5 Sphärische Trigonometrie

$Id: sphaere.tex,v.5 03/08/3 7::33 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.4 Geographische Koordinaten In der letzten Sitzung hatten wir die geographischen Koordinaten eines Punkts P auf einer Kugel, beziehungsweise auf der Erdoberfläche eingeführt. Der Längengrad war dabei der Winkel zu einem fest gewählten Nullmeridian und der Breitengrad ist der Winkel zum Äquator. Wir hatten gesehen wie man zu zwei in Koordinaten gegebenen Punkten ihren sphärischen Abstand berechnet und hatten einige mit dem verbindenden Großkreis zusammenhängende Werte bestimmt. Dieser Großkreis gibt uns zwar die kürzeste Verbindung zweier Punkte, er hat aber den Nachteil das sich längs dieses Großkreises der Kurswinkel, also der Winkel zu den eridianen, ständig ändert. Hat man eine Seekarte bei der die eridiane als vertikale Geraden und die Breitenkreise als waagerechte Geraden abgebildet werden, so ist es einfacher den Kurs, zumindest abschnittsweise, durch Geradenstücke in dieser Karte zu bestimmen, auf diese Weise entstehen auf der Erdkugel Kurven die alle eridiane in einem konstanten Winkel α treffen. an nennt solche Kurven Loxodrome, oder genauer Loxodrome mit Winkel α. Wir wollen jetzt bestimmen wie die Koordinaten der Punkte auf solch einer Loxodrome aussehen. P R r N (λ+d λ,ϕ+d ϕ P ϕ ds R d ϕ P α (λ,ϕ R cos ϕ d λ Q Radius eines Breitenkreises Loxodromengleichung Als eine Hilfsgröße benötigen wir den eukldischen Radius r des Breitenkreises zum Breitengrad ϕ. Bezeichne wieder den Erdmittelpunkt, P einen Punkt auf dem Breitenkreis und N den ittelpunkt des Breitenkreises. Dann haben wir das bei N rechtwinklige Dreieck NP dessen Winkel bei gleich π/ ϕ ist, und in diesem Dreieck -

sind P = R der Erdradius und NP das gesuchte r. Wir erhalten cos ϕ = sin ϕ = r R, also hat unser Breitenkreis den Radius r = R cos ϕ. Die Gleichung der Loxodrome leiten wir jetzt eher heuristisch auf infinitesimalen Weg her. Sei P ein Punkt auf der Loxodrome mit den geographischen Koordinaten (λ, ϕ. Ein kleines Stück ds weiter auf der Loxodrome wird dann der Punkt P mit Koordinaten (λ + dλ, ϕ + dϕ erreicht. Wir betrachten das oben rechts gezeigte Dreieck P QP mit P P = ds, der Abstand QP ist der Abschnitt des eridians durch Q zur Differenz dϕ der Breitengerade, also QP = R dϕ, und P Q ist schließlich der Abschnitt des Breitenkreises zum Breitengrad ϕ zur Differenz dλ der Längengerade, also P Q = R cos ϕ dλ da der Radius dieses Breitenkreises gleich R cos ϕ ist. Bei infinitesimalen ds können wir uns das Dreieck P QP euklidisch denken und erhalten sin α = cos α R cos ϕ dλ = und cos α = sin ds α = R dϕ ds, wobei α der konstante Kurswinkel der Loxodrome zu den eridianen ist. Hieraus ergibt sich weiter und somit wird tan α = sin α cos α dλ dλ = cos ϕ, also dϕ dϕ = tan α cos ϕ λ = tan α Zur Berechnung dieses Integrals substituiere und erhalte dϕ cos ϕ = x = sin ϕ also dx dϕ cos ϕ cos ϕ dϕ = = dϕ cos ϕ. = cos ϕ sowie cos ϕ dϕ = dx, sin cos ϕ dϕ = ϕ ] [ x + + x Die Loxodromen zum Kurswinkel α haben also die Gestalt λ = λ 0 + tan α ln + sin ϕ sin ϕ dx x dx = ln + x x = + sin ϕ ln sin ϕ. mit einer Konstanten λ 0. Wollen wir den Kurswinkel α der Loxodrome durch zwei Punkte P mit Koordinaten (λ, ϕ und P mit Koordinaten (λ, ϕ bestimmen, so haben wir die beiden Gleichungen λ = λ 0 + tan α λ = λ 0 + tan α - ln + sin ϕ sin ϕ, ln + sin ϕ sin ϕ,

für λ 0 und α, also und die zweite Gleichung wird zu λ 0 = λ tan α λ = λ + tan α also ist der Kurswinkel α bestimmt als cot α = ln + sin ϕ sin ϕ ln ( + sin ϕ ( sin ϕ ( + sin ϕ ( sin ϕ, (λ λ ln ( + sin ϕ ( sin ϕ ( + sin ϕ ( sin ϕ. Auch die Bogenlänge der verbindenden Loxodrome L können wir dieser Überlegung entnehmen, schreiben wir das Linienelement als ds = R cos α dϕ, so wird die Länge zu l(l = R cos α (ϕ ϕ. Wir schauen uns dies konkret am Beispiel der Verbindung Kiel Peking an, Kiel hatte die Koordinaten λ = 0 08, ϕ = 54 0 und Peking war λ = 6 8, ϕ = 39 54. Längs eines Großkreises hatten wir den Abstand von 748, 4 km berechnet. Setzen wir diese Koordinaten in unsere Loxodromenformel ein, so müssen wir daran denken das λ, λ im Bogenmaß verwendet werden müssen, also λ = 0, 76859 und λ =.0376 und der Kurswinkel α wird cot α = 0, 6946 ln(0, 47380384 = 0, 043 also α =, 3705 = 78, 6, wobei dies alles gerundete und keine exakten Werte sind. Für den Abstand längs der Loxodrome brauchen wir auch die Breitengrade im Bogenmaß als ϕ = 0, 94895, ϕ = 0, 696386 und erhalten mit einem Erdradius von R = 637, km den Loxodromenabstand von 835, km, diese Strecke ist also um mehr als 700 km länger als der Weg über den Großkreis. 5.5 Berechnung der Tageslänge In diesem letzten Abschnitt wollen wir als eine weitere Anwendung der sphärischen Trigonometrie die Berechnung der Tageslänge durchführen. Angenommen wir haben eine Kugel E mit ittelpunkt und Radius R > 0 die von einer Lichtquelle in der Entfernung S beleuchtet wird. Denken wir uns der Einfachheit halber das alle Lichtstrahlen vom ittelpunkt der Quelle ausgehen, so bilden wir einen Kegel mit Spitze in S der tangential an der Kugel anliegt, und der beleuchtete Teil unserer Sphäre ist dann das Innere des Kleinkreises in dem der Kegel die Kugel berührt. -3

Ekliptik R H φ S Äquator F δ 0 Lichtquelle Ekliptik Dieser Kleinkreis bildet mit S einen Winkel φ und lesen wir den Cosinus von φ im oben links gezeigten rechtwinkligen Dreieck ab, so ergibt sich cos φ = R S. Sind nun E die Erde und unsere Lichtquelle die Sonne, so ist R der Erdradius R = 637, km und S ist der Abstand zur Sonne. Der genaue Wert von S hängt von der Jahreszeit ab, der kleinste auftretende Wert sind S = 47 099 000 km. Für den Winkel φ ergibt sich φ 89, 997599, und für alle praktischen Zwecke sind dies 90. Wir können also davon ausgehen das immer auf einer Hälfte der Erdoberfläche Tag ist. Wenn wir einen einzelnen Tag betrachten, so können wir uns die Sonne als im Raum fixiert denken. Durch die Drehung der Erde um ihre Achse ändert sich die Hälfte der Erde auf der Gerade Tag ist. Die Verbindungsstrecke von Erdmittelpunkt und Sonnenmittelpunkt trifft die Erdoberfläche in einem Punkt Q und der Großkreis k der die Grenze zwischen Tag und Nacht markiert hat Q als einen Pol. Liegt Q auf dem Äquator, so ist die Tag Nacht Grenze k ein eridian, also wird jeder Breitenkreis von k genau halbiert und damit sind Tag und Nacht in jedem Punkt der Erdoberfläche gleich lang. Da wir allerdings wissen das die Länge des Tages mit der Jahreszeit variiert kann Q in der Regel nicht auf dem Äquator liegen. Die Bewegung der Erde um die Sonne findet in einer Ebene statt, und diese Ebene nennt man die Ekliptik. Schneiden wir die Ekliptik mit der Erdoberfläche so entsteht ein Großkreis q auf dem sich unser Punkt Q bewegt. Wäre die Drehachse der Erde senkrecht auf der Ekliptik, so wäre q der Äquator und Tag und Nacht wären immer gleich lang. In der Wirklichkeit sind die beiden aber verschieden, der Großkreis q bildet mit dem Äquator einen Winkel δ 0, und dies führt dazu das sich die Tageslänge mit der Jahreszeit ändert. Den Winkel δ 0 kann man genau messen, er hat auf zwei Nachkommastellen den Wert δ 0 = 3, 44. Der Großkreis q schneidet den Äquator in zwei diametralen Punkten F und H, in diesen beiden Punkten fällt der Einstrahlpunkt Q auf den Äquator und Tag und Nacht -4

sind überall auf der Erde gleich lang. an nennt F den Frühlingspunkt und H den Herbstpunkt, diese sind die beiden Äquinoktien oder Tagundnachtgleichen. Wir betrachten nun einen fixierten Tag und an diesem Tag habe die Sonne zum Äquator den Winkel δ, d.h. ist Q der Einstrahlpunkt so hat die Strecke Q zur Äquatorebene den Winkel δ. an nennt δ die Deklination. Ist Q der Frühlingspunkt, so ist δ = 0 und mit fortschreitenden Jahr läuft Q den Großkreis q entlang und δ wird größer. Dies geht bis die Deklination ihren maximalen Wert δ = δ 0 erreicht, dies geschieht wenn die senkrecht auf dem Äquator stehende Ebene durch Q auch senkrecht auf der Ekliptik ist, dann ist die Deklination der Winkel zwischen Äquator und Ekliptik und die sogenannte Sommersonnenwende ist erreicht. Danach wird δ wieder kleiner bis der Herbstpunkt erreicht wird und δ = 0 ist. Nach Durchlaufen des Herbstpunktes wird δ negativ, d.h. ab diesem Punkt ist die Südhalbkugel der Sonne zugewandt. Der kleinste Wert der Deklination wird dann bei δ = δ 0 erreicht und dann ist die Wintersonnenwende erreicht. Anschhließend läuft Q zurück zum Frühlingspunkt, die Deklination steigt also wieder bis δ = 0, und alles geht von vorne los. Wir wollen die Tageslänge in Abhängigkeit von Deklination und Breitengrad berechnen. Nehme einmal an das δ 0 ist das also die Nordhalbkugel der Sonne zugewandt ist. Ab einem gewissen Breitengrad ϕ ist der Tag dann volle 4 Stunden lang und um ϕ zu berechnen schauen wir uns den unten rechts gezeigten Querschnitt an. H N ϕ P Q Q δ ϕ ϕ δ Deklination Querschnitt zu den Polarkreisen S Die Strecke Q bildet mit dem Äquator den Winkel δ, senkrecht zu dieser Strecke ist die Tag Nacht Grenze k und alle Breitenkreise oberhalb des Schnitts von k mit der Sphäre liegen ganz im beleuchteten Teil der Erde. Die Grenze ϕ ergibt sich damit zu δ + π + ϕ = π, also ϕ = π δ. Im Frühlingspunkt δ = 0 gibt es noch keinen solchen Breitenkreis und zur Sommersonnenwende δ = δ 0 ist nördlich des Breitenkreises π/ δ 0 = 66, 56 volle 4 Stunden -5

lang Tag. an nennt den Breitenkreis ϕ = π/ δ 0 den nördlichen Polarkreis. Symmetrisch dazu ist der südliche Polarkreis, südlich des Breitenkreises (π/ δ ist 4 Stunden lang nacht. Wird die Deklination negativ, so ist die Südhalbkugel der Sonne zugewandt und die südlichen Breitenkreise haben permanenten Tag und die nördlichen permanente Nacht. Für die Breitenkreise ϕ mit ϕ < π/ δ gibt es dagegen einen Wechsel von Tag und Nacht und wir betrachten jetzt einen solchen Breitengrad ϕ. Sei P der westliche Schnittpunkt des Breitenkreises zum Breitengrad ϕ mit der Tag Nacht Grenze k, d.h. im Punkt P haben wir den Sonnenaufgang auf unserem Breitenkreis. Ist N der Nordpol so bilden wir das oben links gezeigte sphärische Dreieck P QN und sein Winkel H bei N heißt der Stundenwinkel, dies ist der Winkel zwischen dem Sonnenaufgang in P und der ittagszeit wenn der eridian durch Q erreicht wird. Insbesondere bildet der Teil des Breitenkreises der von der Sonne beschienen wird mit N den Winkel H. Der Punkt P ist auf dem Großkreis k mit Pol in Q, also haben P und Q den Winkelabstand P Q = π, es liegt ein sogenannte rechtsseitiges sphärisches Dreieck vor. Da P den Breitengrad ϕ und Q den Breitengrad δ hat, ist P N = π ϕ und QN = π δ. Wenden wir in P QN den Seitencosinussatz Satz 3 an, so ergibt sich 0 = cos P Q = cos ϕ cos δ + sin ϕ sin δ cos H = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos H, also ist sin ϕ sin δ cos H = = tan ϕ tan δ. cos ϕ cos δ Wir hatten schon festgehalten das der in der Sonne liegende Teil des Breitenkreises den doppelten Stundenwinkel H einnimmt, und da die Drehung der Erde um ihre Achse konstante Winkelgeschwindigkeit hat ist die Tageslänge auf dem Breitengrad ϕ damit gegeben als T = T (ϕ, δ = H 4 4 = arccos( tan ϕ tan δ. π π Diese geometrische Tageslänge weicht aber noch recht deutlich von der wirklich beobachteten Tageslänge ab. Dies liegt an zwei Hauptgründen. Zum einen ist die Sonne keine punktförmige Lichtquelle sondern hat eine Ausdehnung und nimmt eine Winkel von etwa 6 ein. Die Sonne ist also schon um den Winkel 6 vor Erreichen des Punktes P sichtbar. Weiter hat die Erde eine Atmosphäre an der sich die eingehenden Lichtstrahlen brechen, und essungen dieses Effekts ergeben einen weiteren Korrekturwinkel 34. Insgesamt kommen wir auf den Korrekturwinkel ( 5 ɛ := 6 + 34 = 50 = 0, 83. 6-6

In unserem Dreieck P QN haben wir bei Sonnenaufgang also tatsächlich P Q = π/+ɛ und der Seitencosinussatz ergibt sin ɛ = cos + ɛ = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos H und somit cos H = tan ϕ tan δ Als genaueren Wert für die Tageslänge erhalten wir ( tan ϕ tan δ T = 4 π arccos sin ɛ cos ϕ cos δ. sin ɛ, cos ϕ cos δ und um diesen Wert mit T zu vergleichen machen wir eine kleine Approximationsüberlegung. Zunächst erinnern wir uns daran das die Differenzierbarkeit einer Funktion f in einem Punkt x bedeutet das für kleine Inkremente h die Näherung gilt. Die Ableitung des Arcus Cosinus ist also haben wir f(x + h f(x + f (xh d dx arccos x =, x arccos(x + h arccos x h x. Der Wert sin ɛ/(cos ϕ cos δ ist vergleichsweise klein, also wird T T + 4 π tan ϕ tan δ sin ɛ cos ϕ cos δ. Weiter haben wir für kleine Winkel φ die übliche Näherung sin φ φ und es wird ( 5 sin ɛ ɛ = = 5 6 6 π 80 = π 6, und somit T T + 9 cos ϕ cos δ sin ϕ sin δ = T + 9 cos ϕ sin δ. Wir wollen uns dies einmal am Beispiel des durch Kiel laufenden Breitenkreises anschauen, dieser hatte den Breitengrad ϕ = 54 0. Dies ist südlich des Polarkreises bei 66, 56 also gibt es stets eine Tag und eine Nachtphase. In der folgenden Tabelle geben wir die Tageslänge in Kiel als Funktion der Deklination δ für einige Werte von δ an δ 0 4, 69 9, 37 4, 06 8, 75 δ 0 = 3, 44 T : 00 : 5 3 : 46 4 : 43 5 : 45 6 : 57 T : 3 : 03 3 : 58 4 : 55 5 : 59 7 : -7

Dies sind alles positive Werte der Deklination δ zwischen Frühlingspunkt und Sommersonnenwende. Die Tageslänge zwischen Sommersonnenwende und dem Herbstpunkt durchläuft dann dieselben Werte in die andere Richtung. Zwischen Herbstpunkt und Frühlingspunkt ist die Deklination negativ und die Nacht ist länger als der Tag. Die hierbei auftretenden Werte von T und T wollen wir uns über Symmetriebetrachtungen herleiten. Für 0 φ π gilt cos(π φ = cos φ und 0 π φ π, also ist für alle x auch arccos( x = π arccos x. it dieser Formel ergibt sich für 0 δ δ 0 T (ϕ, δ = 4 4 arccos(tan ϕ tan δ = π π (π arccos( tan ϕ tan δ = 4 T (ϕ, δ Der Länge des Tages zur negativen Deklination δ ist also die Länge der Nacht bei Deklination δ. Diese Formel gilt allerdings nur für die geometrische Tageslänge T, die korrigierte Tageslänge ergibt sich dann analog zur obigen Rechnung als T (ϕ, δ = T (ϕ, δ + 9 cos ϕ sin δ. Damit haben wir die Tageslänge als Funktion der Deklination beschrieben, um jetzt die Tageslänge als Funktion der Jahreszeit zu berechnen muss also nur noch die Deklination als eine solche bestimmt werden. Wir messen die Jahreszeit als den Winkel α zwischen dem Frühlingspunkt F und dem Einstrahlpunkt Q bezüglich des Erdmittelpunkts. Dabei beschränken wir uns erst einmal auf den Sommerzeitraum der nördlichen Halbkugel, der Punkt Q Ekliptik H habe also den Herbstpunkt H noch nicht erreicht Q und es ist 0 < α < π. Sei Q der Schnittpunkt α des eridians durch Q mit dem Äquator. Dann betrachten wir das sphärische Dreieck = F Q Q. F δ 0 Q Äquator Dieses Dreieck hat bei Q einen rechten Winkel und sein Winkel bei F ist δ 0. Weiter sind in die Winkelabstände F Q = α und QQ = δ ist die Deklination. Der sphärische Sinussatz Satz 6 ergibt sin δ = sin α sin δ 0 sin π = sin α, es ist also sin δ = sin δ 0 sin α. Schreiben wir jetzt tan δ = sin δ sin δ = sin δ 0 sin α sin δ 0 sin α = sin δ 0 sin α sin δ 0 = sin δ 0 cot α + sin δ 0 = sin δ 0 cot α + cos δ 0, -8

so ergibt sich ( T = T (ϕ, α = 4 π arccos tan ϕ sin δ 0 cot α + cos δ 0 und für die korrigierte Tageslänge ergibt sich T = T (ϕ, α = T (ϕ, α + 9 cos ϕ sin δ 0 sin α. Für die Winterzeit π < α < π haben wir δ(α = δ(α π berechnen, also wieder sin δ = sin δ 0 sin(α π = sin δ 0 sin α und somit ist T (ϕ, α = T (ϕ, δ = 4 T (ϕ, δ = 4 T (ϕ, α π und die Formel für T in Abhängigkeit von T bleibt unverändert. -9