{ } { } {( ) 0 x 1 1,0 x 2 1} ( ) 0 x 1 1,0 x 2 1,0 x 3 1

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1 Hns Wlser, [2473] Anlogie zu Qudrt i Ru Woru geht es? Üblicherweise wird der Würfel ls ds Anlogon des Qudrtes i Ru ngesehen. Es gibt llerdings uch ndere Möglichkeiten, ds Qudrt in den Ru zu nlogisieren. 2 Der Würfel Es gibt gute Gründe, den Würfel ls ein Anlogon des Qudrtes i Ru nzusehen. Beispiel: Qudrt = x, x 2 Würfel = x, x 2, x 3 {( ) x, x 2 } ( ) x, x 2, x 3 { } {( x,..., x n ) x 2,..., x n } n-d-hyperwürfel: = 3 Okteder Wir sehen ds Qudrt ls die konvexe Hülle zweier kongruenter Strecken, die sich ittig orthogonl schneiden (Digonlen). Ds räuliche Anlogon ist ds Okteder. Foreln: Qudrt = x, x 2 {( ) x + x 2 } { } {( x,..., x n ) x ++ x n } Okteder = ( x, x 2, x 3 ) x + x 2 + x 3 n-d-2 n -eder = 4 Vektorzug 4. Strt in der Ebene In eine krtesischen Koordintensyste seien e = und e 2 = die beiden Einheitsvektoren. Wir definieren rekursiv eine Vektorfolge { k } : = e. Weiter sei k+ der u +9 gedrehte Vektor k. Dit erhlten wir die Sitution der Abbildung.

2 Hns Wlser: Anlogie zu Qudrt i Ru 2 / 7 x x Abb. : Vektorzug Der Vektorzug = schließt sich zu Qudrt, die Sue der ersten vier Folgenvektoren ist der Nullvektor. Weiter ist 5 = und llgeein k = k 4, k > 4. Wir hben ein periodisches Verhlten it der Periodenlänge 4 und ein ntiperiodisches Verhlten it der Periodenlänge 2. Für die Sue s = k gilt: s = k = flls od 4 = flls od 4 = + 2 flls od 4 = 2 2 flls od 4 = Anlogon i Ru In eine krtesischen räulichen Koordintensyste seien e, e 2, e 3 die drei Einheitsvektoren. { k } : = e und 2 = e 2. Weiter sei: Wir definieren rekursiv eine Vektorfolge k+ = k k Die Rekursion erinnert von ferne n die Fiboncci-Rekursion. Wir erhlten der Reihe nch: = e, 2 = e 2, 3 = e 3, 4 = e, 5 = e,... und llgeein k = k 3, k > 3. Wir hben ein periodisches Verhlten it der Periodenlänge 3. Der Vektorzug schließt sich nicht. Die Sue s = k divergiert. Die Abbildung 2 zeigt die Sitution.

3 Hns Wlser: Anlogie zu Qudrt i Ru 3 / 7 x 3 6 x x Abb. 2: Vektorzug i Ru Es ergibt sich eine eckige Spirle, welche sich uf eine Dreiknt eporwindet. Bei Sicht längs der blu eingezeichneten Würfeldigonlen sehen wir den Querschnitt des Dreiknts (Abb. 3). x 3 od 3 3od 3 x 2od 3 x 2 Abb. 3: Dreiknt Die Vektoren k schneiden die Mntelknten des Dreiknts unter eine Winkel α von: α = rctn( 2 ) Dher können wir ein Modell des Dreiknts it eckiger Spirle us einer Plstikfolie i DIN-A4-Fort buen. Wir legen die Folie i Querfort hin und zeichnen die Di-

4 Hns Wlser: Anlogie zu Qudrt i Ru 4 / 7 gonle von links unten nch rechts oben. Anschließend erstellen wir vier oder cht Bergflten geäß Abbildung 4. Abb. 4: Bunleitung Dreiknt Nun können wir die Folie zu Dreiknt flten und it Büroklern oder Klebebnd fixieren (Abb. 5). Abb. 5: Modell us Plstikfolie 4.3 Diskussion In der Ebene hben wir it Drehen u 9 gerbeitet, i Ru it de Kreuzprodukt. Diese beiden Opertionen lssen sich unter einen Hut bringen, so dss die Anlogie offensichtlich wird. Ds geht it Hilfe von forlen Deterinnten In der Ebene Wir rbeiten it eine Vektor

5 Hns Wlser: Anlogie zu Qudrt i Ru 5 / 7 = 2 und bilden die forle Mtrix A: A = e 2 e2 Die Einträge dieser Mtrix sind lso in der ersten Splte die Koponenten des Vektors und in der zweiten Splte die Einheitsvektoren. Nun berechnen wir forl die Deterinnte: det( A) e = det 2 e2 = e 2 2 e = 2 Wir erhlten einen Vektor, und zwr den u 9 gedrehten Vektor I Ru Wir rbeiten it zwei Vektoren = 2 3 und berechnen die nloge Deterinnte: e b det 2 b 2 e2 3 b 3 e3 Wir erhlten ds Kreuzprodukt., b = b b 2 b 3 = ( 2 b 3 3 b 2 ) e + ( 3 b b 3 ) e 2 + ( b 2 2 b ) e 3 2 b 3 3 b 2 = 3 b b 3 = b b 2 2 b Allgeein I n-diensionlen Ru können wir nun nlog die Deterinnte einer Mtrix berechnen deren erste n Splten die Koponenten von n Vektoren sind und deren letzte Splte us den n Einheitsvektoren besteht. Diese Deterinnte ist wieder ein Vektor i n-diensionlen Ru. Schreibweise:

6 Hns Wlser: Anlogie zu Qudrt i Ru 6 / 7 (,..., n ) " (,..., n ) = det e, 2, # n,,2 2,2 # n,2 e2,3 2,3 # n,3 e3 $ $ % $ $,n 2,n # n,n en 4.4 Diension vier Wir strten it den drei Vektoren = e =, 2 = e 2 =, 3 = e 3 = und verwenden die Rekursion: k+ = ( k 2, k, k ) Wir erhlten der Reihe nch: 4 = e 4, 5 =, 9 =, = 2, 6 = 2, = 3, 7 = 3, 2 = 4,... 8 = 4, Wir hben eine Periodenlänge 8 und eine Antiperiodenlänge 4. Der Vektorzug ist geschlossen. Für die Sue s = k gilt: s = k = flls od8 = flls od8 = + 2 flls od8 = flls od8 = flls od8 = flls od8 = flls od8 = 6 4 flls od8 = 7 Wir hben lso prinzipiell dsselbe Verhlten wie in der Diension Diension fünf Mit den vier Strtvektoren = e, 2 = e 2, 3 = e 3, 4 = e 4 und der Rekursion k+ = ( k 3, k 2, k, k ) erhlten wir:

7 Hns Wlser: Anlogie zu Qudrt i Ru 7 / 7 5 = e 5, 6 =, 7 = 2, 8 = 3, 9 = 4, = 5, =,... Wir hben i Prinzip dsselbe Verhlten wie in der Diension 3. Der Vektorzug schließt sich nicht. Die Sue s = k divergiert. 4.6 Allgeein Es ergibt sich eine Pritätsunterscheidung bezüglich der Diension n. Der Grund für diese Pritätsunterscheidung ist ds lternierende Vorzeichenverhlten bei der Entwicklung der Deterinnte nch Lplce Gerde Diension Antiperiodenlänge n, Periodenlänge 2n. Die Sue s = k ist ebenflls periodisch it der Periodenlänge 2n. Der Vektorzug ist geschlossen Ungerde Diension Periodenlänge n. Die Sue s = k divergiert. Der Vektorzug schließt sich nicht.