009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen. /. Untersuchen Sie den Grphen von f uf mögliche Symmetrie. Begründen Sie Ihre Aussge. /. Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Grphen von f mit den Koordintenchsen. /7. Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte des Grphen von f. Geben Sie die Ergebnisse uf Stellen nch dem Komm n. /0. Bestimmen Sie die Wende- bzw. Sttelpunkte des Grphen von f. Geben Sie die Ergebnisse uf Stellen nch dem Komm n. /7.6 Zeichnen Sie den Grphen von f im Intervll [ ;] unter Zuhilfenhme ller ermittelten Punkte in ds vorgegebene Koordintensystem (siehe nächste Seite). /.7 Im Punkt P( f( )) ht der Grph der Funktion f die Normle (Senkrechte) n. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung, die diese Normle beschreibt und zeichnen Sie den Grphen von n mit in ds Koordintensystem von Aufgbe.6. Geben Sie die Ergebnisse uf Stellen nch dem Komm n. /8 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgben Seite von
009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Grph der Funktion f mit f ( ) 0 6 = ; mit [ ;] 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgben Seite von
009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Rekonstruktion / Rekonstruieren Sie die Funktion f dritten Grdes, deren Grph im Punkt Tiefpunkt und im Punkt P ( ) einen Wendepunkt besitzt. P( ) einen loklen Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f, indem Sie us den oben gennnten Bedingungen ein Gleichungssystem ufstellen und dmit die entsprechenden Koeffizienten bestimmen. Geben Sie die Funktionsgleichung n. Sollten Sie die Bedingungen nicht oder nur unvollständig ufgestellt hben, lösen Sie ds folgende Erstzgleichungssystem: I: = 9 + b + c + II: = + b + c + III: 0 = + 8b + c IV: 0 = -6 + b + c d d 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgben Seite von
009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Etremwertufgbe / Eine Krtongenfbrik stellt quderförmige Pkete mit qudrtischen Seitenflächen her. Hierbei drf keine Knte des Pketes kürzer ls 0 cm sein. Dmit die Pkete nicht zu unhndlich werden, soll folgende Bedingung erfüllt sein: Die Länge einer Vorderknte plus dem Umfng einer qudrtischen Seitenfläche soll m betrgen. l. Zeigen Sie, dss V eine Zielfunktion ist, die ds Volumen der beschriebenen Pkete in Abhängigkeit von ihrer Vorderkntenlänge l (siehe Skizze) beschreibt und geben Sie den Definitionsbereich dieser Zielfunktion n. Es gilt: Vl () = l l + 9 l 6 8 6 /6. Berechnen Sie die Abmessungen für ds Pket mit dem größtmöglichen Volumen und geben Sie uch ds mimle Volumen n. Untersuchen Sie, ob es sich bei dem errechneten Mimum um ein bsolutes hndelt. Tipp: Bechten Sie hierbei die Funktionswerte n den Rändern des Definitionsbereichs. /9 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgben Seite von
009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Integrlrechnung /0 Gegeben ist die Funktion f mit: f( ) 6 ; = +.. Zeigen Sie, ohne jedoch in den Funktionsterm einzusetzen, dss =, =, = und = Nullstellen der Funktion f sind und skizzieren Sie qulittiv den Grphen von f. (Wählen Sie für die -Achse LE cm und für die y-achse 0 LE cm) /7. Bestimmen Sie den Inhlt der vom Grphen von f und der -Achse begrenzten Gesmtfläche. /. Bestimmen Sie für die Funktion g mit: /0 g = + ( ) ; den Prmeter > 0 so, dss die vom Grphen von g und der -Achse begrenzte Fläche den Flächeninhlt, FE ht. 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgben Seite von
009 Herbst (Mthemtik) Erwrtungshorizont für Aufgbenvorschlg B Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben. Der höchste Eponent der Vriblen im Funktionsterm von f ist. D im Summnd positiv ist, verläuft der Grph von minus unendlich nch plus unendlich oder: lim f( ) + und lim f( ). I II III. D f ( ) = f( ), bzw. lle Eponenten von ungerde sind, ist der Funktionsgrph von f punktsymmetrisch zum Ursprung.. Schnittpunkte mit der -Achse: f( ) = 0 = 0 0 6 ( ) = 0 0 6 N// = 0 = 0 0 6 0 = 0 =,86 N 0 N =,86 Schnittpunkte mit der Achse : N N N Schnittpunkt mit der y-achse: = 0 y = 0 P (0 0) 0 0 //(0 0); ( 0); ( 0) y Erwrtungshorizont B 009 Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont Seite von 7
009 Herbst (Mthemtik) Erwrtungshorizont für Aufgbenvorschlg B Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben. Hoch- und Tiefpunkte: I II III f ( ) = f ( ) = E/ E/ E = 0 ( ) = 0 = 0 = 0 =± f (0) = 0 ( keinetremum) f ( ) = > 0 ( lok. Minimum) f ( E ) = < 0 ( lok. Mimum) f( ) 0,89 E f( ) 0,89 E T ( 0,89) H ( 0,89). Wende- bzw. Sttelpunkte: f = = W ( ) ( ) W / = 0 =± f (0) = 0; f (0) = 0 W (0 0) Sttelpunkt f () = ; f () = 0 W ( 0,6) Wendepunkt f ( ) = ; f ( ) = 0 W ( 0,6) Wendepunkt Erwrtungshorizont B 009 Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont Seite von 7
009 Herbst (Mthemtik) Erwrtungshorizont für Aufgbenvorschlg B Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben.6 Grph der Funktion f : I II III.7 f ( ) = f ( ) = ( ) ( ) = = m mn = = m y = + b b = y = 0,6 ( ) =,6 yn = +,6 ( Normlengleichung) Grph der Normlen siehe.6 Summe 8 mögliche BE 0 Erwrtungshorizont B 009 Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont Seite von 7
009 Herbst (Mthemtik) Erwrtungshorizont für Aufgbenvorschlg B Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben Anstz: f ( ) = + b + c+ d f ( ) = + b+ c f ( ) = 6+ b Bedingungsgefüge:. f () = ( P ( ) liegt uf G(f)). f () = ( P ( ) liegt uf G(f)). f () = 0 ( E = ist Etremstelle). f () = 0 ( = ist Wendestelle) W I II III Gleichungssystem: I: = 8 + b + c + d II: = 7 + 9b + c + d III: 0 = + b + c IV: 0 = 8 + b Lösen des Gleichungssystems (ebenso Erstz-LGS) Drus ergibt sich (uch Erstz-LGS): =, b= 9, c=, d = und für die Funktionsgleichung: f( ) = + 9 + Summe 6 9 0 mögliche BE Erwrtungshorizont B 009 Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont Seite von 7
009 Herbst (Mthemtik) Erwrtungshorizont für Aufgbenvorschlg B Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben. Erstellung der Zielfunktion V( l) = l, ls Huptbedingung I II III + l = ls Nebenbedingung = ( l ) Es folgt: V(l) = ( ( l)) l (9 6 = l+ l ) l 6 = + 9 6 8 6 l l l Definitionsbereich D = V { l 0, l,}, denn nur für diese Kntenlängen ist die Hndlichkeit der Pkete lso + l = gewährleistet.. zu.b) Berechnung der Abmessungen = + 9 6 8 6 V(l) = l l+ 9 6 6 V () l = l 8 V(l) l l l V(l) = 0 und V ( l) 0 ist hinreichend für Etremstellen 9 6 l l+ = 0 ( ) 6 6 l l+ = 0 pqf l/ = () = lso l = und l = sind Etremstellenkndidten von V, d sie Nullstellen von V sind. Erwrtungshorizont B 009 Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont Seite von 7
009 Herbst (Mthemtik) Erwrtungshorizont für Aufgbenvorschlg B Teilufgben Erwrtete Teilleistung Wegen V () = 8 = 8 < 0 ist lh = Hochstelle von V und V () entfällt, d D f I II III H = ( lh ) = ( ) = V ( H, lh) = H lh = ( ) = V = 6 8 + 9 6 = 0 (0) 0 0 0 V () = + 9 6 8 6 = 7 +7 6 = 0 Ein mimles Volumen von m ergibt sich, wenn mn die Abmessungen m m m für ds Pket wählt. Aufgrund der Rndwerte von V ist ds Mimum ein bsolutes. Summe 9 mögliche BE Erwrtungshorizont B 009 Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont Seite 6 von 7
009 Herbst (Mthemtik) Erwrtungshorizont für Aufgbenvorschlg B Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben. setze f() = + 6 = 0 Substitution: z = : z z + 6 = 0 z = 6, ±, 6 = 6, ± 6, = 6,, ± z = 6, +, = 9 =, = ± z = 6,, = =, = ±, I II III. Symmetrie des Grphen von f zur y-achse A = f ( ) d + f ( ) d = 0 + 6 = 6,,6 + 7 + + + (8,6 7 + 08) (6,,6 + 7) 0 + 6 =,7 + (,) = 87,6 + 8,6 = 9,7FE. Nullstellen von g bestimmen: setze g () = + = ( + ) = 0 = 0 oder + = 0 = 0 = ( + ) d = + = 6 =, 6 + = 0 setze = 7 = Summe mögliche BE 0 Erwrtungshorizont B 009 Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont Seite 7 von 7