Matematisce Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 13 Abgabe Donnerstag 4. Februar, 10:15 in H3 6+4+5+++1 = 0 Punkte Mit Lösungsinweisen zu einigen Aufgaben 51. Ire Bekannte Dido möcte, dass aus einem günstig erstandenen 400 Meter langen Zaun eine recteckige Weide mit möglicst großem Fläceninalt für ire Lieblingspferde errictet wird. Ire Wiese ist groß genug, um jedes Recteck mit bis zu vierundert Metern Umfang aufzunemen (sie at sofort erkannt, dass dazu 100 auf 00 Meter genügen), so dass dies keine Einscränkung darstellt. Obwol kaum jemand an der offensictlicen Lösung zweifeln würde, ist es ratsam, jeder unnötigen Diskussion mit Hilfe eines matematiscen Beweises zuvorzukommen oder besser noc mit zwei Beweisen. Löse die Frage also einmal mit der Einsetzmetode und einmal mit der Metode von Lagrange (Josep-Louis Lagrange, 1736 1813). Ein dreieckige Weide wäre zweifellos ungewönlicer. Bezeicnet man die Seitenlängen mit 0 < a,b,c < U/, so ist der Umfang U = a + b + c und die Fläce nac der Heronscen Fläcenformel ( )( )( ) f (a,b,c) = a b c. Bestimme mit dem Ansatz von Lagrange die kritiscen Punkte. Die Länge und Breite der Weide seien mit a und b bezeicnet. Die zu maimierende Fläce ist also f (a,b) = ab. Der Umfang ist durc die Länge des Zaunes auf U := 400 = (a + b) festgelegt. Im ersten Scritt der Einsetzmetode löst man die Nebenbedingung U = (a+b) nac b (oder bei vertauscten Rollen nac b) auf und erält b = U/ a. Damit muss nun im zweiten Scritt die Funktion g(a) := f (a, U/ a) = a U/ a maimiert werden. Die Ableitungen sind g (a) = U/ a g (a) = < 0. Die Randpunkte des zulässigen Bereices a [0,U/] können keine Maimalstelle sein, denn dort ist die Fläce Null. Im Innern gibt es nur einen Kandidaten für eine Etremstelle, und dies ist die Nullstelle der ersten Ableitung. Da stetige Funktionen auf kompakten Intervallen mindestens eine globale Maimal- und Minimalstelle aben, muss dort sogar das globale Maimum liegen. Dieses ist bei a := U/4 und die zugeörige Fläce ist g(a ) = U /8 U /16 = U /16 = (U/4). Also werden die Pferde eine Fläce von 10000 Quadratmeter (ein Hektar) zur Verfügung aben und die Weide wird ein Quadrat mit 100 Metern Seitenlänge sein.
1 10 4 g(a) = 00a a 0.8 0.6 0.4 0. 50 100 150 00 a Nac Lagrange definiert man zunäcst die Hilfsfunktion F(a,b,λ) : = f (a,b) + λ(a + b U/) = ab + λ(a + b U/). Diese zeicnet sic dadurc aus, dass sie für alle (a, b), die die Nebenbedingung a + b = U/ erfüllen, unabängig von λ der eigentlic zu maimierenden Funktion f (a,b) entsprict. Mit dem selben Argument wie vorer eistiert eine Maimalstelle und dafür kommt nur einer der kritiscen Punkte in Frage. Also bestimmen wir diese mit Lagrange. Die partiellen Ableitungen sollen verscwinden, also 0 = F a (a,b,λ) = b + λ 0 = F b (a,b,λ) = a + λ 0 = F λ (a,b,λ) = a + b U/. Aus den ersten beiden Gleicungen folgt a = λ = b. Setzen wir dies in die letzte Gleicung (die wie üblic nur noc einmal die Nebenbedingung wiedergibt) ein, eralten wir 0 = a + a U/ bzw. a = U/4. Dies ist in der Tat das gleice Ergebnis wie mit der Einsetzmetode. Betracten wir nun den Fall einer dreieckingen Weide. Die Lagrangefunktion ist F(a,b,c,λ) = f (a,b,c) + λ(a + b + c U) ( )( )( ) = a b c + λ(a + b + c U). Die partiellen Ableitungen sollen verscwinden, d.. wir möcten die Lösung
des folgenden Gleicungssystems finden: ( U b )( U c ) U 0 = F a (a,b,c,λ) = ( U U a )( U b )( U c ) + λ ( U a )( U c ) U 0 = F b (a,b,c,λ) = ( U U a )( U b )( U c ) + λ ( U a )( U b ) U 0 = F c (a,b,c,λ) = ( U U a )( U b )( U c ) + λ 0 = F λ (a,b,bλ) = a + b + c U. Aus den ersten drei Gleicungen folgt ( )( ) U b c = U ( )( ) a c ( )( ) U b c = U ( )( ) a b Da 0 < a,b,c < U/ sind die Faktoren ( U a ), ( U a ) und ( U a ) alle > 0, so dass ( ) ( ) b = a ( ) ( ) c = a Damit eralten wir a = b = c, das Dreieck mit der größten Fläce bei gegebenem Umfang ist also ein gleicseitiges Dreieck mit a = b = c = U/3 (aus der Nebenbedingung a + b + c U = 0). 5. Gesuct ist eine Minimumstelle der Funktion f (,y) = ( + 1) + (y + 1) unter der Nebenbedingung g(,y) := y 3 = 0. (a) Löse die Nebenbedingung nac y auf und beacte dabei, dass die Nebenbedingung 0 erzwingt. Setze dies in die zu minimierende Funktion ein und zeige, dass diese dann strikt wacsend in auf [0, ) ist, woraus folgt, dass das einzige lokale und globale Minimum bei (,y) = (0,0) liegt. (b) Versuce nun den Ansatz von Lagrange. Erfüllt der Punkt (,y) = (0,0) das entsteende Gleicungssystem? Was gesciet mit den partiellen Ableitungen der Funktion g aus der Nebenbedingung in diesem Punkt? Zunäcst die Einsetzmetode: Die Nebenbedingung verlangt y = 3. Da y 0, muss also auc 3 0 und somit 0 gelten. Unter dieser Voraussetzung ist y = 3/. Es sind also zwei Fälle zu untersucen: y = 3/ und y = 3/. 3
Im ersten Fall liefert Einsetzen in die zu minimierende Funktion fürt auf die Suce nac Minimumstellen der Funktion () = f (,y()) der Form Die Ableitung ist () = + + 1 + y + y + 1 = + + 1 + 3 + 3/ + 1 () = + + 3 + 3 1/ > 0 da 0 Die Minimumstelle einer wacsende Funktion ist am linken Rand des Definitionsbereices, also bei = 0 und aus der Nebenbedingung folgt dann auc y = 0. Im zweiten Fall eralten wir die Funktion mit erster Ableitung () = + + 3 3 1/ = 3 () = + + 1 + 3 3/ + 1 ( 3 + 3 + 1/ ) > 0 da 0 Die letzte Ungleicung folgt z.b. aus der Abscätzung 1/ +1 für 0. Auc in diesem Fall ist das Minimum bei (,y) = (0,0). Das globale Minimum der Funktion ergibt sic nun eigentlic aus dem Vergleic der Funktionswerte in beiden Fällen. Da die Minimumstellen ier aber übereinstimmen, folgt sofort, dass (, y) = (0, 0) eine globale Minimumstelle unter der gegebenen Nebenbedingung ist, der Funktionswert an dieser Stelle ist f (0,0) =. Nun der Versuc mit Lagrange: Die Lagrangefunktion ist F(,y,λ) = f (,y) + λg(,y) = ( + 1) + (y + 1) + λ ( y 3) Die partiellen Ableitungen sollen verscwinden, also 0 = F (,y,λ) = ( + 1) λ3 0 = F y (,y,λ) = (y + 1) + λy 0 = F λ (,y,λ) = y + 3. Obwol wir wissen, dass sic bei (, y) = (0, 0) ein Minimum befindet, lösen diese Werte das Gleicungssystem nict. So etwas kann vorkommen, wenn beide partiellen Ableitungen der Funktion g(, y) aus der Nebenbedingung g(, y) = 0 an einer Etremstelle verscwinden. (Man beacte, wie dadurc der Einfluss des Lagrangeparameters λ auf das Gleicungssystem gestört wird.) Da eine solce Situation eer selten auftritt, wird die Möglickeit ires Vorliegens mancmal überseen. 53. Es seien folgende Funktionen definiert f (,y) = c ( a b + (1 a)y b) d g(,y) = b y c mit b,c,,y > 0 (,y) = e +y mit a [0,1];b,c,d,,y > 0 4
Berecne die partiellen Elastizitäten und deren Summe. Welce der Funktionen sind omogen? Die partiellen Ableitungen sind f (,y) = cd ( a b + (1 a)y b) d 1 ab b 1 f y (,y) = cd ( a b + (1 a)y b) d 1 (1 a)by b 1 g (,y) = b b 1 y c g y (,y) = c b y c 1 (,y) = e +y y (,y) = e +y Die partiellen Elastizitäten sind damit ε f, (,y) = f (,y) f (,y) = d ( a b + (1 a)y b) 1 ab b y ε f,y (,y) = f (,y) f y(,y) = d ( a b + (1 a)y b) 1 (1 a)by b ε g, (,y) = g(,y) g (,y) = b y ε g,y (,y) = g(,y) g y(,y) = c ε, (,y) = (,y) (,y) = y ε,y (,y) = (,y) y(,y) = y Anwendung der Recenregel für Pozenzen zeigt, dass die ersten beiden Funktionen omogen sind: f vom Grade bd und g vom Grade b+c. In diesen beiden Fällen stimmt die Summe der partiellen Elastizitäten wie von der Teorie vorausgesagt mit dem Homogenitätsgrad überein. 54. Es seien f (,y) und g(,y) zwei Funktionen, beide omogen vom Grade r. Neme an, die partiellen Elastizitäten beider Funktionen eistieren. Was wissen wir über die Summe der Elastizitäten der Funktion (,y) = f (,y) + g(,y)? Die Summe ist ebenfalls omogen vom Grade r und desalb ist die Summe der Elastizitäten gleic r. Um zu seen, dass die Summe zweier Funktionen die beide omogen vom selben Grade r sind wieder eine vom Grade r omogene Funktion ergibt, recnet man einfac (a,ay) = f (a,ay) + g(a,ay) = a r f (,y) + a r g(,y) = a r( f (,y) + g(,y) ) = a r (,y). 5
55. Es seien f () und g() zwei strikt positive und differenzierbare Funktionen. Ire Elastizitäten seien mit ε f () und ε g () bezeicnet, diejenige der Funktion () = f () + g() mit ε () = ε f +g (). Zeige, dass ε f +g () = f ()ε f () + g()ε g () f () + g() Die Ableitung der Funktion ist nac der Ableitungsregel für Summen () = f () + g (). Die Elastizität der Funktion ist folglic ε () = () () = f () + g () f () + g() = f ()ε f () + g()ε g (). f () + g() 56. Die Preiselastizität der Nacfrage nac einem Matematikbuc wird auf 0.5 gescätzt. Der Preis soll um 10% gesenkt werden. Welce Auswirkungen auf die Nacfrage sind zu erwarten? Nac der Definition des Grenzwertes ist und damit (es sei f () 0 und 0) f () = lim 0 f ( + ) + f () ε f () = f () f () = lim 0 f (+)+f () f () Nemen wir nun an, der Bruc im Grenzwert würde sic für 0 in einer Umgebung von 0 nur wenig ändern, so könnten wir für diese annemen, dass ungefär ε f () f (+)+f () f () Umgestellt eralten wir bzw. ( + 1) ε f () f (+) f () ε f ( + ) f () 1 f () 1. Daer kommt (unter den getroffenen Annamen) die Interpretation der Elastizität als ein Maß für die relative Änderung der Funktionswerte im Verältnis zur relativen Änderung des Arguments. In unserem Beispiel könnte man also vermuten, dass sic bei einer Preisänderung von 10% die Nacfrage um ( 0.5)( 10%) = 5% ändert (eröt). Ob / = 0.1 = 10% noc klein genug ist, um der Näerung zu vertrauen, sei daingestellt. 6
Ergänzung: Eine weitere Interpretation der Elastizität liefert die folgende eakte Aussage im Stil des Mittelwertsatzes. Es seien a, > 0 und es sei f eine auf dem Intervall zwiscen und a differenzierbare und einscließlic der Intervallränder strikt positive und stetige Funktion. Die Elastizität der Funktion f sei mit ε f bezeicnet. Dann eistiert ein ξ = ξ,a zwiscen und a so dass f (a) = a ε f (ξ) f (). Wir kennen bereits einen Spezialfall dieser Aussage: Die Elastizität omogener Funktionen ist konstant gleic dem Grad der Homogenität. (Bei Funktionen mererer Variablen gilt dies für die Summe der Elastizitäten.) Hier seen wir, dass die Elastizität in änlicer Weise wie der Homogenitätsgrad bei omogenen Funktionen ein Maß dafür ist, wie empfindlic eine Funktion auf relative Änderungen des Arguments reagiert. Ein Beweis sei im folgenden skizziert. Definiere y = ln(), b = ln(a) und (y) = lnf (e y ). Dann ist (y) = ey f (e y ) f (e y ) = ε f (e y ). Nac dem Zwiscenwertsatz eistiert ein ζ zwiscen y = ln() und y + b = ln(a) mit (ζ)b = (y + b) (y). Setzen wir die Definitionen ein, so folgt die Eistenz von ξ = e ζ zwiscen = e y und a = e y+b mit ε f (ξ)ln(a) = lnf (a) lnf (). Daraus folgt unter Anwendung der Eponentialfunktion a ε f (ξ) = f (a)/f () und somit die Beauptung. Oder auc die äquivalente Aussage ε f (ξ) = lnf (a) lnf () ln(a) ln(). Wenden diese Aussage auf das Beispiel an und geen davon aus, dass die Elastizität im Bereic der Preisänderung gleic bleibt. Ver-0.9-fact sic der Preis, so erwarten wir dann eine Absatzänderung um den Faktor 0.9 0.5 1.054. 7