ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN STETIGKEIT UND DIFFERENZIERBARKEIT 6 5 5 0 5
Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite Betragsfunktionen. Der absolute Betrag einer Zahl. Die einfache Betragsfunktion. Zusammengesetzte lineare Betragsfunktionen. Verkettete Betragsfunktionen Die Signumfunktion 6 Beliebige Funktionen mit geteiltem Definitionsbereich 7. Einführendes Beispiel 7. Verhalten an der Nahtstelle bei abschnittsweise def. Funktionen 8. Stetigkeit 0. Differenzierbarkeit 7 Stetigkeitssätze 5 5 Randextrema, lokale (relative) und globale (absolute) Extrema 9 6 Aufgaben mit Anwendungsbezug und Optimierung Graphiken erstellt mit Mathcad 5 April 0
Betragsfunktionen. Der absolute Betrag einer Zahl Definition Der absolute Betrag einer Zahl a ist folgendermaßen definiert: a für a 0 a 0 für a 0 a für a 0 Geometrisch bedeutet dies den Abstand einer Zahl a auf der vom Koordinatenursprung. Beispiel: ; Abstand d zwischen zwei Zahlen a und b ab für a b ab 0 für a b (a b) für a b Geometrische Interpretation
Beispiel a für a a 0 für a a für a. Die einfache Betragsfunktion Definition Die Funktion f: x x mit x IR heißt Betragsfunktion. In vielen Anwendungen wird die betragsfreie Darstellung des Funktionsterms f verwendet und es gilt mit geteilter Definitionsmenge: f(x) x x für x 0 f(x) 0 für x 0 x für x 0 Graphische Darstellung Graph der Betragsfunktion 5 5 0 5 5 Anschaulich bedeutet dies, dass der negative Teil der Argumentfunktion y = x (gestrichelt) an der gespiegelt wird.
. Zusammengesetzte lineare Betragsfunktionen Bei zusammengesetzten Betragsfunktionen wird eine Fallunterscheidung für jeden einzelnen Betragsterm nötig. Da jeder Term für sich positiv oder negativ sein kann, müssen alle möglichen Vorzeichenkombinationen untersucht werden. Beispiel f(x) x x. Fall: x 0 x 0 x x x f(x) xx. Fall: x0x 0 x x also keine Lösung. Fall: x 0 x 0 x x x f(x) x x x. Fall: x0x 0 x x x f(x) x x x Betragsfreie Darstellung: x für x f(x) für x x für x Graph von f 0 8 6 8 6 0 6 8
. Verkettete Betragsfunktionen Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) x 9, x IR. Schreiben Sie den Funktionsterm betragsfrei und zeichnen Sie den Graphen von f. Lösung Fallunterscheidung für das Argument. Fall: x 9 0 x 9 x x x. Fall: x 9 0 x 9 x x. Fall: x 9 0 x 9 x x Betragsfreie Darstellung: x 9 für x x f(x) 0 für x x x 9 für x Die Grenzen können jeweils zu einem der Bereiche zugeordnet werden, z. B. x 9 für x x f(x) x 9 für x Graph der Betragsfunktion f 6 5 5 0 5 5
Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) x x 8, x IR. Schreiben Sie den Funktionsterm betragsfrei und zeichnen Sie den Graphen von f. Lösung Fallunterscheidung für das Vorzeichen des Terms innerhalb der Betragstriche: x x8 0 bzw. x x8 0 Graphische Lösung der quadratischen Ungleichung: Vorzeichen der Argumentfunktion 0 5 6 Argumentfunktion: g(x) x x 8 g(x) 0 x x 8 0 (x ) (x ) 0 x ; x. Fall: g(x) 0 x x. Fall: g(x) 0 x g(x)>0 g(x)<0 g(x)=0 Betragsfreie Darstellung: x x8 für x f(x) x x 8 für x x Graph der Betragsfunktion f 0 5 6 5
Die Signumfunktion (Vorzeichenfunktion) Definition Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm für x 0 f(x) sgn(x) 0 für x 0 für x 0 mit x IR Graph der Signumfunktion 0 Beispiel Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) sgn x x 6 und x IR. Schreiben Sie die Signumfunktion f als abschnittsweise definierte Funktion und zeichnen Sie den Graphen von f. Lösung Argumentfunktion: g(x) x x 6 Nullstellen: g(x) 0 x x 6 0 (x ) (x ) 0 x ; x Abschnittsweise Darstellung: für x x f(x) 0 für x x für x Graphen von Signum- und Argumentfunktion 0 6
Beliebige Funktionen mit geteiltem Definitionsbereich. Einführendes Beispiel Funktionen mit geteilter Definitionsmenge heißen abschnittsweise definierte Funktionen. Aufgabe: ( AP 00 / A I, Teilaufgabe ) Zu einer 5 m hohen Brücke soll auf einer Länge von 00 m eine Straßenauffahrt gebaut werden. Im Folgenden werden nur die Maßzahlen der Längen betrachtet. In dem im Bild dargestellten Koordinatensystem kann das Profil der Straße bei geeigneter Wahl der reellen Parameter a, b und c modellhaft durch folgende reelle Funktion f beschrieben werden: 0 für x 0 f(x) ax bx cx für 0 x00 5 für x 00 Bestimmen Sie die Werte für a, b und c so, dass der Straßenverlauf an den Übergangsstellen dem Bild entspricht, d.h. weder Lücken noch Kanten aufweist. Lösung Ableitungsfunktion: 0 für x 0 0 für x 00 f '(x) a x b x c für 0 x 00 Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems: 6 f(00) 5 : 0 a 0 b 0 c 5 () f'(0) 0: c 0 () f'(00) 0: c in () c in () () 0 (5) A in () 0 a0 bc 0 () 6 0 a 0 b 5 () 0 a0 b 0 (5) 6 0 a 0 a 5 0 00000 6 5 0 5 0 0 b 5 5 0 b 0 0000 000 Funktionsterm: f(x) x x 00000 000 7
. Verhalten an der Nahtstelle bei abschnittsweise definierten Funktionen Beispiel 5 x x für x f(x) für x x x für x Der Graph von f hat an der Stelle x 0 = bei linksseitiger und rechtsseitiger Annäherung verschiedene Grenzwerte. Man sagt, der Graph von f hat an der Stelle x 0 = einen Sprung. Graph von f 0 5 6 Beispiel 5 x x für x f(x) für x x x für x Der Graph von f hat an der Stelle x 0 = bei linksseitiger und rechtsseitiger Annäherung zwar übereinstimmende Grenzwerte, die jedoch nicht mit dem Funktionswert f() übereinstimmen. Graph von f 0 5 6 Beispiel 5 x x für x f(x) für x x Der Graph von f hat bei linksseitiger Annäherung an die Stelle x 0 = einen Grenzwert, der mit dem Funktionswert f() übereinstimmt. Allerdings existiert der rechtsseitige Grenzwert nicht. Graph von f 0 5 6 8
Beispiel 5 f(x) x x für x x x für x Der Graph von f hat an der Stelle x 0 = bei linksseitiger und rechtsseitiger Annäherung übereinstimmende Grenzwerte, die mit dem Funktionswert f() übereinstimmen. Graph von f 0 5 6 Beispiel 5 5 f(x) 5 7 x x für x x x 6 für x Der Graph von f 5 hat an der Stelle x 0 = bei linksseitiger und rechtsseitiger Annäherung übereinstimmende Grenzwerte, die mit dem Funktionswert f() übereinstimmen, und übereinstimmende Tangentensteigungen. Man sagt, der Übergang an der Stelle x 0 = ist glatt. Beispiel 6 5 f(x) 6 7 x x für x x x 7 für x Der Graph von f 6 hat an der Stelle x 0 = bei linksseitiger und rechtsseitiger Annäherung übereinstimmende Tangentensteigungen, jedoch stimmen die Grenzwerte nicht überein. Graph von f5 0 5 6 Graph von f6 0 5 6 Es geht darum, das Verhalten an der Nahtstelle zu charakterisieren. Wir brauchen ein Kriterium für die Eigenschaft ohne Sprungstelle und ohne Kante. 9
. Stetigkeit Im Folgenden gilt: Die Funktion f sei in einem offenen Intervall J Definition Die Funktion heißt stetig an der Stelle x 0, wenn gilt: ]a;b[ definiert mit x 0 0 0 0 0 h0 h0 xx0 xx0 ]a;b[. limf(x h) limf(x h) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ) Bemerkung Die linke Schreibweise ist die sogenannte h-methode, während die rechte Schreibweise die verkürzte Form darstellt. Bezeichnung Die Funktion heißt unstetig an der Stelle x 0, wenn zwar Funktionswert und Grenzwert existieren, aber nicht übereinstimmen, oder wenn ein Funktionswert aber kein Grenzwert existiert. Definition Die Funktion f heißt im offenen Intervall I ]a;b[ stetig, wenn sie an jeder Stelle x 0 ]a;b[ stetig ist. Definition Die Funktion heißt im abgeschlossenen Intervall I [a;b] stetig, wenn sie im offenen Intervall ]a ; b[ stetig ist und wenn für den linken Rand gilt: lim f(x) limf(a h) f(a) bzw. x a h 0 wenn für den rechten Rand gilt: lim f(x) limf(b h) f(b). xb h 0. Differenzierbarkeit Die Funktion muss stetig sein und die Steigung der Tangente links der Nahtstelle muss mit der Steigung der Tangente rechts der Nahtstelle übereinstimmen. Das heißt: Es gibt nur eine gemeinsame Tangente. Definition Eine abschnittsweise definierte Funktion f heißt differenzierbar an der Nahtstelle x 0, wenn gilt: () f ist in x 0 stetig () limf '(x h) limf '(x h) lim f '(x) lim f '(x) 0 0 h0 h0 xx0 xx0 0
Merke Die Stetigkeit ist eine notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit. Das heißt: Eine Funktion, die an x 0 nicht stetig ist, ist auch nicht differenzierbar, selbst wenn die Steigungen der Tangenten übereinstimmen. Zu Beispiel Überprüfen Sie die folgender Funktion: 5 x x für x f(x) für x x x für x Lösung 5 5 lim x x lim h h Linksseitiger Grenzwert: xh h0 lim x x lim h h Rechtsseitiger Grenzwert: xh h0 Die Grenzwerte stimmen nicht überein Funktion f ist nicht stetig an x0 Funktion f ist nicht differenzierbar. Zu Beispiel Überprüfen Sie die folgender Funktion: 5 x x für x f(x) für x x x für x Lösung 5 5 lim x x lim h h Linksseitiger Grenzwert: xh h0 lim x x lim h h Rechtsseitiger Grenzwert: Funktionswert: f() xh h0 Die Grenzwerte stimmen überein, mit dem Funktionswert jedoch nicht. Funktion f ist nicht stetig an x0 Funktion f ist nicht differenzierbar.
Zu Beispiel Überprüfen Sie die folgender Funktion: 5 x x für x f(x) für x x Lösung 5 5 lim x x lim h h Linksseitiger Grenzwert: xh h0 Rechtsseitiger Grenzwert: Funktionswert: f() lim lim lim x h h x h h 0 h 0 Linksseitiger Grenzwert und Funktionswert stimmen überein, der rechtsseitige Grenzwert existiert jedoch nicht Funktion f ist nicht stetig an x0 Funktion f ist nicht differenzierbar. Zu Beispiel Überprüfen Sie die folgender Funktion: 5 f(x) x x für x x x für x Lösung 5 5 lim x x lim h h Linksseitiger Grenzwert: xh h0 lim x x lim h h Rechtsseitiger Grenzwert: Funktionswert: f() xh h0 Die Grenzwerte stimmen überein, ebenso mit dem Funktionswert Funktion f ist stetig an x0 5 x für x f '(x) x für x
5 5 Linksseitiger Grenzwert: lim x lim h xh h0 Rechtsseitiger Grenzwert: lim x lim h xh h0 Die Grenzwerte von f ' stimmen nicht überein, Funktion f nicht differenzierbar. Zu Beispiel 5 Überprüfen Sie die folgender Funktion: 5 f(x) 5 7 Lösung x x für x x x 6 für x 5 5 lim x x lim h h Linksseitiger Grenzwert: xh h0 7 7 lim x x 6 lim h ( h) 6 Rechtsseitiger Grenzwert: xh h0 Funktionswert: 7 f() 5 6 Die Grenzwerte und Funktionswert stimmen überein, Funktion f 5 ist stetig an x0 5 x für x f 5 '(x) 7 x für x 5 5 Linksseitiger Grenzwert: lim x lim h xh h0 7 7 Rechtsseitiger Grenzwert: lim x lim h xh h0 Die Grenzwerte von f 5 ' stimmen überein, Funktion f 5 ist differenzierbar.
Zu Beispiel 6 Überprüfen Sie die folgender Funktion: 5 f(x) 6 7 x x für x x x 7 für x 5 5 lim x x lim h h Linksseitiger Grenzwert: xh h0 7 7 lim x x 7 lim h ( h) 7 Rechtsseitiger Grenzwert: xh h0 Funktionswert: 7 f() 6 7 Linksseitiger Grenzwert und Funktionswert stimmen nicht überein Funktion nicht stetig an x Funktion nicht differenzierbar. 0
Stetigkeitssätze Viele Probleme technischer, naturwissenschaftlicher, ökonomischer und mathematischer Art bestehen darin, für gewisse Funktionen einen maximalen oder auch minimalen Funktionswert zu bestimmen. Häufig sind absolute Extremwerte auf einem eingeschränkten Definitionsbereich gesucht. Stetige Funktionen erweisen sich nützlich zur Lösung von Aufgaben aus Physik und Technik und zur Optimierung bei Problemstellungen, die eine Randbedingung enthalten. Verknüpfungssatz Gegeben sind zwei in einem abgeschlossenen Intervall J [ a ; b ] stetige Funktionen u und v. Dann sind die zusammengesetzten Funktionen u(x) f (x) u(x) v(x), f (x) u(x) v(x), f (x) u(x) v(x), f (x) v(x) 0 für alle x J v(x) stetig in diesem Intervall. Folgerung Reine Potenzfunktionen x n mit n Z sind stetig auf IR, das heißt, auch jede ganzrationale Funktion ist stetig auf IR. Zwischenwertsatz Ist eine Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [a ; b] stetig, so nimmt f jeden Wert an, der zwischen f(a) und f(b) liegt. Beispiel Gegeben ist die Funktion f(x) 0,5x,8x,x 0,6 mit x IR. Sie ist stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [ a ; b ]. Linke Intervallgrenze: f() 0, Rechte Intervallgrenze: f(),6 Folgerung aus dem Satz: Jeder Wert zwischen den Funktionswerten f(a) und f(b) wird angenommen. Allgemein: f(a) f(x 0 ) f(b) 5
Nullstellensatz Ist f eine im abgeschlossenen Intervall J [a ;b] stetige Funktion und gilt f(a) f(b) 0, so hat f im Intervall mindestens eine Nullstelle. Beispiel Gegeben ist die Funktion f(x) 0,5x,8x,x,6 mit x IR. Sie ist stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [ a ; b ]. Linke Intervallgrenze: f(),6 Rechte Intervallgrenze: f(),6 Folgerung aus dem Satz: Es tritt ein Vorzeichenwechsel auf, also muss im Intervall [ ; ] eine Nullstelle x 0 existieren. Allgemein: f(a) f(x 0 ) f(b) Extremwertsatz Ist f eine auf einem abgeschlossenen Intervall J [a ;b] stetige Funktion, so ist f dort beschränkt und nimmt Minimum und Maximum an. Es gibt also x, x [a ;b] mit f(x ) f(x) f(x ). Beispiel f(x) x mit x 0,5 ;. Der Graph von f ist in 0,5 ; streng monoton fallend. ymax f(0,5) ist Randmaximum ymin f() 0, Randminimum 6
Beispiel f(x) x x x 5 0 mit x ;. Der Graph von f ist in ; streng monoton fallend. ymax f(),6 ist Randmaximum ymin f() ist Randminimum Beispiel 5 0 x 0,5 ;. f(x) x x x 5 mit 0 Relative Extremstellen: f'(x) x 8x xe 0,5; xe,5; f(0,5) ; f(,5), x 8 x 0 Vergleich mit den Randwerten: y f( 0,5) 0,8 ist Randminimum y f(),9 ist Randmaximum Absolutes Maximum: ymax Absolutes Minimum: ymin, Bemerkung Die folgenden Beispiele zeigen, dass die Aussage im Extremwertsatz falsch sein kann, wenn das Intervall nicht abgeschlossen ist oder die Funktion nicht stetig ist. 7
Gegenbeispiele Beispiel 6 f(x) x mit x 0 ;. Die Funktion f ist stetig auf dem halboffenen Intervall 0;. Der Graph von f ist im halboffenen Intervall 0; streng monoton fallend. Die Funktionswerte sind nicht nach oben beschränkt, es existiert ein Minimum, jedoch kein Maximum. yin f() 0, ist Randminimum Beispiel 7 für x 0 f(x) x für x 0 mit x 0 ; Die Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall 0; definiert, sie ist jedoch an der Stelle x0 0 nicht stetig, denn bei rechtsseitiger Annäherung besitzt sie keinen Grenzwert: lim f(x) x0 Der Graph von f ist im halboffenen Intervall 0 ; streng monoton fallend. Die Funktionswerte sind nicht nach oben beschränkt, es existiert ein Minimum, jedoch kein Maximum. yin f() 0, ist Randminimum 8
5 Randextrema, lokale (relative) und globale (absolute) Extrema Ist eine abschnittsweise definierte Funktion an den Rändern der Definitionsmenge oder den Nahtstellen stetig, so kann auf diesen Rändern ein lokales Extremum liegen. Zur Berechnung der globalen Extrempunkte vergleicht man alle existierenden lokalen Extrema miteinander und wählt jeweils den kleinsten oder größten Wert. Die globalen Extremwerte müssen nicht unbedingt mit den lokalen Extrempunkten zusammenfallen, sondern können auch bei nichtstetigen Funktionen auf den Abschnittsrändern liegen. Beispiel x für x f(x) x 5 für x lim x Linksseitiger Grenzwert: Rechtsseitiger Grenzw.: Funktionswert: f() x x 5 lim x f(x) ist stetig an x0. für x Ableitungsfunktion: f'(x) x für x Linksseitige Steigung: lim ; Rechtsseitige Steigung: x 9 0 lim x x G f ändert das Monotonieverhalten von streng monoton steigend zu streng monoton fallend. lokales, hier sogar globales Maximum y0 auf der Nahstelle x0. Beispiel (x ) für x f(x) x für x Nahtstelle: x0 Funktionswert: f() lim x Rechtsseitiger Grenzw.: x f(x) ist stetig an x0. Ableitungsfunktion: x für x f'(x) für x Linksseitige Steigung an der Nahtstelle: x Rechtsseitige Steigung an der Nahtstelle: lim lim x x 0 G f ändert das Monotonieverhalten von streng monoton fallend zu streng monoton steigend. lokales Minimum y0 auf der Nahstelle x0. Für x existiert an der Stelle x ein lokales Maximum y (Scheitel der Parabel).
Beispiel f(x) 5 x 5 für x Linker Rand: x x für x Links der Nahtstelle: lim (x ) x lim (x ) x 0 Intervall ; : Globales (absolutes) Minimum y0 f( ) 5 Intervall ; : Globales (absolutes) Minimum auf dem Rand: y f() und ein 5 globales (absolutes) Maximum auf dem rechten Rand: y f() Beispiel x für x f(x) x x für x Rechts der Nahtstelle x0 : lim x x x Auf der Nahtstelle: y0 f( ) f(x) ist nicht stetig an x0. 0 für x f'(x) x für x Intervall ; : Randmaximum ymax f( ),5 Randminimum ymin f( ) Intervall ; : Hor. Tangenten: f'(x) 0 x0 x G f ist streng monoton steigend für x, G f ist streng monoton fallend für x. lokales Maximum y f() ist sogar globales Maximum durch Vergleich mit dem rechten Randwert: y f() ist Randminimum und globales Minimum 0
6 Aufgaben mit Anwendungsbezug und Optimierung Ist f auf einem abgeschlossenen Intervall [ a ; b ] definiert, so ergeben sich die globalen (absoluten) Extrema, indem man die lokalen (relativen) Extremstellen bestimmt und deren Funktionswerte mit den Funktionswerten am Rand vergleicht. Aufgabe (aus der Abschlussprüfung 005, Nichttechnik, A II) Nebenstehende Skizze zeigt den Querschnitt einer überdachten Wasserrutsche. Der Graph G w stellt die Wasserrutsche, der Graph G b 0 stellt die Bedachung dar, die über die Rutsche hinaus verlängert ist. 8 Die Funktionen w und b sind gegeben durch 6 00 5 und b(x) x x 0 0 6 mit D 0;0 w(x) x 5 x 500 mit D 0;5 b w. 0 6 8 0 6 Profil der Bedachung Profil der Rutsche a) Berechnen Sie, an welcher Stelle x die Wasserrutsche das stärkste Gefälle aufweist. b) Kondenswasser, das sich an der Unterseite der Bedachung gebildet hat, tropft von der tiefsten Stelle des Daches herunter. Berechnen Sie die Stelle x, an der das Wasser heruntertropft. c) Die Funktion d mit D 0;0 d und dem Funktionsterm d(x) beschreibt den in y-richtung gemessenen Abstand zwischen Wasserrutsche und Dach. 5 Zeigen Sie, dass sich d(x) auch in der Form d(x) x x x 5 schreiben 00 60 6 lässt. d) Aus Sicherheitsgründen wird ein in y-richtung gemessener Mindestabstand zwischen Wasserrutsche und Dach von,0 (LE) vorgegeben. Untersuchen Sie rechnerisch, ob dieser Mindestabstand an jeder Stelle eingehalten wird. Lösung zu Teilaufgabe a) Das Gefälle wird durch die Änderungsrate w '(x) beschrieben. Das stärkste Gefälle ist also ein Extremum von w '(x), also der Wendepunkt von w(x).. Ableitung: w'(x) x 0x 00 00. Ableitung: w''(x) 6x 0 Flachstelle: w''(x) 0 6x00 x 5, Wendestelle, da einfache Nullstelle von w ''(x).
negativ, also größtes Gefälle. 00 Steigung: w '(5) 5 0 5 Lösung zu Teilaufgabe b). Ableitung:. Ableitung: 5 b'(x) x 5 6 b''(x) 5 5 5 5 75 Relative Extremstellen: b'(x) 0 x 0 x,6 5 6 6 75 Art der Extremstelle: b'' 0, also ein relatives Minimum. 5 Das Wasser tropft an der Stelle,6 vom Dach herunter. Lösung zu Teilaufgabe c) 5 0 6 00 5 d(x) x x x 5 00 60 6 Differenzfunktion: d(x) b(x) w(x) x x 0 x 5x 500 Vereinfachen: Lösung zu Teilaufgabe d). Ableitung: Relative Extremstellen: 5 00 0 6 d'(x) x x 5 00 0 6 d 5,9 D ; d 5 8, Dd 9 d'(x) 0 x x 0 d Funktionswerte: 5 d, 9 (rel. Minimum); 5 d,8 (rel. Maximum) Vergleich mit den Randwerten: d0 5,; 65 d0,6, 8 Das relative Minimum ist also das absolute Minimum: dmin,. De Mindestabstand von, LE wird also an jeder Stelle der Rutsche eingehalten.
Aufgabe (aus der Abschlussprüfung 00, Nichttechnik, A I) Die dunkel gefärbte Fläche in der nebenstehenden Skizze stellt den Rest einer längs eines Parabelstücks G p zersprungenen ehemals rechteckigen Glasplatte dar. Der zu diesem Parabelstück gehörende Funktionsterm lautet: 8 0 g(x) x mit Dg 0;. Aus dem Rest der Glasplatte soll eine achsenparallele Scheibe (hellgrau) so geschnitten werden, dass der Punkt P(a / g(a)) auf G g liegt. a) Stellen Sie die Maßzahl A(a) der "neuen" Rechtecksfläche in Abhängigkeit von der Abszisse a des Punktes P dar. Geben Sie auch eine sinnvolle Definitionsmenge D A an. (Lage von P siehe Skizze!) Mögliches Teilergebnis: A(a) a a a 8 8 b) Bestimmen Sie nun denjenigen Wert von a, für den der Flächeninhalt den größten Wert A max annimmt. Berechnen Sie auch A max. Lösung zu Teilaufgabe a) 8 8 Rechtecksfläche: A(a) (a) g(a) (a) a a a a8 8 0 0 Definitionsmenge: g(x) 6 x 6 x x,8 0 DA 0; Lösung zu Teilaufgabe b) Ableitungsfunktion: 8 A'(a) a 6a Bestimmung der rel. Extrema: A '(a) 0 a 6a 0 a 0,7; a, Funktionswerte: A 7, ; A 7, Vergleich mit den Randwerten: 0 A 0 8; A 7,0 A ist eine stetige Funktion auf einem abgeschlossnen Intervall, d. h. das absolute Maximum wird auf dem linken Rand angenommen: A 8 max 8
Aufgabe (aus der Abschlussprüfung 00, Nichttechnik, A I) Aus einem fünfeckigen Brett soll ein rechteckiges Stück herausgesägt werden (siehe Skizze). Dabei soll der Punkt P auf der Strecke [CD] liegen. a) Stellen Sie die Flächenmaßzahl A(a) des Rechtecks in Abhängigkeit der Seitenlänge dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D A der Funktion A an. Mögliches Teilergebnis: A(a) a a 80 b) Berechnen Sie denjenigen Wert von a, für den die Rechtecksfläche den größten Wert annimmt. Berechnen Sie auch, wie groß in diesem Fall der Abfall in Prozent bezogen auf die Fläche des Fünfecks ist. Lösung zu a) Flächenmaßzahl: A(a) 0 a yp Gerade durch CD: 6 g CD(x) (x 0) (x 0) x 9 0 6 yp g CD(0a) 0a 9 a Punkt P liegt auf g CD : A(a) 0 a a a a 0 D 0; Einsetzen: Definitionsmenge: A Lösung zu b) Ableitung: A '(a) a Horizontale Tangenten: A '(a) 0 a 0 a0 Funktionswert: A0 A() 0,5 Da die Flächenmaßzahlfunktion A eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist das relative Maximum A 0 auch das absolute Maximum: A A() 0,5 Die Fläche des Fünfecks setzt sich z. B. aus zwei Rechtecksflächen und einer Dreiecksfläche zusammen: Ages 66 56 Ages Amax 56 0,5 Abfall: 0,8 8% A 56 ges max