BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 1 - Wirtschaft BM-Grundlagen Inhaltsverzeichnis BM.1 Mengen............................... BM.1.1 Zahlenmengensymbole................. BM.1. Darstellung von Mengen............... 3 BM.1.3 Beziehungen zwischen Mengen.......... 3 BM.1.4 Verknüpfung von Mengen.............. 4 BM. Aussagen.............................. 5 BM.3 Aussageformen......................... 6 BM.4 Gleichungen............................ 7 BM.4.1 Algebraische Gesetze.................. 8 BM.4. Äquivalenz von Gleichungen........... 15 BM.4.3 Äquivalenzumformungen.............. 16 BM.4.4 Spezielle Gleichungen mit einer Variablen.................................. 19 BM.4.5 Gleichungssysteme................... 1 BM.5 Funktionen............................ 6 BM.5.1 Die konstante Funktion................ 6 BM.5. Die lineare Funktion.................. 7 BM.5.3 Die quadratische Funktion............. 9 BM 6 Lösungen der Aufgaben BM-Grundlagen kurze und ausführliche........................ 30 Der Berufsmatura-Stoff wird an der - Wirtschaft vorausgesetzt. Die wichtigsten Inhalte werden im vorliegenden Papier repetiert. Kontrollieren Sie Ihre Kenntnisse und Fertigkeiten indem Sie die mit dem Symbol markierten Aufgaben lösen. (Kurzlösungen Seite 30, ausführliche Lösungen Seite 3) Sie können den Berufsmaturastoff auch im Buch von Jürgen Tietze: Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik repetieren: Paragraph 1 ohne: - 1.1.4 Verknüpf. von Aussagen und -formen - 1.1.5 Implikation und Äquivalenz - 1..1.4 Das Summenzeichen - 1..1.5 Das Produktzeichen - 1..1.6 Fakultät und Binomialkoeffizient - 1..163 Bemerkung - 1..164 Beispiel Letzte Überarbeitung: Februar 01 BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 1
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - - Wirtschaft BM.1 BM.1.1 Mengen Zahlenmengensymbole Wir verwenden die Symbole nach Tietze 1.1. N N 0 Z + Z Z Q = Menge der natürlichen Zahlen = {1,, 3,...} = Menge der natürlichen Zahlen mit Null = {0, 1,, 3,...} = Menge der ganzen Zahlen = {...,-3, -, -1, 0, 1,, 3,...} = Menge der positiven ganzen Zahlen = N = Menge der negativen ganzen Zahlen = {...,-3, -, -1} = Menge der rationalen Zahlen = p p,q Z,q 0 q + Q Q R + R R + R0 R0 = Menge der pos. rationalen Zahlen = Menge der neg. rationalen Zahlen = Menge der reellen Zahlen = Menge der pos. reellen Zahlen = Menge der neg. reellen Zahlen = Menge der pos.. reellen Zahlen mit Null = Menge der neg. reellen Zahlen mit Null BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 3 - Wirtschaft Aufgabe Zu welchen Zahlenmengen gehören die folgenden Zahlen? -3.5 8.111... 3 999 1 3 BM.1. Darstellung von Mengen C Aufzählende Form C Beschreibende Form C Leere Menge A={1,,3,4} A={x0 N x<5} N={} BM.1.3 Beziehungen zwischen Mengen C Gleichheit A = B C Teilmenge A d B BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 3
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 4 - Wirtschaft BM.1.4 Verknüpfung von Mengen C Vereinigungsmenge zweier Mengen A,B: A c B = {x x0a oder x0b}= {x x0a w x0b} C Schnittmenge zweier Mengen A,B: A 1 B = {x x0a und x0b} = {x x0a v x0b} C Differenzmenge zweier Mengen A,B: A \ B = {x x0a v xób} C Ergänzungsmenge 1 von A bzgl U: A = {x0u xóa} C Produktmenge von A,B: A B = {(x,y) x0a v y0b} Aufgabe Veranschaulichen Sie die erwähnten Mengen graphisch (6Euler- oder Venn-Diagramm) Aufgabe Geg: A={-3, 0, 5, 6}, B={0, 6}, U=Z Ges: AcB, A1B, A\B, A, A B 1 Auch Komplementärmenge von A bzgl. U genannt, kurz Komplement von A BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 4
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 5 - Wirtschaft BM. Aussagen Die Logik, die von der Form her Aussagen und Verknüpfungen von Aussagen als Ganzes unter dem Aspekt der Wahrheit und Falschheit untersucht, nennt man Aussagenlogik (formale Logik). Definition Kann von einem sprachlichen oder zeichensymbolischen Satz A bezüglich seines Inhaltes grundsätzlich entschieden werden, ob A entweder wahr oder falsch ist, so heisst A eine Aussage. Ist A eine wahre Aussage, so sagt man, A habe den Wahrheitswert w; ist A eine falsche Aussage, hat A den Wahrheitswert f. Beispiele a) Spinnen sind Insekten. [f] b) Der Saturn ist ein Satellit der Erde. [f] c) Es ist falsch, dass 1 eine Primzahl ist. [w] d) Kuba ist ein kommunistischer Staat oder jede natürliche Zahl ist Primzahl. [w] e) Für alle nat.zahlen a,b,c gilt: (a+b)+c=a+(b+c). [w] f) Es gibt eine Zahl x mit x =. [w] g) Der Würfel hat 1 Kanten, 6 Seitenflächen und 9 Ecken. [f] keine Aussagen sind hingegen: h) Schliesse das Fenster! i) Autofahrer sind rücksichtslos. BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 5
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 6 - Wirtschaft BM.3 Aussageformen Ersetzt man in der Aussage Die Zahl 5 ist eine ungerade Zahl das Subjekt Zahl 5" durch eine Variable, so entsteht eine sog. Aussageform: x ist eine ungerade Zahl. Setzt man für x sinnvolle Elemente ein, so entsteht eine wahre oder falsche Aussage. Definition Jeder sprachliche oder zeichensymbolische Ausdruck mit wenigstens einer Variablen heisst Aussageform, wenn er durch jede "sinnvolle" Belegung der Variablen jeweils eine Aussage wird. Bemerkungen C Obige Definition enthält den Begriff "sinnvoll", der nicht präzisiert ist. Speziell nennen wir eine Belegung nicht sinnvoll, wenn ein mathematisch nicht definierter Ausdruck entsteht. So ist die Gleichung 8 eine x = Aussageform. Denn durch (fast) alle Belegungen von x mit Zahlen entsteht jeweils eine Aussage. Dagegen ist die Belegung von x durch 0 nicht sinnvoll, da der Ausdruck 8 0 nicht definiert ist. C Die Menge aller für die Belegung der Variablen der Aussageform sinnvollen Elemente fasst man in der Grundmenge G zusammen. C Diejenigen Elemente der Grundmenge G, die die Aussageform in wahre Aussagen überführen nennt man Lösungen und werden in der Lösungsmenge zusammengefasst. Es gilt immer: L d G. Ist L N, so heisst die Aussageform lösbar in G. Ist L = N, so heisst die Aussageform unlösbar in G. Ist L = G, so heisst die Aussageform allgemeingültig in G. Beispiele von Aussageformen a) x ist Teiler von y b)...ist ein schweizerischer Fluss,oder... ist eine Stadt am Rhein c) (a+b) =a +ab+b d)...wohnt in... e) Wenn x durch 10 teilbar ist, dann ist x durch teilbar f) g steht senkrecht auf h g) (x# y) v (x0 ù) v (y 0 ù) keine Aussageformen sind: h) Das Auto des Herrn x i) 3x+7 k) Für alle x aus der Menge der natürlichen Aufgabe Zahlen gilt: x+3=3+x. (Wahre Allaussage) Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Aussageformen: G = N : 1. x ist Teiler von 4: L =. x = 5: L = 3. Wenn x durch 10 teilbar ist, dann ist x durch teilbar: L = BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 6
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 7 - Wirtschaft BM.4 Gleichungen Definition Werden zwei Terme mit mindestens einer Variable durch ein Gleichheitszeichen verbunden, so nennt man die entstandene Aussageform eine Gleichung. Die Menge aller Elemente, die für die Einsetzung für die Variable(n) sinnvoll sind, fasst man in der Grundmenge G zusammen. Diejenigen Elemente der Grundmenge, die die Gleichung in wahre Aussagen überführen, fasst man in der Lösungsmenge L zusammen. Symbolisch: A(x): T 1 (x) = T (x) Beispiel x +x = -7x + x 3 Beispiele Î x+3 = 5 ; G= N ; L= {} Ï x = 5; G= R ; L= { ± 5 } Definition Sei A(x) eine auf G definierte Gleichung mit der Variablen x und L[A(x)] deren Lösungsmenge. Die Gleichung heisst C lösbar in G C unlösbar in G ] L[A(x)] N ] L[A(x)] = N C allgemeingültig in G ] L[A(x)] = G. Bemerkungen C Enthält eine Gleichung zwei Variablen, so sind Grundund Lösungsmenge Mengen aus Zahlenpaaren. Enthält eine Gleichung drei Variablen, so sind Grund- und Lösungsmenge Mengen aus Zahlentripeln, usw. C Alle algebraischen Gesetze (sh. BM.4.1) sind allgemeingültige Gleichungen in der jeweils bezeichneten Grundmenge: BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 7
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 8 - Wirtschaft BM.4.1 Algebraische Gesetze Die auftretenden Variablen a, b, c,... sollen R als Grundmenge haben, wenn nichts Anderes vermerkt ist. 1. Existenz von neutralen Elementen bzgl. der Addition und Multiplikation: 0 + a = a + 0 = a 1 A a = a A l =a. Existenz von inversen Elementen bzgl. der Addition und der Multiplikation: (-a) + a = a + (-a) = 0 { } a A a -1 = a -1 A a = 1 (a 0 R \ 0 ) 3. Kommutative Gesetze: a + b = b + a a A b = b A a 4. Assoziative Gesetze: (a + b) + c = a + (b + c) (a A b) A c = a A (b A c) 5. Distributives Gesetz: a A (b + c) = aab+aac Aufgaben a) 5xy(3a-b) = b) 15ux - 1xw = BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 8
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 9 - Wirtschaft 6. Kürzen bzw. Erweitern von Brüchen: a b c a c b = { } (b, c 0 R \ 0 ) Aufgabe 13 x(x 1) 6x 6 = 7. Addition bzw. Subtraktion von Brüchen: a c ad± bc b d bd ± = { } (b, d 0 R \ 0 ) Aufgabe y 1 y+ 1 + = x+ 1 x 1 8. Multiplikation von Brüchen: a c ac b d bd = { } (b, d 0 R \ 0 ) Aufgabe y+ 1 x = y 1 9. Division von Brüchen (Doppelbruch): a a c b a d : b d c b c d = = { } (b, c, d 0 R \ 0 ) Aufgabe x+ 1 b = x+ 1 b BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 9
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 10 - Wirtschaft 10. Binomische Formeln: (a + b) = a + ab + b (a - b) = a - ab + b (a+b)(a-b) = a - b Aufgaben a) (x+3y) = b) 4x - 9y = + 11. Potenzgesetze (a, b 0 R ; n, m 0 R ): Def: a 0 = 1 P1: a n A a m = a n+m n P: ( ) m a = n m a P3: (aab) n = a n Ab n P4: a a n m = a n m P5: a b n = a b n n Bem.: Für n, m 0 N gelten die Potenzgesetze auch für negative Basen. Aufgaben a) n n+ 1 (a+ b) (a b) n (a b ) = b) ( 3 ) 5 = c) a n A b m = d) (a+b) 3 = BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 10
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 11 - Wirtschaft 1. Wurzelgesetze: (a, b 0 R 0 + ; n, m 0 N ) Def: W1: W: n a = a 1 n n n n a b = a b n a = b n n a b Wurzel als Potenz Definition: a 0 R0 +, n 0 N Unter der n ten Wurzel von a versteht man diejenige nicht-negative Zahl, deren n te Potenz gleich a ergibt. Bezeichnung: n a kurz: x= n a ] x$0 v x n =a W3: m n a = nm a Man bezeichnet a als Radikanden n als Wurzelexponenten x als Wurzelwert. Aufgaben a) 3 6 1 a b = b) 3 5 a+ b a+ b = BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 11
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 1 - Wirtschaft + 13. Logarithmusgesetze: (u, v 0 R, a>0 und a 1) L1: log a (uav) = log a u + log a v u L: log a ( ) = log a u - log a v v L3: log a (u k ) = ka log a u Definition: y>0, a>0 und a 1 Die Hochzahl x der Gleichung y = a x nennt man den Logarithmus von y zur Basis a und schreibt: x = log a y kurz: x = log a y ] y = a x Aufgaben a) log 10 1000 = b) log a (a 3 b 6 ) = c) 3Alog a u - 4Alog a v = BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 1
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 13 - Wirtschaft 14. Betragsgesetze B1: a b = a b a a B: = (b 0 R \{ 0} ) b b { } Definition a 0 R \ 0. Von den beiden Zahlen a, -a ist dann immer eine positiv. Die positive Zahl heisst Betrag von a. Wir schreiben a. 0 :=0. Aus der Definition folgt: a, falls a 0 a = a, falls a<0 Aufgaben a) -5 = b) -a = c) Sei a > b: b-a = d) Gleichung x = 4 L = BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 13
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 14 - Wirtschaft 15. Exponentialform einer Zahl Sehr grosse oder sehr kleine Zahlen z werden in der Exponentialform geschrieben, d.h. in der Form z = aa10 b mit 1 < a < 10 und b 0 Z. Beispiele 1) Entfernung Erde - Mond: 384'400 km = 3.844 A 10 5 km ) Rotes Blutkörperchen: 7500 millionstel mm = 7.5 A10-3 mm Aufgaben Schreiben Sie in der Exponentialform: 1) Entfernung Erde - Sonne: 149'500'000 km = ) Oberfläche der Erde: 510'100'000 km = 3) Lichtgeschwindigkeit: 99'800'000 m/s = 4) Masse der Erde: 5.974 Quadrillionen kg = Die folgenden Grössen sind in millionstel mm angegeben. Geben Sie die Grössen in mm an: 5) Viren: 10 = 6) Kohlenstoffatom: 0.15 = 7) Grosser Atomkern: 0.000'01 = BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 14
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 15 - Wirtschaft BM.4. Äquivalenz von Gleichungen Definition Zwei Gleichungen A(x) und B(x) heissen äquivalent bzgl. G genau dann, wenn L[A(x)] = L[B(x)] gilt. Wir schreiben A(x) ] B(x). Beispiele C G= Z : x + 7 = 10 ] x = 6 C G= R : x - 3x + = 0 ] (x - 1)(x - ) = 0 ] (x = 1) w (x = ) Umformungen von Gleichungen, die auf äquivalente Aussageformen (Gleichungen) führen, nennt man Äquivalenzumformungen. Äquivalenzumformungen sind also Umformungen, die die Lösungsmenge nicht verändern! Äquivalenzumformungen von Gleichungen spielen in der Mathematik eine zentrale Rolle. BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 15
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 16 - Wirtschaft BM.4.3 Äquivalenzumformungen 1. Äquivalenzumformung Auf beiden Seiten einer Gleichung darf dieselbe Zahl (resp. derselbe Term) addiert oder subtrahiert werden. T 1 =T ] T 1 ±T 3 = T ±T 3 Beispiel G =R Beachten Sie Diese Regeln gelten nur beim Auflösen von Gleichungen, nicht aber bei Termumformungen. Umgekehrt aber können Sie beim Lösen von Gleichungen die Termumformungsgesetze selbstverständlich verwenden. x+3x +1 = 3x(x+1) ] x+3x +1 = 3x +3x ] x+1 = 3x ] 1 = x L = {1}. Äquivalenzumformung Beide Seiten einer Gleichung dürfen mit derselben Zahl ( 0) multipliziert oder dividiert werden. T1 T T 1 =T ] aat 1 = aat ] a 0R \ 0 a a = { } Aufgaben C 5x+7 = -13x+1 G =R x 5 C 1 G = x 3 = x 3 + R \ 3 C x - 4x = 0 G =R { } Die Division durch einen Term ist keine Äquivalenzumformung (sondern eine Verlustumformung ). Sie ist deshalb zu vermeiden...(vgl. 3. Äquivalenzumformung) BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 16
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 17 - Wirtschaft 3. Äquivalenzumformung Ein Produkt zweier Terme ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist. T 1 AT = 0 ] T 1 = 0 w T = 0 Aufgaben C 5x 3-13x = 0 G =R C x(x-1)(x-)(x+5)(x- ) = 0 G = R C (x - 9)(x - 3x - 4) = 0 G =R 4. Äquivalenzumformung n 0 N, n gerade, a $ 0: T n = a ] n 0 N, n ungerade, a $ 0: T n = a ] n T = a T = a T = n 0 N, n ungerade, a < 0: T n = a ] n a n T = a n Aufgaben C 5x 4 = 80 G =R C (x-1) 3 = 3 G =R C (x-1) 5 = -1 G =R 5. Äquivalenzumformung: T 1, T > 0, a>0 und a 1 T 1 = T ] log a T 1 = log a T Aufgaben C x = 3 x-1 G =R C 1.05 x = 1.05 x-1 + G =R BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 17
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 18 - Wirtschaft Anwendung: Berechnungsformel für Logarithmen, Logarithmen auf dem Rechner Mit dem Taschenrechner können Logarithmen zur Basis 10 und zur Basis e (Euler sche Zahl) berechnet werden. Statt log 10 x schreibt man log x oder lg x : Statt log e x schreibt man ln x : Wie wird nun aber log a y für eine beliebige Basis a berechnet, zb. log 1.04 1.53971? Erinnern wir uns an die Definition des Logarithmus: x = log a y ] y = a x Logarithmiert man beide Seiten der. Gleichung, so erhält man log y = x @ log a ] x = log y loga y= log a Aufgabe log 1000 = Bei Wurzelgleichungen mit geradem Wurzelexponent benötigt man noch die 6. Umformung (Vgl. 4. Äquivalenzumformung) T 1 = T Y (T 1 ) n = (T ) n Das Potenzieren einer Gleichung mit einem geraden Exponenten eine Gewinnumformung. Die Probe ist unerlässlich. Aufgaben C C 8 x + = x 5 x = G={x0 R x#8} G={x0 R x#5} 3 C 4 (x 1) = 0 G= R BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 18
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 19 - Wirtschaft BM.4.4 Spezielle Gleichungen mit einer Variablen a) Die lineare Gleichung Definition a,b0 R, a 0 Die Gleichung ax + b = 0 heisst lineare Gleichung mit einer Variablen. Die lineare Gleichung hat in G= R genau eine Lösung, nämlich Aufgaben b x = a 1. 15x - 3 = 18x - 6. a1bx+ b1c = c1b + ab1x b) Die quadratische Gleichung Definition a,b,c0 R, a 0 Die Gleichung ax +bx+c = 0 heisst quadratische Gleichung (mit einer Variablen). Für die Diskussion der Anzahl Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung braucht man die Definition D = b - 4ac heisst Diskriminante der quadratischen Gleichung ax +bx+c = 0. und den Satz Ist die Diskriminante D der quadratischen Gleichung ax +bx+c = 0 positiv, so besitzt die quadratische R Gleichung in G= die beiden Lösungen b± b 4ac x1, = a Ist D=0, so hat die quadratische Gleichung die (einzige) Lösung x = -b/(a) Ist D<0, so hat die quadratische Gleichung keine Lösung. BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 19
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 0 - Wirtschaft Aufgaben Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen. Schränken Sie die Grundmenge G=R bei Bedarf geeignet ein. 1. -4x + 5x - 1 = 0. 5x-(x-3)(x-5) = 17 3. x 3 = (x 4) x+ 4 x 4 4. x a 1 + = 1 a x Für die quadratische Gleichung kann auch das TI84-Programm QUADGLverwendet werden. BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 0
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 1 - Wirtschaft BM.4.5 Gleichungssysteme a) Mit zwei Variablen Definitionen Werden zwei Terme mit zwei Variablen durch ein Gleichheitszeichen verbunden, so nennt man die entstandene Aussageform eine Gleichung mit zwei Variablen. Die Menge aller Zahlenpaare, die für die Einsetzung für die Variablen sinnvoll (d.h. wenn wahre oder falsche Aussagen entstehen) sind, fasst man in der Grundmenge G zusammen. Diejenigen Zahlenpaare der Grundmenge, die die Gleichung in wahre Aussagen überführen, fasst man in der Lösungsmenge L zusammen. Unter einem Gleichungssystem mit Variablen versteht man mehrere Gleichungen mit zwei Variablen, die durch und verbunden sind. Im folgenden werden einige Methoden repetiert, welche gestatten, die Lösungsmenge eines Gleichungssystems auf der Basis von Rechnungen zu bestimmen. Wir wollen jetzt schon festhalten, dass es keine "beste" Methode gibt; im konkreten Fall besteht das ideale Vorgehen oft aus einer Kombination der nun folgenden Methoden. Gleichsetzungsmethode: Man löst beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setzt die gefundenen Terme gleich. x 5y = 7 (1) Aufgabe: G= R 3x+ y = 1 () 7 5y 1 y x = + x = 3 Wir setzen die beiden Terme gleich und erhalten so eine Gleichung mit nur einer Variablen: Bemerkungen - Für ú ú={(x,y) x,y0ú} schreibt man kürzer R - Im Weiteren wollen wir G= R ohne Erwähnung annehmen. 7+ 5y 1 y = 6 3 Y y = -1 Den gefunden Wert für y setzen wir z.b. in die Gleichung (1') ein: BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 1
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - - Wirtschaft 7+ 5 ( 1) (1 ) x = = 1 Das Gleichungssystem hat eine Lösung, nämlich das Zahlenpaar (1,-1). Als Lösungsmenge ergibt sich also L= {(1,-1)} Einsetzungsmethode: Man löst nur eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt den gefundenen Term in die andere Gleichung ein. Beispiel: x 5y = 7 (1) 3x+ y = 1 () Wir lösen jetzt z.b. die Gleichung (1) nach der Variablen x auf und erhalten: 7+ 5y (1 ) x = Nun wird der Ausdruck für x in Gleichung () eingesetzt: 3 7 + 5 y + y= 1 Y y = -1 Den gefundenen Wert für y setzen wir in Gleichung (1') ein und erhalten x = 1. Als Lösungsmenge ergibt sich wieder L = {(1,-1)}. Additionsmethode: Man multipliziert die beiden Seiten jeder Gleichung mit einer solchen Zahl, dass die Koeffizienten der einen Variablen entgegengesetzt gleich werden. Dann addiert man die beiden Gleichungen. Beispiel x 5y = 7 3 3x+ y = 1 ( ) Man erhält die folgenden beiden Gleichungen: BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 3 - Wirtschaft 6x 15y = 1 6x 4y = Addiert man diese, so erhält man eine Gleichung mit nur einer einzigen Variablen: 19y= 19 y= 1 Mit Hilfe der Additionsmethode liesse sich auch der Wert der Variablen x bestimmen. Dazu könnte man etwa die Gleichung (1) mit und Gleichung () mit 5 multiplizieren. Meistens setzt man mit weniger Aufwand den gefundenen Wert, hier y = -1, in die eine der beiden Gleichungen (z.b. in (1)) ein: x 5 ( 1) = 7 x = x = 1 und damit L ={(1,-1)}. Aufgaben 1. y + 1= x x+ = y. 3x xy= 0 x + y = 5 6 5 4 3 1 6 5 4 3 1 1 0 1 3 4 5 6 3 4 5 6 BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 3
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 4 - Wirtschaft b) Gleichungssysteme mit 3 Variablen Definitionen Werden zwei Terme mit drei Variablen durch ein Gleichheitszeichen verbunden, so nennt man die entstandene Aussageform eine Gleichung mit drei Variablen. Die Menge aller Zahlentripel, die für die Einsetzung für die Variablen sinnvoll (d.h. wenn wahre oder falsche Aussagen entstehen) sind, fasst man in der Grundmenge G zusammen. Diejenigen Zahlentripel der Grundmenge, die die Gleichung in wahre Aussagen überführen, fasst man in der Lösungsmenge L zusammen. Unter einem Gleichungssystem mit 3 Variablen versteht man mehrere Gleichungen mit drei Variablen, die durch und verbunden sind. Lösungsprinzip: Mit Hilfe der Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder Additionsmethode führt man ein Gleichungssystem mit drei Variablen auf ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zurück. Beispiel Die Menge G={(x,y,z) x,y,z0ú}=ú 3 ist die Grundmenge. Lösung: (1)-(3): 10y+ 3z=4 (4) @(1)-(): 5y-14z=43 (5) Die Gleichungen (4) und (5) bilden jetzt ein Gleichungssystem, das nur noch zwei Variablen enthält. Dieses System wird nach den bereits bekannten Methoden aufgelöst: (4)-@(5): 31z = -6 ] z = - Jetzt z=- z.b. in die Gleichung (4) einsetzen: BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 4
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 5 - Wirtschaft (4): 10y+3@(-)=4 ] 10y=30 ] y = 3 Schlussendlich y=3 und z=- z.b. in die Gleichung (1) einsetzen: (1): x+4@3-5@(-)=1 ] x = -1 Also: L={ (-1,3,-) }. Beachten Sie, dass die Elemente der Lösungsmenge (und auch der Grundmenge) Zahlentripel sind. Aufgaben Die Menge G=ú 3 ist wieder die Grundmenge. 1.. 3. Bemerkung Ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine oder keine oder unendlich viele Lösungen. BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 5
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 6 - Wirtschaft BM.5 Funktionen Definitionen: Eine Funktion f ist eine Zuordnung, welche jedem Element x einer ( Zahlen-)menge X genau ein Element y einer (Zahlen-)menge Y zuordnet. X heisst Definitionsbereich (DB) der Funktion f. Die Elemente von Y, welche zugeordnete Elemente sind, bilden den Wertebereich (WB) von f. x heisst die unabhängige, y die abhängige Variable bzw. x Argument und y Funktionswert. Symbolik/Schreibweise und Sprechweise: f: X 6 Y, x µ y oder kurz: y = f(x) 'y ist gleich f von x' y = f(x) nennt man die Funktionsgleichung der Funktion f. Graph: Da eine Funktion f eigentlich eine Menge von Paaren (x,y) ist, kann diese Menge in einem (rechtwinkligen) Koordinatensystem dargestellt werden. Die Menge der Punkte P(x/y) heisst Graph der Funktion f. BM.5.1 Die konstante Funktion Definition: f: R 6 R, x µ y = c heisst konstante Funktion. Die Funktionsgleichung lautet also y=f(x)=c Wertebereich der konstanten Funktion: WB={c} Die Graphen der konstanten Funktionen sind Geraden parallel zur x-achse. Die Fixkostenfunktion ist eine konstante Funktion. BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 6
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 7 - Wirtschaft BM.5. Die lineare Funktion Definition: Sei a 0 f: R 6 R, x µ y=aax+b heisst lineare Funktion. Die Funktionsgleichung lautet also y = f(x) = aax+b Wertebereich der linearen Funktion: WB= R (DB= R ). Der Graph der linearen Funktion ist eine Gerade mit Steigung a und y-achsenabschnitt b. Beispiele: f(x)=0.5x-1 g(x)=-x+ h(x)=x Aufgabe Zeichen Sie die Graphen der obigen Beispiele. Es gilt der wichtige Satz: Für die lineare Funktion f: R 6 R,x µ y = aax+b ist der Quotient y y y = 1 = a = const. x x x1 Dabei ist y 1 = f(x 1 ) und y = f(x ) Interpretation Nimmt x um )x zu, dann nimmt y um aa)x zu. oder speziell für )x = 1: Nimmt x um 1 zu, dann nimmt y um a zu. BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 7
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 8 - Wirtschaft Wegen ihrer einfachen Struktur werden lineare Funktionen zur Beschreibung vieler ökonomischer Sachverhalte eingesetzt: S Kostenfunktionen S Konsumfunktionen S Erlösfunktionen, usw. Aufgabe Der Graph einer Kostenfunktion K ist gegeben (sh. Abb.). Wie lautet die Funktionsgleichung von K? Interpretieren Sie die Steigung der Geraden. Kosten K( x) 800 70 640 560 480 400 30 40 160 80 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 x Output BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 8
BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 9 - Wirtschaft BM.5.3 Die quadratische Funktion Definition: Sei a 0 f: R 6 R, x µ ax +bx+c heisst quadratische Funktion. y= f(x) = ax + bx + c ist die Funktionsgleichung. Die Graphen der quadratischen Funktionen nennt man Parabeln, die Zahl a deren Öffnungen. Den tiefsten bzw. den höchsten Punkt einer Parabel nennt man Scheitel S. Satz: Der Graph der Funktion f: R 6 R, x µ ax +bx+c ist eine Parabel mit Scheitelpunkt b b S( / c ) a 4a (a 0) x + 3x x 4x 5 0.3x + x+ 3 10 5 4 3 1 0 1 3 4 5 10 x Aufgabe Der Gewinn G sei wie folgt von der Produktionsmenge x abhängig: G(x) = -x + 65x -700 ; 0#x#70. a) Bestimmen Sie die Nutzenschwelle und - grenze. (Zwischen utzenschwelle und utzengrenze ist der Gewinn positiv. utzenschwelle: Diejenige Produktionsmenge x, für die der Gewinn zum ersten Mal ull wird. utzengrenze: Diejenige Produktionsmenge x, für die der Gewinn wieder ull und danach negativ wird.) b) Bei welcher Produktionsmenge ist der Gewinn maximal (gewinnmaximale Menge)? c) Wie gross ist der maximale Gewinn? d) Zeichnen Sie den Graphen der Gewinnfunktion. BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 9
Hochschule für Wirtschaft BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 30 - Luzern BM 6 Kurzlösungen der Aufgaben BM-Grundlagen + Seite 3: -3.5 0 Q, 8.111...0 Q, 3 R (sog. irrationale Zahl), 999 0 N, 1 Q 3 Seite 4: A B= { 3, 0, 5, 6}, A B= { 0, 6} A \ B= { 3, 5}, A= {..., 5, 4,, 1, 1,, 3, 4, 7, 8,...} A B= {( 3, 0),( 3, 6),...,( 6, 6)} Seite 6: 1. L = {1,, 4}. L = {} 3. L = N (allgemeingültig) Seite 8: a) 15axy - 10bxy b) 3x(5u-4w) xy+ x x Seite 9: 6. 0.5x 7. 8. 9. b = ( xy+ 1) x 1 y 1 Seite 10: 10 a) 4x + 1xy + 9y 10 b) (x+3y)(x-3y) 11 a) a - b b) -3'768 c) a n A b m d) a 3 + 3a b + 3ab + b 3 Seite 11: a) a b 4 15 b) ( a+ b) u Seite 1: a) 3 b) 3 + 6Alog a b c) log a v a, falls a 0 Seite 13: a) 5 b) a = c) a - b d) L = {4, -4} a, falls a < 0 3 4 Seite 14: 1) 1.495A10 8 km 4) 5.974A10 4 kg 5) 10-5 mm 7) 10-11 mm Seite 16: L = { - 1 / 3 } L = {} L = {0, 4} Seite 17: 3. Äq. L = {0,.6} L = {0, 1,, -5, } L = {-3, -1, 3, 4} 3 5 4. Äq. L = {, - } L = { 1+ 3 } L = { 1 1 } 5. Äq. L = {.709...} L = { 76.01... } BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 30
Hochschule für Wirtschaft BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 31 - Luzern Seite 18: L = { 4 } L = { } L = {-7, 9} b c b c 1 1 Seite 19: L = {1} L = { } a b a b 1 1 Seite 0: L = { 1 / 4, 1} L = {4} L = {} L = {1, 1-a} Seite 3: L = {(1,1)} L = {(0,5), (0,-5), (4,3), (-4,3)} Seite 5: 1. L = {(4,0,16)}. unendlich viele Lösungen 3. keine Lösung Seite 7 6 4 0.5x 1 x+ x 4 0 4 4 6 x Seite 8: K(x) = 4x + 400 Seite 9: a) x s = 13.6 ME, x g = 51.4 ME b) x opt = 3.5 ME c) G max = 356.5 GE BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 31
Hochschule für Wirtschaft BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 3 - Luzern BM 6 Ausführliche Lösungen der Aufgaben BM-Grundlagen Seite 8 a) 5xy(3a-b) = 15axy - 10bxy (Distributivgesetz ausmultiplizieren) b) 15ux - 1xw = 3x(5u-4w) (Distributivgesetz faktorisieren) Seite 9 6. 13 x(x 1) 13 x(x 1) x = = 6x 6 6(x 1) y 1 y+ 1 (y 1)(x 1) + (y+ 1)(x + 1) xy y x+ 1+ xy+ y+ x+ 1 xy+ x+ 1 x 1 x 1 x 1 x 1 C + = = = C C y+ 1 x(y+ 1) xy+ x x = = y 1 y 1 y 1 x+ 1 b x+ 1 b (x+ 1)b = = = x+ 1 b x+ 1 b(x+ 1) b kürzen b Seite 10 10. a) (x+3y) = 4x + 1xy+ 9y b) 4x - 9y = (4x+3y)(4x-3y) 11. a) n n+ 1 n n n n (a+ b) (a b) (a+ b) (a b) (a b) (a+ b) (a b) (a b) = = = a b n n n n (a b ) (a+ b) (a b) ((a+ b)(a b) ) b) ( ) 5 3 5 3 5 15 = ( 1) = = 3768 BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 3
Hochschule für Wirtschaft BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 33 - Luzern c) a n A b m = a n A b m (keine Umformung möglich) d) (a+b) 3 = 3 3 (a+ b) (a+ b) = (a+ b) (a + ab+ b ) =... = a + 3a b+ 3ab + b Seite 11 1 1 1 6 1 3 a) 6 1 6 1 4 a b = (a b ) 3 = a 3 b 3 = a b oder 3 6 1 3 4 3 4 a b = (a b ) = a b b) 3 5 1 3 1 1 3 5 15 1 5 a+ b (a+ b) 15 = = (a+ b) = (a+ b) = (a+ b) a+ b (a+ b) Seite 1: a) log 10 1000 = log 10 = 3 10 b) log a (a 3 b 6 ) = log a + log b = 3+ 6 log b 3 3 6 a a a c) 3Alog a u - 4Alog a v = 3 3 4 u a a = a 4 log u log v log v Seite 16: C 5x+7 = -13x+1 ] 18x = -6 ] x = - 1 / 3 x 5 1 C x 3 x 3 : keine Lösung L = {} = + C x - 4x = 0 ] x(x-4) = 0 ] x=0 w x-4=0 ] x = 0 w x = 4 BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 33
Hochschule für Wirtschaft BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 34 - Luzern Seite 17: C 5x 3-13x = 0 ] x (5x -13) = 0 ] x =0 w 5x-13=0 ] x = 0 w x = 5/13 =.6 C x(x-1)(x-)(x+5)(x- ) = 0 ] x=0 w (x-1)=0 w (x-)= 0 w (x+5)= 0 w (x- )=0 ] x=0 w x=1 w x= w x=-5 w x= C (x - 9)(x - 3x - 4) = 0 ] (x+3)(x-3)(x-4)(x+1)=0 ] x=-3 w x=3 w x=4 w x=-1 C 5x 4 = 80 ] 4 4 x = 16 x=± 16 =± C (x-1) 3 = 3 ] C (x-1) 5 = -1 ] 3 3 x 1= 3 x= 1+ 3 5 5 x 1 = ( 1) x= 1 1 C x x 1 = 3 x log = (x 1) log 3 x(log log 3) = log 3 log3 log3 x= = =.709511... log 3 log log1.5 C x x 1 x x 1 x 1.05 1.05 = 1.05 + 1.05 1.05 = 1.05 = 1.05 x 1 x 1.05 1 x.1 1.05 (1 ) = 1.05 ( ) = 1.05 = = 4 1.05 1.05 0.05 log 4 x= = 76.60703... log1.05 x Seite 18 C 8 x+ = x C C x = -1 erfüllt die Gleichung nicht: L = { 4 } 5 x = L = { } : Eine Wurzel ist nach Definition nie negativ, also keine Lösung 3 3 4 (x 1) = 0 4 = (x 1) 64 = (x 1) x 1=± 8 x= 9 x= 7 Seite 19: 1. 15x - 3 = 18x - 6 ] 3 = 3x ] x = 1 BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 34
Hochschule für Wirtschaft BM-GRUNDLAGEN MATHEMATIK - 35 - Luzern. a1bx+ b1c = c1b + ab1x a b x a b x = c b b c x(a b a b ) = c b b c 1 1 1 1 1 1 1 1 b c Falls a1b a b1 0 :x= a b b c a b 1 1 1 1 Seite 0: 1. -4x + 5x - 1 = 0 x 1, 5 ± ( 5) 4 ( 4) ( 1) 5± 5 16 = = = ( 4) 8 0.5 1. 5x-(x-3)(x-5) = 17 5x (x 5x 6x+ 15) = 17 0= x 16x+ 3= 0 (x 4) = 0 x= 4 3. x 3 = (x 4)(x+ 4) x ± 4 (x 4) x+ 4 x 4 x(x+ 4) 6(x 4) = 4(x+ 4) x + 4x 6x+ 4= 4x+ 16 x 6x+ 8= 0 (x 4)(x ) = 0 x = 4 x = Da x = 4 nicht zur Definitionsmenge gehört ist L = {} 4. x a 1 + = (1 a) x a 1, x 0 1 a x x(x a) + (1 a) = (1 a) x x ax+ 1 a = x(1 a) x ax x+ ax+ 1 a = 0 x + (a )x+ 1 a= 0 Diskriminante D = (a ) 4 1 (1 a) = a 4a+ 4 4+ 4a= a x 1, (a ) ± a = = 1 1 a BM-Grundlagen zusammengestellt von Othmar Sager Seite 35