Formelsammlung Elektrodynamik SS 2006 RWTH Aachen Prof. Kull Skript Simon Sawallich
Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 3 1.1 Funktionen............................................ 3 Trigonometrische Funktionen.................................. 3 Hyperbelfunktionen........................................ 3 1.2 Koordinaten............................................ 3 2 Vektoranalysis 3 2.1 Skalare, Vektoren, Tensoren................................... 3 Orthogonale Transformation................................... 3 Skalare............................................... 3 Vektoren.............................................. 4 Tensoren.............................................. 4 2.2 Differentiation von Vektorfeldern................................ 4 2.3 Integralsätze............................................ 4 2.4 Delta-Funktion.......................................... 4 3 Elektrostatik 5 3.1 Feld einer Punktladung..................................... 5 3.2 Feldgleichungen.......................................... 5 3.3 Kraftwirkung elekrostatischer Felder.............................. 5 3.4 Energie elektrostatischer Felder................................. 6 Punktladung im elektrostatischen Feld............................. 6 Energie stetiger Ladungsverteilungen.............................. 6 Feldenergie............................................ 6 Zusammengesetze Systeme.................................... 6 Die Felder einer Vollkugel.................................... 6 3.5 Multipolfelder........................................... 7 Dipol................................................ 7 Mathematischer Dipol...................................... 7 Multipolentwicklung....................................... 7 3.6 Leiter............................................... 8 3.7 Lösungsmethoden für Randwertprobleme............................ 8 3.8 Methode der Green-Funktion.................................. 8 3.9 Separation in Kugelkoordinaten................................. 8 3.10 Dielektrika............................................. 9 Polarisation............................................ 9 Feldgleichungen.......................................... 9 4 Magnetostatik 9 4.1 Stromdichte............................................ 9 4.2 Feldgleichungen.......................................... 10 4.3 Magnetisches Dipolmoment................................... 10 4.4 Kraftwirkung von Magnetfeldern................................ 11 4.5 Magnetfelder in Materie..................................... 11
Elektrodynamik 3 1 Allgemeines 1.1 Funktionen Trigonometrische Funktionen e i x = cos(x) + i sin(x) sin(x) = 1 2i (e ix e ix) cos(x) = 1 2 (e ix + e ix) Hyperbelfunktionen sinh(x) = i sin(i x) = 1 2 (e x e x) cosh(x) = cos(i x) = 1 2 (e x + e x) 1.2 Koordinaten Ebene Polarkoordianten: r = ( r cos(ϕ) r sin(ϕ) J = r ) (1) Kugelkoordinaten: r = r sin ϑ cos(ϕ) r sin ϑ sin(ϕ) r cos ϑ (2) J = r 2 sin ϑ Zylinderkoordinaten: r = r cos(ϕ) r sin(ϕ) z (3) J = r 2 Vektoranalysis 2.1 Skalare, Vektoren, Tensoren Orthogonale Transformation x i = k α ik x k (4) Dabei sind α ik die Komponenten einer orthogonalen Matrix: α 1 = α T α α T = α T α = E (5) Skalare S (x i) = S(x j ) (6)
Elektrodynamik 4 Vektoren Tensoren a i = α ik a k (7) Ein Tensor n-ter Stufe ist eine n-fach indizierte Größe T ijk... mit dem Transformationsverhalten: 2.2 Differentiation von Vektorfeldern T ijk... = α il α jm α kl T lmn... (8) Gradient Divergenz f = i A = i e i f x i (9) A i x i (10) Rotation A = ijk ɛ ijk A j e k (11) x i Beziehung zwischen Levi-Civita-Tensor und Kronecker-Symbol: ɛ ijk ɛ imn = δ jm δ kn δ jn δ km (12) i Vektorprodukt-Regel (bac-cab) ( ) A B C = B ( ) A C C ( ) A B (13) 2.3 Integralsätze Satz von Gauß (Volumen Fläche) V dv A = S d S A (14) Satz von Stokes (Fläche Randkurve) ( ) ds A = 2.4 Delta-Funktion S Γ d r A (15) Delta-Funktion δ( r a) = 0 für r a und δ( r a) = für r = a (16) f( a) = dv f( r)δ( r a) (17)
Elektrodynamik 5 3 Elektrostatik 3.1 Feld einer Punktladung Feld wird durch eine Ladung q j am Ort r j erzeugt: E j ( r) = φ j ( r) = q r r j r r j 3 (18) φ j ( r) = q j r r j (19) Superposition: E ges = j E j φ ges = j φ j (20) 3.2 Feldgleichungen Differentielle Form: Das elektrostatische Feld ist ein wirbelfreies Vektorfeld, dessen Quelldichte durch die Ladungsdichte ϱ( r) bestimmt wird. Da E wirbelfrei ist, kann es aus einem Potential abgeleitet werden: E = 0 E = 4πϱ (21) E = φ φ = 4πϱ (22) Integrale Form der Feldgleichungen: dr E = ds E = 0 (23) Gauß sches Gesetz: Für das von der Oberfläche A eingeschlossenen Ladung Q in erzeugte elektrische Feld E gilt: ds E = dv E = 4π Q in Q in = dv ϱ (24) S V Integraldarstellung: Für eine vorgegebene Ladungsverteilung kann man E und φ bestimmen. Die Quelldichte ist dann s = 4πϱ und es gilt: φ( r) = d 3 r ϱ( r) r r (25) E( r) = φ = d 3 r ϱ( r) ( r r ) r r 3 (26) 3.3 Kraftwirkung elekrostatischer Felder Da das Eigenfeld keine resultierende Kraft auf die Ladung in V ausübt, gilt für die Gesamtkraft F auf die in V eingeschlossene Ladung: F = dv ϱ( r) E ext ( r) (27) V Gesamtdrehmoment um den Koordinatenursprung: N = dv r (ϱ( r) E ext ( r)) (28) V V
Elektrodynamik 6 3.4 Energie elektrostatischer Felder Punktladung im elektrostatischen Feld Die potentielle Energie einer Ladung q im elektrischen Feldstärkepotential φ ist gegeben durch das Kraftpotential U = q φ: E = φ F = q E = U (29) Bringt man eine Ladung aus dem Unendlichen nach r und wählt das Potential im Unendlichen gleich Null, so verrichtet man die Arbeit: W = r d r F ( r ) = r Energie stetiger Ladungsverteilungen d r U( r ) = U( r) U( ) = U( r) = q φ( r) (30) Die Energie einer Ladungsverteilung im externen Feld ist U = dv ϱφ ext (31) Die Energie einer Ladungserteilung im eigenen Feld ist U = 1 d 3 r ϱ( r)φ( r) (32) 2 Feldenergie Die Energie einer Ladungsverteilungin ihrem eigenen Feld kann auch über eine elektrische Energiedichte u( r) ausgedrückt werden, die durch das gesamte elektrische Feld am Ort r bestimmt wird: U = dv u( r) u( r) = 1 8π E( r)2 (33) Zusammengesetze Systeme Für zusammengesetzte Systeme mit der Ladungsdichte ϱ = ϱ 1 +ϱ 2 und dem elektrischen Feld E = E 1 + E 2 kann man die Feldenergie U ges aufteilen in die Energien U 1,2 der Teilsysteme und die Wechselwirkungsenergie U 12, die als Aufladungsarbeit des Systems interpretiert werden kann: U ges = U 1 + U 2 + U 12 (34) mit und U ges = U 12 = U 21 = dv 1 8π E2 U 1,2 = dv 1 E 4π 1 E 2 = dv ϱ 1 φ 2 = dv 1 8π E2 1,2 (35) dv ϱ 2 φ 1 (36) Die Felder einer Vollkugel Ladungsverteilung: Potential: φ(r) = ϱ = 3 Q Θ(R r) (37) 4πR3 ( ) Q 3 R 2 1 2 r2 R 2 Q r r < R r R (38)
Elektrodynamik 7 Elektrisches Feld: E(r) = Q r R 3 Q r r 3 r < R r R (39) 3.5 Multipolfelder Dipol Dipolmoment: p = q d d = r 1 r 2 (40) Mathematischer Dipol Ladungsdichte: Potential: Elektrisches Feld: Energie: Kraft: Drehmoment: ϱ = p δ(r) (41) φ = p 1 r = p r r 3 (42) E = p r r 3 = (p r)r r2 p r 5 (43) U = p φ ext = p E ext (44) F = p E ext = U (45) N = p (r E ext ) = p E ext + r F (46) Multipolentwicklung Multipolentwicklung in kartesischen Koordinaten: φ = Q r + i p i x i r 3 + 1 2 i,j Q ij x i x j r 5 ( ) 1 + O r 4 (47) Dabei sind das Monopolmoment, die Dipolmomente und der Quadrupoltensor definiert wie folgt: Q = dv ϱ(r) (48) Q ij = p i = dv ϱ(r) x i (49) dv ϱ(r) (3x i x j r 2 δ ij ) (50) Im allgemeinen hängen die Multipolmomente von der Wahl des Koordinatenursprungs ab. Das unterste nicht-verschwindende Multipolmoment ist jedoch immer ursprungsunabhängig.
Elektrodynamik 8 3.6 Leiter Mit der elektrischen Leitfähigkeit σ L gilt für die Stromdichte: Im Inneren von Leitern gilt: Oberflächenladungsdichte: j = σ L E (51) j = 0 E = 0 E = φ φ = const. E = 4πϱ ϱ = 0 σ = dq ds = 1 4π φ n R (53) An der Oberfläche gelten die Randbedingungen: Für die Kraft auf ein Oberflächenelement ds = n ds des Leiters gilt: (52) E t = 0 E n = 4π σ (54) df = 1 8π E2 nds (55) Energie eines Systems von N Leitern mit Ladungen Q i und Potentialen φ i : U = 1 2 dv ϱ φ = 1 2 3.7 Lösungsmethoden für Randwertprobleme 3.8 Methode der Green-Funktion N φ i Q i Q i = i=1 N C ij φ j (56) Integraldarstellung der Lösung des Dirichlet-Randwertproblems für die Greenfunktion G: φ(r) = 4π d 3 r ϱ(r ) G(r, r ) + φ i ds i n G(r, r ) (57) i i=1 Green-Funktion für einen Raum, der durch eine ebene Platte bei z = 0 begrenzt ist: G(r, r) = 1 ( ) 1 4π ρ + ze z r 1 ρ ze z r Green-Funktion für den Außenraum einer leitenden Kugel mit Radius R: G(r, r) = 1 1 4π (59) 3.9 Separation in Kugelkoordinaten Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten: φ = 1 r 2 ( r r2 r + 1 sin θ 1 r r R r r R2 r 2 r θ sin θ θ + 1 sin 2 θ Allgemeine zylindersymmetrische Lösung der Laplace-Gleichung: ( φ(r, θ) = a l r l + l=0 b l r l+1 (58) 2 ) ϕ 2 = 0 (60) ) P l (cos θ) (61)
Elektrodynamik 9 Einige Eigenschaften der Legendre-Polynome: 3.10 Dielektrika Polarisation P l (1) = P l (cos 0) = 1 (62) P 0 (cos θ) = 1 (63) P 1 (cos θ) = cos θ (64) Der Polarisationsvektor P gibt an, wieviel Ladung in welche Richtung verschoben wird, wenn ein Dielektrikum in ein elektrisches Feld kommt. Oberflächenpolarisation: Die gesamte Polarisationsladung an der Oberfläche eines Dielektrikums berechnet sich zu: Q p = dq dq = ds P (65) S Volumenpolarisation In jedem Volumenelement erhält man die Polarisationsladungsdichte: ϱ p = P (66) Bei konstanter (homogener) Polarisation befinden sich alle Ladungen an der Oberfläche und es gilt P = 0. Feldgleichungen Im Material muss die Polarisationsladungsdichte zur externen Ladungsdichte addiert werden. Man definiert die dielektrische Verschiebung: Damit lauten die Feldgleichungen in Materie: D = E + 4π P (67) D = 4π ϱ E = 0 (68) Der Betrag der dielektrischen Verschiebung ist in Dielektrikum und Vakkum gleich, während sich das elektrische Feld ändert: D = ɛ E (69) 4 Magnetostatik 4.1 Stromdichte Die Stromdichte j zeigt in Stromrichtung und gibt den Strom pro Flächeneinheit durch ein zur Stromrichtung senkrechtes Flächenelement an: di = j ds (70) Die lokale Form der Ladungserhaltung wird durch die Kontinuitätsgleichung dargestellt: Da in der Statik die Dichte zeitunabhängig ist, gilt: t ϱ(r, t) + j = 0 (71) j = 0 (72)
Elektrodynamik 10 Mikroskopische Definition: Für ein System von Punktladungen gilt für die Stromdichte: j = i q i v i δ(r r i ) (73) Für eine beliebige Funktion h(r) erhält man damit ein Formel, mit der man Summen über Ladungen durch Volumenintegrale ersetzen kann: dv j h(r) = q i v i h(r i ) (74) i Für dünne Leiter ist die Stromdichte parallel zu Linienelement dl = dl n, wobei n der Normalenvektor auf der Querschnittsfläche ist: dv j h(r) = dsdl j n h(r) = I dl h(l) (75) 4.2 Feldgleichungen Grundgleichungen der Magnetostatik: B = 0 (76) B = 4π c j (77) Aus der inhomogenen Feldgleichung erhält man das Ampèresche Gesetz: dr B = 4π c I I = ds j (78) Γ Vektorpotential: Magnetfelder sind quellenfrei und können somit aus einem Vektorpotential abgeleitet werden: B = A (79) S A = 4π c j A = 0 (80) Integraldarstellung: Für eine lokalisierte Stromdichte im unendlichen Raum erhält man: A = 1 c B = 1 c d 3 r j(r ) r r d 3 r j(r ) (r r ) r r Für dünner Leiter erhält man aus der Integraldarstellung für B zusammen mit (75) das Biot-Savart- Gesetz: B = I dl (r l) c r l 3 (83) 4.3 Magnetisches Dipolmoment Da es keine magnetischen Monopole gibt, beginnt die Multipolentwicklung mit dem magnetischen Dipolmoment: m = 1 2c d 3 r r j(r) (84) (81) (82)
Elektrodynamik 11 Für das Dipolfeld gilt dann: A = m r r 3 B = A = 3r (r m) r2 m r 5 (85) Auf ein magnetisches Dipolmoment wirkt in konstanten Magnetfeldern ein Drehmoment: In inhomogenen Magnetfeldern wirkt eine Kraft: 4.4 Kraftwirkung von Magnetfeldern Lorentzkraft auf ein System von Punktladungen: T = m B (86) F = U U = m B (87) F = 1 c q i v i B(r i ) (88) i Daraus erhält mit (74) die Kraft auf eine Stromdichte: F = dv f f = 1 c j B (89) Für dünne Leiter bzw. Linienelemente erhält man mit (75) df = I c dl B F = df (90) 4.5 Magnetfelder in Materie In einem Material sei n die Dichte der Dipole mit magnetischem Moment m, dann ist die Magnetisierung: M = n m (91) Diese Magnetisierungsstromdichte muss zur externen Stromdichte addiert werden, dann erhält man die magnetische Erregung: H = B 4π M (92) Damit lauten die Feldgleichungen in Materie: H = 4π c j B = 0 (93) Meist gilt ein linearer Zusammenhang: H = 1 µ B (94)