Lothar Müller euth Hochschule erlin 1 Logische Zustände In der Digitaltechnik werden Informationen oder Signale verwendet, die nur 2 Zustände annehmen können. Mathematisch kennzeichnen wir sie unter Verwendung des inärsystems mit den beiden inärziffern 0 und 1; logisch beschreiben wir sie als logische Zustände falsch und wahr normalen digitalen System kann z.. so aussehen: Die Zuordnung physikalische Größe logischer Zustand in einem (engl.: false / true). Spannung ein (HIGH): true In der technischen Realisierung werden diese logischen Zustände durch physikalische Größen dargestellt, in der Digitalelektronik insbesondere durch die elektrischen Größen Spannung oder Strom. Die Spannungen bzw. Ströme werden dabei im llgemeinen nicht in absoluten Werten angegeben; stattdessen spricht man von LOW und HIGH und meint damit eindeutig definierte Wertebereiche der Spannungen bzw. Ströme. Diesen Wertebereichen werden dann die logischen Zustände zugeordnet. Die Zuordnung ist grundsätzlich frei wählbar; in der Praxis wird sie unter erücksichtigung vieler Parameter, die hier nicht näher betrachtet werden können, definiert (s. Kasten). 2 Kombinatorische Logik 2.1 egrifflichkeiten Ein digitales (oder: logisches) System besitzt einen oder mehrere Eingänge sowie einen oder mehrere usgänge. Kennzeichnend für die hier behandelten kombinatorischen Systeme ist, dass in einem gegebenen System der Zustand der usgänge ausschließlich vom Zustand der Eingänge abhängt. Die Kombinatorik des Systems stellt die logische Funktion dar, so dass für jeden usgang x (mit 0 x n) des Systems gilt: x = f (X 0, X 1, X 2,..., X m ) Solange die Eingangsinformationen einer solchen kombinatorischen Logikschaltung unverändert bleiben, ändern sich auch die usgangszustände nicht. Treten dagegen X 0 X 1 X 2 X m Spannung aus (LOW): false. Ebenso gut kann aber auch festgelegt werden: Spannung ein (HIGH): false Spannung aus (LOW): true. Im zweiten Fall spricht man von negativer Logik. Sie ist der positiven völlig gleichwertig und wird auch oft angewendet. In einem typischen digitalen System, wie es auch in unserem Labor verwendet wird, beträgt die Versorgungsspannung 5V. Spannungswerte zwischen 0V und 0.8V sind als LOW definiert, Werte zwischen 2V und 5V als HIGH. Werte zwischen 0.8V und 2V sind nicht definiert; bei ihnen lässt sich nicht sicher voraussagen, ob ein logischer Eingang sie als LOW oder HIGH interpretieren würde. Deshalb sind sie unbedingt zu vermeiden! nmerkung: Moderne digitale Systeme arbeiten oft mit Spannungen <5V. ei ihnen sind für LOW und HIGH andere Grenzwerte definiert. Es existiert aber immer ein ereich zwischen LOW und HIGH, innerhalb dessen die Pegel als nicht definiert gelten. logisches System Änderungen an den Eingängen auf, wirken sie sich (in bhängigkeit der jeweils vorliegenden logischen Funktion) sofort auf die usgänge aus. Theoretisch gibt es dabei keinerlei bhängigkeit von der Zeit; in realen Systemen treten geringfügige zeitliche Verzögerungen auf. Sie können je nach verwendeter Technologie und Umfang des Systems zwischen einigen 100 ps und mehr als 100 ns liegen (ns [Nanosekunden]: 10-9 s; ps [Picosekunden]: 10-12 s). Digitale Systeme der beschriebenen rt heißen Schaltnetze. nmerkung: Wir werden später eine andere Form von logischen Systemen kennenlernen, bei denen das Verhalten der usgänge zusätzlich von zeitlichen edingungen abhängt. Diese heißen Schaltwerke. nmerkung: lle digitalen Systeme können auf die nwendung von Schaltnetzen und Schaltwerken zurückgeführt werden. 0 1 2 n File: KombinatorischeLogik.doc Seite 1 von 11
2.2 Darstellung Es existieren verschiedene Möglichkeiten, die Funktionen kombinatorischer Logik darzustellen: - tabellarische Darstellung ( Wahrheitstabelle ) - mathematische (algebraische) eschreibung - grafische bzw. symbolische Darstellung. ußerdem existieren innerhalb dieser Möglichkeiten der Darstellung teilweise unterschiedliche Notationen. Eine ausführlichere eschreibung folgt in bschnitt 4. 2.3 Elementare logische Verknüpfungen Digitale Eingangssignale können auf vielfältige rt logisch verknüpft werden. lle diese Verknüpfungen können jedoch auf einige wenige zurückgeführt werden, die wir elementare logische Verknüpfungen nennen. Wirklich elementar im Sinn des Wortes sind nur die drei Funktionen NOT, ND und OR. us Ihnen können alle denkbaren digitalen Systeme aufgebaut werden. In der realen Informationstechnik werden jedoch meist auch die vier weiteren Funktionen NND, NOR, EXOR und EXNOR als elementar bezeichnet. Diese 7 Funktionen wollen wir im folgenden kennenlernen. Dazu werden die einzelnen Funktionen kurz beschrieben und jeweils ihre Wahrheitstabelle, ihre Gleichung sowie ihr Schaltsymbol angegeben. Dabei wird positive Logik zugrunde gelegt. Eingänge werden üblicherweise mit den nfangsbuchstaben des lphabets bezeichnet, usgänge mit den am Ende des lphabets angeordneten; dabei wird jedoch der uchstabe Z ausgespart. Weitergehende ngaben, insbesondere zu den verschiedenen algebraischen Notationen finden sich in der Tabelle auf Seite 5. 2.3.1 NOT-Funktion (Invertierung) Die NOT-Funktion (Invertierung), auch Inversion oder Negation genannt, ist die einfachste elementare logische Funktion. Sie bildet genau einen Eingang auf genau einen usgang in der Form ab, dass der usgang immer den umgekehrten logischen Zustand des Eingangs aufweist. NOT-Funktion: 0 1 1 0 = = ' 1 2.3.2 ND-Funktion (Konjunktion) Die ND-Funktion (Konjunktion) verknüpft 2 oder mehr Eingangsvariable so, dass der usgang nur dann wahr ist, wenn alle Eingänge wahr sind; sobald auch nur ein Eingang unwahr ist, ist der usgang ebenfalls unwahr. ND-Funktion mit 2 Eingängen: = = & File: KombinatorischeLogik.doc Seite 2 von 11
2.3.3 OR-Funktion (Disjunktion) Die OR-Funktion (Disjunktion) verknüpft 2 oder mehr Eingangsvariable so, dass der usgang immer dann wahr ist, wenn mindestens ein Eingang wahr ist; nur wenn alle Eingänge unwahr sind, ist der usgang ebenfalls unwahr. OR-Funktion mit 2 Eingängen: = = + 1 2.3.4 NND-Funktion Die NND-Funktion (aus Not und ND, Konjunktion mit Invertierung) verknüpft 2 oder mehr Eingangsvariable so, dass der usgang nur dann unwahr ist, wenn alle Eingänge wahr sind; sobald auch nur ein Eingang unwahr ist, ist der usgang wahr. NND-Funktion mit 2 Eingängen: = ( ) = ( )' & 2.3.5 NOR-Funktion Die NOR-Funktion (aus Not und OR, Disjunktion mit Invertierung) verknüpft 2 oder mehr Eingangsvariable so, dass der usgang immer dann unwahr ist, wenn mindestens ein Eingang wahr ist; nur wenn alle Eingänge unwahr sind, ist der usgang wahr. NOR-Funktion mit 2 Eingängen: = ( ) = ( + )' 1 File: KombinatorischeLogik.doc Seite 3 von 11
2.3.6 EXOR-Funktion (ntivalenz) Die EXOR-Funktion (aus Exclusiv und OR, ausschließendes OR) ist nur für 2 Eingangsvariable definiert und verknüpft diese so, dass der usgang immer dann wahr ist, wenn genau ein Eingang wahr ist; sind dagegen kein Eingang oder beide Eingänge wahr, ist der usgang unwahr. Die EXOR-Funktion wird also genau dann wahr, wenn die beiden Eingänge ungleich sind, d.h. gegensätzliche Werte aufweisen. Deshalb wird sie auch als ntivalenz bezeichnet. EXOR-Funktion: = = $ =1 2.3.7 EXNOR-Funktion (Äquivalenz) Die EXNOR-Funktion (aus Exclusiv und NOR, ausschließendes OR mit Invertierung) ist wie die EXOR-Funktion nur für 2 Eingangsvariable definiert. Sie verknüpft diese so, dass der usgang immer dann unwahr ist, wenn genau ein Eingang wahr ist; sind dagegen kein Eingang oder beide Eingänge wahr, ist der usgang ebenfalls wahr. Sie stellt damit die Invertierung der EXOR-Funktion dar. Da die EXNOR-Funktion genau dann wahr wird, wenn die beiden Eingänge gleich sind, wird sie auch als Äquivalenz bezeichnet. EXNOR-Funktion: = = ( $ )' =1 2.3.8 Zusammenfassende Darstellung In der auf der nächsten Seite wiedergegebenen Tabelle sind alle beschriebenen logischen Grundfunktionen zusammengefasst. Dort sind auch weitere Notationen für die einzelnen Funktionen angegeben, ohne dass diese einen nspruch auf Vollständigkeit erheben würden. Ursprünglich wurden zur eschreibung logischer Funktionen die mathematischen Zeichen (,,, und ) verwendet. Mit Einführung der Computer entstand aber der Wunsch, auf der Standardtastatur vorhandene Zeichen verwenden zu können. Dabei wurden von verschiedenen utoren bzw. Gruppen für verschiedene nwendungen unterschiedliche Zeichen eingeführt, so dass keine einheitliche Notation existiert. Die verbreitetsten sind in der Tabelle wiedergegeben. File: KombinatorischeLogik.doc Seite 4 von 11
Verknüpfung Kurzform Wahrheitstabelle Gleichung Notation(en); eispiel(e) Invertierung (Inversion, Negation) Konjunktion (Verundung) NOT = ; 0 1 1 0, ;, /,!; /,! ND = ; ; &, &&; &, && Disjunktion (Veroderung) OR = ; +; + #,, ; #,, Konjunktion mit Invertierung Disjunktion mit Invertierung ntivalenz (Exklusiv-Oder) Äquivalenz (Exklusiv-Oder mit Invertierung) NND = ( ) ( ) NOR = ( ) ( ) EXOR = ; $; $ ^; ^ EXNOR = ; ( ), /( & ),!( && ) ( + ), + /( # ),!( ) /( $ )!( ^ ) Tab. 1: Elementare logische Funktionen (Zusammenfassung). File: KombinatorischeLogik.doc Seite 5 von 11
3 Schaltalgebra (oolesche lgebra) 3.1 Entstehung und Zielsetzung Die Grundlagen zur Entwicklung einer lgebra der Logik legte der englische Mathematiker George oole, der bereits 1847 eine rbeit über die mathematische nalyse logischer Problemstellungen veröffentlichte. Noch im 19. Jahrhundert erfolgten Erweiterungen, u.a. durch ugustus de Morgan. Im Jahr 1938 (es waren gerade die ersten Computer in der Entwicklung) veröffentlichte der merikaner Claude Elwood Shannon eine rbeit über die nwendung der ooleschen lgebra beim Entwurf elektronischer logischer Schaltkreise. Die Zielsetzung dabei war, logische ufgabenstellungen eindeutig beschreiben zu können und ihre Realisierung in bestmöglicher Vereinfachung vornehmen zu können. Denn Hardware war zu dieser Zeit extrem teuer und auch fehleranfällig. In den Folgejahren befassten sich weitere Wissenschaftler und Entwickler mit diesem Thema und erarbeiteten dabei u.a. verschiedene Verfahren zur Vereinfachung logische Funktionen; einige davon werden uns noch beschäftigen. 3.2 xiome und Theoreme der Schaltalgebra Wie in der normalen, also der numerischen Mathematik unterscheidet man auch in der Schaltalgebra xiome und Theoreme. xiome sind Grundannahmen, die nicht weiter bewiesen werden müssen; Theoreme sind Schlussfolgerungen, die aus xiomen (und weiteren Theoremen) hergeleitet werden können. 3.2.1 xiome der Schaltalgebra In der Schaltalgebra existieren 3 xiome (wenn wir die Invertierung außer cht lassen). Sie betreffen elementare logische Funktionen, die wir bereits kennengelernt haben: - OR: 0, wenn alle x=0, sonst 1; spez.: 0 0 = 0, 0 1 = 1 0 = 1 1 = 1 - ND: 1, wenn alle x=1, sonst 0; spez.: 0 0 = 0 1 = 1 0 = 0, 1 1 = 1 - EXOR: keine allgemeine Form angebbar (kann 0 0 = 1 1 = 0, nur für 2 Variable angegeben werden); 0 1 = 1 0 = 1. 3.2.2 Theoreme der Schaltalgebra us den xiomen können verschiedene Theoreme bzw. Gesetze der Schaltalgebra abgeleitet werden. Sie sind im folgenden dargestellt. 3.2.2.1 Verknüpfungen mit 0 Die folgenden Verknüpfungen mit 0 ergeben sich direkt aus den elementaren logischen Verknüpfungen. Es gilt: 0 X = X ein beliebiger logischer Wert verodert mit 0 ergibt sich selbst; 0 X = 0 ein beliebiger logischer Wert verundet mit 0 ergibt 0. 3.2.2.2 Verknüpfungen mit 1 uch die folgenden Verknüpfungen mit 1 ergeben sich direkt aus den elementaren logischen Verknüpfungen. Es gilt: 1 X = 1 ein beliebiger logischer Wert verodert mit 1 ergibt 1; 1 X = X ein beliebiger logischer Wert verundet mit 1 ergibt sich selbst. File: KombinatorischeLogik.doc Seite 6 von 11
3.2.2.3 Verknüpfungen mit sich selbst Es gelten die folgenden Verknüpfungen mit sich selbst: X X = X ein beliebiger logischer Wert verodert mit sich selbst ergibt sich selbst; X X = X ein beliebiger logischer Wert verundet mit sich selbst ergibt sich selbst; X X' = 1 ein beliebiger logischer Wert verodert mit seinem Inversen ergibt 1; X X' = 0 ein beliebiger logischer Wert verundet mit seinem Inversen ergibt 0. 3.2.2.4 Kommutativgesetz Es gilt das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz). Es besagt: X1 X2 = X2 X1 bei der Veroderung zweier Werte ist deren Reihenfolge ohne elang; X1 X2 = X2 X1 bei der Verundung zweier Werte ist deren Reihenfolge ohne elang. Diese Gesetzmäßigkeit kennen wir auch aus der numerischen Mathematik, wo sie zum eispiel bei der ddition und der Multiplikation gilt (nicht jedoch bei Subtraktion und Division!). 3.2.2.5 ssoziativgesetz Es gilt das ssoziativgesetz (Verbindungsgesetz). Es besagt: (X1 X2) X3 = X1 (X2 X3) = X1 X2 X3 bei der Veroderung von mehr als 2 Werten ist das Setzen von Klammern ohne elang, sie können entfallen; (X1 X2) X3 = X1 (X2 X3) = X1 X2 X3 entsprechendes gilt bei der Verundung. uch diese Gesetzmäßigkeit kennen wir von ddition und Multiplikation aus der numerischen Mathematik. Wichtig: Das ssoziativgesetz gilt nur, solange einheitliche logische Operatoren verwendet werden. ei gemischter nwendung von ND und OR kann es nicht angewendet werden! 3.2.2.6 Distributivgesetz Es gilt das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz). Es besagt: (X1 X2) X3 = (X1 X3) (X2 X3) Klammern in gemischten usdrücken können durch (X1 X2) X3 = (X1 X3) (X2 X3) usmultiplizieren aufgelöst werden. uch das Distributivgesetz hat seine Entsprechung in der numerischen Mathematik. 3.2.2.7 bsorptionsgesetze Es gelten die bsorptionsgesetze (Vereinfachungsgesetze). Sie haben keine Entsprechung in der numerischen Mathematik. Es gilt: X1 (X1 X2) = X1 eweis: für X1=0 gilt: 0 (0 X2) = 0 0 = 0 für X1=1 gilt: 1 (1 X2) = 1 X2 = 1 X1 (X1 X2) = X1 eweis: für X1=0 gilt: 0 (0 X2) = 0 X2 = 0 für X1=1 gilt: 1 (1 X2) = 1 1 = 1 X1 (X1 X2) = X1 X2 eweis: = (X1 X1 ) (X1 X2) = 1 (X1 X2) = (X1 X2) X1 (X1 X2) = X1 X2 eweis: = (X1 X1 ) (X1 X2) = 0 (X1 X2) = (X1 X2) File: KombinatorischeLogik.doc Seite 7 von 11
3.2.2.8 Inversionsgesetze Die Inversionsgesetze sind in der ooleschen lgebra von zentraler edeutung! Sie haben keine Entsprechung in der numerischen Mathematik. Das Inversionsgesetz von de Morgan (de Morgan sches Gesetz) besagt: (X1 X2... Xn) = (X1 X2... Xn ) (X1 X2... Xn) = (X1 X2... Xn ) Eine aus der Verundung beliebig vieler Variablen bestehende Funktion kann invertiert werden, indem alle Operanden invertiert und die ND- durch OR-Funktionen ersetzt werden. Eine aus der Veroderung beliebig vieler Variablen bestehende Funktion kann invertiert werden, indem alle Operanden invertiert und die OR- durch ND-Funktionen ersetzt werden. Das Satz von Shannon formuliert allgemeiner: F (X1, X2,..., Xn,, ) = F (X1, X2,..., Xn,, ) Eine aus logischen Verknüpfungen beliebig vieler Variablen bestehende Funktion kann invertiert werden, indem alle Operanden invertiert und alle Operatoren durch ihre ntipoden ersetzt werden (also ND- durch OR-Funktionen und umgekehrt); Klammern bleiben dabei unverändert. nmerkung: Wir werden noch sehen, dass viele der genannten Gesetze, insbesondere aber der Satz von Shannon eine große edeutung bei der Umwandlung und Vereinfachung logischer Funktionen haben. 3.3 Präferenz der Operatoren Verschiedene Operatoren besitzen unterschiedliche Präferenzen. Dabei werden drei Stufen unterschieden: 1. Höchste Präferenz: NOT 2. Mittlere Präferenz: OR, ND, NOR, NND 3. Niedrigste Präferenz: EXOR, EXNOR. Innerhalb der genannten Gruppen gibt es eigentlich keine weitere Präferenzbildung; hier wird eine Gleichung wie gewohnt von links nach rechts gelöst. Daraus folgt, dass in der booleschen lgebra bei Kombinationen von (N)NDs und (N)ORs - und dies ist die bei weitem häufigste Form - regelmäßig Klammern gesetzt werden müssen. Es ist jedoch durchaus üblich, in nlehnung an die numerische Mathematik ( Punkt- vor Strichrechnung ) (N)NDs eine höhere Priorität als (N)ORs zuzuweisen und entsprechend Klammern einzusparen. Oft wird diese Regel auch auf die Fälle beschränkt, in denen die numerischen Symbole (, + ) verwendet werden, während die booleschen Symbole (, ) als gleichberechtigt angesehen werden. Grundsätzlich sollte man lieber zu viele als zu wenige Klammern setzen, um Unklarheiten von vorneherein auszuschließen! File: KombinatorischeLogik.doc Seite 8 von 11
4 Darstellung logischer Funktionen 4.1 Übersicht Logische Funktionen können in verschiedener Form dargestellt werden. Wir unterscheiden die Darstellung in Form - einer Wahrheitstabelle (truth table), - einer algebraischen (booleschen) Gleichung, - einer Grafik. 4.2 Wahrheitstabelle Zu verschiedenen Kombinationen der Eingangsvariablen wird die Funktion der usgangsvariablen angegeben. Die nzahl der Ein- und usgangsvariablen ist unabhängig voneinander und kann grundsätzlich zwischen 1 und n liegen. Eine Wahrheitstabelle heißt vollständig, wenn sie alle möglichen Kombinationen der Eingangsvariablen enthält. Die in bschnitt 2.3 dargestellten Tabellen sind eispiele für vollständige Wahrheitstabellen. Grundsätzlich kann jede kombinatorische logische Funktion als Wahrheitstabelle beschrieben werden. llerdings werden vollständige Wahrheitstabellen mit zunehmender nzahl der Eingangsvariablen schnell unhandlich (bei 10 Eingangsvariablen hat eine vollständige Wahrheitstabelle 2 10 = 1024 Zeilen!). 4.3 lgebraische Darstellung Die algebraische Darstellung gibt die logische Funktion für eine usgangsvariable an. Sie kann z.. aus der Wahrheitstabelle abgeleitet werden. Werden alle Zeilen einer Wahrheitstabelle zusammengefasst, die als usgangswert 1 ergeben, ergibt sich die disjunktive Normalform (DNF) einer logischen Funktion. Ein Minterm ist eine ND-Verknüpfung, die alle Eingangsvariablen entweder in direkter oder in invertierter Form enthält. Jeder Zeile der Wahrheitstabelle entspricht ein Minterm. Ein Minterm, der einer Kombination mit dem usgangswert 1 entspricht, heißt guter Minterm. Ein Minterm, der einer Kombination mit dem usgangswert 0 entspricht, heißt schlechter Minterm. Ein Minterm, der einer Kombination mit dem usgangswert X entspricht, heißt gleichgültiger Minterm. Die disjunktive Normalform ist die OR-Verknüpfung aller guten Minterme einer Wahrheitstabelle. Das Zusammenfassen aller Zeilen der Wahrheitstabelle, die als usgangswert 0 ergeben, ergibt nach Umwandlung der Funktion entsprechend dem Satz von Shannon die konjunktive Normalform (KNF) der logischen Funktion. Ein Maxterm ist eine OR-Verknüpfung, die alle Eingangsvariablen entweder in direkter oder in invertierter Form enthält. Jeder Zeile der Wahrheitstabelle entspricht ein Maxterm. Ein Maxterm, der einer Kombination mit dem usgangswert 0 entspricht, heißt guter Maxterm. Ein Maxterm, der einer Kombination mit dem usgangswert 1 entspricht, heißt schlechter Maxterm. Ein Maxterm, der einer Kombination mit dem usgangswert X entspricht, heißt gleichgültiger Maxterm. Die konjunktive Normalform ist die ND-Verknüpfung aller guten Maxterme einer Wahrheitstabelle. File: KombinatorischeLogik.doc Seite 9 von 11
Es gelten die folgenden Grundsätze: Zu jeder Wahrheitstabelle kann die disjunktive Normalform gebildet werden. Jede disjunktive Normalform kann so umgewandelt werden, dass sie durch ausschließliche Verwendung von NND-Funktionen realisiert werden kann. Damit kann jede kombinatorische Logik durch ausschließliche Verwendung von NNDs realisiert werden! Ebenso kann zu jeder Wahrheitstabelle die konjunktive Normalform gebildet werden. Jede konjunktive Normalform kann so umgewandelt werden, dass sie durch ausschließliche Verwendung von NOR-Funktionen realisiert werden kann. Damit kann jede kombinatorische Logik durch ausschließliche Verwendung von NORs realisiert werden! Daraus kann direkt geschlossen werden: Jede durch NND-Glieder realisierte kombinatorische Verknüpfung so umgeformt werden, dass sie durch NOR-Glieder realisiert werden kann (und umgekehrt). 4.4 Grafische Darstellung Die grafische Darstellung ist sehr anschaulich, jedoch auf wenige Variable beschränkt. Ein Venn- Diagramm z.. kann nur für 3 Eingangsvariable sinnvoll dargestellt werden. Grafische Darstellungen spielen bei der Vereinfachung logischer usdrücke eine große Rolle. 5 Vereinfachung logischer Funktionen Die Vereinfachung logischer Funktionen kann algebraisch, grafisch oder schematisch (iterativ) erfolgen. 5.1 lgebraische Vereinfachung Diese erfolgt durch geeignetes Umformen der vorliegenden Gleichung mit dem Ziel, diese zu vereinfachen. Dabei kommen die Regeln der booleschen lgebra zur nwendung. Eine wichtige Regel besagt, dass zwei Terme zu einem Term zusammengefasst werden können, wenn sie sich nur in einer Variablen unterscheiden, und zwar so, dass diese Variable einmal direkt und einmal invertiert vorkommt. Diese Variable entfällt dann. Solche Terme heißen benachbart. Weitere algebraische Vereinfachungsmöglichkeiten können sich z.. ergeben durch geschicktes usklammern, durch Zusammenfassung dafür geeigneter Gleichungsterme oder durch Ersetzen eines Terms durch einen logisch identischen anderen. Generell besteht bei der algebraischen Vereinfachung die Schwierigkeit meist darin, Vereinfachungsmöglichkeiten und die dorthin führenden Rechenschritte zu erkennen. uch können benachbarte Terme oft nicht ohne weiteres identifiziert werden. ußerdem sind gefundene Lösungen oft noch nicht optimal (d.h. es wären weitere Vereinfachungen möglich), ohne dass dies erkannt wird. File: KombinatorischeLogik.doc Seite 10 von 11
5.2 Grafische Vereinfachung Grafische Vereinfachungen sollen diesen Nachteil vermeiden. Sie erfolgen meist mittels KV-Diagramm (Karnaugh-Veitch-Diagramm, karnaugh-map). Es basiert darauf, dass benachbarte Terme im Diagramm ebenfalls benachbart erscheinen (also nebeneinander liegen) und deshalb leicht und zuverlässig erkannt werden können. Regeln zur ufstellung eines KV-Diagramms sind: - ildung des KV-Diagramms mit 2 n Feldern (n = nzahl der Eingangsvariablen) - bei gradzahligen n ergibt sich ein Quadrat, bei ungradzahligen ein Rechteck - jedes Feld entspricht einer Zeile der Wahrheitstabelle - jede Eingangsvariable umfasst die halbe Diagrammfläche (d.h. sie ist hier 1) - die Nummerierung der Felder (und damit die Zuordnung zu den Kombinationen der Eingangsvariablen) erfolgt schematisch - dabei werden die Eingangsvariablen den Feldern von unten nach oben und von rechts nach links zugeordnet - damit liegt das Feld 0 immer links oben nmerkung: es gibt alternative Zuordnungsverfahren! - in jedes Feld, das einen guten Minterm repräsentiert, wird eine 1 eingetragen - in jedes Feld, das einen schlechten Minterm repräsentiert, wird eine 0 eingetragen - in jedes Feld, das einen gleichgültigen Minterm repräsentiert, wird ein X eingetragen - Felder mit 1 (und X) werden möglichst großflächig zu löcken zusammengefasst, für die gilt: - sie müssen symmetrisch sein (quadratisch oder rechteckig, keine L-Form) - die nzahl der lockfelder muss eine Potenz von 2 sein (1, 2, 4,...) - sie dürfen keine 0 enthalten - löcke dürfen auch hinten herum zusammengefasst werden - alle Felder mit 1 müssen von mindestens einem lock erfasst sein - Felder mit 1 (und X) dürfen auch von mehreren löcken erfasst werden - die gefundenen löcke werden als Terme in eine logische Gleichung eingebracht. Diese Terme heißen Primterme. Primterme, die mindestens eine 1 als einzige abdecken, heißen notwendige Primterme. Die Veroderung der notwendigen Primterme ergibt die optimal vereinfachte logische Funktion. KV-Diagramme gewährleisten bei logischen Funktionen mit bis zu 4 Eingangsvariablen eine bestmögliche Vereinfachung der Funktion, weil alle benachbarten Terme auch grafisch benachbart sind. ei mehr als 4 Eingangsvariablen gilt das nicht mehr in jedem Fall; vielmehr müssen manche Nachbarn erst gesucht werden, weil sie im Diagramm nicht mehr nebeneinander liegen. Enthält eine logische Funktion mehr als 6 Eingangsvariablen, ist eine effiziente und sichere Vereinfachung per KV-Diagramm kaum noch möglich. Hier hilft die schematische (iterative) Vereinfachung. 5.3 Schematische (iterative) Vereinfachung Diese erfolgt durch das Verfahren nach Quine-McCluskey (QMC-Verfahren). Es ist in einem eigenen Infoblatt Schaltungsvereinfachung nach QuineMcCluskey beschrieben. File: KombinatorischeLogik.doc Seite 11 von 11