2. Lagrange-Gleichungen

2. Lagrange-Gleichungen Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen herleiten, mit denen sich das Aufstellen der Bewegungsgleichungen weiter vereinfacht. Besonders einfach werden die Lagrange-Gleichungen für Systeme, bei denen alle eingeprägten Kräfte konservativ sind. 4.2-1

2. Lagrange-Gleichungen 2.1 Allgemeine Systeme 2.2 Konservative Systeme 2.3 Beispiel: Federpendel 4.2-2

2.1 Allgemeine Systeme Verallgemeinerte Koordinaten: Bei einem System von n Massenpunkten wird die Lage der Massenpunkte durch n Ortsvektoren r i beschrieben. Wenn das System f Freiheitsgrade hat, dann sind die n Ortsvektoren Funktionen von f unabhängigen verallgemeinerten Koordinaten q j : r i =r i q 1,,q f, i=1,, n Für die virtuellen Geschwindigkeiten gelten die Beziehungen ṙ i = r i q 1 q 1 r i q f q f = j r i q j, i=1,,n 4.2-3

2.1 Allgemeine Systeme Virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte: Für die virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte gilt: P= i F i e ṙ i = i F i e j r i q = j i j F i e r i q j Die Reihenfolge der Summation darf vertauscht werden: P= j Mit den verallgemeinerten Kräften folgt: i P= j F i e r i q j Q j q j Q j= i F i e r i q j 4.2-4

Beispiel: Pendel 2.1 Allgemeine Systeme r =R sin e x cos e z r =R cos e x sin e z φ R x F e =mg e z z mg Q =F e r =mg e z R cos e x sin e z = mg R sin P=Q = mg R sin 4.2-5

2.1 Allgemeine Systeme Virtuelle Leistung der Trägheitskräfte: Für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte gilt: P T = i m i r i ṙ i = i m i r i j r i q j = i j m i r i r i q = j j i m i r i r i q j Wegen gilt: d dt ṙ i r i = r i r i q j ṙ i ṙ i q j m i r i r i =m i d dt ṙ i r i q j m i ṙ i ṙ i 4.2-6

2.1 Allgemeine Systeme Aus folgt: r i =r i q 1,,q f, i=1,, n ṙ i = r i q 1 q 1 r i q f q f = j r i q j Ableiten nach q j führt auf ṙ i q j = r i Damit gilt: m i r i r i =m i d dt ṙ i r i m i ṙ i ṙ i = d dt m i ṙ i ṙ i q j m i ṙ i ṙ i 4.2-7

2.1 Allgemeine Systeme Wegen q j m i ṙ i ṙ i =m i ṙ i q j ṙ i m i ṙ i ṙ i q j =2m i ṙ i ṙ i q j m i ṙ i ṙ i =m i ṙ i ṙ i m i ṙ i ṙ i =2 m i ṙ i ṙ i gilt: m i r i r i = d dt [ q j 1 2 m i ṙ i 2 ] 1 2 m i ṙ i 2 Die kinetische Energie eines Massenpunktes ist T i = 1 2 m i v i 2 = 1 2 m i ṙ i 2 4.2-8

2.1 Allgemeine Systeme Damit gilt für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte: P T = j i m i r i r i q = d j j i dt T i q j T i q j Mit der kinetischen Energie des Gesamtsystems folgt: P T = j T = i T i [ d T dt q T ] j q j 4.2-9

2.1 Allgemeine Systeme Prinzip der virtuellen Leistung: Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung folgt damit: P P T =0 : j [ Q j d T dt q T ] j q j =0 Da die virtuellen Geschwindigkeiten unabhängig voneinander sind und das Prinzip der virtuellen Leistung für beliebige virtuelle Geschwindigkeiten gilt, muss jeder Summand für sich verschwinden. 4.2-10

2.1 Allgemeine Systeme Lagrange-Gleichungen 2. Art: d T dt q j T =Q j, j=1,, f 4.2-11

2.1 Allgemeine Systeme Beispiel: Pendel Kinetische Energie: T = 1 2 m ẋ 2 ż 2 Mit der verallgemeinerten Koordinate φ gilt: ẋ=r cos, ż= R sin T = 1 2 m R2 2 Ableitungen der kinetischen Energie: T =m R2, d dt T =m R2, T =0 Bewegungsgleichung: m R 2 =Q = mg R sin 4.2-12

Konservative Systeme: 2.2 Konservative Systeme Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Arbeit, die sie an einem Massenpunkt verrichtet, nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt, aber unabhängig von der Bahnkurve ist. P 2 W 12 = C 1 F d r= C 2 F d r C 2 C 1 P 1 Ein System heißt konservativ, wenn alle eingeprägten Kräfte konservativ sind. 4.2-13

2.2 Konservative Systeme Die Gewichtskraft ist eine konservative Kraft: z Die Kraft einer linear elastischen Feder ist eine konservative Kraft: C 2 P 2 r C 1 y P 1 G s 1 s 2 F x W G = mg z 2 z 1 W F = 1 2 c s 2 2 s 12 4.2-14

2.2 Konservative Systeme Potenzial: Der Wert des Potenzials einer konservativen Kraft an einem Ort P ist gleich dem Wert der Arbeit, den die Kraft an einem Massenpunkt verrichtet, wenn er vom Ort P an einen festen Bezugspunkt P 0 verschoben wird: P V P =W = 0 0 P P F d r= P 0 F d r C 0 P P 0 4.2-15

2.2 Konservative Systeme Potenzial der Gewichtskraft: Wird der Bezugspunkt bei z = 0 gewählt, dann gilt für das Potenzial der Gewichtskraft in der Nähe der Erdoberfläche: V G x, y, z =mg z Potenzial der Federkraft: Wird als Bezugspunkt der unverformte Zustand gewählt, dann gilt für das Potenzial der Federkraft: V F s = 1 2 c s2 4.2-16

2.2 Konservative Systeme Zusammenhang zwischen Kraft und Potenzial: Sei P' ein Punkt, der sehr nahe bei Punkt P liegt. Dann gilt für das Potenzial im Punkt P': V P ' =V P V =V P V x Dabei sind Δx, Δy und Δz die kleinen Differenzen zwischen den Koordinaten von Punkt P' und von Punkt P. Aus der Definition des Potenzials folgt: x V y y V z z P ' V P ' = P 0 P F d r= P 0 P ' F d r P F d r 4.2-17

2.2 Konservative Systeme Das erste Integral auf der rechten Seite ist gleich V(P). Da P' nahe bei P liegt, gilt für das zweite Integral: P ' P F d r=f r=f x x F y y F z z Damit ist gezeigt: F x = V x, F y= V y, F z= V z F= V r Die Kraft ist gleich dem negativen Gradienten des Potenzials. 4.2-18

2.2 Konservative Systeme Schwerkraft: Federkraft: V G x, y, z =mg z G z = V G z = mg V F s = 1 2 c s2 F s = V F s = c s Systeme von Massenpunkten: Bei einem System von Massenpunkten hängt die potenzielle Energie von den Koordinaten aller Massenpunkte ab: V =V r 1,, r n Wird nur ein Massenpunkt um Δr i verschoben, dann verrichten nur die an diesem Massenpunkt angreifenden Kräfte Arbeit. 4.2-19

2.2 Konservative Systeme Für die Änderung des Potenzials gilt: V = V e r i = F i r i r i Für die Kraft auf einen Massenpunkt gilt also: F i e = V r i Damit berechnen sich die verallgemeinerten Kräfte zu Q j = i F i e r i = i V r i r i = V Dabei ist V q 1,,q f =V r 1 q 1,,q f,, r n q 1,,q f 4.2-20

2.2 Konservative Systeme Lagrange-Gleichungen 2. Art für konservative Systeme: Wenn alle eingeprägten Kräfte konservative Kräfte sind, lauten die Lagrange-Gleichungen: d T dt q j T = V d T dt q T V =0 j Die Funktion L=T V wird als Lagrange-Funktion bezeichnet. 4.2-21

2.2 Konservative Systeme Da die potenzielle Energie nicht von den Geschwindigkeiten abhängt, erfüllt die Lagrange-Funktion die Gleichungen d L dt q j L =0, j=1,, f Zur Ermittlung der Bewegungsgleichungen muss nur die kinetische und die potenzielle Energie berechnet werden. Die Bewegungsgleichungen folgen durch Differenzieren nach den verallgemeinerten Koordinaten. 4.2-22

2.2 Konservative Systeme Beispiel: Pendel x x=r sin, z=r cos V = mg z= mg R cos L=T V = 1 2 m R2 2 mg R cos φ R L =m R2, L = mg R sin d L dt =m R2 m R 2 m g R sin =0 z 4.2-23

Beispiel: Seiltrommel 2.2 Konservative Systeme Für das dargestellte System, bestehend aus einer Seiltrommel und einem Klotz, ist die Bewegungsgleichung aufzustellen. m 2, J 2 r i r a m 1 4.2-24

2.2 Konservative Systeme Als verallgemeinerte Koordinate wird der Winkel φ gewählt, der die Lage der Trommel beschreibt: q = φ Dann gilt: x q = r a q y q = r a r i q q = q S φ x P y 4.2-25

2.2 Konservative Systeme Kinetische Energie: T ẋ, ẏ, = 1 2 m 1 ẏ 2 1 2 m 2 ẋ 2 1 2 J 2 2 T q = 1 2 m 1 r a r i 2 q 2 1 2 m 2 r a2 q 2 1 2 J 2 q 2 Potenzielle Energie: Lagrange-Funktion: V x, y, = m 1 g y V q = m 1 g r a r i q L=T V L q, q = 1 2 [ m 1 r a r i 2 m 2 r a 2 J 2 ] q 2 m 1 g r a r i q 4.2-26

2.2 Konservative Systeme Ableitungen der Lagrange-Funktion: L q = [m 1 r a r i 2 m 2 r 2 a J ] 2 q, d L dt q = [m 1 r a r i 2 m 2 r 2 a J ] 2 q L q =m 1 g r a r i Lagrange-Gleichungen: d L dt q L q =0 [m 1 r a r i 2 m 2 r a 2 J 2 ] q m 1 g r a r i =0 q= m 1 r a r i m 1 r a r i 2 m 2 r a 2 J 2 g 4.2-27

2.2 Konservative Systeme Systeme mit konservativen und dissipativen Kräfte: Wirken auf ein System konservative und dissipative Kräfte, dann können die konservativen Kräfte in der Lagrange- Funktion berücksichtigt werden. Die Lagrange-Gleichungen enthalten zusätzlich die verallgemeinerten dissipativen Kräfte: d L dt q j L d =Q, j j=1,, f 4.2-28

2.3 Beispiel: Federpendel Aufgabenstellung: Der abgebildete Schwinger besteht aus einem Massenpunkt der Masse m und einer Feder mit der Federkonstanten c. Die augenblickliche Länge der Feder ist R. Die Länge der Feder im entspannten Zustand ist R 0. Gesucht sind die Bewegungsgleichungen, wenn vorausgesetzt wird, dass der Schwinger sich nur in der Ebene bewegt. P R c m 4.2-29

2.3 Beispiel: Federpendel Verallgemeinerte Koordinaten: Die Lage des Massenpunktes liegt eindeutig fest, wenn die aktuelle Länge R der Feder und der Winkel φ gegeben sind. P φ R x Als verallgemeinerte Koordinaten werden gewählt: q 1 = R R 0, q 2 = z m 4.2-30

2.3 Beispiel: Federpendel Zwischen den verallgemeinerten und den kartesischen Koordinaten besteht der Zusammenhang x=r sin =R 0 q 1 sin q 2, z=r cos =R 0 q 1 cos q 2 Daraus folgt für die Geschwindigkeit: v x = ẋ=r 0 q 1 sin q 2 q 1 q 2 cos q 2 v z =ż=r 0 q 1 cos q 2 q 1 q 2 sin q 2 4.2-31

Kinetische Energie: 2.3 Beispiel: Federpendel Für die kinetische Energie des Massenpunkts gilt: T q 1,q 2, q 1, q 2 = 1 2 m v x 2 v z2 = 1 2 m R 2 [ 0 q 1 sin q 2 q 1 q 2 cos q 2 2 q 1 cos q 2 q 1 q 2 sin q 2 2 ] = 1 2 m R 2 0 q 2 1 q 12 q 22 4.2-32

Potenzielle Energie: 2.3 Beispiel: Federpendel Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der potenziellen Energie der Federkraft und der potenziellen Energie der Gewichtskraft. Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft wird die entspannte Feder gewählt. Dann gilt für die potenzielle Energie der Federkraft: V F q 1, q 2 = 1 2 c R R 0 2 = 1 2 c R 2 0 q 1 1 2 4.2-33

2.3 Beispiel: Federpendel Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft wird Punkt P gewählt. Dann gilt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft: V G q 1, q 2 = mg z= mg R 0 q 1 cos q 2 Lagrange-Funktion: Mit L=T V F V G folgt: L q 1,q 2, q 1, q 2 = 1 2 m R 2 0 q 2 1 q 12 q 22 1 2 c R 2 0 q 1 1 2 mg R 0 q 1 cos q 2 4.2-34

2.3 Beispiel: Federpendel Ableitungen der Lagrange-Funktion: L =m R q 02 q 1 d L 1 dt q =m R 2 0 q 1 1 L =m R 2 q 0 q 12 q 2 d L 2 dt q =m R 2 0 2 q 1 q 1 q 2 q 12 q 2 2 L q 1 =m R 0 2 q 1 q 2 2 c R 0 2 q 1 1 mg R 0 cos q 2 L q 2 = mg R 0 q 1 sin q 2 4.2-35

Lagrange-Gleichungen: 2.3 Beispiel: Federpendel d L dt q L =0 1 q 1 m R 02 q 1 m R 2 0 q 1 q 2 2 2 c R 0 q 1 1 mg R 0 cos q 2 =0 d L dt q L =0 2 q 2 m R 02 2q 1 q 1 q 2 q 12 q 2 mg R 0 q 1 sin q 2 =0 4.2-36

2.3 Beispiel: Federpendel Bewegungsgleichungen: q 1 q 1 q 2 2 c m q 1 1 g cos q R 2 =0 0 q 1 q 2 2 q 1 q 2 g sin q R 2 =0 0 R=R 0 q 1, =q 2 4.2-37

2.3 Beispiel: Federpendel Spezialfall: Geradlinige Bewegung Für die Anfangsbedingungen q 2 0 =0, q 2 0 =0 ist q 2 t =0 eine Lösung der zweiten Bewegungsgleichung. Die erste Bewegungsgleichung lautet dann q 1 c m q 1 1 g R 0 =0 q 1 c m q 1= c m g R 0 Die statische Lösung dieser Gleichung ist q 1s =1 mg c R 0 R s =R 0 mg c 4.2-38

2.3 Beispiel: Federpendel R s ist die Länge, die die Feder infolge der Gewichtskraft in der Ruhelage hat. Mit q 1 =q 1 s x folgt: ẍ c m q 1s x = c m g R 0 Daraus folgt: ẍ c m x=0 Die Variable x misst die Auslenkung gegenüber der statischen Ruhelage. Sie erfüllt die Schwingungsgleichung eines Einmassenschwingers. 4.2-39

2.3 Beispiel: Federpendel Grenzfall: Sehr steife Feder Für c/m folgt aus der ersten Gleichung: q 1 1 Damit lautet die zweite Gleichung: q 2 g R 0 sin q 2 =0 Das ist die Schwingungsgleichung des mathematischen Pendels. 4.2-40