Einleitung. Mathematik für Volkswirte. Literatur. Über die mathematische Methode. Weitere Übungsbeispiele. Statische (Gleichgewichts-) Analyse

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1 Mthemtik für Volkswirte Mthemticl Methods for Economists Josef Leydold Institute for Sttistics nd Mthemtics WU Wien Wintersemester 07/ Josef Leydold This work is licensed under the Cretive Commons Attribution-NonCommercil-ShreAlike 3.0 Austri License. To view copy of this license, visit or send letter to Cretive Commons, 7 Second Street, Suite 300, Sn Frncisco, Cliforni, 9405, USA. Litertur KNUT SYDSÆTER, PETER HAMMOND Essentil Mthemtics for Economics Anlysis Prentice Hll, 3rd ed., 008 Einleitung KNUT SYDSÆTER, PETER HAMMOND, ATLE SEIERSTAD, ARNE STRØM Further Mthemtics for Economics Anlysis Prentice Hll, 005 ALPHA C. CHIANG, KEVIN WAINWRIGHT Fundmentl Methods of Mthemticl Economics McGrw-Hill, 005 JOSEF LEYDOLD Mthemtik für Ökonomen 3. Auflge, Oldenbourg Verlg, München, 003 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung / 3 Weitere Übungsbeispiele Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung / 3 Über die mthemtische Methode Die Bücher us der Reihe Schum s Outline Series (McGrw Hill) bieten umfngreiche Smmlungen von Musterufgben und Übungsbeispielen mit zum Teil usführlichen Lösungen. Insbesondere seien die folgenden Bücher erwähnt: SEYMOUR LIPSCHUTZ, MARC LIPSON Liner Algebr, 4th ed., McGrw Hill, 009 RICHARD BRONSON Mtri Opertions, nd ed., McGrw Hill, 0 ELLIOT MENDELSON Beginning Clculus, 3rd ed., McGrw Hill, 003 ROBERT WREDE, MURRAY R. SPIEGEL Advnced Clculus, 3rd ed., McGrw Hill, 00 ELLIOTT MENDELSON 3,000 Solved Problems in Clculus, McGrw Hill, 988 Mn knn lso gr nicht prinzipieller Gegner der mthemtischen Denkformen sein, sonst müßte mn ds Denken uf diesem Gebiete überhupt ufgeben. Ws mn meint, wenn mn die mthemtische Methode blehnt, ist vielmehr die höhere Mthemtik. Mn hilft sich, wo es bsolut nötig ist, lieber mit schemtischen Drstellungen und ähnlichen primitiven Behelfen, ls mit der ngemessenen Methode. Ds ist nun ber ntürlich unzulässig. Joseph Schumpeter (906) Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 3 / 3 Sttische (Gleichgewichts-) Anlyse Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 4 / 3 Komprtiv-sttische Anlyse Welcher Preis herrscht in Mrktgleichgewicht? Finde den Preis bei dem Angebots- und Nchfrgefunktion übereinstimmen. Welche Gütermengen müssen in einer Volkswirtschft produziert werden, dmit Konsum und Eporte befriedigt werden können? Finde Inverse einer Mtri in einem Leontief Input-Output Modell. Wie verhält sich ein Konsument, der seinen Nutzen optimiert? Finde des bsolute Mimum der Nutzenfunktion. Wie lutet ds optimle Produktionsprogrmm einer Firm? Finde ds bsolute Mimum der Erlösfunktion. In welche Richtung bewegen sich die Preise, wenn ds Mrktgleichgewicht gestört wird? Bestimme die Ableitung des Preises ls Funktion der Zeit. Wie lutet der mrginle Produktionsvektor, wenn sich die Nchfrge in einem Leontief-Modell ändert? Bestimme die Ableitung einer vektorwertigen Funktion. Wie ändert sich der optimle Nutzen eines Konsumenten, wenn sich Einkommen oder Preise ändern? Bestimme die Ableitung des mimlen Nutzens nch den Modellprmetern. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 5 / 3 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 6 / 3

2 Dynmische Anlyse Lernziele Grundlgen Wir kennen die Änderungsrte eines Preises nch der Zeit. Welchen Verluf nimmt die Preisentwicklung? Löse eine Differentil- oder Differenzengleichung. Welche Investitionspolitik eines Sttes optimiert ds Wirtschftswchstum? Bestimme die Prmeter einer Differentilgleichung, sodss der Endpunkt der Lösungsfunktion miml wird. Wie lutet die Anlgestrtegie eines Konsumenten, die seinen intertemporlen Nutzen mimiert. Bestimme die Sprrte (ls Funktion der Zeit), die die Summe des diskontierten Konsums optimiert. Linere Algebr: Mtri und Vektor Mtrilgebr Determinnte Eigenwerte Univrite Anlysis: Funktion Grph injektiv und surjektiv Limes Stetigkeit Differentilquotient und Ableitung Monotonie konve und konkv Multivrite Anlysis: prtielle Ableitung Grdient und Jcobische Mtri totles Differentil implizite und inverse Funktion Hessemtri und qudrtische Form Tylorreihe Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 7 / 3 Lernziele Optimierung Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 8 / 3 Abluf der Lehrvernstltung Sttische Optimierung: lokle und globle Etrem Lgrnge-Funktion und Kuhn-Tucker Bedingung Umhüllungsstz Dynmische Anlyse: Integrtion (Systeme von) Differentilgleichung stbiler und instbiler Fipunkt Sttelpunkt Trnsverslitätsbedingung Kontrolltheorie und Hmiltonfunktion Eigenständiges Vorbereiten eines neuen Kpitels (Hndouts). Präsenttionen des neuen Lehrstoffes mit en. Husübungen. Besprechung der Übungsufgben (mittwochs). Endtest. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 9 / 3 Vorussetzungen Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 0 / 3 Vorussetzungen Probleme Mthemtische Grundkenntnisse gehören zu den Vorussetzungen zum erfolgreichen Abschluß dieser Lehrvernstltung und sollten bereits in der Schule oder in den Einführungslehrvernstltungen Ihres Bkkeluretsstudiums erworben sein. Auf der Webseite dieser Lehrvernstltung finden Sie dher ds Skriptum Mthemtik Grundlgen. Es enthält eine Zusmmenfssung dieser Grundkenntnisse und bietet die Möglichkeit, eventuell vorhndene Wissenslücken zu beheben. Dieser Stoff ist dher uch prüfungsrelevnt. Einige der Folien behndeln trotzdem diese Grundlgen. Sie sind durch ein im Folientitel gekennzeichnet. Diese Folien werden ber nur bei Bedrf erklärt. Folgende Aufgben bereiten erfhrungsgemäß besondere Probleme: ds Zeichnen (oder Skizzieren) von Funktionsgrphen, Äquivlenzumformungen von Gleichungen, ds Arbeiten mit Ungleichungen, die korrekte Hndhbung von Bruchtermen, ds Rechnen mit Eponenten und Logrithmen, ds unnötige Ausmultiplizieren von Produkten, ds Verwenden der mthemtischen Nottion. Die präsentierten Lösungen derrtiger (Teil-) Aufgben sind überrschend oft flsch. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung / 3 Inhltsverzeichnis I Propädeutik Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung / 3 Inhltsverzeichnis II Linere Algebr Logik, Mengen und Abbildungen Aussgenlogik Mengen Abbildungen Zusmmenfssung Mtrilgebr Prolog Mtri Rechnen mit Mtrizen Vektoren Linere Gleichungssysteme Ds Gußsche Elimintionsverfhren Ds Guß-Jordnsche Verfhren Epilog Zusmmenfssung Vektorräume Der Vektorrum Rng einer Mtri Bsis und Dimension Linere Abbildung Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 3 / 3 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 4 / 3

3 Inhltsverzeichnis II Linere Algebr / Zusmmenfssung Determinnte Definition und Eigenschften Berechnung Crmersche Regel Zusmmenfssung Eigenwerte Eigenwerte und Eigenvektoren Digonlisieren Qudrtische Form Huptkomponentennlyse Zusmmenfssung Inhltsverzeichnis III Anlysis Funktionen Reelle Funktionen Spezielle Funktionen Elementre Funktionen Grenzwert Stetigkeit Funktionen in mehreren Vriblen Wege Allgemeine reelle Funktionen Zusmmenfssung Differentilrechnung Differentilquotient Differentil Ableitung Monotonie Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 5 / 3 Inhltsverzeichnis III Anlysis / Krümmung Elstizität Prtielle Ableitung Prtielle Elstizitäten Grdient Totles Differentil Jcobische Mtri Zusmmenfssung Inverse und implizite Funktionen Inverse Funktionen Implizite Funktionen Zusmmenfssung Tylorreihen Tylorreihen Konvergenz Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 6 / 3 Inhltsverzeichnis III Anlysis / 3 Rechnen mit Tylorreihen Funktionen in mehreren Vriblen Zusmmenfssung Integrtion Riemnn-Integrl Stmmfunktion Huptstz der Integrl- und Differentilrechnung Uneigentliches Integrl Differenzieren unter dem Integrl Doppelintegrle Zusmmenfssung Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 7 / 3 Inhltsverzeichnis IV Sttische Optimierung Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 8 / 3 Inhltsverzeichnis IV Sttische Optimierung / Etrem Konvee Mengen Konve und konkv Etrem Lokle Etrem Qusi-konve und qusi-konkv Umhüllungsstz Zusmmenfssung Kuhn-Tucker Bedingung Grphisches Verfhren Optimierung unter Nebenbedingungen Die Kuhn-Tucker Bedingung Der Stz von Kuhn-Tucker Zusmmenfssung Lgrnge-Funktion Optimierung unter Nebenbedingungen Lgrnge-Anstz Viele Vriblen und Gleichungen Globle Etrem Umhüllungsstz Zusmmenfssung Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 9 / 3 Inhltsverzeichnis V Dynmische Optimierung Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 0 / 3 Mthemtischer Zweig Differentilgleichungen Ws ist eine Differentilgleichung? Lösungstechniken Spezielle Differentilgleichungen Linere Differentilgleichung. Ordnung Qulittive Anlyse Zusmmenfssung Kontrolltheorie Ds Stndrdproblem Zusmmenfssung Courses hold in the interntionl scientific lnguge, i.e, broken English ( Robert Trppl). Discuss bsics of mthemticl resoning. Etend our tool bo of mthemticl methods for sttic optimiztion nd dynmic optimiztion. For more informtion see the corresponding web pges for the courses Mthemtics I nd Mthemtics II. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung / 3 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung / 3

4 Viel Erfolg! Kpitel Logik, Mengen und Abbildungen Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Einleitung 3 / 3 Aussge Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen / 6 Elementre Aussgeverbindungen Um Mthemtik betreiben zu können, sind ein pr Grundkenntnisse der mthemtischen Logik erforderlich. Im Zentrum steht dbei die Aussge. Eine Aussge ist ein Stz der entweder whr (W) oder flsch (F) ist. Wien liegt n der Donu ist eine whre Aussge. Bill Clinton wr Präsident der Republik Österreich ist eine flsche Aussge. 9 ist eine Primzhl ist eine whre Aussge. Dieser Stz ist flsch ist keine Aussge. Die Aussgenlogik verknüpft einfche zu kompleeren Aussgen und gibt deren Whrheitswert n. Dies geschieht durch die us der Alltgssprche beknnten Wörter und, oder, nicht, wenn... dnn, und genu dnn... wenn. Aussgeverbindung Symbol Nme nicht P P Negtion P und Q P Q Konjunktion P oder Q P Q Disjunktion wenn P dnn Q P Q Impliktion P genu dnn, wenn Q P Q Äquivlenz Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen / 6 Whrheitswerte Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 3 / 6 Negtion und Disjunktion Whrheitswerte elementrer Aussgeverbindungen. P Q P P Q P Q P Q P Q W W F W W W W W F F F W F F F W W F W W F F F W F F W W Die Negtion (Verneinung) P ist nicht ds Gegenteil der Aussge P. Die Verneinung von P Alle Ktzen sind gru ist P Nicht lle Ktze sind gru (Und keinesflls Alle Ktzen sind nicht gru!) Die Disjunktion P Q ist im nicht-usschließenden Sinn gemeint: P Q ist genu dnn whr, wenn P whr ist, oder wenn Q whr ist, oder wenn P und Q whr sind. Aussgen P ist durch teilbr und Q ist durch 3 teilbr. Die Aussge P Q ist genu dnn whr, wenn durch und 3 teilbr ist. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 4 / 6 Impliktion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 5 / 6 Ein einfcher logischer Beweis Die Whrheitswerte der Impliktion P Q erscheinen etws mysteriös. Bechte ber, dss P Q keine Aussge über den Whrheitswert von P oder Q mcht! Welche der beiden Aussgen ist whr? Wenn Bill Clinton österreichischer Sttsbürger ist, dnn knn er zum Präsidenten der Republik Österreich gewählt werden. Wenn Krl österreichischer Sttsbürger ist, dnn knn er zum Präsidenten der Republik Österreich gewählt werden. Die Impliktion P Q ist äquivlent zur Aussge P Q. Symbolisch: (P Q) ( P Q) Wir können den Whrheitswert der Aussge (P Q) ( P Q) mittels Whrheitstbellen herleiten: P Q P ( P Q) (P Q) (P Q) ( P Q) W W F W W W W F F F F W F W W W W W F F W W W W Die Aussge (P Q) ( P Q) ist lso immer whr, unbhängig von den Whrheitswerten für P und Q. Wir sgen dher, dss die beiden Aussgen P Q und P Q äquivlent sind. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 6 / 6 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 7 / 6

5 Theoreme Mthemtics consists of propositions of the form: P implies Q, but you never sk whether P is true. (Bertrnd Russell) Ein mthemtischer Stz (Theorem, Proposition, Lemm, Korollr) ist eine Aussge der Form P Q. P heißt dnn eine hinreichende Bedingung für Q. Eine hinreichende Bedingung P grntiert, dss die Aussge Q whr ist. Q knn ber uch dnn whr sein, wenn P flsch ist. Q heißt dnn eine notwendige Bedingung für P, Q P. Eine notwendige Bedingung Q muss whr sein, dmit die Aussge P whr sein knn. Sie grntiert nicht, dss P whr ist. Quntoren Mthemtische Tete verwenden öfters die Ausdrücke für lle bzw. es eistiert ein. In formler Nottion werden dfür folgende Symbole verwendet: Quntor für lle es eistiert ein Symbol es eistiert genu ein! Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 8 / 6 Mengen Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 9 / 6 Wichtige Mengen Der Begriff der Menge ist fundmentl für die moderne Mthemtik. Wir begnügen uns mit einer höchst einfchen Definition. Symbol Beschreibung Eine Menge ist eine Smmlung von unterscheidbren Objekten. Ein Objekt einer Menge A heißt Element der Menge: A Mengen werden durch Aufzählung oder Beschreibung ihrer Elemente in geschwungenen Klmmern {...} definiert. A {,,3,4,5,6} B { ist eine ntürliche Zhl und durch teilbr} leere Menge (nur in der Schule: {}) N ntürliche Zhlen {,,3,...} Z gnze Zhlen {..., 3,,,0,,,3,...} Q rtionle Zhlen, Bruchzhlen { k n k, n Z, n 0} R reelle Zhlen [, b ] bgeschlossenes Intervll { R b} (, b ) offenes Intervll { R < < b} [, b ) hlboffenes Intervll { R < b} C komplee Zhlen Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 0 / 6 Venn-Digrmme Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen / 6 Teilmenge Beim Arbeiten mit Mengen nimmt mn meist n, dss lle betrchteten Mengen Teilmengen einer vorgegebenen Obermenge Ω sind. Eine Menge A heißt Teilmenge von B, A B, flls jedes Element von A uch Element von B ist, forml: A B. Mengen können durch sogennnte Venn-Digrmme drgestellt werden. Die Obermenge wird durch ein Rechteck, die einzelnen Mengen durch Kreise oder Ovle drgestellt. A B B A Ω Ω Eine Menge A heißt echte Teilmenge von B, A B, flls A B und A B. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen / 6 Mengenverknüpfungen Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 3 / 6 Mengenverknüpfungen Symbol Definition Bezeichnung A B A B A B { A B} Durchschnitt A B { A B} Vereinigung A \ B { A B} Mengendifferenz A Ω \ A Komplement B Ω A B Ω A B {(, y) A, y B} Crtesisches Produkt Zwei Mengen A und B heißen disjunkt flls A B. A A \ B B A A Ω Ω Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 4 / 6 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 5 / 6

6 Crtesisches Produkt Rechenregeln für Mengenverknüpfungen Ds Crtesische Produkt us A {0,} und B {,3,4} ist A B {(0,), (0,3), (0,4), (,), (,3), (,4)}. Regel Bezeichnung Ds Crtesische Produkt us A [,4] und B [,3] ist A B {(, y) [,4] und y [,3]}. A A A A A Idempotenz A A und A Identität 3 (A B) C A (B C) und (A B) C A (B C) Assozitivität B [,3] A B A [,4] A B B A und A B B A Kommuttivität A (B C) (A B) (A C) und A (B C) (A B) (A C) A A Ω und A A Distributivität Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 6 / 6 Gesetz von De Morgn Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 7 / 6 Abbildung (A B) A B und (A B) A B Eine Abbildung f ist definiert durch (i) eine Definitionsmenge D, (ii) eine Wertemenge W und (iii) eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element von D f genu ein Element von W f zuordnet. A B A B f : D f W f, y f () Ω Ω heißt unbhängige Vrible, y heißt bhängige Vrible. y ist ds Bild von, ist ds Urbild von y. f () heißt Funktionsterm, heißt Argument der Abbildung. Andere Bezeichnungen: Funktion, Trnsformtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 8 / 6 Injektiv surjektiv bijektiv Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 9 / 6 Injektiv surjektiv bijektiv Jedes Argument besitzt immer genu ein Bild. Die Anzhl der Urbilder eines Elementes y W knn jedoch beliebig sein. Wir können dher Funktionen nch der Anzhl der Urbilder einteilen. Eine Abbildung f heißt injektiv, wenn jedes Element us der Wertemenge höchstens ein Urbild besitzt. Abbildungen können durch Pfeildigrmme vernschulicht werden. D f W f D f W f D f W f Sie heißt surjektiv, wenn jedes Element us der Wertemenge mindestens ein Urbild besitzt. Sie heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv ls uch surjektiv ist. Injektive Abbildungen hben die folgende wichtige Eigenschft: injektiv surjektiv bijektiv (nicht surjektiv) (nicht injektiv) f () f (y) y Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 0 / 6 Zusmmengesetzte Funktion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen / 6 Inverse Abbildung Seien f : D f W f und g : D g W g Funktionen mit W f D g. Dnn heißt die Funktion g f : D f W g, (g f )() g( f ()) zusmmengesetzte Funktion ( g zusmmengesetzt f ). Bei einer bijektiven Abbildung f : D f W f können wir jedem y W f sein Urbild D f zuordnen. Wir erhlten ddurch wieder eine Abbildung f mit der Definitionsmenge W f und der Wertemenge D f : f : W f D f, y f (y) D f W f D g W g f g Diese Abbildung heißt Umkehrfunktion oder inverse Abbildung. Sie ht die Eigenschft, dss für lle Elemente D f und y W f gilt: f ( f ()) f (y) und f ( f (y)) f () y g f Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen / 6 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 3 / 6

7 Inverse Abbildung Identische Abbildung Die einfchste Funktion ist die Einheitsfunktion (oder identische Abbildung id, die ds Argument uf sich selbst bbildet, d.h. f id: D W D, D f W f f W f D f Die Einheitsfunktion bei zusmmengesetzten Abbildungen die Rolle der Zhl bei der Multipliktion von Zhlen. Insbesondere gilt: f id f und id f f f f id: D f D f und f f id: W f W f Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 4 / 6 Zusmmenfssung Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 5 / 6 Aussgenlogik Theorem Notwendige und hinreichende Bedingung Mengen Mengenverknüpfungen Abbildung Zusmmengesetzte Funktion Inverse Abbildung Kpitel Mtrilgebr Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Logik, Mengen und Abbildungen 6 / 6 Ein sehr einfches Leontief-Modell Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr / 49 Ein sehr einfches Leontief-Modell Eine Stdt betreibt die Unternehmen ÖFFENTLICHER VERKEHR, ELEKTRIZITÄT und GAS. Technologiemtri und wöchentliche Nchfrge (in Werteinheiten): Verbruch n für Verkehr Elektrizität Gs Konsum Verkehr 0,0 0, 0, 7,0 Elektrizität 0,4 0, 0,,5 Gs 0,0 0,5 0, 6,5 Wie groß muss die wöchentliche Produktion sein, dmit die Nchfrge befriedigt werden knn? Wir bezeichnen die unbeknnte Produktion von VERKEHR, ELEKTRIZITÄT und GAS mit, bzw. 3. Für die Produktion muss dnn gelten: Nchfrge Produktion interner Verbruch 7,0 (0,0 + 0, + 0, 3 ),5 (0,4 + 0, + 0, 3 ) 6,5 3 (0,0 + 0,5 + 0, 3 ) Durch Umformen erhlten wir ds linere Gleichungssystem:,0 0, 0, 3 7,0 0,4 + 0,8 0, 3,5 0,0 0,5 + 0,9 3 6,5 Wie müssen wir, und 3 wählen? Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr / 49 Mtri Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 3 / 49 Vektor Eine m n-mtri ist ein rechteckiges Schem bestehend us m Zeilen und n Splten.... n A... n ( ij) m m... mn Die Zhlen ij heißen Elemente oder Koeffizienten der Mtri A, die Zhl i der Zeileninde, die Zhl j der Splteninde. Mtrizen werden mit lteinischen Großbuchstben bezeichnet, deren Koeffizienten mit den entsprechenden Kleinbuchstben. In der Litertur werden uch eckige Klmmern [ ij ] verwendet. Ein (Splten-) Vektor ist eine n -Mtri:. Ein Zeilenvektor ist eine n-mtri: t (,..., n ) Der i-te Einheitsvektor e i ist der Vektor, in dem die i-te Komponente gleich und lle nderen gleich 0 sind. Vektoren werden mit kleinen lteinischen Buchstben bezeichnet. Wir schreiben A (,..., n ) für eine Mtri mit den Splten(vektoren),..., n. n Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 4 / 49 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 5 / 49

8 Spezielle Mtrizen I Spezielle Mtrizen II Eine n n-mtri heißt qudrtische Mtri. Eine obere Dreiecksmtri ist eine qudrtische Mtri, deren Elemente unterhlb der Huptdigonle lle Null sind. 3 U Eine untere Dreiecksmtri ist eine qudrtische Mtri, deren Elemente oberhlb der Huptdigonle lle Null sind. Eine Digonlmtri ist eine qudrtische Mtri, bei der lle Elemente ußerhlb der Huptdigonle gleich Null sind. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 6 / 49 Trnsponierte Mtri Eine Mtri, in der lle Koeffizienten gleich Null sind, heißt Nullmtri und wird mit O n,m oder kurz 0 bezeichnet. Die Einheitsmtri ist eine Digonlmtri, bei der die Huptdigonlelemente gleich sind. Sie wird mit I n oder kurz I bezeichnet. (In der deutschsprchigen Litertur uch mit E.) 0 0 I Hinweis: Sowohl die Einheitsmtri I n ls uch die symmetrische Nullmtri O n,n sind ebenflls e für Digonlmtrizen, obere und untere Dreiecksmtrizen. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 7 / 49 Multipliktion mit einer Konstnten Die Trnsponierte A t (oder A ) einer Mtri A erhlten wir, wenn wir us Zeilen Splten mchen und umgekehrt: ij t ji t Zwei Mtrizen heißen gleich, A B, wenn die Anzhl der Zeilen und Splten übereinstimmen und die Mtrizen koeffizientenweise gleich sind, d.h. ij b ij. Eine Mtri A wird mit einer Konstnten α R komponentenweise multipliziert: α A ( α ij ) Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 8 / 49 Addition zweier Mtrizen Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 9 / 49 Multipliktion zweier Mtrizen Zwei m n-mtrizen A und B werden komponentenweise ddiert: A + B ( ij ) + ( bij ) ( ij + b ij ) Die Addition zweier Mtrizen ist nur möglich, wenn die Anzhl der Zeilen und Splten der beiden Mtrizen übereinstimmen! ( ) Ds Produkt zweier Mtrizen A und B ist nur dnn definiert, wenn die Anzhl der Splten der ersten Mtri gleich der Anzhl der Zeilen der zweiten Mtri ist. D.h., wenn A eine m n-mtri ist, so muss B eine n k-mtri sein. Die Produktmtri C A B ist dnn eine m k-mtri. Zur Berechnung des Elements c ij der Produktmtri wird die i-te Zeile der ersten Mtri mit der j-ten Splte der zweiten Mtri multipliziert (im Sinne eines Sklrprodukts): c ij n s is b sj Die Mtrizenmultipliktion ist nicht kommuttiv! Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 0 / 49 Flksches Schem Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr / 49 Nicht-Kommuttivität A B c c c c c 3 c 3 c A B Achtung! Die Mtrizenmultipliktion ist nicht kommuttiv! Im Allgemeinen gilt: A B B A Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr / 49 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 3 / 49

9 Potenz einer Mtri Inverse Mtri A A A A 3 A A A. A n A }.{{.. A} n ml Flls für eine qudrtische Mtri A eine Mtri A mit der Eigenschft A A A A I eistiert, dnn heißt A die inverse Mtri von A. Die Mtri A heißt invertierbr flls sie eine Inverse besitzt, ndernflls heißt sie singulär. Achtung! Die inverse Mtri ist nur für qudrtische Mtrizen definiert. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 4 / 49 Rechengesetze für Mtrizen Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 5 / 49 Rechnen mit Mtrizen A + B B + A (A + B) + C A + (B + C) A + 0 A (A B) C A (B C) I A A I A (α A) B α(a B) A (α B) α(a B) C (A + B) C A + C B (A + B) D A D + B D A und B invertierbr A B invertierbr (A B) B A (A ) A (A B) t B t A t (A t ) t A (A t ) (A ) t Achtung! Im Allgemeinen gilt A B B A Für geeignet dimensionierte Mtrizen gelten ähnliche Rechengesetze wie für reelle Zhlen. Wir müssen dbei ber bechten: Die Nullmtri 0 spielt dbei die Rolle der Zhl 0. Die Einheitsmtri I entspricht dbei der Zhl. Die Mtrizenmultipliktion ist nicht kommuttiv! Im Allgemeinen gilt A B B A. (A + B) A + A B + B A + B A (A + B) B (A A + A B) B (I + A B) B (B + A B B ) (B + A ) B + A Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 6 / 49 Mtrigleichungen Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 7 / 49 Geometrische Interprettion I Wird eine Mtrigleichung mit einer Mtri multipliziert, so muss dies uf beiden Seiten des Gleichheitszeichens von derselben Seite (entweder von links oder von rechts ) erfolgen! Sei B + A X A, wobei A und B beknnte Mtrizen sind. Wie lutet X? B + A X A A A B + A A X A A A B + I X I A B X I A B Wir hben Vektoren ls Spezilfälle von Mtrizen kennen gelernt. Wir können ber Vektoren uch geometrisch interpretieren. Wir können uns den Vektor ( ) denken ls Punkt (, ) in der y-ebene. Pfeil vom Ursprung zum Punkt (, ) (Ortsvektor). Pfeil mit gleicher Länge, Richtung und Orientierung wie dieser Ortsvektor. ( Klsse von Pfeilen ). (,3) In dieser Gleichung ist ntürlich druf zu chten, dss die Mtrizenopertionen ttsächlich definiert sind. Wir wählen uns immer die Interprettion us, die uns m besten psst. Mit diesen Bildern können wir denken ( Denkkrücke ). Rechnen müssen wir ber mit den Formeln! Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 8 / 49 Geometrische Interprettion II Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 9 / 49 Sklrprodukt Vektorddition Multipliktion mit Sklr Ds innere Produkt (oder Sklrprodukt) zweier Vektoren und y ist t y n i i y i y + y 3 y y y Zwei Vektoren heißen orthogonl, wenn t y 0. Sie stehen dnn norml (senkrecht, im rechten Winkel) ufeinnder. 4 Ds innere Produkt von und y 5 lutet 3 6 t y Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 0 / 49 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr / 49

10 Norm Die Norm eines Vektors ist t n i i Ein Vektor heißt normiert, flls. Die Norm von lutet Geometrische Interprettion Die Norm eines Vektors knn ls Länge interpretiert werden: Pythgoräischer Lehrstz: + Ds innere Produkt misst den Winkel zwischen zwei Vektoren. cos (, y) t y y Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr / 49 Eigenschften der Norm Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 3 / 49 Un/gleichungen (i) 0. (ii) 0 0. (iii) α α für lle α R. (iv) + y + y. (Dreiecksungleichung) Cuchy-Schwrzsche Ungleichung t y y Minkowski Ungleichung (Dreiecksungleichung) + y + y Stz von Pythgors Für orthogonle Vektoren und y gilt + y + y Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 4 / 49 Lineres Gleichungssystem Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 5 / 49 Mtridrstellung Lineres Gleichungssystem us m Gleichungen und n Unbeknnten n n b n n b m + m + + mn n b m... n b... n b m m... mn n b m }{{}}{{}}{{} Koeffizientenmtri Vriblen Konstntenvektor Vorteile der Mtridrstellung: Abgekürzte, kompkte Schreibweise. Die Anzhl der Vriblen geht in dieser Drstellung nicht mehr ein. Die Lösungen können mit Hilfe der Mtrizenrechnung berechnet und interpretiert werden. Wir können die einzelnen Bestndteile mit Nmen versehen, etw PRODUKTIONSVEKTOR, NACHFRAGEVEKTOR, TECHNOLOGIEMATRIX, etc. im Flle des Leontief-Modells. A b Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 6 / 49 Leontief Modell Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 7 / 49 Lösung eines lineren Gleichungssystem Input-Output Modell mit A... Technologiemtri... Produktionsvektor b... Nchfrgevektor Dnn gilt: A + b Für eine vorgegebene Nchfrge b erhlten wir die notwendige Produktion durch A b A + b A (I A) b (I A) (I A) b Es gibt drei Lösungsmöglichkeiten: Ds Gleichungssystem ht genu eine Lösung. Ds Gleichungssystem ist inkonsistent (nicht lösbr). Ds Gleichungssystem ht unendlich viele Lösungen. Aus der Anzhl der Gleichungen und Unbeknnten knn noch nicht geschlossen werden, wie viele Lösungen ein Gleichungssystem besitzt. Beim Gußschen Elimintionsverfhren wird die erweiterte Koeffizientenmtri (A, b) in die Stufenform umgeformt. In der Stufenform nimmt die Anzhl der Elemente gleich 0 uf der linken Seite von Zeile zu Zeile um mindestens eins zu. Durch Rücksubstitution lässt sich die Lösung bestimmen. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 8 / 49 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 9 / 49

11 Gußsches Elimintionsverfhren Gußsches Elimintionsverfhren Es sind (nur) die folgenden Opertionen erlubt: Multipliktion einer Zeile mit einer Konstnten ( 0). Addition des Vielfchen einer Zeile zu einer nderen Zeile. Vertuschen zweier Zeilen. Diese Opertionen lssen die Lösung des Gleichungssystems unverändert. (Äquivlenzumformungen),0 0, 0, 7,0 0,4 0,8 0,,5 0,0 0,5 0,9 6,5 Wir ddieren zunächst ds 0,4-fche der ersten Zeile zur zweiten Zeile. Wir schreiben dfür kurz: Z Z + 0,4 Z 0,0 0,0 7,0 0 0,7 0,8 5,3 0 0,50 0,90 6,5 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 30 / 49 Gußsches Elimintionsverfhren Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 3 / 49 Rücksubstitution Z3 Z3 + 0,5 0,7 Z 0,0 0,0 7,0 0 0,7 0,8 5, ,775 7,5 0,0 0,0 7,0 0 0,7 0,8 5, ,775 7,5 Aus der dritten Zeile erhlten wir direkt: 0, , Restlichen Vriblen und durch Rücksubstitution: 0,7 0,8 35 5,3 30 0, 30 0, Lösung ist eindeutig: (0,30,35) t Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 3 / 49 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 33 / 49 Suche die Lösung des Gleichungssystems: Z3 Z3 Z Aus der dritten Zeile erhlten wir 0 3, ein Widerspruch. Ds Gleichungssystem ist inkonsistent. Z 3 Z Z, Z3 3 Z3 5 Z Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 34 / 49 3 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 35 / 49 3 Suche die Lösung des Gleichungssystems: Z Z Z, Z3 Z3 + 3 Z Z3 Z3 Z Dieses Gleichungssystem ht unendlich viele Lösungen. Ds können wir drn erkennen, dss nch Erreichen der Stufenform mehr Vriblen ls Gleichungen übrig bleiben. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 36 / 49 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 37 / 49

12 3 Aus der dritten Zeile erhlten wir direkt: Durch Rücksubstitution erhlten wir ( 6) Wir setzen 3 gleich einer Pseudolösung α R, 3 α, und erhlten 3 Jede Belegung der Pseudolösung α liefert eine gültige Lösung: α α α α 3, α R α + 4 ( 6) α + 8 (5 + 3 α) + 0 α + 0 ( 6) α Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 38 / 49 Äquivlente Lösungen Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 39 / 49 Ds Guß-Jordnsche Verfhren Wir hätten in 3 genuso α setzen können, und drus ds 3 usgerechnet: α , α R Die beiden Lösungsmengen sind ber gleich! Es hndelt sich dbei nur zwei verschiedene ber äquivlente Prmeterdrstellungen derselben Gerde. Die Lösungsmenge ist immer eindeutig bestimmt, die Drstellung der Lösung hingegen nicht. Berechnung der inversen Mtri: () Stelle die erweiterte Mtri uf, die links die zu invertierende Mtri und rechts die (entsprechend dimensionierte) Einheitsmtri enthält. () Formen die erweiterte Mtri mit den Umformungsschritten des Gußschen Elimintionsverfhrens so um, dss die linke Seite zur Einheitsmtri wird. (3) Entweder ist ds Verfhren erfolgreich, dnn erhlten wir uf der rechten Seite die inverse Mtri. (4) Oder ds Verfhren bricht b (wir erhlten uf der linken Seite eine Zeile us Nullen). Dnn ist die Mtri singulär. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 40 / 49 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 4 / 49 Wir suchen die inverse Mtri zu 3 6 A () Stelle die erweitere Mtri uf: () Umformen: Z 3 Z, Z 3 Z Z, Z3 Z3 + Z Z Z 3 Z Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 4 / 49 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 43 / 49 Z Z 3 Z (3) Die Mtri ist dher invertierbr und ihre Inverse lutet 0 A Wir suchen die inverse Mtri zu 3 3 A () Stelle die erweitere Mtri uf: Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 44 / 49 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 45 / 49

13 () Umformen: Z 3 Z, Z 3 Z Z, Z3 3 Z3 5 Z Z Z 30 Z, Z Z, Z3 Z3 Z Leontief Modell A... Technologiemtri... Produktionsvektor b... Nchfrgevektor p... Güterpreise w... Arbeitslöhne Kosten der Produktion müssen durch Preise gedeckt sein: p j n i ijp i + w j j p + j p + + nj p n + w j p A t p + w Bei fien Löhnen muss dher gelten: p (I A t ) w Für ds Input-Output Modell gilt weiters: A + b (4) Die Mtri A ist nicht invertierbr. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 46 / 49 Leontief Modell Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 47 / 49 Zusmmenfssung Nchfrge gegeben durch Löhne für die produzierten Gütermengen: Nchfrge w + w + + w n n w t Angebot gegeben durch Preise der nchgefrgten Gütermenge: Angebot p b + p b + + p n b n p t b Flls in einem Input-Output Modell die Gleichungen A + b und p A t p + w gelten, dnn herrscht Mrkgleichgewicht, d.h. w t p t b. Beweis: w t (p t p t A) p t (I A) p t ( A) p t b Mtri und Vektor Dreiecks- und Digonlmtrizen Nullmtri und Einheitsmtri Trnsponierte Mtri Inverse Mtri Mtrizenrechnung (Mtrilgebr) Mtrigleichung Norm und inneres Produkt von Vektoren Linere Gleichungssysteme Gußsches Elimintionsverfhren Guß-Jordnsches Verfhren Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 48 / 49 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 Mtrilgebr 49 / 49 Reeller Vektorrum Kpitel 3 Vektorräume Die Menge ller Vektoren mit n Komponenten bezeichnen wir mit R n. : i R, i n n und wird ls n-dimensionler (reeller) Vektorrum bezeichnet. Definition Ein Vektorrum V ist eine Menge, deren Elemente sich ddieren und mit einer Zhl multiplizieren lssen, wobei Summen und Vielfche von Elementen wieder Elemente der Menge sind. Die Elemente so eines Vektorrumes heißen Vektoren. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume / 4 Teilrum Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume / 4 Homogenes lineren Gleichungssystem Ein Unterrum (oder Teilrum) eines Vektorrums ist eine Teilmenge, die selbst wieder einen Vektorrum bildet. : i R, i 3 R3 ist ein Teilrum des R 3. 0 α : α R R3 ist ein Teilrum des R 3. 3 : i 0, i 3 R3 ist kein Teilrum des R 3. 3 Sei A eine m n-mtri. Die Lösungsmenge L des homogenen lineren Gleichungssystems bildet einen Teilrum des R n : A 0 Seien, y L R n, i.e., A 0 und Ay 0. Dnn ist uch die Summe + y L, A( + y) A + Ay und jedes Vielfche von liegt in L, A(α) αa α0 0 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 3 / 4 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 4 / 4

14 Linerkombintion Seien v,..., v k R n Vektoren und c,..., c k R beliebige Zhlen. Dnn erhlten wir durch Linerkombintion einen neuen Vektor: c v + + c k v k k i c i v i 4 Seien v, v 5, v 3, v 4 0. Dnn sind v + 0 v + 3 v 3 v 4 ( 3, 4, 3) t, y v + v v v 4 (4, 7, ) t, z v v 3 v v 4 (0, 0, 0) t 0 und Linerkombintionen der Vektoren v, v, v 3 und v 4. Aufgespnnter Unterrum Die Menge ller Linerkombintionen der Vektoren v,..., v k R n spn(v, v,..., v k ) {c v + + c k v k : c i R} heißt der von v,..., v k ufgespnnte Unterrum des R n. 4 Seien v, v 5, v 3, v spn (v ) {c v : c R} ist eine Gerde durch den Ursprung im R 3. spn (v, v ) ist Ebene durch den Ursprung im R 3. spn (v, v, v 3 ) spn (v, v ) spn(v, v, v 3, v 4 ) R 3. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 5 / 4 Linere Unbhängigkeit Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 6 / 4 Linere Unbhängigkeit Ein Vektor spn(v,..., v k ) lässt sich immer ls Linerkombintion von v,..., v k drstellen. 4 Seien v, v 5, v 3, v v + 0 v + 3 v 3 v 4 v + v + 6 v 3 v 4 3 Die Vektoren v,..., v k heißen liner unbhängig flls ds Gleichungssystem c v + c v + + c k v k 0 nur die Lösung c c c k 0 besitzt. Sie heißen liner bhängig, wenn ds Gleichungssystem ndere Lösungen besitzt. Sind Vektoren liner bhängig, dnn lässt sich ein Vektor (ber nicht notwendigerweise jeder!) ls Linerkombintion der nderen Vektoren drstellen. Diese Drstellung ist ber nicht immer eindeutig! Grund: v v 3 v v 4 0 v v 3 v v 4 0 v v + 3 v 3 Dher ist spn(v, v, v 3 ) spn(v, v 3 ). Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 7 / 4 Linere Unbhängigkeit Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 8 / 4 liner unbhängig Bestimmung der lineren Unbhängigkeit () Fsse die Vektoren ls Spltenvektoren einer Mtri V uf. () Bringe Mtri V mit den Umformungsschritten des Gußschen Elimintionsverfhrens in die Stufenform. (3) Zähle die Zeilen, die ungleich dem Nullvektor sind. (4) Ist diese Anzhl gleich der Anzhl der Vektoren, so sind diese Vektoren liner unbhängig. Ist sie kleiner, so sind die Vektoren liner bhängig. Sind die Vektoren 3 3 v, v 4, v 3 liner unbhängig? () Wir bringen diese drei Vektoren in Mtriform: In diesem Verfhren wird festgestellt ob ds linere Gleichungssystem V c 0 eindeutig lösbr ist. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 9 / 4 liner unbhängig () Durch Umformung erhlten wir (3) Es gibt 3 von Null verschiedene Zeilen (4) Diese Anzhl stimmt mit der Anzhl der Vektoren ( 3) überein. Die drei Vektoren v, v und v 3 sind dher liner unbhängig. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 0 / 4 liner bhängig 3 3 Sind die Vektoren v, v 4, v liner unbhängig? () Wir bringen diese Vektoren in Mtriform... () und formen um: (3) Es gibt von Null verschiedene Zeilen. (4) Diese Anzhl ist kleiner ls die Anzhl der Vektoren ( 3). Die drei Vektoren v, v und v 3 sind dher liner bhängig. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume / 4 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume / 4

15 Rng einer Mtri Der Rng rnk(a) einer Mtri A ist die mimle Anzhl n liner unbhängigen Splten. Es gilt: rnk(a t ) rnk(a) Der Rng einer n k-mtri ist immer min(n, k). Rng einer Mtri Berechnung des Rnges: () Bringen die Mtri mit den Umformungsschritten des Gußschen Elimintionsverfhrens in die Stufenform. () Der Rng der Mtri ergibt sich dnn us der Anzhl der von Null verschiedenen Zeilen. Eine n n-mtri heißt regulär, flls sie vollen Rng ht, d.h. flls rnk(a) n rnk(a) rnk(a) Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 3 / 4 Invertierbr und regulär Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 4 / 4 Bsis Eine n n-mtri A ist genu dnn invertierbr, wenn sie regulär ist, lso vollen Rng ht. 3 3 Die 3 3-Mtri 4 ht vollen Rng (3). Sie ist dher regulär und dmit invertierbr. 3 3 Die 3 3-Mtri 4 ht nur Rng Sie ist dher nicht regulär und dmit singulär (i.e., nicht invertierbr). Eine Menge von Vektoren {v,..., v d } erzeugt einen Vektorrum V, flls spn(v,..., v d ) V Diese Vektoren heißen ein Erzeugendensystem für den Vektorrum. Sind diese Vektoren liner unbhängig, so heißt diese Menge eine Bsis des Vektorrumes. Die Bsis eines Vektorrumes ist nicht eindeutig bestimmt! Die Anzhl n Vektoren in einer Bsis ist hingegen eindeutig bestimmt und heißt die Dimension des Vektorrumes. dim(v) d Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 5 / 4 Bsis Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 6 / 4 Koordinten eines Vektors Die knonische Bsis des R n besteht us den n Einheitsvektoren: B 0 {e,..., e n } R n Andere Bsis des R 3 : 3 3, 4, Keine Bsen des R 3 sind (liner bhängig bzw. spn(v, v ) R 3 ) 4 3, 5,, 0,, Die Koordinten c eines Vektors bezüglich einer Bsis {v, v,..., v n } erhlten wir durch Lösen des Gleichungssystems c v + c v + + c n v n bzw. in Mtrischreibweise mit V (v,..., v n ): V c c V V ht per Konstruktion vollen Rng. Genu genommen sind,..., n nur die Koordinten des Vektors bezüglich der knonischen Bsis. Jeder n-dimensionle Vektorrum V ist dher isomorph (d.h., sieht so us wie) der R n. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 7 / 4 Wir suchen die Koordinten c von bezüglich der Bsis B, 3, Wir lösen ds Gleichungssystem Vc : c c c Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 8 / Durch Rücksubstitution erhlten wir c 4, c 8 und c 3 5. Der Koordintenvektor von bezüglich der Bsis B lutet dher 4 c 8 5 Alterntive könnten wir uch V berechnen und erhlten c V. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 9 / 4 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 0 / 4

16 Bsiswechsel Seien c und c die Koordintenvektoren eines Vektors bezüglich der Bsis B {v, v,..., v n } bzw. B {w, w,..., w n }. Es gilt dher c W W Vc. Dieses Umrechnen wird ls Bsiswechsel oder Bsistrnsformtion bezeichnet. Die Mtri U W V heißt Trnsformtionsmtri zum Bsiswechsel von B nch B. (Mn bechte die Umkehrung der Reihenfolge, d V WU.) Bsiswechsel Seien 3 B,, 5 und B, 3, zwei Bsen des R 3. Trnsformtionsmtri für den Bsiswechsel von B nch B : U W V. 3 0 W 3 3 W V 5 6 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume / 4 Bsiswechsel Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume / 4 Linere Abbildung Trnsformtionsmtri für den Bsiswechsel von B nch B : U W V Sei c (3,, ) t der Koordintenvektor von bezüglich Bsis B. Dnn lutet der Koordintenvektor c bezüglich Bsis B c Uc Eine Abbildung ϕ zwischen Vektorräumen V und W ϕ : V W, y ϕ() heißt liner, flls für lle, y V und α R gilt (i) ϕ( + y) ϕ() + ϕ(y) (ii) ϕ(α ) α ϕ() Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 3 / 4 Linere Abbildung Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 4 / 4 Geometrische Interprettion linerer Abbildungen Sei A eine m n-mtri. Dnn ist die Abbildung ϕ : R n R m, ϕ A () A liner: ϕ A ( + y) A ( + y) A + A y ϕ A () + ϕ A (y) ϕ A (α ) A (α ) α (A ) α ϕ A () Umgekehrt können wir jede linere Abbildung ϕ : R n R m durch eine geeignete m n-mtri A drstellen: ϕ() A ϕ. Mn knn folgende elementre Abbildungen unterscheiden: Streckung / Stuchung in eine Richtung Projektion in einen Unterrum Drehung Spiegelung n einem Unterrum Diese einfchen Abbildungen können zu kompleeren zusmmengesetzt werden, z.b., Streckdrehungen. Mtrizen beschreiben somit lle denkbren lineren Abbildungen zwischen Vektorräumen. Linere Abbildungen sind so einfch, dss mn noch viel drüber ussgen und usrechnen knn. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 5 / 4 Streckung / Stuchung 0 Die Abbildung ϕ : 0 streckt die -Koordinte um den Fktor und stucht die y-koordinte um den Fktor. ϕ Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 6 / 4 Projektion Die Abbildung ϕ : ( ) projiziert den Punkt orthogonl uf den von (,) t ufgespnnten Unterrum. ϕ Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 7 / 4 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 8 / 4

17 Drehung Die Abbildung ϕ : ( ) dreht den Punkt um 45 im Uhrzeigersinn um den Ursprung. ϕ Spiegelung 0 Die Abbildung ϕ : 0 spiegelt den Punkt n der y-achse. ϕ Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 9 / 4 Imge und Kern Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 30 / 4 Erzeugendensystem des Bildrumes Sei ϕ : R n R m, ϕ() A eine linere Abbildung. Ds Bild (Imge) von ϕ ist ein Teilrum des R m. Im(ϕ) {ϕ(v) : v R n } R m Der Kern (oder Nullrum) von ϕ ist ein Teilrum des R n. Der Kern ist ds Urbild von 0. Ker(ϕ) {v R n : ϕ(v) 0} R n Der Kern von A, Ker(A), ist der Kern der entsprechenden lineren Abbildung. Sei A (,..., n ) und R n ein beliebige Vektor. Wir können ls Linerkombintion der knonischen Bsis drstellen: n i i e i Weiters ist Ae i i, d für die k-te Komponente gilt: (Ae i ) k n j kj (e i ) j ki Dher ist ds Bild von eine Linerkombintion der Splten von A: A A n i i e i n i i Ae i n i i i Die Spltenvektoren i spnnen den Bildrum Im(ϕ) uf. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 3 / 4 Dimension von Imge und Kern Seien v, v Ker(ϕ). Dnn ist uch jede Linerkombintion von v, v Ker(ϕ): ϕ(α v + α v ) α ϕ(v ) + α ϕ(v ) α 0 + α 0 0 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 3 / 4 Dimension von Imge und Kern 0 Die Abbildung ϕ : 0 0 projiziert eine Punkt orthogonl uf die -Achse. Wir erhlten eine Bsis von Ker(ϕ) durch Lösen des lineren Gleichungssystems A 0. Zusmmenhng zwischen diesen Vektorräumen: Ker(ϕ) ϕ dim V dim Im(ϕ) + dim Ker(ϕ) Im(ϕ) Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 33 / 4 Linere Abbildung und Rng Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 34 / 4 Mtrimultipliktion Der Rng einer Mtri A (,..., n ) ist (per definitionem) die Dimension von spn(,..., n ). Er gibt dher die Dimension des Bildes der korrespondierenden lineren Abbildung n. dim Im(ϕ A ) rnk(a) Die Dimension der Lösungsmenge L eines homogenen lineren Gleichungssystems A 0 erhlten wir durch den Kern dieser lineren Abbildung. dim L dim Ker(ϕ A ) dim R n dim Im(ϕ A ) n rnk(a) Durch Multiplizieren zweier Mtrizen A und B erhlten wir eine zusmmengesetzte Abbildung: (ϕ A ϕ B )() ϕ A (ϕ B ()) A (B ) (A B) Aus dieser Sichtweise folgt: AB R n B R m A R k B AB rnk(a B) min {rnk(a), rnk(b)} Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 35 / 4 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 36 / 4

18 Nicht-kommuttive Mtrizenmultipliktion 0 A beschreibt eine Stuchung der y-koordinte B beschreibt eine Drehung im Uhrzeigersinn um Nicht-kommuttive Mtrizenmultipliktion A B BA A B AB B A Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 37 / 4 Inverse Mtri Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 38 / 4 Ähnliche Mtrizen Die inverse Mtri A von A eistiert genu dnn, wenn die Abbildung ϕ A () A bijektiv ist, wenn lso ϕ A () + + n n 0 0 d.h., wenn A regulär ist. Aus dieser Sichtweise wird klr, wrum (A B) B A AB R n B R m A R k B AB B A z A z z B A Die Bsis eines Vektorrumes und dmit die Koordintendrstellung eines Vektors ist nicht eindeutig. Die Mtri A ϕ einer lineren Abbildung ϕ hängt ebenflls von der verwendeten Bsis b. Sei nun A die Mtri bezüglich der Bsis B. Wie sieht nun die entsprechende Mtri C bezüglich der Bsis B us? Bsis B Bsis B U U A C A U U U A U lso C U A U Zwei n n-mtrizen A und C heißen ähnlich, flls es eine invertierbre Mtri U gibt, mit C U A U Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 39 / 4 Zusmmenfssung Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 40 / 4 Vektorrum Linere Unbhängigkeit und Rng Bsis und Dimension Koordintenvektor Bsiswechsel Linere Abbildungen Kpitel 4 Determinnte Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 3 Vektorräume 4 / 4 Ws ist eine Determinnte? Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte / 4 Eigenschften des Volumens Wir wollen messen, ob n Vektoren im R n liner bhängig sind bzw. wie weit sie dvon entfernt sind. Die Idee: Zwei Vektoren im R spnnen ein Prllelogrmm uf. Definieren diese Funktion indirekt durch Eigenschften des Volumens. Multiplizieren wir einen Vektor mit einer Zhl α erhlten wir ds α-fche Volumen. Addieren wir zu einem Vektor ds Vielfche eines nderen Vektors, so bleibt ds Volumen konstnt. Sind zwei Vektoren gleich, so ist ds Volumen gleich Null. Ds Volumen eines Würfels mit Seitenlänge eins ist gleich eins. Vektoren sind liner bhängig Flächeninhlt ist Null Wir verwenden ds n-dimensionle Volumen für unsere Funktion zum Messen der lineren Abhängigkeit. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte / 4 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 3 / 4

19 Determinnte Die Determinnte ist eine Funktion, die jeder n n-mtri A (,..., n ) eine reelle Zhl det(a) zuordnet und folgende Eigenschften besitzt: () Die Determinnte ist liner in jeder Splte: det(..., i + b i,...) det(..., i,...) + det(..., b i,...) det(..., α i,...) α det(..., i,...) () Die Determinnte ist Null, flls zwei Spltenvektoren gleich sind: det(..., i,..., i,...) 0 (3) Die Determinnte ist normiert: det(i) Schreibweisen: det(a) A () () Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 4 / 4 Weitere Eigenschften Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 5 / 4 Die Eigenschften () (3) definieren eindeutig eine Funktion. Diese Funktion besitzt noch eine Reihe weiterer Eigenschften, die sich us diesen drei Grundeigenschften herleiten lssen. (4) Die Determinnte ist lternierend: det(..., i,..., k,...) det(..., k,..., i,...) (5) Der Wert der Determinnte ändert sich nicht, wenn zu einer Splte ds Vielfche einer nderen Splte ddiert wird: det(..., i + α k,..., k,...) det(..., i,..., k,...) (6) Beim Trnsponieren ändert sich der Wert der Determinnte nicht, d.h. die Aussgen über Splten gelten nlog für Zeilen: det(a t ) det(a) (4) (5) (6) Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 6 / 4 Weitere Eigenschften Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 7 / 4 Weitere Eigenschften (7) det(a) 0 Splten von A sind liner unbhängig A ist regulär A ist invertierbr (8) Die Determinnte des Produktes zweier Mtrizen ist gleich dem Produkt ihrer Determinnten: det(a B) det(a) det(b) (9) Die Determinnte der inversen Mtri ist gleich dem Kehrwert der Determinnte: det(a ) det(a) (0) Die Determinnte einer Dreiecksmtri ist ds Produkt ihrer Digonlelemente: 3... n n n nn nn () Der Absolutbetrg der Determinnte det(,..., n ) ist ds Volumen des von den Vektoren,..., n ufgespnnten Prllelepipeds. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 8 / 4 Regel von Srrus Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 9 / 4 Umformen in Dreiecksmtri -Mtri: () Forme Mtri in obere Dreiecksmtri um. Ds Verfhren ähnelt dem Gußschen Elimintionsverfhren: Addiere Vielfches einer Zeile zu einer nderen Zeile. (5) Multipliziere eine Zeile mit einer Konstnten α 0 und die Determinnte mit dem Kehrwert α. () Vertusche zwei Zeilen und ändere Vorzeichen der Determinnte. (4) 3 3-Mtri: Regel von Srrus () Berechne Determinnte ls Produkt der Digonlelemente. (0) Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 0 / 4 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte / 4

20 Umformen in Dreiecksmtri ( 3) ( 4) Der Lplcesche Entwicklungsstz Entwicklung nch der k-ten Splte bzw. i-ten Zeile: det(a) n i ik ( ) i+k S ik n k ik ( ) i+k S ik S ik ist die (n ) (n )-Mtri, die mn erhält, wenn die i-te Zeile und k-te Splte gestrichen wird ( Streichungsmtri ). Die Determinnte S ik ist ein sogennnter Minor von A. Es ist dbei völlig egl, nch welcher Zeile oder Splte entwickelt wird. Die Vorzeichen ( ) i+k erhält mn uch über ein Schchbrettmuster: Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte / 4 Entwicklung nch der ersten Zeile Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 3 / 4 Entwicklung nch der zweiten Splte ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) ( 6) + 3 ( 3) ( 6) + 5 ( ) 8 ( 6) 0 0 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 4 / 4 Adjungierte Mtri Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 5 / 4 Produkt A A t Die Fktoren A ik ( ) i+k S ik us dem Lplceschen Entwicklungsstz heißen die Kofktor von ik. det(a) n i ik A ik Wir können diese zur Kofktorenmtri A zusmmenfssen. Durch Trnsponieren erhlten wir die djungierte Mtri A t von A. A A... A n A t A A... A n A n A n... A nn A A t A I Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 6 / 4 Produkt A t A Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 7 / 4 Inverse Mtri Produkt us k-ter Zeile von A t und j-ter Splte von A: A t n A kj A ik ij i n i ij ( ) i+k S ik [Entwicklung nch k-ter Splte] det(,..., j,..., n ) }{{} k-te Splte [ i sind die einzelnen Spltenvektoren von A] { A flls j k 0 flls j k Für die Inverse einer Mtri A erhlten wir Für eine -Mtri A gilt A A A t ( ) A A t A A I A A A t Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 8 / 4 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 4 Determinnte 9 / 4