Baudynamik und Zustandsanalyse

Baudynamik und Zustandsanalyse Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA von WOLFRAM-Research [http://www.wolfram.com] geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [http://www.htw-dresden.de] veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch einfache mathematisch-physikalische Lösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden 2 Definitionen, Begriffe, mathematisch-physikalische Grundlagen 2.1 Schwingungen 2.1.1 Im Vordergrund der Betrachtungen stehen zunächst die harmonischen Schwingungen, die eine fundamentale Bedeutung für viele physikalische Berechnungsverfahren bilden. Unter einer harmonischen Schwingung (Bild 2.1.1) versteht man die harmonische Veränderung einer physikalischen Größe x über die Zeit t : x[t] A * Sin[ t + φ] /. φ t phase x[t] A Sint + t phase A - Amplitude (Größtwert) der schwingenden Größe x - Kreisfrequenz in [rad/s] oder [s -1 ] ( formal der Amplitude der Winkelgeschwindigkeit am Einheitskreis) ψ = t + φ - Phasenwinkel oder Phase φ = t Phase - Phasenverschiebung φ ψ (t = 0) t Phase - Phasenverschiebungszeit Bild 2.1.1: Beispielskizze einer harmonischen Schwingung 2.1.2 Die Periodendauer T in [s] ist definiert als: T = 2 π

2 baudyn_02_1_schwingung.nb 2.1.3 Nach einer Periode T sowie deren ganzzahligen Vielfachen wiederholt sich ein Schwingungsvorgang, dass bedeutet für x(t) x(t + nt) mit n = ±1, ±2, ±3,..., ± erhalten wir stets: y[t] FullSimplifyA Sin[ t + φ] /. t t + n T /. T -> 2 π, n > 0 && n Integers y[t] A Sin[φ + t ] 2.1.4 Die unten angeführten zwei Beispiele harmonischer Schwingungen sind Darstellungen in der Zeitebene: x[t] = A * Sin[ t + φ], 1 = π, A 1 = 10, φ 1 = 0, 2 = π 2, A 2 = 4, φ 2 = -1.3; 10 Beispiel 1 einer harmonischen Funktion 5 0 x 1 [ t ] -5-10 0 5 10 15 20 t in [ s ] 4 Beispiel 2 einer harmonischen Funktion 2 0 x 2 [ t ] -2-4 0 5 10 15 20 t in [ s ] 2.1.5 Die Definition der Frequenz f in [Hz] oder [ s -1 ] lautet unter Beachtung der Beziehung (2.1.2):

baudyn_02_1_schwingung.nb 3 f 1 T /. T -> 2 π f 2 π 2.1.6 MERKE: Die Kreisfrequenz ist der 2π-fache Wert der Frequenz f. 2.1.7 Unter der Darstellung eines Schwingungsvorganges in einer Phasen- statt Zeitebene versteht man die Verknüpfung der Schwingungsfunktion mit ihrer ersten Ableitung, wobei die Zeit t eliminiert wird. Wenn die Schwinggröße der Weg ist, dann entspricht deren erste Ableitung nach der Zeit der Schwinggeschwindigkeit (vgl. hierzu auch den Absatz 2.1.13). x 1 = x[t] /. Beispiel1; x 1 '[t] = D[x 1, t]; v 1 = x 1 '[t]; x 2 = x[t] /. Beispiel2; x 2 '[t] = D[x 2, t]; v 2 = x 2 '[t]; Phasenebene der Beispiele 1 und 2 von (2.1.4) 30 20 10 0-10 -20-30 -10-5 0 5 10 v in [m/s] x in [ m ] Versteckte Zelle zum Beweis dafür, dass die Phasenkurven von harmonischen Schwingungen Ellipsen sein müssen. 2.1.8 Eine weitere häufig anzutreffende reelle Schreibweise für die harmonische Schwingung in Form der Gleichung (2.1.1) lautet: x[t] = A * Sin[ t + φ]; x[t] TrigExpand[ x[t] ] A1 Cos[ t] + B1 Sin[ t] A Sin[φ + t ] A Cos[t ] Sin[φ] + A Cos[φ] Sin[t ] A1 Cos[t ] + B1 Sin[t ] 2.1.9 Vergleicht man die Parameter A1 und B1 mit dem Ausdruck (2.1.1), so ergeben sich die

4 baudyn_02_1_schwingung.nb nachfolgenden Zusammenhänge: A1 = A Sin[φ], B1 = A Cos[φ], AbsSimplify A1 2 + B1 2 Abs[A], Simplify A1 B1 Tan[φ] {A Sin[φ], A Cos[φ], True, True} 2.1.10 Bei der komplexen Schreibweise einer harmonischen Schwingung mittels y(t) = A e i ( t + φ) wird die notwendige Zuordnung x(t) Im[y(t)] in der Fachliteratur hin und wieder nicht ausgewiesen. Dass beim Rechnen mit komplexen Funktionen lediglich der Imaginärteil (oder nur der Realteil) eine physikalische Bedeutung haben, ist dann leider nicht erkennbar. Die Funktion x(t) ist selbstverständlich keine komplexe Funktion, wie leicht gezeigt werden kann: Komplexe_Schreibweise:{y[t] = A Exp[i ( t + φ)], y[t] = ExpToTrig[y[t]]} Reale_Schreibweise: x[t] = ComplexExpand[Im[y[t]]], x[t] = ComplexExpand 1 (y[t] - Conjugate[y[t]]) 2 i Komplexe_Schreibweise: A e i (φ+t ), A Cos[φ + t ] + i A Sin[φ + t ] Reale_Schreibweise: {A Sin[φ + t ], A Sin[φ + t ]} 2.1.11 Die obige Darstellung von y(t) ist es auch möglich in die Form y(t) = A e i φ e i t = B e i t umzuwandeln. Die Größe B stellt die komplexe Amplitude der Zeitfunktion dar, die in Bezug auf den Zeitpunkt t = 0 mitunter die Bezeichnung Nullzeiger erhält (vgl. Absatz 2.1.12). Es gilt: B = A Exp[i φ], B = ExpToTrig[B], B = i A1 + B1, SimplifyB1 2 + A1 2 A e i φ, A Cos[φ] + i A Sin[φ], A Cos[φ] + i A Sin[φ], A 2 2.1.12 Sowohl die Größen von A 1, B 1 bzw. B als auch die komplexe Funktion y(t) sind in der nach Carl Friedrich GAUSS (1777-1855) benannten GAUSSschen Zahlenebene anschaulich ausweisbar (Bild 2.1.12 a). Weiterhin existieren aber auch Darstellungen im Frequenzbereich, wie das Phasendiagramm, bei dem die Phasenverschiebung φ als Funktion der Kreisfrequenz erscheint, sowie das Amplituden-Frequenz-Diagramm, wo die Amplitude A zur Kreisfrequenz ins Verhältnis gesetzt wird (Bild 2.1.12 b).

baudyn_02_1_schwingung.nb 5 Bild 2.1.12 a: Darstellung einer harmonischen Schwingung als Zeigerdiagramm in der GAUSSschen Zahlenebene Bild 2.1.12 b: Darstellung einer harmonischen Schwingung im Frequenzbereich 2.1.13 Da sie in der technischen Anwendung eine hohe Bedeutung haben, werden von der harmonischen Schwingung nochmals die erste und ergänzend die zweite Ableitung des Schwingweges x(t) nach der Zeit t ausgewiesen. Diese repräsentieren die Schwinggeschwindigkeit v(t) in [m/s] (vgl. Absatz 2.1.7) bzw. die Schwingbeschleunigung a(t) in [m/s²]. Schwingweg: Geschwindigkeit: Beschleunigung: x(t) = v(t) = a(t) = A Sin[φ + t ] A Cos[φ + t ] -A 2 Sin[φ + t ] 2.1.14 Bei der Beschäftigung mit schwingungstechnischen Problemen, stößt man häufig auf die Dezibel-Skala. Sie hat den Vorteil der Vermeidung hoher Zehnerpotenzen sowie einer einfachen Handhabung von Verhältniszahlen [117], weshalb man sie auch als Maß einer realtiven physikalischen Größe bezeichnet. Ihr Zeichen lautet Dezibel, Kurzform db und ihre Definition in der Regel: dezibel i = 10 Log A i A rel oder 20 Log A i A rel dezibel i - Verhältniszahl der physikalischen Größe i A i A rel - physikalische Größe i - Bezugswert der physikalischen Größe i

6 baudyn_02_1_schwingung.nb 2.1.15 In der Tabelle 2.1.15 sind für einige ausgewählte Größen typische Bezugswerte A rel gemäß [117] zusammengestellt worden. Physikalische Größe A i Bezugswert A rel 20 er - Decibel - Skala Schwingweg x rel = 10-8 [mm] db x = 20 Log10, x i x rel Schwinggeschwindigkeit v rel = 10-5 [mm / s] db v = 20 Log10, v i v rel Schwingbeschleunigung a rel = 10-5 [mm / s²] db a = 20 Log10, a i a rel Druck in Gasen * p rel = 20 10-5 [N / m²] db p = 20 Log10, p i p rel Tabelle 2.1.15: Bezugswerte ausgewählter Decibel-Skalen nach [117] * Anmerkung: In [117] ist bei der Festlegung des Bezugspegels für den Druck offensichtlich ein Fehler unterlaufen. In der Akustik findet man für den Bezugspegel einen Wert von p rel = 20 μ Pa 2 10-5 N/m², ein Wert, der übrigens der Hörschwelle des Menschen bei einer Frequenz von 1 khz entspricht und der wiederum ein Schalldruck von 0 db zugeordnet wird (siehe auch die folgende versteckte Zelle). Versteckte Zelle für ein Beispiel zur Decibel-Skala.