V. Vektoren:. Definition: Geometrishe Definition: Shreibweise:,, r Vgl. Untershied: gerihtete Streke, mit Länge nd Rihtng Bsp.: Geshwindigkeit Vektor Sklr. Ein Sklr ht zwr einen Betrg ber keine Rihtng! Def: (, ) oder (,, ) i sind die Komponenten eines Vektors (Zeilen- oder Spltenvektoren). Eigenshften von Vektoren: Betrg (Länge): (,, ) z.b. (,) 9 6 5 Rihtng: β α (, ) os α os β osα, osβ geben Rihtng n Rihtngsosins (reltiv z den Koordintenhsen) sgewählte Rihtngen: () Vektoren sind orthogonl, wenn sie senkreht feinnder stehen. Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
() Vektoren sind kolliner, wenn sie prllel zr selben Gerden sind. () Vektoren sind komplnr, wenn sie prllel zr selben Ebene verlfen.. Gleihheit von Vektoren: Geometrishe Definition: Vektoren sind dnn gleih, wenn sie drh eine Prllelvershiebng seinnder hervorgehen. es gibt viele Vektoren die gleih sind (Vektorfeld) (nlogie zr Integrtionskonstnten bei der Differentilgleihng) rithmetishe Definition: Vektoren sind dnn gleih, wenn sie in ihren Komponenten übereinstimmen b (, ) b (b,b ) wenn ( b ); ( b ). rten von Vektoren: () Freie Vektoren: Entstehen drh Prllelvershiebng (b) Ortsvektoren: Hben einen gemeinsmen Ursprng, ndere Rihtng ber gleihen Betrg z.b. Rottion (Uhrzeiger) () hsile Vektoren: Hben ntershiedlihe Beträge, ber gleihe Rihtng (Bsp. Drehimpls) Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
Spezielle Vektoren: Einheitsvektoren: Länge, Rihtng einer Koordintenhse e e e Behte die Rihtngen der hsen!! Definition eines Vektors drh seine Einheitsvektoren: (e, e, e ) (,, ) ( e e e ),, sind die Beträge, e,e,e die Einheitsvektoren, die die Rihtng ngeben. Normlerweise werden in der Drstellng nr die Beträge geshrieben Nllvektor: Betrg 0, ht keine Rihtng sein) z.b. 0; (in Vektorgleihng mss 0 ein Vektor Normierter Vektor: b Vektoropertionen ht die Rihtng von, nd den Betrg. ddition von Vektoren: geometrish: b ; Pfeilspitze n Pfeilnfng, (Resltierende eines Prllelogrmmes) Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
rithmetish: (, ) b ( b, b ) b ( b, b ) ; komponentenweise ddieren der Koordinten z.b. (,), b (, ) ; b (5,). Sbtrktion von Vektoren: -b geometrish: d (-b) b b Vektor - rithmetish: (, ) - (-,- ) geometrish: gleiher Betrg, ber entgegengesetzten Rihtng (80 ) rithmetish: (, ) b (b,b ) - b ( - b, - b ) z.b. (,); b (,-) b (-. -(-)) (,5) Sonderfll: 0 Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
. Mltipliktion eines Vektors mit einem Sklr: geom: nlog zr Drstellng von drh Einheitsvektoren rith: λ (λ, λ ); λ reelle Zhl Bei Mltipliktion jeder Komponente mit λ bleibt die Rihtng gleih, ber der Betrg ändert sih. Bsp: λ (,) λ 9 6 5 (.) (.) λ.5 0 6 6 0 λ λ Mltipliktion mit - λ bedetet Rihtngsänderng von 80. Inneres oder sklres Prodkt (Sklrprodkt) SW: diese Vektoropertion wird mit einem Pnkt b oder einer rnden Klmmer (,b) gekennzeihnet. Ds Ergebnis ist ein Sklr (Betrg) b geometrishe Interprettion: Projektion des Vektors b f den Vektor b b osα rithmetish: b b b Bsp: (,) b (,.5); b (9-0) - (Bsp. s der Phsik: W Fs) Der Winkel zwishen Vektoren ist s dem Sklrprodkt erhältlih: os α b b Sonderfälle: () ² osα (b) b 0, b 0 osα 0; α 90 ; b () b b os α ; α 0 ; b Mthemtishe Übngen Kp. 5/5 Hofmnn / Lettner
(d) b b, kommttive Rehenopertion 5. Äßeres oder vektorielles Prodkt Ds Ergebnis ist ein Vektor mit Betrg nd Rihtng Nr im dimensionlen Rm möglih!! SW: [,b] oder b geometrishe Drstellng: b Die Vektoren,b, bilden in dieser Reihenfolge ein Rehtssstem: Bei der Drehng von über den kleineren Winkel in Rihtng b entsteht eine Drehrihtng, die eine Rehtsshrbe in Rihtng nd Orientierng von bewegt (Rehtsshrbenregel). () steht senkreht f de Ebene die drh nd b fgespnnt wird () Rihtng von : rehtsgängige Shrberegel, wird f kürzesten Weg nh b gedreht () Betrg: b b sinα rithmetishe Berehnng: (,, ) mit: b b b b b b Bsp: (,,); b (,,5) 0-7 -5 - - - (Erklärng bei Mtrizen nd Determinnten) (7,-,-) Mthemtishe Übngen Kp. 6/5 Hofmnn / Lettner
Sonderfälle / Regeln: () ( b) -(b ); Betrg ist gleih, ber entgegengesetzte Rihtng, ergibt sih s der Rehtsshrbenregel (b) () α 0 ; sinα 0; b 0; beide Vektoren sind prllel α 90 ; sinα ; b b ; beide Vektoren sind feinnder VI. Linere Gleihngsssteme, Mtrizen nd Determinnten Motivtion: Wie können linere Gleihngsssteme gelöst werden? ) Einsetzen ) Gß shes Elimintionsverfhren ) Mtrizen nd Determinnten Für etw miml Unbeknnte sind Verfhren nd ngebrht, bei mehr Unbeknnten sind die Methoden nd günstiger. Betrhte lineres Gleihngssstem () () () Lösng ohne Mtrizen mit Einsetzen: s () oder () eine Unbeknnte drh die ndere sdrüken nd in die ndere Gleihng einsetzen Z. B.s () : Einsetzen in () ( ) 8 5; Drh Einsetzen von 5 in () oer () wird berehnet Mthemtishe Übngen Kp. 7/5 Hofmnn / Lettner
Mthemtishe Übngen Kp. 8/5 Hofmnn / Lettner - (b) Lösng mit Mtrizen: ndere Shreibweise. Diese Gleihngssstem ht die Form:.. b Bildng der inversen Mtri - Lösng: gleihe Opertion f beiden Seiten (wie mn f kommt, wird später erklärt) 0 0 8 Koeffizientenmtri Spltenvektoren nd b
Terminologie Immer: m { n { Mtri Zeilen Splten... n... n......... m m... mn Spltennzhl: n Zeilenzhl: m Der erste Inde eines Elements ij kennzeihnet die Position in der Zeile, der zweite in der Splte Bei Mltipliktion: Immer Zeilenvektor Spltenvektor Smme Inneres Prodkt der Vektorrehnng! Beispiel. oder/bzw. Berehne die einzelnen Elemente für - E (bzw. I) 6 6 0 0 nwendngen?ws mhen Mtrizen? : Im Prinzip bbildngen Bsp: () Trnsformtionsmtri T Bsp: Rottion m ϕ bbildngen (-sinϕ,osϕ) (0,) ϕ ϕ (osϕ,sinϕ) (,0) Mthemtishe Übngen Kp. 9/5 Hofmnn / Lettner
Eine Drehng m den Winkel ϕ bildet die Einheitsvektoren e 0 nd e 0 b f: 0 0 T osϕ -sinϕ sinϕ osϕ osϕ -sinϕ sinϕ osϕ T heißt Trnsformtionsmtri Bsp.: Rottion des Vektors (,) m 5, ws sind die neen Koordinten? T / / T / / / / / / (, ) 5 (,) Stte mtri, Trnsition mtri, stte vetor, Zstndsvektor Bsp.: Bevölkerngsverteilng Lnd (L), Vororte nd kleinere Orte (V), Stdt (S) Sm Stte mtri L V S Sv Stte vetor ( 0 0 60) Zstnd zr Zeit t 0 Tm Trnsition Mtri Tm L V S L V 60 0 0 7 5 0 5 55 Mthemtishe Übngen Kp. 0/5 Hofmnn / Lettner
S Diese Trnsition Mtri (Übergngsmtri) qntifiziert die Wnderngsbewegngen zwishen den einzelnen Bereihen L, V nd S. In diesem Zsmmenhng ist ntürlih wihtig, wie die Mtri z lesen ist, ds mß festgelegt sein. In diesem Beispiel ist die vertikle Splte LVS die Qelle nd die horizontle Reihe LVS ds Ziel. So bedetet z.b. die Zhl 5, der Shnittpnkt der V Zeile nd der S Splte, dß pro Jhr von den Vororten 5% in die Stdt ziehen sw. Wie sieht nn die Bevölkerngsverteilng in,,...n Jhren s? In Jhr (sgngssittion: Sm Sv (0) ) Sm. Tm Sv () ( 0 0 60) L t 0 V S 0,6 0,0 0, 0, 0,7 0,5 0, L 0,5 0,55 V S ( t ) ( t ) ( t ) (,9,6,5) %-nteile der Bev. in L, V, S Nh Jhren Nh n Jhren n S T S S m Tm Tm Sv ( t) m m v( t n) Trnsponieren: Sttevektor ls Spltenvektor: Drh Shreibweise ls trnsponierte Form verändert sih die Reihenfolge von S m nd T m nh der Regel: S m. T m T m T. S m T T T T ( T ) ( S ) ( S ) m m v Determinnten Linere Gleihngsssteme nd ihre Lösng mit Determinntenrehng b d v In Mtri-Nottion. Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
b d v Lösng drh ( Gßshes ) Elimintionsverfhren Elimintion von für die Berehnng von : d b d b d v b d vb d vb d b Elimintion von für die Berehnng von : b d b d v v v d b Def.: det b d b d b v d b d v b d Zr Berehnng von nd verwende die Crmer`she Regel: b d In ersetze für die Berehnng von den. Spltenvektor b Spltenvektor drh d, v drh, für den. v Bsp.... 5 5 Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
.. Lösng von Gleihngssstemen mit mehr ls Unbeknnten. Nh längerer Rehnng erhält mn:,, sind Linerkombintionen von,, Sstemtik: Elemente der. Splte Entwikeln der Determinnte - Crmer`she Regel - - det det Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
det Vorzeihenregel det nloge Erweiterng für größere Mtrizen Mthemtishe Übngen Kp. /5 Hofmnn / Lettner
Mthemtishe Übngen Kp. 5/5 Hofmnn / Lettner Die Inverse Mtri Nh gewöhnliher lgebr: -.. ; -. I; I ist die Einheitsmtri oder Identität,, sind Linerkombintionen von,, : Dher:. det Die Berehnng der inversen Mtri ermögliht eine sehr effiziente Lösng eines lineren Gleihngssstems Ursprünglihes Beispiel gelöst mit der inversen Mtri: det det Shrittweise. 0 0.......... 5.....