Technische Informatik 2 Zahlensysteme

Technische Informatik 2 Zahlensysteme Studiengänge MB, EL, MM, RA, ASE. Semester, Wintersemester 26 Prof. Dr.-Ing. Jürgen Schröder Fakultät für Technik Mechanik und Elektronik Technische Informatik, 2 Zahlensysteme Zahlensysteme Binäre Systeme Binärsysteme = Darstellungssysteme mit zwei verschiedenen Zuständen bzw. Symbolen, z.b. elektrische Signale/Schaltzustände in Computern (Strom fließt/fließt nicht) oder Spannungslevel ( V / 5 V). Licht an/licht aus in der Glasfasertechnik magnetische Speicherung auf Festplatten etc. (magnetisiert/ unmagnetisiert) Aussagenlogik (wahr oder falsch) duales Zahlensystem (Ziffern und ) Ein Binärsystem, nicht das Binärsystem -2- Technische Informatik, 2 Zahlensysteme

Technische Informatik Digitaltechnik Darstellung binärer Werte U L /V +5 "Space" U L /V 5 3 t +5 +3-3 -5-5 ms t "Mark" TTL Technik RS232 (serielle Schnittstelle) Technische Informatik, 2 Zahlensysteme Zahlensysteme Einleitung Zahlensysteme dienen der Darstellung von Zahlenwerten Definition von Algorithmen zur Realisierung der Rechenarten mit den jeweiligen Zahlensystemen Beispiele für Zahlensysteme (Stellensysteme) Dezimalsystem: 479,23 = 3 + 4 2 + 7 + 9 + 2 - + 3-2 Binärsystem: 2 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 + 2 = 5 Octalsystem: 742 8 = 8 3 + 7 8 2 + 4 8 + 2 8 = 994 A45C3 6 = A 6 4 + 4 6 3 + 5 6 2 + C 6 + 3 6 = 67329 Kennzeichnung durch tiefergestellte Basis (siehe oben) oder durch Suffi H (Headezimal), D (Dezimal), B (Binär) etc. -3- -4- Technische Informatik, 2 Zahlensysteme

Zahlensysteme allgemeiner Ansatz Allgemeiner Ansatz für Stellensysteme: Z = z n n 2 n, B n n 2... = n i= B i z B i + z B + + z 2 B 2 + z B + z B (Stellen n, Basis B) Technische Informatik, 2 Zahlensysteme Zahlensysteme Informationseinheiten Kleinste Informationseinheit: Bit (Binary digit) entspricht den zwei Zuständen eines Schaltglieds der Rechnerhardware (an/aus), repräsentiert durch und (auch: L und H) Zusammenfassung von 8 Bit als Byte Byte hat 2 8 = 256 mögliche Zustände/Werte, z.b. Damit Übergang zum Headezimalsystem (4 Bit entspr. HEX Stelle) weitere Zusammenfassung von 2, 4 oder 8 Byte als Wort (vgl. 6-/32-/64-Bit-Architekturen) auch: 6 Bit = Wort, 32 Bit = Doppelwort -5- -6- Technische Informatik, 2 Zahlensysteme

Zahlensysteme Binäre, Oktale, Headezimale und BCD-Codierung Dezimal Binär Oktal Headezimal BCD 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 2 A 3 B 2 4 C 3 5 D 4 6 E 5 7 F 6 2 7 2 8 22 2 9 23 3 2 24 4 Technische Informatik, 2 Zahlensysteme Zahlensysteme Umwandlung von Zahlensystemen Direkte Umwandlung als Stellensystem z.b. in das Dezimalsystem Horner-Schema (Umwandlung Binär in Dezimalsystem) Dualzahl 2 2 4 2 9 2 + 8 2 Dezimalzahl 37 2 + -7- -8- Technische Informatik, 2 Zahlensysteme

Zahlensysteme Umwandlung von Zahlensystemen Horner-Schema (Dezimalsystem in Dualsytem) Dezimalzahl 37 : 2 = 8 Rest 8 : 2 = 9 Rest 9 : 2 = 4 Rest 4 : 2 = 2 Rest 2 : 2 = Rest : 2 = Rest Dualzahl Technische Informatik, 2 Zahlensysteme Zahlensysteme Addition und Subtraktion im Dualsystem Regeln + = + = + = + = + + = Übertrag Beispiele + Übertrag: - = - = - = - = -Ü - - = -Ü Borgen von höherer Stelle Übertrag: - - - Gefahr: Über-, bzw. Unterschreiten des zulässigen Zahlenbereichs! -9- -- Technische Informatik, 2 Zahlensysteme

Zahlensysteme Multiplikation und Division im Dualsystem Regeln. = / =. = / =. =. =. : = - - Technische Informatik, 2 Zahlensysteme Zahlensysteme Darstellung negativer Zahlen Darstellung durch Vorzeichen - wie im Dezimalsystem Dartstellung durch Komplementbildung Andere Codierung für negative Zahlen, so daß keine Fallunterscheidung getroffen werden muß. Reduzierung der Subtraktion auf die Addition. Ansatz: Addition von sollte immer zu nächst höheren Zahl führen. -- -2- Technische Informatik, 2 Zahlensysteme

Zahlensysteme Übungsaufgaben Abschnitt 2.4 Übungsaufgaben Berechnung an der Tafel Zum Rechnen mit HEX Zahlen: 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 Technische Informatik, 2 Zahlensysteme Signale S S t t Amplituden und zeitkontinuierliches Signal S Amplitudenkontinuierliches, zeitdiskretes Signal S t t Amplitudendiskretes, zeitkontinuierliches Signal Amplitudendiskretes, zeitdiskretes Signal -3- -4- Technische Informatik, 2 Zahlensysteme

Technische Informatik 3 Boole'sche Algebra Studiengänge MB, EL, MM, RA, ASE. Semester, Wintersemester 26 Prof. Dr.-Ing. Jürgen Schröder Fakultät für Technik Mechanik und Elektronik Radiowecker mit binärer Anzeige 9 : 5 3-2-

Radiowecker dezimaler Anzeige Umsetzung eines 4 Bit Wertes auf 7 binäre Werte zur Ansteuerung einer 7 Segment Anzeige BCD-Code 4 BCD zu 7-Segment Decoder a.g 7 f e a g d b c -3- -4-

Symbole der kombinatorischen Logik NOT, AND, NAND, OR, NOR, XOR, XNOR Logische Verknüpfungen UND - Verknüpfung (Konjunktion) Schaltzeichen (DIN 49) X & Funktionstabelle Alternatives (US) Schaltzeichen X Elektrische Realisierung Schaltalgebraische Gleichung (DIN 66) = X = X & V = X Zeitdiagramm X X 5V V 2 Schalter in Reihe beide EIN Lampe an X -5- -6-

Logische Verknüpfungen NICHT-Verknüpfung (Negation) Schaltzeichen (DIN 49) Alternatives Schaltzeichen X X Schaltalgebraische Gleichung (DIN 66) = /X = X Funktionstabelle Elektrische Realisierung Zeitdiagramm X X 5V V Öffnerkontakt betätigt Lampe aus X -7- Logische Verknüpfungen NAND-Verknüpfung (NICHT- UND, NOT AND) Schaltzeichen (DIN 49) X & Alternatives Schaltzeichen X Schaltalgebraische Gleichung (DIN 66) = X = /(X & ) = /(X ) V Funktionstabelle Elektrische Realisierung Zeitdiagramm X X 5V 2 Öffner parallel beide betätigt Lampe aus V X -8-

Logische Verknüpfungen ODER-Verknüpfung (Disjunktion) Schaltzeichen (DIN 49) X > Alternatives (US) Schaltzeichen X Schaltalgebraische Gleichung (DIN 66) = X v = X + Funktionstabelle Elektrische Realisierung Zeitdiagramm X X 5V 2 Schalter parallel min. einer EIN Lampe an V X -9- Logische Verknüpfungen NOR-Verknüpfung (NICHT- ODER, NOT OR) Schaltzeichen (DIN 49) X > Alternatives Schaltzeichen X Schaltalgebraische Gleichung (DIN 66) = X v = /(X + ) Funktionstabelle Elektrische Realisierung Zeitdiagramm X X 5V V 2 Öffner in Reihe einer betätigt Lampe aus X --

Logische Verknüpfungen XOR-Verknüpfung (Eclusive - OR, Antivalenz) Schaltzeichen Alternatives Schaltzeichen (DIN 49) X X = Funktionstabelle Elektrische Realisierung X X X 5V V 2 Öffner/Schließer in Reihe einer betätigt Lampe EIN Schaltalgebraische Gleichung (DIN 66) = X = X EXOR = X # Zeitdiagramm X Logische Verknüpfungen XNOR-Verknüpfung (Eclusive - NOR, Äquivalenz) Schaltzeichen (DIN 49) Alternatives Schaltzeichen Schaltalgebraische Gleichung (DIN 66) X = Funktionstabelle X Elektrische Realisierung = X = /(X#) = /(X # ) = X XNOR Zeitdiagramm X X X 5V V 2 Öffner/Schließer in Reihe beide gleich Lampe EIN X -- -2-

Logische Verknüpfungen Gatter mit mehreren Eingängen UND Gatter mit 3 Eingängen: Wahrheitstabelle X X3 & X X3-3- Logische Verknüpfungen Gatter mit mehreren Eingängen ODER Gatter mit 3 Eingängen: Wahrheitstabelle X X3 > X X3-4-

Boole sche Algebra Info: George Boole Die Theorie zur Boole schen Algebra wurde 854 von dem Mathematiker George Boole entwickelt. Die Anwendung der Boole schen Algebra zur Behandlung von Schaltnetzen erkannte Claude E. Shannon um 94. Er zeigte, daß diese Algebra besonders geeignet ist, Serien und Parallelschaltungen von Schaltern und Relais zu beschreiben, den damaligen Grundelementen digitaler Schaltungen. 85-864 Boole'sche Algebra Info: Claude Elwood Shannon Claude Elwood Shannon (96-2)war ein US amerikanischer Mathematiker. Er gilt als der Begründer der Informationstheorie. -5- -6-

Konventionen Im folgenden werden folgende Konventionen für die Darstellung der Verknüpfungen verwendet: UND - Verknüpfung: a b ODER- Verknüpfung: a b Negation: a entsprechen UND - Verknüpfung: a & b ODER- Verknüpfung: a + b Negation: /a; a Boole sche Algebra Mengendefinition, Rangfolge der Verknüpfungen Es eistiert eine Menge B={a,b,,n} & (UND) und + (ODER) sind eindeutige Verknüpfungen: &, + : B B B Rangfolge der Verknüpfungen: Negation, &, + -7- -8-

Boole sche Algebra Kommutativ- und Assoziativgesetz Kommutativgesetz: a & b = b & a a + b = b + a Assoziativgesetz: (a &b) &c = a &(b &c) (a +b) +c = a +(b +c) Boole sche Algebra Absorbtions- und Distributivgesetz Absorptionsgesetz: a & (a + b) = a a + (a & b) = a Distributivgesetz: a & (b + c) = (a & b) + (a & c) a + (b & c) = (a + b) & (a + c) -9- -2-

Boole sche Algebra Operation mit Konstanten Operationen mit Konstanten: a & = a + = a a & = a a + = Boole sche Algebra Operation der Variablen mit sich selbst Operationen der Variablen mit sich selbst: a & /a = a + /a = a & a = a a + a = a -2- -22-

Boole sche Algebra Regel von De Morgan De Morgan'sche Regel (gilt für 2 und mehr Variablen): a & b & c = /(/a + /b + /c) = /a + /b + /c /a & /b & /c = /(a + b + c) = (a + b + c) a + b + c = /(/a & /b & /c) = (/a & /b & /c) "&" Verknüpfung kann in eine "+" Verknüpfung umgewandelt werden, durch Negation aller einzelnen Größen und zusätzlicher Negation des Ergebnisses Boole'sche Algebra Dualitätsprinzip Die Boole'sche Algebra mit den Operanden UND und ODER weist eine Symmetrie auf. Zu jeder Aussage erhält man eine duale Aussage, wenn man die Wert "" und "" sowie die Operanden UND und ODER vertauscht. Die Regel von De Morgan beruht auf dem Dualitätsprinzip Beispiel = X & / = /X + / also gilt: = /(/X + /) -23- -24-

Boole'sche Algebra Shannon'sche Gesetz Das Shannon'sche Gesetz formuliert das Dualitätsprinzip: f(x, X 2,...X n, &, +) = f(/x, /X 2,.../X n, +, &) Das Shannon'sche Gesetz sagt aus, dass der invertierte Wert einer Funktion f gleich dem Wert ist, den die Funktion mit gleicher Struktur liefert, wenn man alle Operanden negiert und die Operatoren UND und ODER vertauscht. Anwendungen "Ventil" D S Nutzung eines AND Gatters, um den Eingang D zu "gaten". Für S = folgt dem Eingang D, Für S = ist =. -25- -26-

Anwendungen "Tri-State-Gatter" X EN Einfügen eines weitern Zustandes neben, : - wird hochohmig für inaktives Enable - Darstellung durch den Buchstaben 'Z' Anwendungen Multipleer/Demultipleer 8 Eingänge 8-zu- MUX Datenleitung -zu-8 DEMUX 8 Ausgänge Takt Zähler Taktleitung Zähler -27- -28-

Anwendeungen Realisierung eines 4: Multipleers Definition eines Multipleers elektronische Umschalter mit mehreren Dateneingängen und einem Datenausgang D D D 2 D 3 MUX S S Anwendungen Funktionstabelle eines 4: Multipleers!? D3 D2 D D S S Lösung bestimmbar durch das Ausfüllen der Funktionstabelle und Anwendung der Regeln für DNF und KNF (siehe Kapitel 4) 6 Eingangsgrößen, 2 6 = 64 Min oder Materme -29- -3-

Anwendungen Funktionstabelle 4: Mu mit "don't cares '-' " D3 D2 D D S S - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = (/S&/S&D) + (S&/S&D) + (S&/S&D2) + (S&S&D3) Anwendungen Realisierung eines 4: Multipleer D 3 D 2 D D S S -3- -32-

Anwendungen Realisierung eines :4 Demultipleers Demultipleer sind adressengesteuerte elektronische Umschalter mit einem Dateneingang und mehreren Datenausgängen. D S S 3 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - D DeMUX 2 3 = D & /S & /S ; = D & /S & S 2 = D & S & /S ; 3 = S & S & S S S Anwendungen Realisierung eines :4 Demultipleers D 3 2 S S -33- -34-

Schaltnetze Beispiel: Komparator für 2 Bit Werte Komparatoren sind Rechenelemente, die zwei analoge oder binäre Signale miteinander vergleichen. In digitalen Rechenanlagen sind Komparatoren Schaltnetze, die zwei Binärzahlen miteinander vergleichen. Die Vergleichskriterien für zwei Binärzahlen A und B sind A=B, A<B und A>B b Eingang b a a A=B Ausgang A<B A>B -35- Schaltnetze Beispiel: Halbaddierer X C -36-

Schaltnetze Beispiel: Volladdierer C (n-) X C Bearbeitung in den Übungen Logische Verknüpfungen Übungen Übungsaufgaben 3.4 "Technische Informatik" -37- -38-

Technische Informatik 4 Schaltnetze Studiengänge MB, EL, MM, RA, ASE. Semester, Wintersemester 26 Prof. Dr.-Ing. Jürgen Schröder Fakultät für Technik Mechanik und Elektronik Schaltnetze Eingangsgrößen Ausgangsgrößen X X n... Schaltnetz (Kombinatorische Logik)... m Schaltnetz Erzeugt Ausgangswerte (... m ), die nur von den Eingangswerten (X...X n ) zum gleichen Zeitpunkt abhängen Schaltnetze werden mit Hilfe kombinatorischer Logik realisiert. -2-

Schaltnetze Beschreibung von Schaltnetzen Schaltnetzen können beschrieben werden durch: Wertetafeln Disjunktive und Konjunktive Normalform (DNF und KNF) Beschreibungssprachen z.b. VHDL, Verilog,... Schaltnetze Beschreibung durch Wahrheitstabellen X X3 - - Beispiel: Boole'sche Funktion mit 3 Eingangsvariablen. Wahrheitstabelle hat 2 3 Zeilen. Je nach verwendeter Verknüpfung (UND / ODER) wird die Funktion, die eine Zeile beschreibt als Minterm oder Materm bezeichnet (detaillierte Erläuterung folgt...). don't care -3- -4-

Schaltnetze Normalformen Normalformen Boole'scher Funktionen beschreiben beliebige Funktionen in einer einheitlichen Form. In der Boole'sche Algebra sind 2 Normalformen gebräuchlich: Disjunktive Normalform Konjunktive Normalform Die Normalformen basieren auf Mintermen oder Matermen Eine Schaltnetz hat n Eingangsvariablen. Es gilt: Bei n Eingangsvariablen gibt es 2 n unterschiedliche Ma oder Minterme Die Konjunktive Verknüpfung (UND) aller n Eingangsvariablen in negierter oder nicht negierter Form bezeichnet man als Minterm. Die Disjunktive Verknüpfung (ODER) aller n Eingangsvariablen in negierter oder nicht negierter Form bezeichnet man als Materm. Schaltnetze Beschreibung durch Disjunktive Normalform Disjunktion ist die ODER Verknüpfung Eine beliebige Bool'esche Funktion läßt sich durch disjunktive Verknüpfung derjenigen Minterme realisieren, für die die Ausgangsgröße den Wert "" annehmen soll. X X3 - - = /X & / & /X3 + /X & / & X3 + X & / & /X3 don't care Minterm -5- -6-

Schaltnetze Beschreibung durch Konjunktive Normalform Konjunktion ist die UND Verknüpfung Eine beliebige Bool'esche Funktion lässt sich durch disjunktive Verknüpfung derjenigen Materme realisieren, für die die Ausgangsgröße den Wert "" annehmen soll. X X3 - - = (X + / + X3) & (X + / + /X3) & (/X + + /X3) don't care Materm Schaltnetze Realisierung von Schaltnetzen Schaltnetze (Logische Systeme) können durch die 3 Grundverknüpfungen UND, ODER und NICHT dargestellt werden. Man bezeichnet daher diese Verknüpfungen auch als vollständiges System. Schaltnetze können realisiert werden durch: Gatter (wie besprochen...) Programmierbare Bauelemente -7- -8-

Schaltnetze Übungen - Aufgabenstellung (TI, 3.5.3) Für ein sicheres Überwachungssystem soll ein Ausgang (z.b. ein Alarmausgang) erst dann geschaltet werden, wenn von drei unabhängigen Sensoren mindestens zwei ein entsprechendes Alarmsignal senden. Stellen Sie die Funktionstabelle auf, bezeichnen Sie dabei die Signale als X und X3, den Ausgang mit. Entwerfen Sie eine passende Schaltung und implementieren Sie diese in Digital Works. Schaltnetze Übungen Beispiel aus "Technische Informatik" 3.5.3 Einfache Logikschaltung X X3 Disjunktive Normalform: = (/X&&X3) + (X&/&X3) + (X&&/X3) + (X&&X3) Minimierung durch Anwendung der Boole'schen Algebra siehe Tafelaufschrieb!! -9- --

Schaltnetze Übungen Realisierung der DNF = (/X&&X3) + (X&/&X3) + (X&&/X3) + (X&&X3) Schaltnetze Übungen Minimierung der DNF Disjunktive Normalform: = (/X&&X3) + (X&/&X3) + (X&&/X3) + (X&&X3) = (/X&&X3) (i) + (X&/&X3) (ii) + (X&&/X3) (iii) + (X&&X3) (iv) Zusammenfassung mit (iv) X & & X3 & X3 Erweiterung um (iv) X & & X3 X & X3 Erweiterung um (iv) X & & X3 X & = (X&) + (X&X3) + ( & X3) (minimale Disjunktive Normalform) -- -2-

Schaltnetze Übungen Lösungsrealisierung durch Minimale DNF = (X & ) + ( & X3) + (X & X3) Schaltnetze Übungen Beispiel aus "Technische Informatik" 2.4.3 Einfache Logikschaltung X X3 Konjunktive Normalform: = (X++X3) & (X++/X3) & (X+/+X3) & (/X++X3) Minimierung durch Anwendung der Boole'schen Algebra siehe Tafelaufschrieb!! -3- -4-

Schaltnetze Übungen Realisierung der KNF = (X++X3) & (X++/X3) & (X+/+X3) & (/X++X3) Schaltnetze Übungen Minimierung KNF () Konjunktive Normalform: = (X++X3) & (X++/X3) & (X+/+X3) & (/X++X3) Anwendung der De Morgan'schen Regel auf die Teilterme: = (/(/X&/&/X3)) & (/(/X&/&X3)) & (/(/X&&/X3)) & (/(X&/&/X3)) Anwendung der De Morgan'schen Regel auf den Gesamtterm: / = /X & / & /X3 + /X & / & X3 + /X & & /X3 + X & / & /X3 /X & / Erweiterung um /X & / & /X3 /X &/X3 Erweiterung um /X & / & /X3 / &/X3 / = (/X & /) + (/X & /X3) + (/ & /X3) -5- -6-

Schaltnetze Übungen Minimierung KNF (2) / = (/X & /) + (/X & /X3) + (/ & /X3) Anwendung De Morgan Regel auf die Einzelterme: / = /(X + ) + /(X + X3) + /( + X3) Anwendung der Morgan auf den Gesamtterm: = (X + ) & (X + X3) & ( + X3) (minimale Konjunktive Normalform) Schaltnetze Übungen Lösungsrealisierung durch Minimale KNF = (X + ) & (X + X3) & ( + X3) -7- -8-

Schaltnetze Übungen Dualitätsprinzip Nach dem Dualitätsprinzip müssen die beiden minimierten Lösungen der DNF und der KNF in einander übergeführt werden können: = = (X & ) + (X & X3) + ( & X3) (minimierte DNF) (i) (X + ) & ( + X3) & (X + X3) (minimierte KNF) (ii) aus (ii) ergibt sich: = (X& + & + X&X3 + &X3) & (X+X3) = X&&X + &&X + X&X3&X + &X3&X + X&&X3 + &&X3 + X&X3&X3 + &X3&X3 Regeln der Verknüpfung von Boole'schen Variablen mit sich selbst = X& + X&X3 + &X3 + X&&X3 = X& + X&X3 + &X3 & (+X) = X& + X&X3 + &X3 w.z.z.w. Schaltnetze Minimierungsverfahren Für die Minimierung der Normalformen werden folgende Verfahren verwendet: Boole'sche Algebra (siehe Beispiele) Graphische Verfahren nach Karnaugh-Veitch Algorithmische Verfahren (werden im Rahmen dieser Vorlesung nicht weiter behandelt) Quine - McCluskey Verfahren Espresso Methode -9- -2-

Schaltnetze Karnaugh-Veitch Minimierungsverfahren Erläuterung am Beispiel Technische Informatik 2.3.4 X X3 2 3 4 5 6 7 X3 Karnaugh - Veitch Diagramm: 2 6 4 3 7 5 X Schaltnetze Karnaugh-Veitch Minimierungsverfahren (2) X3 Karnaugh - Veitch Diagramm: X 2 6 4 3 7 5 Minimierung der DNF Zusammenfassen aller Felder mit "" in Schlingen mit 2, 4, 8, 6 Feldern. Zusammenfassen der Terme = X & + X & X3 + & X3-2- -22-

Schaltnetze Karnaugh-Veitch Minimierungsverfahren (3) X3 Karnaugh - Veitch Diagramm: X 2 6 4 3 7 5 Minimierung der KNF Zusammenfassen aller Felder mit "" in Schlingen mit 2, 4, 8, 6 Feldern. Zusammenfassen der Terme = (X + ) & (X + X3) & ( + X3) Schaltnetze Karnaugh-Veitch Minimierungsverfahren (4) X X3 2 3 4 5 6 7 X 6 7 4 5 2 3 X3 = X & + X & X3 + & X3 Die Minimierung erfolgt durch die Angabe von Geraden, Ebenen - wo möglich - anstelle von einzelnen Punkten. Im Beispiel mit 3 Variablen anschaulich darstellbar. N Variable erfordern N dimensionalen Raum. -23- -24-

Schaltnetze Minmierung Nicht definierte Ausgangswerte, so genannte "don't care" Werte, können für die Minimierung genutzt werden. Terme jeweils für Minterme oder Materme nutzbar Felder können in die jeweiligen Schlingen der Karnaugh-Veitch Diagramme einbezogen werden - zur Erreichung einer möglichst großen Abdeckung. Schaltnetze Beispiel BCD-7 Seg Decoder Aufgabenstellung BCD-Code 4 BCD zu 7-Segment Decoder a.g 7 a f g b Organisation 7 Segment Anzeige e c d -25- -26-

-27- Schaltnetze Beispiel BCD-7 Seg Decoder, Funktionstabelle Eingang BCD- Code Ausgang 2 3 2 2 2 2 a b c d e f g a g d f e c b -28- Schaltnetze Beispiel BCD-7 Seg Decoder, Funktionstabelle a 2 2 2 2 2 3 Disjunktive Normalform für das a-segment Eingang BCD-Code a 2 2 2 2 2 3 Disjunktive Normalform für das a-segment Eingang BCD-Code a = 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 X3 X X /X3 & / & /X & /X + /X3 & / & X & /X + /X3 & / & X & X + /X3 & & /X & X + /X3 & & X & /X + X3 & / & /X & /X + /X3 & & X & X + X3 & / & /X & X = a

Schaltnetze Beispiel BCD-7 Seg Decoder, KV Diagramm KV Diagramm für a-segment X, X3 3, 2 X a = X + X3 + (X & ) + (/X & /) Schaltnetze Info: Karnaugh - Veitch Diagramm für 4 Variablen X3 X X 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 usw. X X3 4 2 8 5 3 9 3 7 5 2 6 4 X -29- -3-

Schaltnetze Info: Karnaugh Veitch Diagramm Jedes Feld des Karnaugh - Veitch Diagramms entspricht einem Ma- (Anwendung der KNF) oder Minterm (Anwendung der DNF). Jedes Feld unterscheidet sich von dem benachbarten Feld horizontal oder vertikal nur um eine Eingangsvariable. Ist der Ausgangswert in benachbarten Feldern identisch, so ist der Wert von der sich ändernden Eingangsvariablen unabhängig Minimierung. -3- Schaltnetze Info: Die "Sache" mit den benachbarten Feldern X3 X X 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 Jedes Feld im KV Diagramm unterscheidet sich vom Nachbarfeld in einer Eingangsvariablen. Zwischen den benachbarten Feldern "toggelt" ein Bit Xi. Dies führt bei Anwendung der DNF zu einem Teilterm: +(X& Xk&Xl&Xm)+(X& Xk&/Xl&Xm) Der umgeformt werden kann zu: +(X& Xk&Xm)&(Xl + /Xl ) und dadurch minimieren lässt zu: +(X& Xk&Xm) Das "toggelnde" Bit ist leicht zu erkennen in der rechten Spalte der Funktionstabelle. In den Spalten weiter links ist es schwieriger -32-

Schaltnetze Info: Die "Sache" mit den benachbarten Feldern X3 X X 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 Rot: Grün: Blau: Rot: Grün: Blau: X "toggelt" X3 X und "toggeln" und X3 "toggeln" 4 2 8 5 3 9 3 7 5 X 2 6 4 = /X&/&/X3 = X&/X3 = /X & X X Schaltnetze Info: Karnaugh - Veitch Diagramm für 4 Variablen X3 X X a 2 3 4 5 6 7 8 9 - - 2-3 - 4-5 - X DNF: ( & X) + X3 + X + (/X & /) X3 4 2 8 5 3 9 3 7 5 - - - - 2 6 4 - - X -33- -34-

Schaltnetze Info: Karnaugh - Veitch Diagramm für 4 Variablen X3 X X a 2 3 4 5 6 7 8 9 - - 2-3 - 4-5 - X KNF: X3 4 2 8 5 3 9 3 7 5 - - - - 2 6 4 (/X + X + + X3) & (X + X + / + X3) - - X Schaltnetze Beispiel BCD-7 Seg Decoder, Funktionstabelle Eingang BCD-Code Disjunktive Konjunktive Normalform für das a-segment X3 2 3 2 2 2X X 2 a (X3 + + X + /X) 3 3 3 3 3 3 = a 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 &( X3 + / + X + X) = a -35- -36-

Schaltnetze Einführung von LOG/IC Vorführung der Realisierung des BCD - 7 Segment Decoders mit dem Programmsystem LOG/IC. LOG/IC Programmsystem für die Realisierung digitalen Schaltnetzen und Schaltwerken Ursprünge liegen in den 8er Jahren ( des vorigen Jahrhunderts) System wurde unter dem Namen LOGE bzw. später dann LOG/IC von der Firma ISDATA vertrieben. Geschäftsführer waren die Herrn U. Ditzinger und K. Sutter. LOG(IC war sehr erfolgreich, bis zur Einführung sehr kompleer programmierbarer Bauelemente. Die Programmierung der FPGA wurde zunehmend durch Hersteller-Werkzeuge unterstützt. Herr Ditzinger ist heute Professor an der HS-Karlsruhe und lehrt Digitaltechnik, Technische Informatik. LOG/iC2 ist frei down loadbar von: www.fak-i.hs-karlsruhe.de/~dial/download/inde.html Schaltnetze Zusammenfassung Beschreibung von Schaltnetzen durch Wahrheitstabellen Ableiten der Schaltfunktion aus Wahrheitstabellen Disjunktive Normalform Konjunktive Normalform Minimieren der Schaltfunktion mit Hilfe der Boole' schen Algebra Minimieren der Schaltfunktion mit Hilfe von Karnaugh-Veitch Diagrammen Sie sollten jetzt in der Lage sein, zu jeder Wahrheitstabelle (Funktionstabelle) die Schaltfunktion zu ermitteln, die Schaltfunktion zu minimieren. -37- -38-