Proseminar Kosmologie und Astroteilchen: Das kosmologische Standardmodell

Proseminar Kosmologie und Astroteilchen: Das kosmologische Standardmodell Tobias Behrendt 24.11.2011

Inhaltsverzeichnis 1 Das kosmologische Prinzip 4 2 Erinnerung: ART und Metriken 5 2.1 Gauss sche Koordinaten............................ 5 2.2 metrischer Tensor................................ 6 2.3 Flatness-Theorem................................ 7 3 Robertson-Walker-Metrik 8 3.1 Partikelhorizont................................. 10 3.2 Rotverschiebung................................ 10 3.3 Hubble-Gesetz................................. 11 4 Friedmann-Gleichungen 12 4.1 Friedmann-Gleichungen............................ 12 4.2 kritische Dichte................................. 13 4.3 Zeitentwicklung von Modelluniversen..................... 14 4.3.1 Zeitverlauf der Dichte......................... 14 4.3.2 Modelluniversum mit k=0....................... 14 4.3.3 strahlungsdominiertes Universum................... 15 4.3.4 materiedominiertes Universum.................... 15 3

1 Das kosmologische Prinzip Das kosmologische Prinzip besagt, dass das Universum isotrop (es sieht in alle Richtungen gleich aus) und homogen (es sieht von überall gleich aus) ist, wobei aus Isotropie Homogenität folgt, allerdings nicht umgekehrt. Diese Annahme wurde gemacht, noch bevor sie empirisch bewiesen wurde, da es nur weniger Parameter bedurfte und so sehr gut verwendet werden konnte. Das Prinzip gilt ab Skalen im Bereich von ca. 100 MPc. Das ist in etwa der Abstand von Galaxienhaufen und dies sind die größten identifizierbaren Strukturen im Universum. Mittlerweile gibt es aber genug experimentelle Bestätigung für das kosmologische Prinzip, wie etwa die Isotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung. Aus Beobachtungen wäre es möglich zu schlussfolgern, und es scheint für manche die naheliegendste Erklärung zu sein, dass wir (unsere lokale Gruppe) uns im Zentrum des Universums befinden, da sich alles andere von uns wegbewegt. Es lässt sich aber leicht zeigen, dass diese Beobachtung auch von jedem beliebigen anderen Ort im Universum gemacht wird. 4

2 Erinnerung: ART und Metriken In der SRT betrachteten wir nicht gekrümmte Räume und verwendeten dazu die Minkowski- Metrik (ds) 2 = η µν dx µ dx ν mit dem dazugehörigen metrischen Tensor η µν = diag(1, 1, 1, 1). Dieser Tensor war aufgrund der nicht gekrümmten Raumzeit ortsunabhängig. In der allgemeinen Relativitätstheorie betrachtet man den Raum unter Einfluss der Gravitation. Die Raumzeit wird durch die Gravitationsfelder gekrümmt und der metrische Tensor g µν (x) wird ortsabhängig. Daraus resultieren nichtlineare Koordinatenachsen, die als Krümmung des Raumes interpretiert werden. 2.1 Gauss sche Koordinaten Bei gekrümmten Oberflächen denkt man meistens an diese, eingebettet in einen dreidimensionalen euklidischen Raum mit Koordinaten X, Y, Z. Eine solche Oberfläche im dreidimensionalen Raum wird spezifiziert durch eine Beziehung Z = g(x, Y ). Für eine 2-Sphäre mit Radius R sieht eine solche Beziehung so aus: Z = ± R 2 X 2 Y 2. Eine derartige Beschreibung einer gekrümmten Oberfläche nennt man eine extrinsische geometrische Beschreibung. D.h. der physikalische Raum wird beschrieben mit Hilfe von Größen außerhalb des Raumes. Woran wir allerdings interessiert sind ist eine intrinsische geometrische Beschreibung des Raumes. D.h. wir wollen den Raum nicht in eine höhere Dimension einbetten. Gauss führte eine verallgemeinerte Parametrisierung mit Koordinaten (x 1,x 2 ) ein mit X = X(x 1,x 2 ),Y = Y (x 1,x 2 ),Z = Z(x 1,x 2 ) Dies sind die Gauss schen Koordinaten. Damit kann man eine rein intrinsische Beschreibung vornehmen. Beispiel: 2-Sphäre in Polarkoordinaten. Wir wählen als Gauss sche Koordinaten (x 1,x 2 ) = (Θ, Φ) und markieren damit die Punkte auf unserer zweidimensionalen Oberfläche. Wir wählen einen Punkt auf der Oberfläche und erklären ihn zum Nordpol. Die Linie, die vom Zentrum zu diesem Punkt geht ist die Polarachse. Zudem bestimmen wir einen Hauptmeridian. Die Koordinate Θ wird gegen die Polarachse gemessen und die Koordinate Φ gegen den Hauptmeridian 5

2.2 metrischer Tensor Die Hauptidee der Differentialgeometrie war es, eine intrinsische Beschreibung des Raumes durch Distanzmessungen im physikalischen Raum zu erreichen. metrischer T ensor : g ab = e a e b (2.1) Die Metrik g ab verbindet die infenitisimale Längenmessung ds mit den gewählten Koordinaten ( )( ) ds 2 =(dx 1 dx 2 g11 g ) 12 dx 1 g 21 g 22 dx 2 (2.2) Illustration für den Fall einer sphärischen Oberfläche: Zuerst wird ein Längen- und Breitengradsystem eingeführt, d.h. Koordinaten Θ Φ, so dass man Punkte markieren und die Distanzen zwischen ihnen bestimmen kann. Man sieht schnell, dass die Distanzen zwischen Breitengraden ds Φ = R sin ΘdΦ immer kürzer werden, je näher man zum Pol kommt (bei dθ = 0), während ds Θ bei gleichbleibendem Φ immer gleich bleibt. Durch mehrere Distanzmessungen kommt man schließlich zu einer Beschreibung der Oberfläche. Solche Distanzmessungen lassen sich kompakt ausdrücken in Form der Metriktensorelemente. Da g ΘΦ = e Θ e Φ = 0 (orthogonales Koordinatensystem) kann die Länge zwischen dem Ursprung und einem nahen (!) Punkt berechnet werden als ds 2 = ds 2 Θ + ds 2 Φ = R 2 dθ 2 + R 2 sin Θ 2 dφ 2 (2.3) Dadurch gelangt man zur Metrikmatrix [g (Θ,Φ) ]=R 2 ( 1 0 0 sin Θ 2 ) (2.4) Man kann eine solche sphärische Oberfläche auch in Zylinderkoordinaten darstellen. Auch wenn das erstmal umständlich erscheint, erweist sich das später als nützlich. Man erhält in dem Fall für die Metrik die Matrix [g (ρ,φ) ]=R 2 ( R 2 R 2 ρ 2 0 0 ρ 2 ) (2.5) Zylinderkoordinaten sind deshalbt praktisch weil sie eine kompakte Beschreibung aller Oberflächen mit konstanter Krümmung liefern. g ab ist eine intrinsische geometrische Größe, weil sie ohne Einbettung bestimmt werden kann. Ein Einwohner der zweidimensionalen gekrümmten Oberfläche kann, wenn einmal 6

die Gauss schen Koordinaten gewählt sind, g ab durch verschiedene Längenmessungen erhalten. Für den zweidimensionalen Fall haben wir g 11 = (ds 1) 2 (dx 1 ) 2,g 22 = (ds 2) 2 (dx 2 ) 2,g 12 = ds2 12 ds2 1 ds2 2 2dx 1 dx 2 (2.6) ds 1 und ds 2 sind Längen, gemessen entlang der 1- und 2-Achse, d. h. die beiden Längensegmente zwischen dem Ursprung und den Punkten mit (dx 1, 0) und (0,dx 2 ).ds 12 ist das Längensegment zwischen Ursprung und (dx 1, dx 2 ). dx 1, dx 2 werden gewählt und sind somit definierte Größen. Durch verschiedene Längenmessungen können die Metrikelemente hergeleitet werden. Wichtig: Koordinaten für sich selbst messen keine Distanzen! Nur durch ds 2 = g ab dx a dx b stehen sie in Verbindung mit Distanzmessungen. 2.3 Flatness-Theorem In einem gekrümmten Raum mit einem allgemeinem Koordinatensystem x a und einem Metrikwert g ab an einem gegebenem Punkt P, können wir immer eine Koordinatentransformation x a x a und g ab ḡ ab finden, so dass die Metrik an diesem Punkt flach ist: g ab = δ ab und ḡ ab = 0 Mit einer Taylorentwicklung kommt man auf x c ḡ ab ( x) =δ ab + γ abcd (0) x c x d +... (2.7) wobei der zweite Term die zweiten Ableitungen ausdrückt. Was das Flatness-Theorem im Wesentlichen zeigt, ist dass die allgemeine Raumzeitmetrik an einem Punkt P nicht so sehr durch den Wert ḡ abp charakterisiert ist, da diese immer so gewählt werden kann, dass sie flach ist: ḡ abp = δ ab. Da die erste Ableitung dann verschwindet wird die Metrik viel eher durch die zweite Ableitung charakterisiert welche der Krümmung entspricht. 7

3 Robertson-Walker-Metrik Wir wollen nun daran gehen die passende Metrik zur Beschreibung des gesamten Universums zu finden. Nichts leichter als das. Wir betrachten das Universum nämlich auf den größtmöglichsten Skalen und mit dem kosmologischen Prinzip wissen wir, dass das Universum (auf diesen Skalen) homogen und isotrop ist, was übersetzt für die Metrik bedeutet: Die Krümmung ist konstant! Im Fall des Universums haben wir einen dreidimensionalen Raum mit konstanter Krümmung eingebettet in einen vierdimensionalen Raum. Zur Vereinfachung reduzieren wir das ganze um eine Dimension: Wir haben also einen zweidimensionalen Raum mit konstanter Krümmung eingebettet in einen dreidimensionalen Raum. Als Beispiel könnte man die Oberfläche der Erde anführen. Diese lässt sich nun beschreiben als mit k =1, 1, 0. Die Metrik ist nun gegeben durch x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1 k R2 (3.1) dl 2 = dx 2 1 + dx 2 2 + dx 2 3 (3.2) Umstellen der ersten Gleichung und Einsetzen in die Zweite führ zu dl 2 = dx 2 1 + dx 2 2 + (x 1dx 1 + x 2 dx 2 ) 2 R 2 k x2 1 x2 2 (3.3) Die Vereinfachung ist deshalb sinnvoll weil sie sich sehr anschaulich darstellen lässt(siehe nachfolgende Abbildung): Für k = 0 verschwindet die Krümmung und es ergibt sich eine normale euklidische Fläche. Für k = 1 entsteht ein Raum konstanter positiver Krümmung. Dies wäre eine Kugeloberfläche. Für k = 1 entsteht ein Raum negativer Krümmung. Dies ist eine Pseudosphäre, welche lokal durch ein Hyperboloid angenähert werden kann. 8

Abbildung 3.1: mögliche Universen Erweitern wir das Ganze wieder um eine Dimension: Wir haben Gleiches Vorgehen wie oben führt zu x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 = 1 k R2 (3.4) dl 2 = dx 2 1 + dx 2 2 + dx 2 3 + (x 1dx 1 + x 2 dx 2 + x 3 dx 3 ) 2 R 2 k x2 1 x2 2 x3 3 Gehen wir über in Kugel koordinaten (3.5) x 1 = Rr cos Φ sin Θ,x 2 = Rr sin Φ sin Θ,x 3 = Rr cos Θ (3.5) so erhalten wir die Metrik in Eigenkoordinaten. ( ) dr dl 2 = R 2 2 1 kr 2 + r2 dθ 2 + r 2 sin Θ 2 dφ 2 (3.6) Ergänzen wir jetzt noch ds 2 = dt 2 dl 2 und machen R zeitabhängig erhalten wir die Robertson-Walker-Metrik: ( ) dr ds 2 = c 2 dt 2 R 2 2 (t) 1 kr 2 + r2 dθ 2 + r 2 sin Θ 2 dφ 2 (3.7) R(t) ist der Skalenfaktor. Er ist meist so definiert, dass R(t 0 ) = 1 und t 0 heute ist.r = ρ R 0. Die Fläche, sowie das Koordinatensystem selber werden so durch die Zeitabhängigkeit skaliert. Es handelt sich daher um ein mitbewegtes Koordinatensystem. Das heißt: Betrachtet man einzelne Galaxien oder beliebige andere Objekte, ändern diese ihre Koordinaten nicht. Der Abstand zwischen den Objekten ändert sich aber dennoch (man denke an den Luftballon). Die Metrik lässt sich noch in einer weiteren Form darstellen. Für k = 0 substituiert man r = f(χ) =χ Für k = 1 substituiert man r = f(χ) = sinh χ und für k = +1 substituiert man 9

r = f(χ) = sin(χ) Daraus ergibt sich dann die folgende Form der Robertson-Walker-Metrik: ds 2 = c 2 dt 2 R 2 (t)(dχ 2 + f 2 (χ)dθ 2 + f 2 (χ) sin Θ 2 dφ 2 ) (3.8) χ gibt den Abstand zum Koordinatenurpsrung an. 3.1 Partikelhorizont Auch wenn das Universum unendlich groß ist, ist der Teil den wir beobachten können endlich und ist auf die endliche Lichtgeschwindigkeit zurückzuführen. Licht breitet sich auf Geodäten aus und es gilt ds 2 = 0. Berücksichtigen wir das in der Metrik führt das zu ds 2 = c 2 dt 2 R 2 dr 2 (t) 1 kr 2 =0 Das lässt sich umstellen zu Das ergibt cdt R(t) = dr 1 kr 2 rh d H (t) =cr(t) 0 dr 1 kr 2 (3.9) d H (t), der Partikelhorizont, ist der Abstand zwischen Sender und Empfänger. Der Partikelhorizont kann als Weltlinie des am weitesten entfernten, von uns noch sichtbaren Punktes der Raumzeit beschrieben werden. Er repräsentiert also das sichtbare Universum in der kosmischen Epoche t 3.2 Rotverschiebung Man beobachtet, dass die Spektren aller Objekte, die in einem ausreichenden Abstand von der Milchstraße (bzw. unserer lokalen Gruppe) rotverschoben sind, was so interpretiert wird, dass sich alles von uns wegbewegt (solange keine gravitative Bindung mehr vorliegt). Wir betrachten nun zwei aufeinander folgende Wellenberge einer Lichtqelle, die zu den Zeitpunkten t 1, sowie t 1 + δt 1 emittiert wurden. Empfangen wurden beide Wellenberge zu den Zeitpunkten t 0 und t 0 + δt 0 Die Entfernung die beide Wellenberge zurücklegen kann als gleich angesehen werden, da die Zeit die vergeht ausreichund kurz ist und R(t) sich ausreichend langsam verändert. d(t) =R(t) t0 t 1 dt R(t) = R(t) t0+δt0 t 1 +δt 1 dt R(t) Da der Skalenfaktor sich nur sehr langsam verändert, ergibt sich δt 1 R(t 1 ) = δt 0 R(t 0 ) (3.10) 10

Umstellen führt zu Die Rotverschiebung wird nun definiert 3.3 Hubble-Gesetz R(t 0 ) R(t 1 ) = δt 0 δt 1 = λ 0 λ 1 z := R(t 0) R(t 1 ) 1 (3.11) Das Hubble-Gesetz gibt die Proportionalität zwischen Rotverschiebung und Abstand eines Objekts wieder. Die Proportionalitätskonstante H 0 kann experimentell bestimmt werden. Theoretisch bestimmt, wird sie folgendermaßen: Wir normieren R(t) auf seinen heutigen Wert und führen eine Taylorentwicklung um t 0 durch R(t) R(t 0 ) = 1 R(t 0 ) (R(t0)+Ṙ(t 0)(t t 0 )+ R(t 0 ) (t t 0 ) 2 +...) = 2 1+Ṙ(t 0) R(t 0 ) (t t 0)+ 1 R(t 0 ) 2 R(t 0 ) (t t 0) 2 (3.12) Wir nennen Ṙ(t 0 ) R(t 0 ) = H 0 (3.13) den Hubble-Parameter und q 0 = R(t 0 ) Ṙ 2 (t 0 ) R(t 0)= R(t 0 ) R(t 0 )H 2 0 (3.14) den Dämpfungsparameter. Damit wird obige Gleichung zu R(t) R(t 0 ) = 1 + H 0(t t 0 ) 1 2 q 0H 2 0 (t t 0 ) 2 +... (3.15) Setzt man dies ein, so erhält man das Hubble-Gesetz: z H 0 d + 1 2 (1 q 0)H 2 0 d 2 (3.16) Der erste Term stellt das eigentliche Hubble-Gesetz dar. Der Parameter q 0 ist ein Maß für die Beschleunigung der Expansion des Universums. Ein aktueller Messwert liegt bei q 0 = 0.5. Ein Wert kleiner Null steht für eine beschleunigte Expansion. Der Parameter H 0 liegt derzeit bei H 0 = 72kms 1 Mpc 1 11

4 Friedmann-Gleichungen Wir leben in einem expandierenden Universum. Alles bewegt sich von uns weg. Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass früher alles näher beieinander gewesen sein muss und damit auch dichter und heißer. Letztendlich heißt das, dass beim kosmischen Anfang a(0) = 0 alles in einem Punkt konzentriert gewesen sein muss. D.h. es wird gesagt, dass das Universum mit einem Big Bang begann. Bestätigt wurde dies u.a. durch den Mikrowellenhintergrund. Die Einstein-Gleichung verbindet die Geometrie der Raumzeit auf der einen Seite und die Masse/Energie-Verteilung auf dern anderen. Für die Beschreibung eines Universums, welches das kosmologische Prinzip erfüllt benötigen wir die Robertson-Walker-Metrik in mitbewegten Koordinaten. Die andere Seite der Einstein-Gleichung sollte auch mit dem kosmologischen Prinzip konform gehen. Am Einfachsten ist es den Energie-Impuls-Tensor T µν einer idealen Flüssigkeit zu wählen. Thermische Leitfähigkeit und Viskosität können dabei vernachlässigt werden. Dieser Tensor wird dann bestimmt durch zwei Parameter: die Massendichte ρ und der Druck p. 4.1 Friedmann-Gleichungen Die Einstein-Gleichung mit der Robertson-Walker-Metrik und dem Tensor einer idealen Flüssigkeit führt zu den grundlegenden Gleichungen der Kosmologie, den Friedmann- Gleichungen. erste F riedmann Gleichung : ȧ(t)2 a(t) 2 + kc2 R 0 a(t) 2 = 8πG 3 ρ (4.1) zweite F riedmann Gleichung : ä(t) (p a(t) = 4πG c 2 + 1 ) 3 ρc2 (4.2) Da der Druck p sowie die Dichte ρ positiv sind haben wir eine negative zweite Ableitung ä(t): Die Expansion muss demnach eine negative Beschleunigung aufgrund der gegenseiten gravitativen Wechselwirkung der einzelnen Elemente der kosmischen Flüssigkeit haben. Eine Linearkombination der beiden obigen Gleichungen führt zu einer dritten Gleichung, welche den Energieerhaltungssatz darstellt. 12

d dt (ρc2 a 3 )= p da3 dt (4.3) Da wir nur zwei unabhängige Gleichungen haben, nämlich a(t), ρ(t) und p(t) brauchen wir eine weitere Relation. Diese wird gegeben durch die Zustandsgleichung, welche den Druck mit der Dichte des Systems in Beziehung setzt. Diese kann für gewöhnlich geschrieben werden als: p = wρc 2 (4.4) Diese Gleichung definiert w als den konstanten Parameter, welche den Materieinhalt des Systems charakterisiert. Für nichtrelativistische Materie ist der Druck z.b. vernachlässigbar klein verglichen mit der Restenergie der Materie, somit ist w=0, für Strahlung haben wir w = 1 3 4.2 kritische Dichte Wir können die erste Friedmann-Gleichung umschreiben zu (ȧr0 k = )(1 ρ ) c ρc (4.5) mit der kritischen Dichte ȧ 2 ρ c (t) := 3 8πG a 2 = 3H(t)2 8πG Wir definieren kc2 ȧ 2 R 2 0 =: 1 Ω Insbesondere bei t = t 0 mit H 0 =ȧ wird obiger Ausdruck für Ω 0 = ρ 0 ρ c,0 kc 2 R 2 0 = H 2 0 (Ω 0 1) (4.6) zu Dieser Ausdruck zeigt sehr deutlich den Zusammenhang zwischen Materie/Energie- Verteilung und Geometrie. Wir können drei Fälle unterscheiden: Ω 0 > 1 k=+1 geschlossenes Universum Ω 0 =1 k=0 flaches Universum Ω 0 < 1 k=-1 offenes Universum 13

4.3 Zeitentwicklung von Modelluniversen 4.3.1 Zeitverlauf der Dichte Ausführen der Differentiationen in Gl. (4.3) liefert ρc 2 = 3(ρc 2 + p)ȧ a Einsetzen der Zustandsgleichung (4.4) führt zu Integration beider Seiten liefert schließlich ρ = 3(1 + w)ȧ ρ a ρ(t) =ρ 0 a(t) 3(1+w) (4.7) Je nachdem ob man nun das Unversum als materiedominiert (w=0) oder als strahlungsdominiert (w = 1 3 ) annimmt ergibt sich eine andere Skalierung der Dichte. Der Spezialfall eines negativen Druckes (w=-1) führt zu einer konstanten Dichte des Universums, selbst bei Expansion. Dunkle Energie scheint diese Eigenschaft zu besitzen. 4.3.2 Modelluniversum mit k=0 Wir betrachten ein Modelluniversum mit k=0 da der heute beobachtete Wert für Gleichung (4.6) sehr klein ist. Wir wollen die (erste) Friedmann-Gleichung lösen um die Zeitentwicklung des Skalenfaktor a(t) für ein paar einfache Situationen zu betrachten. Kombiniert man die erste Friedmann-Gleichung mit Gleichung (4.7) ergibt sich (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ρa 3(1+w) Ausgehend von einem Wachstumsgesetz der art ( t a(t) = so dass ȧ a = x t kann man sofort das Alter des Universums t 0 zur Hubble-Zeit t H in Beziehung setzen (ȧ ) H 0 = = x (4.8) a t 0 t 0 t 0 ) x Für die materie- und strahlungsdominierten Fälle ergeben sich dann folgende Ergebnisse 14

materiedominiert (w=0) x = 2 3 a=( t 3 ( ) ) strahlungsdominiert w = 1 3 x = 1 1 2 a=( t 3 t 0 t 0 ) 2 t 0 = 2 3 t H t 0 = 1 2 t H 4.3.3 strahlungsdominiertes Universum Im strahlungsdominierten Universum wächst die Dichte mit ρ a 4 und die Friedmann- Gleichung kann umgeschrieben werden zu ȧ(t) 2 = A2 a(t) 2 kc2 R0 2 (4.9) mit A=const. Mit einer Variablensubstitution y = a 2 vereinfacht sich die Gleichung zu ẏ 2 + 4kc2 R0 2 y =4A 2 (4.10) Als Lösung erhalten wir a(t) 2 =2At kc2 R0 2 t 2 (4.11) 4.3.4 materiedominiertes Universum Im materiedominierten Universum wächst die Dichte mit ρ a 3 und die Friedmann- Gleichung wird zu ȧ(t) 2 = B a(t) kc2 R0 2 (4.12) Die Lösung ist komplizierter als im strahlungsdominierten Universum Insgesamt ergeben sich verschiedene Szenarien wie sich das Universum entwickeln kann (siehe Abbildung unten) 15

Das m in der Graphik steht für Materie, der andere Index für Strahlung. Wie weiter oben schon erwähnt sagen die Friedmann-Gleichungen ein ständig in seiner Ausdehnung (negativ) beschleunigtes Universum vorraus. Dies entsprach nicht Einstein s Weltbild, weswegen er zur Konstruktion eines statischen Universums eine Konstante Λ in die Friedmann-Gleichungen einführte. Als später empirisch verifiziert wurde, dass sich das Universum tatsächlich ausdehnte bezeichnete er diese Idee als größte Eselei seines Lebens. Sie sollte allerdings in den 90er Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts wieder an Bedeutung gewinnen. Quellen: Caroll, Ostlie - An Introduction to Modern Astrophysics Ta-Pei Cheng - Relativity, Gravitation and Cosmology http://pauli.uni-muenster.de/seminare/teilchen/teilchen s s05/robertsonw alker.pdf http : //pauli.uni muenster.de/tp/f ileadmin/lehre/teilchen/ws0809/f RW M etrikf riedmanngl Bilder : map.gsf c.nasa.gov/media/ 16