Mathematik im Studium

Mathematik im Studium Brücken kurs für Wirtschaftsund Naturwissenschaften Von Diplom-Physiker Jan Gehrke Duale Hochschule Baden-Württemberg Stuttgart 01 den bourg Verlag München

Inhaltsverzeichnis Vorwort Einführung I.1 Ein paar Beispiele.................. 1.2 Interpretation von Schaubildern.......... 1.3 Mathematische Beschreibung von Abhängigkeiten 1.4 Der Begriff der Funktion.... 1.5 Einteilung des Zahlenstrahls - Intervalle 11 Lineare Funktionen II.1 Die Streckenlänge im kartesischen Koordinatensystem....... II.2 Der Mittelpunkt einer Strecke im kartesischen Koordinatensystem II.3 Die Hauptform der Geradengleichung..... II.4 Die gegenseitige Lage von Geraden............. II.5 Über Schnittwinkel und orthogonale Geraden.... II.5.1 Eine neue Möglichkeit, die Steigung zu berechnen II.5.2 Zueinander orthogonale Geraden. II.5.3 Der Schnittwinkel zweier Geraden xiii 1 1 3 7 7 10 13 13 15 18 24 27 27 29 32 111 Quadratische Funktionen 37 III.l Die Binomischen Formeln... 37 III.1.1 Die 1. Binomische Formel 37 II1.1.2 Die 2. Binomische Formel 38 II1.1.3 Die 3. Binomische Formel 38 III.I.4 Der Weg zurück - Die Binomischen Formeln im Rückwärtsgang 39 III.2 Der Umgang mit quadratischen Funktionen... 41 II1.2.1 Die Mitternachtsformel (MNF)............... 41 11I.2.2 Von der Scheitelform zur Normalform und wieder zurück - There and back again......... 44 II1.2.3 Scheitelermittlung durch "Absenken"............. 48 II1.3 Die Herleitung der Mitternachtsformel... 51 III.4 Der Umgang mit Parabelscharen - Grundlagen Parameterfunktionen. 56 III.5 Zusammenfassung des Unterkapitels über Parameterfunktionen. 70 IV Grundlagen Potenzfunktionen 73

viii Inhaltsverzeichnis IV.1 Potenzfunktionen - Definition und ein paar Eigenschaften. IV.L1 Parabeln n-ter Ordnung. IV.L2 Hyperbeln n-ter Ordnung.... IV.2 Die Potenzgesetze.... IV.2.1 Warum Hochzahlen praktisch sind. IV.2.2 Das "nullte" Potenzgesetz und noch eine Definition IV.2.3 Das erste Potenzgesetz. IV.2A Das zweite Potenzgesetz IV.2.5 Das dritte Potenzgesetz. IV.2.6 Das vierte Potenzgesetz. IV.2.7 Das fünfte Potenzgesetz IV.2.8 Rationale Hochzahlen.. IV.2.9 Rechnen ohne Klammern - Vorfahrtsregeln beim Rechnen. IV.3 Rechnen mit Wurzeln - Einfache Wurzelgleichungen IVA Die Logarithmengesetze.... 73 73 76 79 79 80 81 82 82 83 83 85 88 89 93 V Ganzrationale Funktionen - Eine Einführung 101 V.1 Definition und Grenzverhalten..., 101 V.2 Zur Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen..., 105 V.3 Noch mehr Symmetrie - Symmetrie zu beliebigen Achsen und Punkten 106 VA Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen.. 110 V.4.1 Warum die Polynomdivision funktioniert..., 110 VA.2 Das Horner-Schema..., 112 VA.3 Nullstellen und Substitution bei ganzrationalen Funktionen. 116 V.5 Das Baukastenprinzip - Zusammengesetzte Funktionen 119 V.5.1 Addition und Subtraktion von Funktionen... 120 V.5.2 Multiplikation und Division von Funktionen.. 123 V.6 Den Überblick behalten - Gebietseinteilungen vornehmen 126 V.7 Beträge von Zahlen/Funktionen und Betragsgleichungen 127 V.7.1 Vom Betrag einer Zahl und und den zugehörigen Rechenregeln 127 V.7.2 Der Betrag einer Funktion oder Ebbe in den Quadranten Nummer III und IV... 130 Y.7.3 Die abschnittsweise definierte Funktion in Gleichungen - Jetzt wird's kritisch!.......... 135 V.7A Betragsgleichungen..., 137 VI Die vollständige Induktion und (ihre) Folgen VI.1 Grundlagen.... VI.L1 Ein paar Spielregeln zu Beginn. VI.L2 Darstellungsformen von Folgen. VI. 1.3 Die Definition der Monotonie VI. 1.4 Der Nachweis der Monotonie. VI. 1.5 Beschränktheit VI. 2 Der Grenzwert einer Folg~ : : : : : : : 147 147 147 148 149 150 150. 152

Inhaltsverzeichnis ix VI.2.1 Die Definition des Grenzwertes. 152 VI.2.2 Zwei Sätze und ein paar Begriffe. 153 VL3 Die Grenzwertsätze............. 154 VL3.1 Die 3 Grenzwertsätze....... 154 VI.3.2 Ein Beweis zu den Grenzwertsätzen 155 VI.3.3 Berechnung der Grenzwerte bei rekursiven Folgen 156 VI.4 Arithmetische und geometrische Folgen......... 157 VI.4.1 Arithmetische Folgen I - Ein paar Grundlagen.. 157 VI.4.2 Geometrische Folgen I - Ein paar Grundlagen.. 158 VI. 5 Die vollständige Induktion - Ein mächtiges Beweisverfahren. 161 VI.5.1 Arithmetische Folgen II - Die Summe der Folgenglieder 164 VI.5.2 Geometrische Folgen II - Die Summe der Folgenglieder 166 VI.5.3 Vollständige Induktion in Beispielen..... 168 VI. 6 Ein Test alles Gelernten - Die Fibonacci-Zahlenfolge. 176 VI. 6.1 Einführung und historischer Abriss... 177 VL6.2 Die Fibonacci-Zahlenfolge - Grundlagen. 178 VI.6.3 Die Kaninchen-Aufgabe........ 181 VL6.4 Der Goldene Schnitt... 183 VI.6.5 Die Herleitung der expliziten Formel 184 VII Einführung in die Differentialrechnung 191 VII.l Vom Differenzen- zum Differentialquotienten............ 191 VII.2 Die Ableitung einer Potenzfunktion und die Tangentengleichung. 196 VII.2.1 Der Umgang mit Berührpunkten. 201 VII.3 Die Herleitungen der Ableitungsregeln. 203 VII.3.1 Die Summenregel. 203 VII.3.2 Die Faktorregel.... 205 VII.3.3 Die Produktregel... 206 VII.3.4 Die Quotientenregel.. 208 VII.3.5 Die Kettenregel.... 211 VII.4 Wichtige Punkte eines Funktionsgraphen. 214 VII.4.1 Extrempunkte........... 214 VII.4.2 Wendepunkte........... 229 VII.4.3 Neu und alt - Ableitung trifft Parameter. 234 VII.5 Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Monotonie und die Wertetabelle.. 244 VII.5.1 Stetigkeit - Ohne Sprung ans Ziel....... 244 VII.5.2 Differenzierbarkeit - Knickfrei durch's Leben.... 247 VII.5.3 Monotonie - Wo geht's denn hin?.......... 250 VII.5.4 Die Wertetabelle - Eine oft ignorierte Zeichenhilfe. 255 VII.6 Die Kurvendiskussion - Gesamtübersicht mit Beispiel. 256 VIII Ober das Lösen linearer Gleichungssysteme 261 VIII.1 LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen. 261 VIILl.l Das Gleichsetzungsverfahren..... 262

x Inhaltsverzeichnis VIII.1.2 Das Einsetzungsverfahren.... 263 VIII.1.3 Das Additionsverfahren.............. 264 VIII.1.4 Der Umgang mit Parametern bei einem LGS. 265 VIII.2 LGS mit 3 und mehr Unbekannten.......... 267 VIII.2.1 Das Gaußsche Eliminationsverfahren.... 268 VIII.2.2 Gibt es Lösungen - und wenn ja wie viele?.. 271 VIII.3 LGS und Funktionen - Bestimmung ganzrationaler Funktionen.. 277 IX Mit Brüchen muss man umgehen können - Gebrochenrationale Funktionen 289 IX.l Grundlagen - Umgang mit Bruchgleichungen und Brüchen... 289 IX.2 Definition der gebrochenrationalen Funktionen......... 297 IX.3 Ein paar Besonderheiten - Definitionslücken und Asymptoten.. 297 IX.4 Ableiten gebrochenrationaler Funktionen............. 308 X Trigonometrische Funktionen 313 X.l Grundlagen und Ableitungsregeln. 313 X.1.1 Definition und Beispiele. 313 X.1.2 Vom Einheitskreis zur Funktion. 315 X.1.3 Das Bogenmaß. 320 X.1.4 Andere Winkel.. 321 X.1.5 Der Sinussatz... 323 X.1.6 Der Kosinussatz. 324 X.l. 7 Weitere Betrachtungen zum Einheitskreis.. 326 X.1.8 Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen - Ein wenig Nostalgie bei der Herleitung................... 329 X.2 Übersicht über die Eigenschaften der trigonometrischen Grundfunktionen335 X.3 Die Modifizierung trigonometrischer Funktionen (Sinus und Kosinus). 338 XI Wachsen ist schön - Exponentialfunktionen XU Grundlagen.... XI. 2 Ableiten von Exponentialfunktionen. XI.3 Wachstum.... XI.3.1 Lineares Wachstum...... XI.3.2 Exponentielles/Natürliches Wachstum. XI.3.3 Beschränktes Wachstum.... XI.3.4 Logistisches Wachstum................. XI.4 Die Grenzen erfahren - Grenzwertuntersuchung mit L'Hospital 349 349 350 360.360 362 368 369 372 XII Die Ableitung der Umkehrfunktion XII.l Was ist eine Umkehrfunktion? - Grundlagen und Begriffe XII.2 Ableiten von Umkehrfunktionen XII.2.1 Implizites Differenzieren'.... XII.2.2 Ableiten von Umkehrfunk~i~n~~ ~i~ d~r 'Ke~t~n~e~~l : 377 377.384 384.386

Inhaltsverzeichnis xi XIII Integralrechnung XIII.1 Schritt für Schritt zum Ziel - Ober- und Untersumme XIII.l.1 Ober- und Untersumme.... XIII.2 Was haben Stammfunktionen und Integralfunktionen gemeinsam? XIII.3 Übersicht zu wichtigen Stammfunktionen........ XIII.3.1 Aufleiten mittels der linearen Substitution....... XIII.3.2 Etwas Interessantes - Die Produktintegration.... XIII.3.3 Ein praktischer Satz - Über das Aufleiten von Brüchen XIII.4 Flächenberechnung - Worauf man achten sollte...... XIII.5 Einmal rundherum - Berechnung von Rotationsvolumen. 389 389 389 397 401 404 405 407.409 417 XIV Beweise mit Vektoren führen 423 XIV.1 Der Vektor in der analytischen Geometrie. 423 XIV.2 Linear abhängig und unabhängig...... 425 XIV.3 Das Prinzip des geschlossenen Vektorzuges. 426 XIV.3.1 Ein Beispiel: Teilverhältnis der Seitenhalbierenden im Dreieck 427 XIV.4 Ein erstes Produkt für Vektoren: Das Skalarprodukt.......... 429 XIV.4.1 Von Vektoren und ihren Beträgen............... 430 XIV.4.2 Das Skalarprodukt: Die Definition und ihre Konsequenzen. 435 XIV.4.3 Was man vom Skalarprodukt zum Beweisen benötigt. 438 XIV.4.4 Ein Beispiel: Der Satz des Thales. 439 XIV.5 Eine Aufgabe zur Vertiefung.................... 440 XV Rechnen im Raum - Analytische Geometrie XV.1 Noch ein Produkt für Vektoren: Das Kreuzprodukt XY.2 Geraden und Vektoren... XY.3 Ebenen............. XV.3.1 Die Koordinatenform XV.3.2 Die Normalenform. XV.3.3 Umwandeln von Ebenen 445 445 451.453.454 457 459 XV.4 Lagebeziehungen.......... 463 XV.4.1 Gegenseitige Lagen von Geraden.. 463 XV.4.2 Gegenseitige Lagen von Ebenen.. 465 XV.4.3 Gegenseitige Lagen von Ebene und Gerade. 470 XV.5 Abstände.... 470 XV.5.1 Der Abstand zweier Punkte......... 471 XV.5.2 Die Hessesche Normalenform - Abstandsbestimmungen bei Ebenen................ 471 XV.5.3 Abstände, die uns noch fehlen. 475 XV.6 Ein kurzes Wort über Schnittwinkel. 479 XV.7 Ein kugelrunder Abschluss........ 481 XVI Wenn's nicht direkt geht - Ein wenig Numerik XVI.1 Für Nullstellen - Das Newton-Verfahren. 491 491

xii Inhaltsverzeichnis A B c XVI. 1. 1 Wann Newton nicht funktioniert. XVI.1.2 Übersicht mit Beispiel... XV1.2 Für Flächen - Die Keplersche Fassregel XVI.2.1 Sehnentrapeze.... XV1.2.2 Tangententrapeze.... XVI.3 Wo Kepler aufhört fängt Simpson an - Die Simpson-Regel Die Strahlensätze A.l Einführende Betrachtungen A.2 Der 1. Strahlensatz.... A.3 Der 2. Strahlensatz.... A.4 "Kurzversion" des 1. Strahlensatzes Ungleich geht die Welt zu Grunde - Ein paar Infos über Ungleichungen B.1 Ganz elementare Regeln... B.2 Beispiele statt allgemeine Hudelei Das Pascalsche Dreieck C.l Worum es geht.... C.2 Zum Aufstellen des Dreiecks... C.3 Warum das Schema funktioniert. 494.494 495 496 497.498 501 501 502 503 504 509 509 510 513 513 514 516 Weiterführende Literatur Stichwortverzeichnis 519 520