Baudynamik (Master) SS 2018

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1 Baudynamk (Master) SS 8 3. Schwngungen mt zwe und mehr Frehetsgraden 3. Enge Prnzpen der Mechank und Herletung der Schwngungsglechungen 3.. Enge Prnzpen der Mechank 3.. Herletung der Schwngungsglechungen 3. Ungedämpfte free Schwngungen 3.. Egenfrequenzen und Egenformen 3.. Egenschaften der Egenfrequenzen und Egenformen 3..3 Modalmatrx und modale Transformaton 3..4 Näherungsverfahren zur Berechnung der Egenfrequenzen Raylegh-Verfahren für dskrete Systeme Raylegh-Verfahren für kontnuerlche Systeme Rtz-Verfahren für kontnuerlche Systeme

2 Baudynamk (Master) SS Gedämpfte free Schwngungen 3.3. Egenwertproblem 3.3. Modale Dämpfung und Raylegh-Dämpfung 3.4 Ungedämpfte erzwungene Schwngungen 3.4. Drekte Lösungsmethode 3.4. Methode der Modaltransformaton 3.5 Gedämpfte erzwungene Schwngungen 3.5. Drekte Lösungsmethode 3.5. Methode der Modaltransformaton 3.6 Modale Redukton und Verglech der Methoden 3.6. Modale Redukton 3.6. Verglech der drekten Methode und der modalen Methode

3 Baudynamk (Master) SS 8 3. Schwngungen mt zwe und mehr Frehetsgraden 3. Enge Prnzpen der Mechank und Herletung der Schwngungsglechungen 3.. Enge Prnzpen der Mechank 3.. Herletung der Schwngungsglechungen 3

4 Baudynamk (Master) SS Enge Prnzpen der Mechank Quelle der Blder: 4

5 Newtonsches Gesetz, d Alembertsches Prnzp.). Newtonsches Gesetz Isaac Newton ( ) F ma.) d Alembertsche Träghetskraft Jean-Baptste le Rond d Alembert ( ) F F T FT ma 5 Dynamsches Glechgewcht, Prnzp der d Alembertschen Träghetskräfte, d Alembertsches Prnzp d Alembertsche Träghetskraft

6 d Alembertsches Prnzp d Alembertsches Prnzp lautet egentlch: ( F ma) r r : vrtuelle Verrückung 6

7 Lagrangesche Glechung 3.) Lagrangesche Glechung Joseph-Lous de Lagrange ( ) Lq (, q, t) E E k p f d L L dt q q L q Leonhard Euler ( ) L : Lagrangesche Funkton q : verallgemenerte Koordnaten t : Zet Ek : knetsche Energe E : potentelle Energe p : verallgemenerte Kräfte Euler-Lagrangesche Glechung 7

8 Hamltonsches Prnzp 4.) Hamltonsches Prnzp Wllam Rowan Hamlton ( ) p L q n : verallgemenerte Impulse Legendre-Transformaton: H q p L E E k p q H p, p : Hamltonsche Funkton H q Hamltonsche Glechungen, kanonsche Glechungen q, p : kanonsche Varablen Adren-Mare Legendre ( ) 8

9 Legendre Adren-Mare Legendre ( ) (Französscher Mathematker) Lous Legendre (75 797) (Französscher Poltker) Bede wurden für etwa Jahre verwechselt (bs 5)! 9

10 Baudynamk (Master) SS Herletung der Schwngungsglechungen

11 Herletung der Schwngungsglechungen Methoden zur Herletung der Schwngungsglechungen:.) Enmassenschwnger, enfache Systeme. Newtonsches Gesetz.) Zwe- und Mehrmassenschwnger, komplzerte Systeme Nachgebgketsmethode Stefgketsmethode Lagrangesche Glechungen Hamltonsches Prnzp

12 Herletung der Schwngungsglechungen Bespel : Herletung mt der Nachgebgketsmethode m m F T F T w w d Alembertsche Träghetskräfte: F mw FT mw T Gesamte Durchbegungen: w F F T T w F F T T

13 Herletung der Schwngungsglechungen Schwngungsglechungen: mw mw w mw mw w m m w w m m w w m w w m w w δmw w δ m M m Nachgebgketsmatrx, Flexbltätsmatrx Massenmatrx w w w Verschebungsvektor 3

14 Herletung der Schwngungsglechungen Nachgebgketsmatrx: l l : 3 3 l 3 l 3 6EI 3EI l 5l 3 6EI 48EI l / : l l 3 5l 3 6EI 48EI l l 3 6EI 4EI δ 3 l EI 5 4

15 Herletung der Schwngungsglechungen Bespel : Herletung mt der Stefgketsmethode m m F T F T w w F F k d Alembertsche Träghetskräfte: F mw FT mw T k k Rückstellkräfte: F w k w k F w k w k k 5

16 Herletung der Schwngungsglechungen Dynamsches Glechgewcht: F T F T F F F T F T F w w F w k w k mw w k w k m w k k w m w k k w m w K k k k k Stefgketsmatrx K w+mw M m m Massenmatrx w w w Verschebungsvektor 6

17 Herletung der Schwngungsglechungen Bestmmung der Stefgketsmatrx:.) Methode Kδ=I K=δ.) Methode δ K= δ k = k k = k k k k 5, k 7 7 7

18 Herletung der Schwngungsglechungen k k = k k = k k k 6 5, k 7 7 8

19 Herletung der Schwngungsglechungen Bespel 3: Lagrangesche Glechung Knetsche Energe: Ek mx mx Potentelle Energe: Ep cx c x x Lagrangesche Funkton: L Ek Ep m x m x c x c x x q x, q x 9

20 Herletung der Schwngungsglechungen L q L q L x L x mx mx d dt d dt L x L x mx mx L cx cx x( ) x L x c x x mx c c x cx mx cxcx cc cx m x c c x m x K x+m x=

21 Herletung der Schwngungsglechungen Bespel 4: Hamltonsches Prnzp Impulse: p mx, p mx Knetsche Energe: Ek mx mx p p m m Potentelle Energe: E p cx c xx Hamltonsche Funkton: H E k E p p p c x c m m x x q x, q x

22 Herletung der Schwngungsglechungen q H p p cq m c q q H p H p H p x x m m m p p m p p m H cx c x x q H c x x q p H q H p cx c x x q H p c x x q

23 Herletung der Schwngungsglechungen mx c c x cx mx cxcx cc cx m x c c x m x K x+m x= 3

24 Baudynamk (Master) SS 8 3. Ungedämpfte free Schwngungen 3.. Egenfrequenzen und Egenformen 4

25 3.. Egenfrequenzen und Egenformen Zwe Frehetsgrade: x+x oder x x : Nachgebgketsmatrx, Flexbltätsmatrx : Stefgketsmatrx : Massenmatrx Lösungsansatz: x Acos( t ) 5

26 Egenfrequenzen und Egenformen Egenglechungen: oder I A M A : Nachgebgketsmatrx, Flexbltätsmatrx : Stefgketsmatrx : Massenmatrx : Enhetsmatrx : Egenfrequenzen : Engenvektoren, Egenformen 6

27 Egenfrequenzen und Egenformen Bedngung für ncht-trvale Lösungen: det I oder M det Charakterstsche Glechung für de Egenfrequenzen Egenfrequenzen :, ( ) Egenvektoren : A, A 7

28 Bemerkungen: Egenfrequenzen und Egenformen M A M A Egenfrequenzen und Egenformen snd wchtge dynamsche Systemegenschaften. De Egenfrequenzen snd de Egenwerte des Egenwertproblems. De Egenvektoren werden häufg als Egenformen oder Egenmoden bezechnet. 8

29 Homogene Lösung Lösung: x=a c cos( t ) A c cos( t ) Insgesamt 4 Unbekannten aus 4 Anfangsbedngungen (pro Masse Anfangsbedngungen)! x () () () = x x x v, () x() x x = x () v 9

30 Bemerkungen zu Frehetsgraden Methode der konzentrerten Massen Kontnuerlches System: Unendlch vele Frehetsgrade m, m,..., mn wx ( ) a( t) ( x) Methode der verallgemenerten Koordnaten n Dskretes System: Endlch vele Frehetsgrade 3

31 Bemerkungen zu Frehetsgraden De Anzahl der Frehetsgrade st m Allgemenen ncht glech der Anzahl der Massen. De Anzahl der Frehetsgrade st abhängg von der Annahme (dehnstarr, dehnbar, etc.). De Anzahl der Frehetsgrade st unabhängg von der statschen Unbestmmthet und der geometrschen Unbestmmthet. Je mehr Frehetsgrade, desto genauer snd de Ergebnsse, desto aufwendger st de dynamsche Berechnung. 3

32 Egenfrequenzen und Egenformen n Frehetsgrade: x x x Acos( t ) M A det M Egenfrequenzen :,,..., n Egenvektoren : A, A,..., An 3

33 Homogene Lösung Lösung: x=ac cos( t ) A c cos( t )... A c cos( t ) n n n n Insgesamt xn Unbekannten aus xn Anfangsbedngungen (pro Masse Anfangsbedngungen)! x v x v x () =, x () = x v n n 33

34 Baudynamk (Master) SS 8 3. Ungedämpfte free Schwngungen 3.. Egenschaften der Egenfrequenzen und Egenformen 34

35 Egenschaften der Egenfrequenzen und Egenformen De Berechnung der Nullstellen der charakterstschen Glechung be großen Matrzen (größer als 3x3) st mestens sehr aufwendg. Daher werden häufg numersche Näherungsverfahren angewendet. Dazu gehören numersche Methoden für symmetrsche Matrzen und dünnbesetzte große Matrzen: Potenzmethode Inverse Iteraton Lanczos-Verfahren Arnold-Verfahren Jacob-Verfahren Jacob-Davdson-Verfahren Satz für de Egenfrequenzen: Wenn M und K reell, symmetrsch und postv defnt snd, dann exsteren n postve reelle Egenfrequenzen (n = Anzahl der Frehetsgrade). Wenn M reell, symmetrsch und postv defnt, und K reell, symmetrsch und sem-postv defnt st, dann exsteren n nchtnegatve Egenfrequenzen (n = Anzahl der Frehetsgrade). 35

36 Egenschaften der Egenfrequenzen und Egenformen Ene Matrx st postv defnt, falls hre quadratsche Form postv st, d.h. T xkx Ene Matrx st sem-postv defnt, falls hre quadratsche Form ncht negatv st, d.h. T xkx 36

37 Egenschaften der Egenfrequenzen und Egenformen Egenschaften der Egenformen: De Elemente der Egenvektoren A snd ncht unabhängg vonenander und können ncht endeutg bestmmt werden. A können nur für hre Verhältnsse oder mt ener Normerung bestmmt werden. Häufg verwendete Normerungen:.) A oder A (Ingeneurnormerung) T M T K M K n.) A MA (Massennormert, wchtg für Modalanalyse) 3.) A KA (Stefgketsnormert, manchmal numersch vortelhaft) Umrechnung: A A M = A T M A 37

38 Egenschaften der Egenfrequenzen und Egenformen Orthogonaltät:.) A MA ( j). Orthogonaltät T T j.) A KA ( j). Orthogonaltät j Physkalsche Bedeutung: Schwngt en System n ener bestmmten Egenform, lesten sene Träghetskräfte kene Arbet auf andere Egenformen. Sene Energe kann also ncht auf andere Egenformen übertragen werden. De Orthogonaltätsegenschaft der Egenvektoren wrd häufg be teratven Bestmmungen der Egenvektoren ausgenutzt. 38

39 Baudynamk (Master) SS 8 3. Ungedämpfte free Schwngungen 3..3 Modalmatrx und modale Transformaton 39

40 Modalmatrx Egenmatrx oder Modalmatrx: A A A A A A A A A A A A n n,,..., n n n nn (her : A A!) M A A T T MA (Massennormert) MA j (Orthogonaltät) T M I M A T T T A M A A A A A T T T A jm Aj A Ajj A Aj 4 T K

41 Modale Transformaton Modaltransformaton: x= q q q x : Physkalsche Koordnaten q: Modale Koordnaten T T q q q q I Entkoppelte Dfferentalglechungen! q x= q Rücktransformaton 4

42 q ω q q c t q ω q Modale Transformaton q cos( ) q c cos( t ) Insgesamt n Unbekannten aus n Anfangsbedngungen (pro Masse )! ( ) Φ x() Φ x; q() Φ x() Φ v Beachte: T - T ΦMΦ= I Φ =ΦM Alternatv: De Anpassung der Anfangsbedngungen kann auch nach der Rücktransformaton durchgeführt werden! 4

43 Modalanalyse De Methode der modalen Transformaton wrd häufg auch als Modalanalyse bezechnet. De grundlegende Idee der Modalanalyse besteht darn, Schwngungen von Mehrfrehetsgradsystemen als Superposton der Schwngungen von mehreren Enfrehetsgradsystemen darzustellen. 43

44 Baudynamk (Master) SS 8 3. Ungedämpfte free Schwngungen 3..4 Näherungsverfahren zur Berechnung der Egenfrequenzen Raylegh-Verfahren für dskrete Systeme Raylegh-Verfahren für kontnuerlche Systeme Rtz-Verfahren für kontnuerlche Systeme 44

45 Raylegh und Rtz Lord Raylegh ( ) Walter Rtz ( ) Quelle: 45

46 Raylegh-Verfahren für dskrete Systeme Potentelle Energe: Knetsche Energe: E E p k kx mx E E p k T xkx T xmx E E p,max k,max T AKA T AMA E E p k AKA T t x Acos( t ) cos ( ) sn ( t ) T AMA Energeerhaltung: E p,max E k,max T AKA T AMA Raylegh-Quotent 46

47 Raylegh-Verfahren für dskrete Systeme Bemerkungen: Falls der exakte Egenvektor A verwendet wrd, dann erhält man auch de exakte Egenfrequenz. Falls nur ene Näherungslösung für den Egenvektor verwendet wrd, dann erhält man ene Näherungslösung für de Egenfrequenz: AKA AMA Man kann zegen, dass de Näherungslösung für de Egenfrequenz mmer größer als de exakte Egenfrequenz st: T T, exakt Das Raylegh-Verfahren wrd überwegend für de. (nedrgste) Egenfrequenz verwendet. Als Näherungslösung für den Egenvektor kann de statsche Lösung verwendet werden. 47

48 Raylegh-Verfahren für kontnuerlche Systeme l M Formänderungsenerge: Ep U dx EI( x) w( x, t) dx EI( x) l Knetsche Energe: Ek m( x) w( x, t) dx l cos ( ) ( ) ( ) Ep U t EI x W x dx l Ek sn ( t) m( x) W( x) dx l w W( x)cos( t) E p,max E k,max l l EI( x) W ( x) dx mx ( ) W( x) dx 48 Raylegh-Quotent

49 Raylegh-Verfahren für kontnuerlche Systeme Bemerkungen: Falls de exakte Begelne W(x) verwendet wrd, dann erhält man auch de exakte Egenfrequenz. Falls nur ene Näherungslösung für de Begelne verwendet wrd, dann erhält man auch nur ene Näherungslösung für de Egenfrequenz: l EI( x) W ( x) dx l mx ( ) W ( x) dx Man kann zegen, dass de Näherungslösung für de Egenfrequenz mmer größer als de exakte Egenfrequenz st:, exakt Das Raylegh-Verfahren wrd überwegend für de. (nedrgste) Egenfrequenz verwendet. Als Näherungslösung für de Begelne kann de statsche Begelne verwendet werden. Je wenger de Näherungslösung von der exakten Begelne abwecht, desto genauer st de abgeschätzte Egenfrequenz m Raylegh-Verfahren. De Näherungslösung für de Begelne soll mndestens de geometrschen Randbedngungen erfüllen. 49

50 Rtz-Verfahren für kontnuerlche Systeme Das Rtz-Verfahren st ene Erweterung des Raylegh-Verfahrens (daher auch als Raylegh-Rtz- Verfahren bekannt), ndem man enen mehrgledergen Ansatz macht: W( x) a( x) n a werden als verallgemenerte Koordnaten und (x) werden als Rtz-Bassfunktonen oder Formfunktonen bezechnet. n entsprcht der Anzahl der Frehetsgrade. Mt der Energebetrachtung erhält man nun den Raylegh-Quotenten: Ra ( ) Damt der Fehler mnmal blebt, muss gelten: l n l n EI( x) a ( x) dx mx ( ) a( x) dx Ra ( ) U U E U U E a E a E a a E a U E 5

51 Rtz-Verfahren für kontnuerlche Systeme U a E a n l a EI( x) ( x) ( x) dx k a j j j j j j n l a m( x) ( x) ( x) dx m a j j j j j j n n Daraus ergbt sch: n j k m a j j j Oder n Matrzenschrebwese: K M a 5

52 Rtz-Verfahren für kontnuerlche Systeme De verallgemenerte Stefgketsmatrx K und de verallgemenerte Massenmatrx M können aus den folgenden Glechungen bestmmt werden: l k EI( x) ( x) ( x) dx j j l m m( x) ( x) ( x) dx j j 5

53 Rtz-Verfahren für kontnuerlche Systeme Bemerkungen: Falls nur en Gled m Rtz-Ansatz verwendet wrd, dann ergbt sch als Sonderfall das Raylegh- Verfahren. Das Raylegh-Verfahren st nur für de. (nedrgste) Egenfrequenz geegnet, während das Rtz- Verfahren auch für höhere Frequenzen geegnet st. Man kann zegen, dass de Egenfrequenzen aus dem Rtz-Verfahren mmer größer als de exakten Werte snd:, exakt Je mehr Gleder verwendet werden, desto genauer snd de Ergebnsse, desto aufwendger st de Berechnung. Der Rtz-Ansatz muss mndestens de geometrschen Randbedngungen erfüllen. Wrd das Rtz-Verfahren ncht auf de gesamte Struktur, sondern nur auf en Element angewendet, dann st das Rtz-Verfahren dentsch mt der fnten Elemente Methode (FEM). 53

54 FEM wx ( ) a a a a x x ( x) 3 l l a a EI, ml, a 4 a 3 x x ( x) x l l x x 3 ( x) 3 l l ( x) x x x l l 4 x/ l

55 FEM Egenschaften der Formfunktonen: (), () () () 3 4 (), () () () 3 4 () l, () l () l () l 3 4 () l, () l () l () l 4 3 l k EI ( x) ( x) dx j j K EI l 6 6 l l 6 4l 6 l 6 6 l l 6 l 6 4l l m m ( x) ( x) dx j j 56 l 54 3l m l 4l 3l 3l M l 56 l 3l 3l l 4l 55

56 Baudynamk (Master) SS Gedämpfte free Schwngungen 3.3. Egenwertproblem 56

57 Egenwertproblem Kx Dx Mx [ K D M] A x Ae t det( K D M) Komplex konjugerte Egenwerte: (j,,..., n ) j j d, j n an a a

58 Bemerkungen: Egenwertproblem De Egenwertberechnung be gedämpften Systemen st m Allgemenen sehr aufwendg. Falls j postv und klen (schwache Dämpfung) st, dann hat man ene gedämpfte Schwngung mt abklngenden Ampltuden. Falls j negatv st, dann hat man kene stable Schwngung (angefachte Schwngung). D st m Allgemenen symmetrsch. De Modalmatrx kann de Stefgketsmatrx K, aber ncht de Dämpfungsmatrx D dagonalseren. D.h., ene Entkoppelung der Schwngungsglechungen st durch ene Modaltransformaton be gedämpften Schwngungen m Allgemenen ncht möglch. Nur durch spezelle Annahmen für de Dämpfung (modale Dämpfung und Raylegh-Dämpfung, sehe später) können de Schwngungsglechungen durch ene Modaltransformaton entkoppelt werden. 58

59 Egenwertproblem Kx Dx Mx Kq Dq Mq x Φq Τ Τ Τ Kq D q Mq dagonal. A. ncht dagonal dagonal Entkoppelung der Glechungen. A. ncht möglch! Dämpfung: Stahlbeton: 5% Stahl: etwa %-% 59 Τ Τ Τ K modale Stefgketsmatrx M: modale Massenmatrx D: modale Dämpfungsmatrx

60 Baudynamk (Master) SS Gedämpfte free Schwngungen 3.3. Modale Dämpfung und Raylegh-Dämpfung 6

61 Modale Dämpfung Ungedämpft: Gedämpft: q q ω q dq ω Modale Dämpfung! q D d D Modale Dämpfung! q D q ω q q D q ω q Modale Dämpfung: In jeder modalen Glechung wrd en Dämpfungsterm addert! 6

62 Modale Dämpfung Lösung: t q c e t cos( ) t q c e t cos( ) Insgesamt n Unbekannten aus n Anfangsbedngungen (pro Masse )! q ( ) Φ x() Φ x; q() Φ x() Φ v Rücktransformaton: x Φq Alternatv: De Anpassung der Anfangsbedngungen kann auch nach der Rücktransformaton durchgeführt werden! 6

63 Raylegh-Dämpfung Raylegh-Dämpfung: (Proportonale Dämpfung, Bequemlchketshypothese) D M K Kq Kx Dx Mx (M K) q M q x Φq ( ) T T T T ΦKΦq ΦMΦ ΦKΦq ΦMΦq ω I d ω I q dq ω q 63

64 d Raylegh-Dämpfung D D Im Modalraum st de modale Dämpfung also dentsch mt der Raylegh-Dämpfung! D j j j D D ( D D) ( ) Lösung: q c e t cos( t ), (,,...,n) Insgesamt n Unbekannten aus n Anfangsbedngungen (pro Masse )! q ( ) Φ x() Φ x; q() Φ x() Φ v Rücktransformaton: x Φq 64

65 Baudynamk (Master) SS Ungedämpfte erzwungene Schwngungen 3.4. Drekte Lösungsmethode 3.4. Methode der Modaltransformaton 65

66 Drekte Lösungsmethode x x F Harmonscher Lastvektor: Gesamtlösung: F() t Fcos( t) x() t x () t x () t h p Homogene Lösung: sehe free Schwngungen!: Partkularlösung: Ansatz vom Typ der rechten Sete x K p dyn () t x cos( t ) x p p Dynamsche Stefgketsmatrx ( ) H( ) K K M dyn F xp Kdyn F dyn Dynamsche Nachgebgketsmatrx Wrd häufg auch als Frequenzgangmatrx H oder Übertragungsmatrx bezechnet. 66

67 Methode der Modaltransformaton x x F x q q q=f F() t Fcos( t) Harmonsche Erregung q q = F T T T q+ q F q q q h p x q Rücktransformaton 67

68 Methode der Modaltransformaton Homogene Lösung: sehe free Schwngungen!: Partkularlösung: Ansatz vom Typ der rechten Sete q () t q p cos( t ) q + q F p T p A T M q p F T T T n T M M M M nm nm M M xp A A A A A A F = A A F n dyn 68

69 Baudynamk (Master) SS Gedämpfte erzwungene Schwngungen 3.5. Drekte Lösungsmethode 3.5. Methode der Modaltransformaton 69

70 Drekte Lösungsmethode: Homogene Lösung x Dx x h h h vgl.: Gedämpfte free Schwngungen! x () h t Bemerkung: De homogene Lösung be gedämpften Systemen klngt mt der Zet rasch ab, so dass nach kurzer Zet (m engeschwungenen Zustand) nur de Partkularlösung maßgebend blebt. 7

71 Drekte Lösungsmethode: Partkularlösung x Dx x F p p p F() t F t e x p () t x t pe p D- x F D xp F K dyn Dynamsche Stefgketsmatrx xp KdynF dyn Dynamsche Nachgebgketsmatrx ( ) H( ) K K+ M M dyn Wrd häufg auch als Frequenzgangmatrx H oder Übertragungsmatrx bezechnet. 7

72 Methode der Modaltransformaton x Dx xf q Dq+ q F x q T qdq+ q F F() t Fcos( t) T F * * q+dq+ q F F () t F cos( t) * * q D q q F t * + + cos( ) q / +( D / ) q + q ( F / ) cos( t) * (vgl. gedämpfter Enmassenschwnger!) 7

73 Methode der Modaltransformaton q h () t q t V F t * p () ( / )cos( ) Partkularlösung D tan( ), V 4D x h () t q h q p () t F A * T M F q=q h q p n V x () t A A F cos( t ) p T M M x q Rücktransformaton 73

74 Baudynamk (Master) SS Modale Redukton und Verglech der Methoden 3.6. Modale Redukton 3.6. Verglech der drekten Methode und der modalen Methode 74

75 Modale Redukton De Lösung ener Schwngung st de gewchtete Superposton der Egenschwngungen (Egenformen, Egenmoden). Daher wrd de Methode der Modaltransformaton auch als Methode der Modalsuperposton oder Modalsuperpostonsmethode bezechnet. Nedrge Egenformen lesten größere Beträge und höhere Egenformen haben klenere Beträge. x q A A A A A () t q q NqN NqN nqn Wchtg! Wenger wchtg! x AqAq ANqN ( NN) q Modale Redukton Große Rechenaufwandsreduzerung falls N<<n! 75

76 Modale Redukton Modale Redukton reduzert den Rechenaufwand, aber we bestmmt man de Grenze N? Faustregel: Frequenzband der Erregung:, Obergrenze der Egenfrequenzen:,5 mn max max 76

77 Verglech der drekten Methode und der modalen Methode Drekte Methode Modale Methode Dämpfung Belebg. Belebg. Entkoppelung Nen. Ja, nur mt Annahme (modal oder Raylegh). Aufwand Groß, da K dyn für jede Anregungsfrequenz neu zu berechnen und zu nverteren st. Klen, wenn Entkoppelung oder modale Redukton (N<<n). Genaugket Hoch. Hoch wenn kene modale Redukton. Nedrg be modaler Redukton. Lneartät Empfehlung Anwendbar auch be Nchtlneartät. Be Stoß (schmallbandg) (drekte Zet-Integraton) Nur anwendbar be Lneartät. Be Erdbeben, Wnd (bretbandg) 77