Klassische Mechanik - Ferienkurs; Lösunge Soerseester 2011, Prof. Metzler 1
Inhaltsverzeichnis 1 Quickies 3 2 Lagrange Gleichung 1. Art 3 2.1 Perle auf Schraubenlinie.................................. 3 2.2 Perle auf spiralförige Draht.............................. 4 2.3 Schiefe Ebene........................................ 4 2.4 Atwoodsche Fallaschine 1................................ 5 3 Lagrange Gleichung 2. Art 6 3.1 Rollpendel.......................................... 6 3.2 Abrutschendes Seil..................................... 6 3.3 Abrollender Zylinder.................................... 7 3.4 Atwoodsche Fallaschine 2................................ 8 2
1 Quickies 1) Gegeben sei die Lagrange-Funktion L = 1 2 (R2 Θ2 + φ 2 R 2 sin 2 Θ) gr cos Θ. Welche Größe ist neben der Energie eine Erhaltungsgröße? a) φ ist eine zyklische Variable, weshalb für den zugehörigen kanonisch-konjugierten Ipuls p φ = dl d φ = R2 sin 2 Θ φ gilt. Soit ist p φ eine Erhaltungsgröße. 2 Lagrange Gleichung 1. Art 2.1 Perle auf Schraubenlinie d dt p φ = dl dφ = 0 (1) Eine Perle gleite reibungsfrei auf einer Schraubenline it Radius R. Die Gravitationskraft wirkt in negative z-richtung. Berechne den Bewegungsablauf und die Zwangskräfte. Die Lagrangefunktion und die zwei Zwangsbedingungen lauten in Zylinderkoordinaten L = 2 (ż2 + ṙ 2 + r 2 φ2 ) gz (2) r R = 0 (3) z aφ = 0 (4) z + g = λ 2 = Z z (5) r r φ 2 = λ 1 = Z r (6) r 2 φ + 2rṙ φ = aλ2 = Z φ (7) Einsetzen der Nebenbedingungen in die Bewegungsgleichungen liefert Aus den Gleichungen (8), (10) folgt: (a φ + g) = λ 2 (8) R φ 2 = λ 1 (9) R 2 φ = aλ2 (10) φ = ga a 2 + R 2 (11) λ 2 = gr2 a 2 + R 2 (12) Wir integrieren Gleichung (11) für die Anfangsbedingung φ(0) = 0: φ(t) = ga a 2 + R 2 t (13) und erhalten it Hilfe der Gleichung (9) ga λ 1 (t) = R( a 2 + R 2 )2 t 2 (14) 3
2.2 Perle auf spiralförige Draht Eine Perle der Masse gleite reibungsfrei auf einer 3-diensionalen Spirlae. Die Gravitation werde vernachlässigt. Stelle die Bewegungsgleichung auf. Die beiden Zwangsbedingungen und die Lagrangegleichung lauten: f 1 (z, r, φ) = φ az = 0, f 2 (z, r, φ) = r bz = 0 (15) L = T V = ( 2 )(ż2 + ṙ 2 + r 2 φ2 ) (16) z = aλ 1 bλ 2 = Z Z (17) r r φ 2 = λ 2 = Z r (18) d dt (r2 φ) = λ1 = Z φ (19) 2.3 Schiefe Ebene Eine Scheibe gleite reibungslos unter de Einfluss der hoogenen Schwerkraft F = ge z auf einer schiefen Ebene z = ax + by (20) a) Foruliere die Bewegungsgleichungen (Lagrange-Gleichungen 1. Art) unter dieser Zwangsbedingung. b) Bestie den Lagrange-Multiplikator λ als Funktion der Koordinaten und Geschwindigkeiten ittels der Bewegungsgleichungen und der Zwangsbedingung. c) Eliiniere λ aus den Bewegungsgleichungen und gib die Lösungen an. Die Zwangsbedingungen und die Bewegungsgleichungen lauten: f(x, y, z) = ax + by z = 0 (21) z = g + λ f z ẍ = λ f = λa (22) x ÿ = λ f y Unter Verwedung z = ax + by in der letzten Gleichung erhält an = λb (23) = g λ (24) z = aẍ + bÿ = (a 2 + b 2 )λ = g λ (25) g λ = 1 + a 2 + b 2 (26) 4
c) ga ẍ = 1 + a 2 + b 2 (27) gb ÿ = 1 + a 2 + b 2 (28) (29) ga t 2 x(t) = x(0) + ẋ(0) 1 + a 2 + b 2 2 (30) gb t 2 y(t) = y(0) + ẏ(0) 1 + a 2 + b 2 2 (31) z(t) = ax(t) + by(t) (32) 2.4 Atwoodsche Fallaschine 1 Berechne die Spannung des Seils, das über die Rolle it Masse 2 gelegt ist. Hinweis: Überlege zunächst, welche der vier Koordniaten x 1,.., x 4 zwangsäßig als unabhängig anzusehen sind. Grundsätzlich können wir it vier unabhängigen Variablen x 1 bis x 4 arbeiten. Zwangsbedingungen und Lagrangefunktion lauten: x 1 + x 2 = const (33) (x 3 x 2 ) + (x 4 x 2 ) = const (34) 4 L = ( i 2 ẋ2 i g i x i ) (35) i=1 Da die Fadenspannung des oberen Seils, die für die Zwangsbedingung (33) verantwortlich ist, nicht gefragt ist, können wir x 2 wegen Gleichung (33) als abhängige Variable ansehen und bzgl x 2 it de Lagrangeforalisus 2. Art arbeiten. Wir erhalten die Lagrangefunktion als Funktion der drei Koordinaten x 1, x 3, x 4 und ihrer Zeitableitungen: L = 1 + 2 ẋ 2 1 + 3 2 2 ẋ2 3 + 4 2 ẋ2 4 + g[( 1 2 )x 1 + 3 x 3 + 4 x 4 ] (36) Neben der Lagrangefunktion existiert jetzt nur noch eine Zwangsbedingung: Wir setzten die Zwangsbedingung (37) in Gleichung (40) ein: x 3 + x 4 + 2x 1 = const (37) ( 1 + 2 )ẍ 1 g( 1 2 ) = 2λ (38) 3 (ẍ 3 g)) = λ (39) 4 (ẍ 4 g)) = λ (40) 4 (ẍ 3 + 2ẍ 1 + g) = λ (41) 5
Aus den Gleichugen (38), (39) und (41) folgt Die Spannung des Seils beträgt 3 Lagrange Gleichung 2. Art 3.1 Rollpendel ẍ 1 = 1 ( 2 + 4µ 34 ) 1 + ( 2 + 4µ 34 ) g itµ 34 = 3 4 3 + 4 (42) λ = g 2 [( 1 + 2 ) 1 ( 2 + 4µ 34 ) 1 + ( 2 + 4µ 34 ) + 2 1 ] (43) Der Aufhängepunkt 1 eines ebenen Pendels der Länge l und der Masse 2 rollt reibungsfrei auf der x-achse. Stelle die Bewegungsgleichungen auf. 3.2 Abrutschendes Seil L = T V = 1 2 ẋ2 1 + 2 2 (ẋ2 2 + ẏ2) 2 + gy 2 (44) x 2 = x 1 + l sin φ, y 2 = l cos φ (45) L = 1 2 ẋ2 1 + 2 2 (ẋ2 1 + l 2 φ2 + 2lẋ 1 φ cos φ) + gl cos φ (46) d L L = ( 1 + 2 )ẍ 1 + 2 l( dt ẋ 1 x φ cos φ φ 2 sin φ) = 0 1 (47) d L L dt φ φ = 2l(l φ + ẍ 1 cos φ + g sin φ) = 0 (48) Ein vollkoen biegsaes, hoogenes Seil (Gesatlänge l und Masse ρ pro Längeneinheit) hängt zu eine Teil der Länge a über die Kante eines Tisches. Es wird in dieser Lage zur Zeit t = 0 losgelassen und fängt an, unter de Einfluss des hoogenen Schwerefeldes g = ge x reibungsfrei über die Tischkante abzugleiten. a) Betrachte die hängende Länge des Seiles x(t) als generalisierte Koordinate und gib die potentielle und kinetische Energie des Seils an. Stelle die Lagrange-Funktion des Systes L (x, ẋ) auf. Die Tischoberfläche liege bei x = 0. b) Foruliere die Bewegungsgleichung für x(t) und gib die Lösung für den Fall x(0) = a, ẋ(0) = 0 an. c) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Seils, wenn das hintere Seilende die Tischkante ereicht hat? Hinweis: Es gilt cosh 2 x sinh 2 x = 1. 6
Sei ρ die Seilasse pro Längeneinheit. Dann gilt: V = ρg x 0 T = ρl 2 ẋ2 (49) x dx = ρ 2 gx2 (50) L = 2 (ẋ2 + g l x2 ) = 0 (51) ẍ g l = 0 (52) b) Die Lösung der Bewegungsgleichung ist x(t) = Ae λt +Be λt it λ = g l. Die Anfangsbedingungen x(0) = a undẋ(0) = 0 ergeben: Die Bewegungsgleichung für das abrutschende Seil kann direkt it der Bewegungsgleichung des haronischen Osillators x(t) = a cosh λt (53) ẍ = g l x (54) ẍ = k x (55) verglichen werden. Der wesentliche Unterschied ist das Vorzeichen auf der rechten Seite. Bei Oszillator zieht die Feder die Masse zurück in die Gleichgewichtslage, sodass eine Schwingung entsteht. Bei Seil zieht die Schwerkraft das Seil ier weiter und schneller von der Ausgnagslage weg. g x(t) = a cosh( t) (56) l c) Der Zeitpunkt t E, bei de das Seilende die Tischkante erreicht, ist gegeben durch g x(t E ) = a cosh( l t E) = l (57) Die Geschwindigkeit zu Zeitpunkt t E ist gegeben durch g g g g ẋ(t E ) = l a sinh( l t E) = l a cosh 2 ( l t E) 1 = 3.3 Abrollender Zylinder g l a l 2 a 2 (58) Zwei hoogene Zylinder it Massen 1, 2, Radien r 1, r 2 und Trägheitsoenten I 1 = 1 r1 2/2, I 2 = 2 r2 2 /2 sind it eine Faden uwickelt. Die Achse des Zylinders 1 ist reibungsfrei gelagert. Der Zylinder 2 fällt i Schwerkraftfeld senkrecht nach unten. Stelle die Bewegungsgleichungen auf und berechne die Fadenspannung. 7
Zwangsbedingung: x 2 = const + r 1 φ 1 + r 2 φ 2 L = 1r 2 1 4 φ 2 1 + 2r 2 2 4 φ 1 = φ 2 2 + 2 2 (r 1 φ 2 1 + r 2 φ2 2 ) 2 + 2 g(r 1 φ 1 + r 2 φ 2 ) (59) ( 1 2 + 2)r 1 φ1 + 2 r 2 φ2 2 g = 0 (60) 3 2 2r 2 φ2 + 2 r 1 φ1 2 g = 0 (61) 2 2 g (3 1 + 2 2 )r 1 φ2 = 2 1 g (3 1 + 2 2 )r 2 (62) Auf Zylinder 1 wirkt das Drehoent it F als Fadenspannung und I 1 = 1 2 r2 1 N = F r 1 = I 1 φ1 (63) 3.4 Atwoodsche Fallaschine 2 F = 1 2 3 1 + 2 2 g (64) In eine Atwoodsche Fallaschine it zwei gleichen Massen, eine asselosen Seil der Länge L und einer asselosen Rolle it Radius R ist eine Feder it der Federkonstanten k und Gleichgewichtslänge l eingebaut. Die Massen können sich nur in der Vertikalen bewegen und sind de Schwerefeld ge z ausgesetzt. a) Stellen Sie die Lagrange-Funktion des Systes auf, wobei die Höhen der Massen gegenüber der Rollenachse it z 1 und z 2 bezeichnet werden. b) Geben Sie die Bewegungsgleichungen an und bestien Sie die allgeeine Lösung. c) Unter welcher Bedingung enthält die Bewegung beider Massen keinen oszillierenden Anteil? a) Die Länge der Feder ergibt sich zu s = z 1 z 2 + πr L (65) Die Spannenergie der Feder ist dait E F eder = k 2 (s l)2. Mit der neuen Konstanten L = L+l πr erhalten wir daher b) Die Euler-Lagrange Gleichungen lauten L = 2 ż2 1 + 2 ż2 2 gz 1 gz 2 k 2 (z 1 + z 2 + L ) 2 (66) d L = L dt ż i z i (67) z i = g k(z 1 + z 2 L ) (68) 8
Die Bewegungsgleichungen lauten in Matrixschreibweise it u = (z 1, z 2 ) t, f = ( g kl kl, g ( ) )t und A = k 1 1 1 1 ü + Au = f (69) A hat die Eigenwerte 0 und it Eigenvektoren u 1 = 1 2 (1, 1)t und u 2 = 1 2 (1, 1)t. Dait erhalten wir für die Koordinaten u 1 = z 1+z 2 2 und u 2 = z 1 z 2 2 das entkoppelte Syste ü 2 + u 2 = g kl ü 1 = 0 (70) Eine partikuläre Lösung für u 2 erhält an durch den Ansatz u 2 = const, sodass sich als allgeeine Lösung ergibt (71) u 1 = c 1 + tc 2 (72) u 2 = g L 2 + c 3 cos( t) + c 4 sin( t) (73) Für die Koordinate z i ergibt sich dait z 1 = c 1 + tc 2 g L 2 + c 3 cos( t) + c 4 sin( t) (74) z 2 = c 1 tc 2 g L 2 + c 3 cos( t) + c 4 sin( t) (75) Die Integrationskonstanten c i it i 1,..., 4 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen z (0) 1 = c 1 + c 3 g L 2 (76) z (0) 2 = c 1 c 3 g L 2 (77) ż (0) 1 = c 2 + c 4 (78) ż (0) 2 = c 2 + c 4 (79) insbesonder zu c 3 = z(0) 1 + z (0) 2 + g k + L 2 c 4 = (ż (0) 1 + ż (0) 2 ) 8k (80) (81) 9
c) Die Die Bewegung beider Massen enthält keinen oszillierenden Anteil, wenn C 3 = C 4 = 0 und soit, wenn gilt z (0) 1 z (0) 2 = g k + gl (82) ż (0) 1 = ż (0) 2 (83) was anschaulich klar ist. Die Feder uss genau die Gleichgewichtslänge i Schwerefeld haben und beide Massen üssen sich it der selben Geschwindigkeit längs der Fallaschine bewegen. 10