Fixpunkte und Stabilitätsanalyse 1
Themenüberblick Motivation 1D-Probleme Bifurkationen 2D-Probleme Fixpunkttypen Lotka-Volterra-Modelle 2
Motivation Bisher: Lineare Dynamik Jetzt: Nichtlineare Systeme Ohne explizite Lösung Fixpunkte!!! 3
1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung der DGL mit Separation 4
1D-Probleme Stattdessen: Graphische Analyse als Vektorfeld auf x-achse Graphische Darstellung: i. Pfeil nach rechts ii. Pfeil nach links Fixpunkt bei 5
1D-Probleme 6
1D-Probleme Graphisches Stabilitätskriterium: i. Stabil Pfeile zeigen nach innen ii. Instabil Pfeile zeigen nach außen Quantitative Analyse auch möglich? Lineare Stabilitätsanalyse 7
1D-Probleme Ansatz: Taylor d Lösung: 8
1D-Probleme Lineares Stabilitätskriterium: i. Stabil ii. Instabil 9
1D-Probleme Zurück zum Beispiel Fixpunkt, wenn 10
1D-Probleme Zurück zum Beispiel Fixpunkt, wenn instabil stabil 11
1D-Probleme Erinnerung: 12
1D-Probleme Bemerkung: Was passiert bei? stabil instabil 13
1D-Probleme Hier ist halbstabiler Fixpunkt 14
Bifurkationen Übersicht: Sattel-Knoten-Bifurkationen Transkritische Bifurkationen Pitchfork-Bifurkationen Superkritische Bifurkationen Subkritische Bifurkationen Nicht perfekte Bifurkationen Beispiele 15
Was sind Bifurkationen Bis jetzt: simple 1D-Probleme Dynamik der Vektorfelder sehr eingeschränkt Nun: Abhängigkeit von Parametern Struktur des Verlaufs ändert sich Fixpunkte werden zerstört oder erschaffen Änderungen in der Dynamik heißen Bifurkationen Parameterwerte an denen sie auftreten Bifurkationspunkt Bifurkationen liefern Modelle für Verstärkung und Instabilität 16
Sattel-Knoten-Bifurkation Fixpunkte für bei Bei Variation des Parameters bewegen sich Fixpunkte aufeinander zu und annihilieren sich Normalform unterschiedliche Fälle 17
Fall 1: 18
Fall 2: 19
Fall 3: 20
Bifurkationsdiagramm 21
Transkritische Bifurkationen Es gibt Modelle in denen ein Fixpunkt für alle Parameterwerte existieren muss Dieser Fixpunkt kann jedoch seine Stabilität ändern Für solche Modelle werden transkritische Bifurkationen verwendet Normalform 22
Fall 1: 23
Fall 2: 24
Fall 3: 25
Bifurkationsdiagramm 26
Pitchfork Bifurkation Modell für Systeme mit Symmetrie Es gibt 2 Arten dieser Bifurkation Superkritische Pitchfork Bifurkation Subkritische Pitchfork Bifurkation 27
Superkritische Pitchfork Bifurkation Normalform invariant unter Kubischer Term wirkt stabilisierend 28
Fall 1: 29
Fall 2: 30
Fall 3: 31
Bifurkationsdiagramm 32
Subkritische Pitchfork Bifurkation Normalform Kubischer Term ist hier nicht mehr stabilisierend treibt Funktion andere Normalform für stabile Funktionen System invariant für erster stabilisierender Term ist neue Normalform 33
Bifurkationsdiagramm für instabile Bifurkation 34
Bifurkationsdiagramm für stabile Bifurkation 35
Wichtiges zur stabilen Bifurkation Für koexistieren zwei stabile Zustände Welcher Fixpunkt für angenommen wird, ergibt sich aus der Anfangsbed. Daher ist der Fixpunkt im Ursprung gegen kleine Störungen stabil, nicht jedoch gegen große der Ursprungsfixpunkt ist nur lokal stabil 36
Wichtiges zur stabilen Bifurkation Die Existenz von versch. stabilen Zuständen ermöglicht Sprünge und Hysteresen 37
Nichtperfekte Bifurkationen Normalerweise Systeme nicht perfekt symmetrisch, sondern nur näherungsweise Diese Syteme haben Unvollkommenheiten Betrachte hierzu : Für Für liegt normale Symmetrie vor liegt Symmetriebrechung vor Analyse hier deutlich schwieriger aufgrund zweier unabhängiger Parameter 38
Analyse der Fixpunkte graphischer Ansatz: Plotte in ein Koordinatensyst. Suche nach Schnittpunkten Schnittpunkte sind Fixpunkte 39
Analyse der Fixpunkte Kritischer Fall: Gerade ist Tangente an Extrempunkt Dann: Sattel-Knoten-Bifurkation Suche Werte für h an denen Bifurkation auftritt: Für den Wert am lokalen Maximum gilt: Sattel-Knoten-Bifurkation tritt auf, wenn 40
Analyse der Fixpunkte 41
Analyse der Fixpunkte Bifurkationsdiagramme von für festes 42
Analyse der Fixpunkte Bifurkationsdiagramme von für festes 43
Kurze Anmerkung zu Katastrophen Spitzenkatastrophe 44
Beispiel : Populationsentwicklung Hier: Falterart aus Kanada Modell bedient sich der Trennung von Zeiträumen Population wächst schnell (char. Zeitraum: Monate) Bäume wachsen langsam (char. Zeitraum Jahre) Bei Betrachtung der Populationsentwicklung können also die Waldvariablen konstant angenommen werden 45
Populationsentwicklung Für die Population gilt: wächst logistisch mit Wachstumsrate und Tragfähigkeit (hierbei fest) (Todesrate aufgr. von Raubtieren) wächst logistisch 46
Populationsentwicklung Hier Untersuche Modell nun auf einen sog.ausbruch 47
Dimensionlose Formulierung 48
Analyse der Fixpunkte Erster Fixpunkt bei (immer instabil) Weitere Fixpunkte durch Lösung von 49
Analyse der Fixpunkte 50
Bifurkationskurven errechnen Wir untersuchen Kurven im für die eine Sattel-Knoten-B. vorliegt Wir können jedoch die Parameter nicht als Funktion voneinander ausdrücken Wähle Parametrisierung 51
Bifurkationskurven errechnen Für S-K-B müssen erfüllt sein: Einsetzen von (3) in (1) liefert: Einsetzen von (4) in (3) liefert: Bifurkationskurven sind (5) und (4) 52
Bifurkationskurven 53
2D-Probleme Betrachte nun nichtlineare Probleme vom Typ Fixpunkte dann gegeben durch 54
2D-Probleme baut Phasenebene auf ist dann Vektorfeld auf der Phasenebene 55
2D-Probleme Erst lineare Systeme untersuchen! Allgemeine Lösung: Schreibe Mit und 56
Sattelpunkt 57
Knoten : Stabil : Instabil 58
Periodische Lösung 59
Spirale : stabil : instabil 60
Sonderfall: Stern-Knoten 61
Sonderfall: Entarteter-Knoten 62
Zusammenfassung Was haben wir bisher gelernt? Fixpunkte zur Betrachtung der Dynamik Stabilität graphisch oder analytisch bestimmen Graphisch: Vektorflusses visualisieren Analytisch: Lineare Stabilitätsanalyse In 2D viel mehr Möglichkeiten als in 1D 63
Lotka-Volterra-Modelle Beschreiben Wechselwirkung von mehreren Populationen Beispiel: Räuber-Beute-Problem Populationszahlen: (Beute), (Räuber) Ungestörte Wachstumsrate: Begegnung Räuber-Beute: 64
Lotka-Volterra-Modelle Insgesamt also: Betrachte die Dynamik mit Mathematica! 65
Quellenverzeichnis Strogatz, Steven H. (1994): Nonlinear Dynamics and Chaos. Massachusetts Suter, Dieter (2010): Skript zur Vorlesung Analytische Mechanik. [cited 02.06.2015]. https://e3.physik.unidortmund.de/~suter/vorlesung/physik_iii_ws10/2.8 _Chaos.pdf [cited 29.05.2015] http://de.wikipedia.org/wiki/kritischer_punkt_(dyna mik) 66