Mathematik leicht gemacht von Prof. Dr.-Ing. H. Kreul, K. Kulke H. Pester, R. Schroedter mit 457 Abbildungen und 781 Aufgaben mit Lösungen 4. Auflage Verlag Harri Deutsch Thun und Frankfurt am Main
Inhaltsverzeichnis 1. Vorbemerkungen 12 DAS RECHNEN MIT ZAHLEN 15 2. Der Zahlbegriff 15 2.1. Die natürlichen Zahlen 15 2.2. Das dekadische Positionssystem 16 2.3. Das duale Positionssystem... 18 2.4. Konstanten und Variablen... 21 Aufgaben 1 bis 3 22 3. Zur Technik des Zahlenrechnens 22 3.1. Bezeichnungen 22 3.2. Teilbarkeit von Zahlen 23 3.2.1. Teiler einer Zahl 23 3.2.2. Primzahlen 24 3.2.3. Teilbarkeitsregeln 25 3.2.4. Der größte gemeinsame Teiler. 26 3.2.5. Das kleinste gemeinsame Vielfache 28 3.3. Gewöhnliche Brüche 28 3.3.1. Begriffserklärungen 28 3.3.2. Erweitern und Kürzen von Brüchen 29 3.3.3. Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche 31 3.3.4. Multiplikation von Brüchen.. 32 3.3.5. Der Kehrwert eines Bruches.. 32 3.3.6. Division von Brüchen 33 3.3.7. Doppelbrüche 33 3.4. Dezimalbrüche 34 3.4.1. Begriffserklärungen 34 3.4.2. Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen 35 3.4.3. Multiplikation von Dezimalbrüchen 36 3.4.4. Division von Dezimalbrüchen. 36 3.4.5. Umwandlung gewöhnlicher Brüche in Dezimalbrüche und umgekehrt 37 3.4.6. Das Runden von Dezimalbrüchen 38 3.5. Potenzen und Wurzeln 40 3.5.1. Quadrate und Kuben 40 3.5.2. Quadrat- und Kubikwurzeln.. 41 3.6. Das Arbeiten mit Zahlentabellen 42 3.6.1. Bedeutung der Zahlentabellen. 42 3.6.2. Aufsuchen von Quadratzahlen. 43 3.6.3. Aufsuchen von Quadratwurzeln 43 3.6.4. Aufsuchen von Kubikzahlen.. 43 3.6.5. 3.6.6. 3.6.7. 3.6.8. 3.7. 3.7.1. 3.7.2. 3.7.3. 3.7.3.1. 3.7.3.2. 3.7.3.3. 3.7.3.4. 3.7.3.5. 3.7.3.6. 3.7.3.7. 3.7.3.8. 3.7.3.9. 3.7.3.10. 3.7.4. 3.7.5. 3.7.5.1. 3.7.5.2. 3.7.5.3. 4.1. 4.2. 4.3. 4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4. 4.3.5. Aufsuchen von Kubikwurzeln. 43 Aufsuchen der Kehrwerte... 43 Weitere Anwendungsmöglichkeiten der Tabelle 44 Interpolation 45 Das Arbeiten mit elektronischen Taschenrechnern 47 Bedeutung der elektronischen Taschenrechner 47 Aufbau elektronischer Taschenrechner 49 Wirkungsweise elektronischer Taschenrechner 52 Funktionsgruppen 52 Tastenfeld 55 Zahleneingabe 56 Zweistellige Rechenoperationen 57 Einstellige Rechenoperationen. 60 Mehrfachbelegung von Funktionstasten 63 Löschoperationen 64 Speicheroperationen 65 Registeraustausch 66 Zahlendarstellung 67 Rechnen mit elektronischen Taschenrechnern 68 Besonderheiten der Taschenrechner mit Umgekehrter Polnischer Notation 73 Funktionsprinzipien 73 Registeroperationen bei Rechnern mit Umgekehrter Polnischer Notation 74 Rechnen mit Taschenrechnern mit Umgekehrter Polnischer Notation 77 Aufgaben 4 bis 82 79 ARITHMETIK Die Rolle der Sprache in der Mathematik 90 Allgemeine Bemerkungen... 90 Aussagen und Aussageformen. 90 Verknüpfung von Aussagen... 92 Einführendes Beispiel 92... und..." (Konjunktion)... 92... oder..." (Disjunktion bzw. Alternative) 93 Wenn..., so..." (Implikation) 96 Genau wenn..., so..." (Äquivalenz) 97 Aufgabe 83 99 Grundbegriffe der Mengenlehre 99
Inhaltsverzeichnis 5.1. 5.2. 5.3. 5.3.1. 5.3.2. 5.4. 5.4.1. 5.4.2. 5.4.3. 6. 6.1. 6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.1.4. 6.1.5. 6.1.6. 6.2. 6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. 6.2.4. 6.2.5. 6.2.6. 6.2.7. 6.2.7.1. 6.2.7.2. 6.2.7.3. 6.2.7.4. 7. 7.1. 7.2. 7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. 7.2.4. 7.2.5. Der Begriff der Menge. Die Angabe von Mengen Mengenrelationen... Teilmenge Gleichheit zweier Mengen Mengenoperationen... Vereinigung von Mengen Durchschnitt von Mengen Differenz zweier Mengen Aufgaben 84 bis 95... 99 101 103 103 104 105 105 106 108 110 Das Rechnen mit Variablen.. 112 Die vier Grundrechenarten... 112 Einfache Rechenoperationen mit Variablen 112 Die negativen Zahlen 114 Addition und Subtraktion... 116 Multiplikation 119 Division 120 Die rationalen Zahlen 122 Das Rechnen mit algebraischen Summen 122 Die Bedeutung der Klammern. 122 Auflösen und Setzen additiver und subtraktiver Klammern.. 123 Multiplikation von Klammerausdrücken 124 Binomische Formeln 126 Division von Klammerausdrükken 128 Ausklammern gemeinsamer Faktoren 130 Bruchrechnung 131 Erweitern und Kürzen 131 Addition und Subtraktion von Brüchen 132 Multiplikation und Division von Brüchen 134 Doppelbrüche 135 Aufgaben 96 bis 149 135 Potenzrechnung 147 Begriffserklärungen 147 Potenzgesetze 149 Addition und Subtraktion von Potenzen 149 Multiplikation von Potenzen mit gleichen Hochzahlen... 150 Division von Potenzen mit gleichen Hochzahlen 150 Multiplikation von Potenzen mit gleichen Grundzahlen... 151 Potenzieren einer Potenz... 152 7.2.6. Division von Potenzen mit gleichen Grundzahlen 153 7.2.7. Überblick über die Potenzgesetze für Potenzen mit gleichen Grundzahlen 154 7.3. Erste Erweiterung des Potenzbegriffes 154 7.3.1. Potenzen mit ganzzahligen negativen Hochzahlen 154 7.3.2. Die Hochzahlen Null und Eins. 155 7.3.3. Das Rechnen mit Potenzen mit negativen Hochzahlen 156 7.4. Anwendungen der Potenzen.. 157 7.4.1. Schreibweise rationaler Zahlen mit Hilfe von Zehnerpotenzen. 157 7.4.2. Schreibweise von Maßeinheiten 158 7.5. Potenzen von Binomen 158 Aufgaben 150 bis 175 160 8. Wurzelrechnung 165 8.1. Radizieren als erste Umkehrung des Potenzierens 165 8.2. Rationale und irrationale Zahlen 167 8.3. Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten (Zweite Erweiterung des Potenzbegriffes) 169 8.4. Wurzelgesetze 171 8.4.1. Addition und Subtraktion von Wurzeln 171 8.4.2. Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten.. 172 8.4.3. Division von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten... 173 8.4.4. Rationalmachen des Nenners.. 173 8.4.5. Radizieren von Potenzen... 175 8.4.6. Radizieren von Wurzeln... 176 8.4.7. Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten 177 8.4.8. Rückblick auf die Wurzelgesetze 177 Aufgaben 176 bis 207 177 9. Logarithmenrechnung 183 9.1. Logarithmieren als zweite Umkehrung des Potenzierens... 183 9.1.1. Begriffserklärungen 183 9.1.2. Logarithmengesetze 186 9.2. Die dekadischen Logarithmen. 187 9.2.1. Begriffserklärungen 187 9.2.2. Die Logarithmentafel 189 9.2.2.1. Die Einrichtung der Logarithmentafel 189
Inhaltsverzeichnis 9 9.2.2.2. 9.2.2.3. 9.2.2.4. 9.3. 9.3.1. 9.3.2. 9.3.3. 9.4. 10. 10.1. 10.2. 10.3. 10.3.1. 10.3.2. 10.4. 10.4.1. 10.4.2. 10.4.3. 10.4.4. 10.4.5. 10.4.6. 10.4.7. 10.4.8. 10.4.9. 10.5. 10.6. 11. 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. Das Aufsuchen der Logarithmen 190 Das Aufsuchen des Numerus.. 190 Interpolation 191 Bestimmung von Logarithmen mit dem Taschenrechner... 193 Bestimmung von Logarithmen. 193 Bestimmung von Numeri... 193 Bemerkungen zum logarithmischen Rechnen 194 Ausblick auf andere Logarithmensysteme 194 Aufgaben 208 bis 243 195 ALGEBRA 202 Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen 202 Vorbemerkungen 202 Begriffserklärungen 206 Umformung von Gleichungen. 210 Äquivalente Umformung von Gleichungen 210 Nichtäquivalente Umformung von Gleichungen 212 Numerische Lösung von linearen Gleichungen mit einer Variablen 214 Begriff der linearen Gleichung mit einer Variablen 214 Gleichungen einfachster Form. 214 Gleichungen mit Klammerausdrücken 216 Bruchgleichungen 217 Wurzelgleichungen 218 Gleichungen mit eingeschränktem Definitionsbereich 220 Das Umstellen von Formeln.. 221 Anwendungen 222 Schlußbemerkungen 224 Das Rechnen mit Ungleichungen 225 Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen 229 Aufgaben 244 bis 257 232 Proportionen 235 Begriffserklärungen 235 Rechengesetze für Proportionen 236 Fortlaufende Proportionen... 238 Direkte Proportionalität 239 Umgekehrte Proportionalität.. 240 Proportionen als Gleichungen. 241 Prozentrechnung 244 11.7.1. Grundbegriffe 244 11.7.2. Berechnung des Prozentsatzes. 244 11.7.3. Berechnung des Prozentwertes. 245 11.7.4. Berechnung des Grundwertes.. 246 11.7.5. Promillerechnung 246 11.8. Zinsrechnung 247 Aufgaben 258 bis 269 249 12. Lineare Gleichungssysteme.. 251 12.1. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 251 12.1.1. Begriffserklärungen 251 12.1.2. Numerische Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 253 12.1.2.1. Das Einsetzverfahren 253 12.1.2.2. Das Gleichsetzverfahren... 254 12.1.2.3. Das Additionsverfahren 254 12.1.2.4. Bemerkungen zu den drei Lösungsverfahren 255 12.1.3. Die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen 255 12.1.4. Schwierigere Gleichungssysteme 257 12.2. Lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen... 262 12.2.1. Begriffserklärungen 262 12.2.2. Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen 263 Aufgaben 270 bis 283 268 13. Quadratische Gleichungen.. 273 13.1. Begriffserklärungen 273 13.2. Numerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. 274 13.2.1. Die reinquadratische Gleichung 274 13.2.2. Die gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied... 276 13.2.3. Die Normalform x 2 + px + q = 0 der quadratischen Gleichung 277 13.2.3.1. Die quadratische Ergänzung.. 277 13.2.3.2. Die Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen 277 13.2.3.3. Die Lösung der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung 281 13.3. Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer quadratischen Gleichung... 283
10 Inhaltsverzeichnis 13.3.1. Die Diskriminante 283 13.3.2. Der Wurzelsatz von VIETA... 283 13.3.3. Produktform quadratischer Terme 285 Aufgaben 284 bis 300 286 14. Funktionen 289 14.1. Begriffsbestimmungen 289 14.1.1. Der Begriff der Abbildung... 289 14.1.2. Der Begriff der Funktion... 291 14.2. Arten der Darstellung von Funktionen 293 14.2.1. Darstellung einer Funktion durch die Angabe der geordneten Paare 293 14.2.2. Darstellung einer Funktion durch eine Wertetabelle 294 14.2.3. Darstellung einer Funktion durch Graphen 295 14.2.4. Darstellung einer Funktion durch wörtliche Formulierung der ZuOrdnungsvorschrift... 295 14.2.5. Darstellung einer Funktion durch eine Gleichung 296 14.2.6. Darstellung einer Funktion durch eine Kurve 297 14.2.6.1. Das rechtwinklige Koordinatensystem 297 14.2.6.2. Darstellung von Funktionen durch Kurven 299 14.2.6.3. Grafische Darstellung von Funktionen, die nicht von vornherein als Kurven gegeben sind. 301 14.2.6.4. Zusammenhänge zwischen der Gleichung und der Kurve einer Funktion 304 14.2.6.5. Schnittpunkt zweier Kurven.. 306 14.3. Einige besondere Eigenschaften von Funktionen 308 14.3.1. Monotonie 308 14.3.2. Stetigkeit 309 14.3.3. Gerade Funktionen 310 14.3.4. Ungerade Funktionen 310 14.3.5. Nullstellen von Funktionen... 312 14.4. Die lineare Funktion 313 14.4.1. Vorbemerkungen 313 14.4.2. Begriffserklärungen 313 14.4.3. Die Funktion y = mx 314 14.4.4. Die Funktion y = mx+ b... 315 14.4.5. Grafische Darstellung einer linearen Funktion 317 14.4.6. Grafische Lösung von linearen Gleichungen sowie von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen 317 14.5. Die quadratische Funktion... 319 14.5.1. Begriffserklärungen 319 14.5.2. Die quadratische Funktion y = x 2 319 14.5.3. Die quadratische Funktion y = x 2 + q 320 14.5.4. Die quadratische Funktion y = x 2 + px + q 321 14.5.5. Grafische Lösung quadratischer Gleichungen 323 14.5.6. Die allgemeine quadratische Funktion y = Ax 2 + Bx + C... 325 14.6. Die Potenzfunktionen y = x*.. 326 14.6.1. y = x" f. ganzzahliges positives n 326 14.6.2. Die Potenzfunktion y = x... 328 14.6.3. y = x" f. ganzzahliges negatives n 329 14.6.4. y = x" f. gebrochene Werte von n 330 14.7. Die Exponentialfunktionen y = a* undy = a~" 331 14.8. Die logarithmische Funktion.. 333 Aufgaben 301 bis 310 333 PLANIMETRIE 336 15. Grundbegriffe der Geometrie. 336 16. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Winkeln,338 16.1. Parallele Geraden 338 16.2. Schnitt zweier Geraden 338 16.3. Winkel an Parallelen 339 17. Symmetrie 340 17.1. Axiale Symmetrie 340 17.2. Zentrale Symmetrie 341 17.3. Geometrische Grundkonstruktionen 342 17.4. Punktmengen 344 Aufgaben 311 bis 314 346 18. Das Dreieck 346 18.1. Allgemeines Dreieck 346 18.2. Spezielle Dreiecke 348 18.3. Dreieckstransversalen und deren Schnittpunkte 348 Aufgabe 315 350 19. Das Viereck 350 19.1. Allgemeines Viereck 350 19.2. Spezielle Vierecke 351 20. Das Vieleck 354 20.1. Unregelmäßiges Vieleck... 354 20.2. Regelmäßige Vielecke 355
Inhaltsverzeichnis 11 21. Kongruenz 355 21.1. Kongruenz im allgemeinen... 355 21.2. Kongruenz von Dreiecken... 356 22. Ähnlichkeit 358 22.1. Ähnlichkeit im allgemeinen.. 358 22.2. Ähnlichkeit von Dreiecken... 358 22.3. Strahlensätze 360 Aufgaben 316 bis 320 362 23. Sätze vom rechtwinkligen Dreieck 363 Aufgaben 321 bis 350 367 24. Strecken und Winkel am Kreis 370 24.1. Kreis und Gerade 370 24.2. Winkel am Kreis 371 24.3. Ähnlichkeit am Kreis 373 Aufgaben 351 bis 358 377 25. Berechnung von Flächen und Umfangen 378 25.1. Verschiedene Vierecke 378 25.2. Dreiecke 380 25.3. Unregelmäßige Vielecke... 382 25.4. Regelmäßige Vielecke 383 25.5. Kreis und Kreisteile 384 25.6. Umfang und Flächeninhalt ähnlicher Figuren 389 Aufgaben 359 bis 529 390 GONIOMETRIE 404 26. Das Bogenmaß 404 27. Die Winkelfunktionen 406 27.1. Definition der Winkelfunktionen 406 27.2. Kurvenbilder der Winkelfunktionen 407 27.3. Zahlenwerte der Winkelfunktionen 410 27.4. Elementare Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen.. 414 28. Trigonometrie 416 28.1. Die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck 416 28.2. Sätze für beliebige Dreiecke.. 421 28.3. Spezielle Berechnungen an beliebigen Dreiecken 424 STEREOMETRIE 438 31. Einteilung der Körper 438 31.1. Ebenflächner 438 31.2. Krummflächner 440 32. Darstellung der Körper... 443 32.1. Mehrtafelprojektion... 443 32.2. Axonometrische Projektion... 445 32.2.1. Isometrische Projektion 445 32.2.2. Dimetrische Projektion 446 33. Körperberechnung 447 33.1. Berechnungsgrundlagen... 447 33.2. Ebenflächner 447 33.2.1. Rechtkant und Würfel 447 Aufgaben 569 bis 593 450 33.2.2. Gerades Prisma 451 Aufgaben 594 bis 614 453 33.2.3. Satz des CAVALIERI 455 Aufgaben 615 bis 616.. T... 455 33.2.4. Pyramide 456 Aufgaben 617 bis 627 459 33.2.5. Pyramidenstumpf 460 Aufgaben 628 bis 641 463 33.3. Krummflächner 465 33.3.1. Kreiszylinder 465 33.3.1.1. Gerader Voll-und Hohlzylinder 465 Aufgaben 642 bis 683 467 33.3.1.2. Schiefer Voll- und Hohlzylinder 470 Aufgaben 684 bis 686 471 33.3.2. Gerader und schiefer Kegel... 472 Aufgaben 687 bis 703 475 33.3.3. Kegelstumpf 476 Aufgaben 704 bis 722 479 33.3.4. Kugel und Kugelteile 481 33.3.4.1. Volumenberechnung 481 33.3.4.2. Mantelberechnung 489 Aufgaben 723 bis 781 493 33.3.5. GuLDiNsche Regeln 497 34. Schlußbemerkungen 501 Lösungen 501 Bezeichnungen auf den Tasten elektronischer Taschenrechner 546 Namen- und Sachwortverzeichnis 547 29. Additionstheoreme 427 30. Goniometrische Gleichungen. 430 Aufgaben 530 bis 568 432