snd de kanonschen Glechungen: q = H p und ṗ = H q (7) Dese S Dfferentalglechungen 1. Ordnung folgen aus den Lagrangeglechungen und können damt de S Dfferentalglechungen. Ordnung vollständg ersetzen..3 Energeerhaltungssatz Ist de Hamlton-Funkton H ncht explzt von der Zet abhängg, so st de Energe ene Erhaltungsgröße: dh(p, q, t) = H t H H + q + ṗ = H H H H H + = H q p t q p p q t (8) Damt folgt, dass: dh = d( T + U ) = H t = 0 (9) falls H ncht explzt von der Zet abhängg st. Technsche Unverstät München 8 Fakultät für Physk
3 Schwngungen 3.1 Free endmensonale Schwngungen Gegeben se en Potental U(q). In der Glechgewchtslage be q = q 0 glt U (q 0 ) = 0. Man betrachte nun klene Auslenkungen x = q q 0 aus der Glechgewchtslage. Herzu entwckle man das Potental um q 0 bs zur. Ordnung: U(q) = U(q 0 ) + U (q 0 )(q q 0 ) + 1 } {{ } U (q 0 )(q q 0 ) +... (30) =0 Somt glt für klene Auslenkungen von x: Weterhn st de knetsche Energe: U(x) = U 0 + k x mt k = U (q 0 ) und U 0 = U(q 0 ) (31) T = 1 a(q) q mt a(q 0 ) = m : T = 1 mẋ (3) Also st de Lagrange-Funkton enes endmensonalen harmonschen Oszllators: Und damt folgt de Bewegungsglechung: L = 1 mẋ k x U 0 (33) L x = d L ẋ mẍ + kx = 0 ẍ + k m x = ẍ + ω x = 0 (34) De allgemene Lösung deser Dfferentalglechung st: x(t) = A cos(ωt) + B sn(ωt) = a cos(ωt + α) ( a = A + B ; tan(α) = B ) A (35) 3. Schwngungen von Systemen mt mehreren Frehetsgraden Unter Verwendung von verallgemenerten Koordnaten q = {q 1,..., q s } st de potentelle Energe: U(q 1,..., q s ). Dese bestzt en Mnmum be q = q (0). Man betrachte weder Auslenkungen um de Glechgewchtslage x = q q (0). De Entwcklung um das Mnmum (x (0) = 0) st: U = U 0 + 1, j k j x x j mt k j = U q q j (36) Technsche Unverstät München 9 Fakultät für Physk
De knetsche Energe st: T = 1 a j (q) q q j 1 ( a j q (0) ) q q j T = 1 ( m j ẋ ẋ j mt m j = a j q (0) ) (37) j Damt erhält man de Lagrange-Glechung: j L = 1 j j {m j ẋ ẋ j k j x x j } U 0 (38) Es ergbt sch en System von S lnearen, gekoppelten homogenen Dfferentalglechungen: Der Ansatz zur Lösung deser Glechung st: (m j ẍ j + k j x j ) = 0 (39) j x j (t) = C j e ωt (k j ω m j )C j = ( K λ M ) C = 0 (40) j De Bedngung, dass Lösungen für C exsteren st: det(k λ M) = 0 (41) Man erhält de charakterstsche Glechung, deren Lösungen ω α (α = 1,..., S ) de Egenfrequenzen des Systems snd. Durch Lösen des homogenen Glechungssystems ( K λ α M ) C α = 0 erhält man S Egenschwngungen C α zu den Egenfrequenzen. Somt erhält man de allgemene zetabhängge Lösung: x(t) = S ( C α Aα cos(ω α t) + B α sn(ω α t) ) (4) α=1 Technsche Unverstät München 10 Fakultät für Physk