Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Folgen und Reihen Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band, 7. Auflage, Sankt Gallen, Verlag Wilhelm Surbir, Seiten -2
2 Definitionen Wird jeder natürlichen Zahl n( N) genau eine reelle Zahl a n ( R) zugeordnet, so bilden die Zahlen a, a 2, a 3,... eine Zahlenfolge oder einfach Folge. Schreibweise: {a n } für a, a 2, a 3,... Darstellung von Zahlenfolgen direkt: man gibt eine allgemeine Formel für das n-te Glied an. Beispiele: Bildungsgesetz Folgenglieder a n n 2, 4, 9, 6, 25, 49,... b n /n c n n! K n ( 2) n
3 rekursiv: man gibt eine Vorschrift an, wie man das n-te Glied aus seinen Vorgängern berechnen kann. Damit dieser Prozess der Konstruktion der Folge starten kann, müssen wir einige Glieder der Folge festlegen. Rekursiv definierte Zahlenfolgen werde häufig auch als Differenzengleichungen bezeichnet. Beispiele: Bildungsgesetz Anfangswerte Folgenglieder a n 2 a n a 2 2, 4, 8, 6, 32, 64,... b n 2 b n b c n c 2 n + c n 2 c 0 und c 2 a n sin(a n ) + cos(a n 2 ) a 0 und a 2 a n 3 a 2 n 4 + a n 5 a 0 und a 2
4 Ökonomische Beispiele Wert a n von 000. CHF nach n Jahren bei einer Verzinsung von 4% In jedem Jahr wächst der Wert der Geldanlage um den Faktor.04. Wir erhalten zunächst die rekursive Folge a n.04 a n, a 040. Formal können wir noch ein 0-tes Glied a 0 000 einführen, das das Anfangsguthaben bezeichnet. Hier kann man nun leicht eine direkte Darstellung der Folge angeben: a n.04 a n.04 (.04 a n 2 ) (.04) n a 0. Die ersten vier Glieder der Folge sind: Kontostand a n nach n Jahren bei einem Anfangskapital von 000 000. CHF, einer Verzinsung von 5% und Bezügen von 20 000. CHF, die jeweils am Ende eines Jahres ausgezahlt werden Nach dem gleichen Rezept wie im vorhergehenden Beispiel, erhalten wir Die ersten vier Glieder der Folge sind: a n.05 a n 20 000. a 0 000 000.
5 Nebenbei bemerkt Eine in Intelligenztests häufig verwendeter Typ von Aufgaben, der direkt mit Zahlenfolgen zu tun hat, ist der Folgende: Geben Sie das nächste Glied (und somit auch das Bildungsgesetz) der Folge an. 0, 0,... 2, 3, 5, 7,...,, 2, 3, 5, 8, 3, 2,...,,, 3, 4, 5, 0093, /2,... Die Fragestellung scheint zu implizieren, dass es nur eine richtige Fortsetzung der jeweiligen Folge gibt, und zumindest für die ersten beiden Beispiele scheint die Lösung klar zu sein!? Für die folgenden beiden Beispiele ist es schwierig oder gar unmöglich ein Bildungsgesetz zu finden!? Dabei ist die Lösung dieses Aufgabentyps einfach, allgemein und universell anwendbar, denn die nächste Zahl ist nach dem klassischen Werk,Mathematics Made Difficult von Carl E. Linderholm immer 42! Mit dem sogenannten Interpolationspolynom ist es sehr leicht ein gewünschtes Bildungsgesetz zu konstruieren. Nehmen wir an, dass wir ein Bildungsgesetz suchen, das die Anfangssequenz 0, 0 mit der Zahl 42 fortsetzt. Polynomialer Ansatz: p(x) λ 0 + λ x + λ 2 x 2 Die Bedingungen: p() 0, p(2) 0 und p(3) 42 ergeben drei lineare Gleichungen für die drei Unbekannten λ 0, λ und λ 2, die z.b. durch Eination bestimmt werden können. Lösung: a n 42 63n + 2n 2
6 2 Graphische Illustration Um sich Zahlenfolgen besser vorstellen zu können, kann man die Punkte (n, a n ) in einem Koordinatensystem einzeichnen (das ist der Graph). Einige Beispiele 2 3 4 5 6 7 8 9 n 2 3 4 5 6 7 8 9 n 2 3 4 5 6 7 8 9 n
7 3 Eigenschaften von Zahlenfolgen 3. Beschränktheit Eine Zahlenfolge {a n } heisst nach unten beschränkt, wenn es eine Konstante m gibt, so dass gilt a n m für alle n, 2, 3,.... Die Folge a n n ist nach unten beschränkt (z.b. mit m ). Aufgabe Finden Sie drei weitere nach unten beschränkte Folgen. nach oben beschränkt, wenn es eine Konstante M gibt, so dass gilt a n M für alle n, 2, 3,... Die Folge a n /n ist nach oben beschränkt (z.b. mit M ). Aufgabe 2 Finden Sie drei weitere nach oben beschränkte Folgen. beschränkt, wenn sie nach unten und nach oben beschränkt ist. Die Folge a n /n ist beschränkt (z.b. mit m 0 und M ). Aufgabe 3 Finden Sie drei weitere beschränkte Folgen.
8 3.2 Monotonie Eine Zahlenfolge {a n } heisst monoton wachsend, falls gilt a n+ a n für alle n, 2, 3,... Die Folge a n n ist monoton wachsend, d.h. jedes Folgenglied ist (strikt) grösser als sein Vorgänger. Aufgabe 4 Finden Sie drei weitere monoton wachsende Folgen. monoton fallend, falls gilt a n+ a n für alle n, 2, 3,... Die Folge a n /n ist monoton fallend, d.h. jedes Folgenglied ist (strikt) kleiner als sein Vorgänger. Aufgabe 5 Finden Sie drei weitere monoton fallende Folgen.
9 3.3 Konvergenz und Divergenz, Grenzwerte und Nullfolgen Seien a und ǫ reelle Zahlen mit ǫ > 0. Die ǫ-umgebung U ǫ (a) von a war definiert als: U ǫ (a) {x R : x a < ǫ} }{{} (a ǫ, a + ǫ) }{{}, Abstand offenes Intervall d.h. U ǫ (a) ist das offene Intervall mit den Grenzen a ǫ und a+ǫ, oder anders ausgedrückt, die Menge aller reellen Zahlen x, die von a einen Abstand kleiner als ǫ haben. Aufgabe 6 Sei a 2.37 und ǫ 0.45. Lösen Sie die Ungleichung x 2.37 < 0.45. Beschreiben Sie die 0.45-Umgebung von 2.37. Nun führen wir den zentralen Begriff einer konvergenten Zahlenfolge ein. Die Definition scheint zunächst etwas mysteriös. Eine reelle Zahl a heisst Grenzwert der Zahlenfolge {a n }, falls für jede reelle Zahl ǫ > 0 eine reelle Zahl N(ǫ) existiert, so dass a n a < ǫ für alle n > N(ǫ) gilt. Anders formuliert: Für jede Zahl ǫ > 0 gibt es eine Zahl N(ǫ), so dass alle Glieder a n mit n > N(ǫ) in der ǫ-umgebung von a liegen. Schreibweise: a n a Wir sagen dann, dass die Folge {a n } konvergent ist. Existiert eine solche Zahl a nicht, so nennen wir die Zahlenfolge divergent. Zahlenfolgen mit dem Grenzwert a 0 heissen Nullfolgen.
0 Beispiele:. Wir wollen zeigen, dass die Zahlenfolge {/n} den Grenzwert a 0 hat. Zunächst gilt a n a /n 0 /n. Sei nun ein beliebiges ǫ > 0 vorgegben. Wir müssen eine Vorschrift finden, die uns zu jedem dieser ǫ > 0 eine reelle Zahl N(ǫ) liefert, so dass alle auf das Glied a a mit n > N(ǫ) in der ǫ-umgebung von 0 liegen. Wir versuchen, die Ungleichung /n < ǫ nach n aufzulösen und diese Ungleichung gilt genau dann, wenn n > ǫ : N(ǫ) gilt. ǫ N(ǫ) und es gilt /n < ǫ für alle n > N(ǫ) oder: ab dem 2-ten Folgenglied liegen alle Folgenglieder in der -Umgebung von 0. ǫ /2 N(ǫ) 2 und es gilt /n < ǫ /2 für alle n > N(ǫ) 2 oder: ab dem 3-ten Folgenglied liegen alle Folgenglieder in der /2-Umgebung von 0. 2. Die Zahlenfolge { n n } hat den Grenzwert a, d.h.. Zunächst gilt n+ n + n n + n n + n + n + n + n +. Sei nun ein beliebiges ǫ > 0 vorgegeben. Wir versuchen wieder, die Ungleichung < ǫ nach n aufzulösen. Natürlich gilt diese Ungleichung genau dann, wenn n+ n > ǫ : N(ǫ) gilt. 3. Sei q eine reelle Zahl mit der Eigenschaft q <. Die Zahlenfolge {q n } ist eine Nullfolge. Beispiele: q 2 { 2, 4, 8,...} q 3 { 3, 9, 27,...} q 2 { 2, 4, 8,...} 4. Die Zahlenfolge {n} ist divergent.
Oft ist es nicht leicht, die Konvergenz oder Divergenz von Zahlenfolgen direkt nachzuweisen. Hifreich können die folgenden Sätze sein. Satz 3. Seien {a n } und {b n } zwei Zahlenfolgen mit a n a und b n b. Dann gilt n ± b n ) a ± b () n b n ) a b (2) a n b n a b falls b n 0 und b 0. (3) Beispiele: n 2 + 3n 2n 2 n + n 2 ( + 3/n) n 2 (2 /n + /n 2 ) + 3/n 2 /n + /n 2 2. ( + 3/n) (2 /n + /n2 ) (Regel 2.3) + 3/n 2 /n + /n 2 (Regel 2.) + 0 2 0 + 0 {/n}, {/n 2 } sind Nullfolgen Aufgabe 7 3n 4 + 6n 2n 2 n +
2 5n 2 + 3n 2n 3 + 2n +
3 Satz 3.2 Jede beschränkte monotone Zahlenfolge ist konvergent. Beispiel: Man sieht leicht, dass die Zahlenfolge { n ist, denn einerseits und andererseits für alle n, 2, 3,... m : 0 a n n+ n n + : M n n + < n + n + 2 a n+ } beschränkt und monoton wachsend Aufgabe 8 Überprüfen Sie diese drei Ungleichungen auf ihre Richtigkeit. Satz 3.3 Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt, oder anders ausgedrückt, jede nicht beschränkte Zahlenfolge ist nicht konvergent (divergent). Aufgabe 9 Ist jede beschränkte Zahlenfolge auch konvergent?
4 Die folgenden Grenzwerte sollte man kennen: n 0 n a 0 für a > 0 n 0 qn 0 für q <
5 4 Geometrische Folgen und Reihen Seien a und q reelle Zahlen. Eine Zahlenfolge der Gestalt a, aq, aq 2, aq 3,..., aq n,... heisst geometrische Folge. Die rekursive Bildungsvorschrift einer geometrischen Folge ist a n q a n, a 0 a. Der Ausdruck s a + aq + aq 2 + aq 3 +... + aq n +... a q k heisst unendliche geometrische Reihe mit den Parametern a und q. Für jede natürliche Zahl n heisst die reelle Zahl s n a + aq + aq 2 + aq 3 +... + aq n n a q k die n-te Partialsumme der unendlichen geometrischen Reihe. Durch {s n } {}{{} a, a + aq, a + aq + aq }{{} 2, a + aq + aq }{{} 2 + aq 3,...} }{{} s s 2 s 3 s 4 ist damit eine neue Zahlenfolge definiert. Wir wollen nun die unendliche geometrische Reihe mit den Parametern a und q als konvergent bezeichnen, wenn die zugehörige Folge {s n } ihrer Partialsummen konvergiert. Beispiel: Die Folge, 2, 4, 8,... ist eine geometrische Folge (a und q /2) und + 2 + 4 + 8... ( ) k 2 ist die unendliche geometrische Reihe mit den Parametern und /2. wir können die Folge der Partialsummen ablesen: s s 2 + 2 3 2.5 s 3 + 2 + 4 7 4.75 s 4 + 2 + 4 + 8 5 8.875
6 Aufgabe 0 Berechnen Sie noch weitere 2 Partialsummen und raten Sie die allgemeine Gestalt der n-ten Partialsumme. Konvergiert die unendliche geometrische Reihe? Satz 4. Für die n-te Partialsumme s n der unendlichen geometrische Reihe mit den Parametern a und q gilt: s n a qn q. Beweis: Zunächst gelten die beiden Identitäten s n a + aq + aq 2 + aq 3 +... + aq n 2 + aq n qs n aq + aq 2 + aq 3 +... + aq n 2 + aq n + aq n, und somit folgt s n qs n s n ( q) a + aq + aq 2 + aq 3 +... + aq n 2 + aq n aq aq 2 aq 3... aq n 2 aq n aq n a aq n a ( q n ) oder s n a qn q.
7 Frage: Für welche q konvergiert die Folge {s n } gegen einen Grenzwert s? Fallunterscheidung: q > : Hier ist die Folge {q n } unbeschränkt und positiv, also ist auch {s n } unbeschränkt, also divergent. q : Hier gilt s n n a n a, also ist {s n} divergent. q < : Die Zahlenfolge {q n } ist eine Nullfolge und es gilt s s n a qn q q n a a q q. q : Hier ist die Folge {q n } alternierend negativ und positiv, dem Betrag nach (d.h. es ist keine Nullfolge) und {s n } ist divergent. Wir haben damit das folgende bewiesen: Satz 4.2 Die unendliche geometrische Reihe s a + aq + aq 2 + aq 3 +... + aq n +... a q k mit den Parametern a und q konvergiert genau dann, wenn q <. Ihr Wert beträgt dann s a q.
8 Aufgabe. ( 2) k 2. ( ) k 2 n 3. s n 0.2 2 k 4. 4 ( ) k 2 3
9 5 Die Eulersche Zahl Wir betrachten die folgende (allgemeine) unendliche Reihe +! + 2! + 3! + + n! + k!. Dabei bezeichnet k! : 2... k (mit 0! : ) die so genannte Fakultät. Ist diese Reihe konvergent? Sicher ist die Folge {s n } der Partialsummen monoton wachsend und nach unten beschränkt (z.b. durch m ). Wir müssen also nur noch eine obere Schranke finden. Es gilt Somit gilt! 2! 3! 4! k! 2 0 2 2 2 2 3 < 2 2 2 2 2 3 4 < 2 2 2 2 3 2 3... k < 2 2... 2 2 k. k! + < + + k k k! 2 k 2 k + /2 3 : M. Wir haben gezeigt, dass {s n } monoton wachsend und beschränkt, also konvergent ist. Der Grenzwert wird mit e bezeichnet und heisst Eulersche Zahl e : k! 2.7828..
20 Die Zahl e tritt auch als Grenzwert anderer Folgen auf. Es gelten die beiden wichtigen Gleichungen: ( + n) n e ( + p ) n e p n Aufgabe 2 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. ( + 3 ) n 5n ( 3 n) n+2 ( ) n n + 2 n 3
Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 2 Graphische Illustration 6 3 Eigenschaften von Zahlenfolgen 7 3. Beschränktheit................................. 7 3.2 Monotonie.................................... 8 3.3 Konvergenz und Divergenz, Grenzwerte und Nullfolgen........... 9 4 Geometrische Folgen und Reihen 5 5 Die Eulersche Zahl 9