Vorlesungen über Mathematik Rudolf Taschner LEHRGANG DER KONSTRUKTIVEN MATHEMATIK 3. Teil: FUNKTIONEN Wien 1993 MANZ Verlags- und Universitätsbuchhandlung
INHALTSVERZEICHNIS 1. STETIGE FUNKTIONEN... <- 1 1.1. Harmonische Analyse 1 1.1.1. Approximationstheorie 1 1.1.2. Die Orthogonalitätsrelationen 2 1.1.3. Die schwingende Saite 3 1.1.4. Die Methode der kleinsten Quadrate 5 1.1.5. FourierkoefBzienten und Fourierreihe 7 1.2. Rechtecks- und Dreiecksfunktion 8 1.2.1. Stückweise stetige Funktionen 8 1.2.2. Die Rechtecksfunktion 8 1.2.3. Das gibbssche Phänomen 9 1.2.4. Erste Konvergenzvermutungen 11 1.2.5. Berechnungsformeln der FourierkoefBzienten 12 1.2.6. Die Dreiecksfunktion 14 1.3. Punktweise Konvergenz von Fourierreihen 15 1.3.1. Die dirichletschen Kerne 15 1.3.2. Eigenschaften der dirichletschen Kerne 16 1.3.3. Die Spaltung des Integrals 17 1.3.4. Das Lemma von Riemann 18 1.3.5. Die Anwendung des riemannschen Lemmas 20 1.3.6. Anwendungen des Konvergenzsatzes 22 1.4. Gleichmäßige Konvergenz 23 1.4.1. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz 23 1.4.2. Das cauchysche Konvergenzkriterium 25 1.4.3. Der weierstraßsche Majorantentest 26 1.4.4. Gleichmäßige Konvergenz von Fourierreihen 27 1.4.5. Der Hauptsatz über gleichmäßige Konvergenz 29 1.4.6. Integration und gleichmäßige Konvergenz 30 1.4.7. Eine Anwendung auf Fourierreihen 32
1.5. Approximation durch trigonometrische Polynome 33 1.5.1. Die fejerschen Kerne 33 1.5.2. Die Konvergenz der fejerschen Näherung 35 1.5.3. Die fejersche Näherung als trigonometrisches Polynom 36 1.6. Approximation durch Polynome 38 1.6.1. Der weierstraßsche Approximationssatz 38 1.6.2. Die landauschen Kerne 39 1.6.3. Die Konvergenz der landauschen Näherung 40 1.6.4. Die landausche Näherung als Polynom 42 1.6.5. Die abstrakte Idee der Konvergenz 42 1.7. Vollständige Räume 43 1.7.1. Definition einer Topologie 43 1.7.2. Die Dezimalzahlentopologie 44 1.7.3. Die metrische Topologie 45 1.7.4. Die euklidische Topologie 46 1.7.5. Die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz 47 1.7.6. Überprüfung der Fundamentalbedingung 47 1.7.7. Freie Folgen und Punkte 49 1.7.8. Der Vollständigkeitssatz 50 1.8. Vollständige metrische Räume 50 1.8.1. Die Kennzeichnung vollständiger metrischer Räume 50 1.8.2. Erste Etappe des Beweises 51 1.8.3. Zweite Etappe des Beweises 52 1.8.4. Der Einbettungssatz 54 1.9. Stetige Funktionen in vollständigen Räumen 55 1.9.1. Funktionen als Rechenvorschriften 55 1.9.2. Häufungswerte 55 1.9.3. Definition der Stetigkeit 56 1.9.4. Die Stetigkeit der Konstanten 57 1.9.5. Die Stetigkeit der Projektion 57 1.9.6. Die Stetigkeit der Substitution 58 1.9.7. Die Stetigkeit reellwertiger Funktionen 59 1.9.8. Die Stetigkeit der Metrik... 60 1.9.9. Die Stetigkeit von Funktionen in metrische Räume 61 1.9.10. Die Stetigkeit von Funktionen über metrischen Räumen....... 63 1.9.11. Die Stetigkeit von Funktionen zwischen metrischen Räumen 64 1.9.12. Die Verschiedenheit in vollständigen Räumen 65 1.10. Offene und abgeschlossene Mengen 66 1.10.1. Innere Punkte und Berührungspunkte 66 1.10.2. Gerundete Näherungen 67 1.10.3. Offene und abgeschlossene Mengen bei einer Metrik 67 1.10.4. Offene und abgeschlossene Kugeln 68 1.10.5. Begrenzbare Mengen 69 1.10.6. Das metrische Komplement 71 1.10.7. Dichte und nirgends dirchte Mengen 71 1.10.8. Der Satz von Baire 72
1.11. Kompakte Räume 73 1.11.1. Punktweise und gleichmäßige Stetigkeit 73 1.11.2. Der Fall vollständiger metrischer Räume 74 1.11.3. Endlicherzeugte Mengen 75 1.11.4. Der Fächersatz 76 1.12. Kompakte Mengen 77 1.12.1. Totalbeschränkte Mengen 77 1.12.2. Abgeschlossene Mengen als metrische Räume 78 1.12.3. Totalbeschränktheit in der Dezimalzahlentopologie 79 1.12.4. Totalbeschränktheit in der euklidischen Topologie 79 1.12.5. Totalbeschränktheit in der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz 79 1.12.6. Kompakte Mengen in metrischen Räumen 81 1.12.7. Einbettung kompakter in offene Mengen 82 1.13. Dichte Algebren in Funktionenräumen 84 1.13.1. Algebren von Funktionen 84 1.13.2. Die Darstellung des Betrags 85 1.13.3. Die Darstellung der reziproken Funktion 86 1.13.4. Die Darstellung der Konstanten 86 1.13.5. Die Trennung von Punkten 87 1.13.6. Der Satz von Stone und Weierstraß 88 1.13.7. Die Approximationssätze von Weierstraß und Fejer 89 1.13.8. Der Struktursatz stetiger Funktionen 90 1.14. Beispiele und Ergänzungen 92 1.14.1. Beispiele für Fourierreihen 92 1.14.2. Eigenschaften der Fourierkoeffizienten 93 1.14.3. Lokalisationsprinzip I 93 1.14.4. Das gibbssche Phänomen 94 1.14.5. Rechnen mit gleichmäßig konvergenten Folgen 95 1.14.6. Der Konvergenzsatz von Jordan 96 1.14.7. Die Divergenz der Fourierreihe einer stetigen Funktion 97 1.14.8. Die poissonsche Kernfunktion. 7 98 1.14.9. Die henselsche Topologie 100 1.14.10. Uniforme Topologie 101 1.14.11. Offene und abgeschlossene Mengen 103 1.14.12. Kompaktheit in Funktionenräumen 104 2. VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN 107 2.1. Die Konvergenz im quadratischen Mittel 107 2.1.1. Quadratisch summierbare Folgen 107 2.1.2. Vollständige euklidische Vektorräume 109 2.1.3. Die Vollständigkeit des Folgenraumes t 2.. 110 2.1.4. Separable euklidische Vektorräume 111 2.1.5. Die kanonische Darstellung von Vektoren 112 2.1.6. Das Orthonormalsystem der trigonometrischen Funktionen 113 2.2. Quadratisch integrierbare verallgemeinerte Funktionen 115 2.2.1. Isometrien euklidischer Vektorräume 115
2.2.2. Die ausgezeichnete Rolle des Raumes l 2 115 2.2.3. Quadratisch integrierbare periodische Distributionen 116 2.2.4. Integrierbare Funktionen und Treppenfunktionen 118 2.2.5. Treppenfunktionen und stetige Funktionen 119 2.2.6. Integrierbare Funktionen und Distributionen 121 2.2.7. Die Gleichheit integrierbarer Funktionen 122 2.2.8. Funktionswerte von Distributionen 124 2.2.9. Analyse des Meßprozesses 126 2.3. Temperierte verallgemeinerte Funktionen 127 2.3.1. Verallgemeinerte Folgenräume 127 2.3.2. Stetige lineare Funktionale 128 2.3.3. Ein vollständiger metrischer Folgenraum 129 2.3.4. Schnelle Nullfolgen und langsam wachsende Folgen 130 2.3.5. Testfunktionen und temperierte Distributionen 132 2.4. Der Raum der Testfunktionen 134 2.4.1. Kennzeichnung von Testfunktionen 134 2.4.2. Die Konvergenz von Testfunktionen. " 136 2.4.3. Rechnen mit Testfunktionen 137 2.4.4. Der Verschiebungsoperator 137 2.4.5. Der Ableitungsoperator 139 2.5. Der Raum der temperierten Distributionen 140 2.5.1. Die schwache Konvergenz 140 2.5.2. Rechnen mit temperierten Distributionen 141 2.5.3. Die diracsche Deltafunktion auf dem Kreis 143 2.6. Beispiele und Ergänzungen 144 2.6.1. Folgen- und Funktionenräume 144 2.6.2. Orthogonale Funktionensysteme 146 2.6.3. Gleichverteilung von Folgen modulo 2ir 147 2.6.4. Die isoperimetrische Ungleichung 147 2.6.5. Rechnen mit verallgemeinerten Funktionen 149 2.6.6. Multiplikation von Fourierreihen 149 3. ANALYTISCHE FUNKTIONEN 151 3.1. Die komplexe Ebene 151 3.1.1. Elementare Algebra 151 3.1.2. Die lineare und die quadratische Gleichung 152 3.1.3. Die kubische Gleichung 153 3.1.4. Die Algebra komplexer Größen 154 3.1.5. Beispiele 156 3.1.6. Das geometrische Modell 157 3.1.7. Betrag und Argument 158 3.1.8. Die geometrische Multiplikation 160 3.1.9. Die Einheitswurzeln 163 3.1.10. Reine Gleichungen 164 3.2. Holomorphe Funktionen 165
3.2.1. Komplexe Variable 165 3.2.2. Komplexe Differentiation. 166 3.2.3. Die Wirtingerableitungen 167 3.2.4. Konforme Funktionen 168 3.2.5. Komplexe Differentialformen 169 3.2.6. Die Umkehrfunktion 170 3.2.7. Wurzelfunktionen 172 3.3. Der komplexe Logarithmus 173 3.3.1. Der Hauptzweig des Logarithmus 173 3.3.2. Die Exponentialfunktion 174 3.3.3. Trigonometrische und hyperbolische Funktionen 175 3.3.4. Die Umkehrung der Exponentialfunktion 176 3.4. Homologie von Zyklen 177 3.4.1. Zellen und Ketten 177 3.4.2. Die Zerfällung von Streckenketten 178 3.4.3. Ränder und Zyklen 180 3.4.4. Die Windungszahl 181 3.4.5. Windungszahl und Rechtecksdarstellung 183 3.4.6. Homologe Streckenzyklen 185 3.4.7. Kreisscheibenzyklen 186 3.4.8. Integrale längs stetiger Kurven 187 3.4.9. Homologie geschlossener Kurven 189 3.5. Einfacher Zusammenhang 190 3.5.1. Einfach zusammenhängende Gebiete 190 3.5.2. Integration entlang eines halben Kreisrings 190 3.5.3. Die Standardabschätzung 191 3.5.4. Das jordansche Lemma 192 3.5.5. Der Integralsinus 193 3.5.6. Integration entlang eines Achtelkreises 195 3.5.7. Die fresnelschen Integrale 196 3.6. Mehrfacher Zusammenhang 197 3.6.1. Die Windungszahl geschlossener Kurven 197 3.6.2. Gebiete mit einem Loch 198 3.6.3. Gebiete mit mehreren Löchern 199 3.6.4. Die cauchysche Integralformel 201 3.6.5. Kreisringe 202 3.6.6. Die Laurententwicklung holomorpher Funktionen 203 3.6.7. Die cauchyschen Abschätzungen...." 205 3.6.8. Der Satz von Riemann 206 3.6.9. Der Satz von Liouville 206 3.7. Holomorphie und Analytizität 207 3.7.1. Variable Laurentkoeffizienten 207 3.7.2. Die Taylorreihe holomorpher Funktionen 208 3.7.3. Der Konvergenzsatz von Weierstraß 209 3.7.4. Der Identitätssatz 210 3.8. Die Berechnung von Integralen 211
3.8.1. Der Residuensatz 211 3.8.2. Hebbare Singularitäten 212 3.8.3. Polstellen 213 3.8.4. Residuen an Polstellen 214 3.8.5. Integration entlang eines Halbkreises 215 3.8.6. Integration rationaler Funktionen 217 3.8.7. Fourierintegrale 218 3.8.8. Mellinintegrale 220 3.8.9. Singularitäten auf dem Integrationsweg 223 3.9. Exponentialreihe und binomische Reihe 225 3.9.1. Die Exponentialreihe 225 3.9.2. Die Sinus- und die Cosinusreihe 226 3.9.3. Die Berechnung von e 226 3.9.4. Die binomische Reihe 228 3.9.5. Der binomische Lehrsatz 229 3.9.6. Die Berechnung der Wurzelfunktion 229 3.9.7. Die Berechnung der Wurzel von 2 230 3.9.8. Die Mercatorreihe.231 3.9.9. Die Berechnung des Logarithmus von 2 232 3.9.10. Die Arcustangensreihe 234 3.9.11. Die Berechnung von ir 235 3.10. Analysis analytischer Funktionen 237 3.10.1. Das Halo kompakter Mengen 237 3.10.2. Die Umrandung kompakter Mengen 239 3.10.3. Das Maximumprinzip 240 3.10.4. Das Minimumprinzip 241 3.10.5. Schwarzsches Lemma 242 3.10.6. Das lagrangesche Interpolationspolynom 243 3.10.7. Der Satz über die Absenz von Nullstellen 244 3.10.8. Der Satz von der Nullstelle 245 3.10.9. Der Fundamentalsatz der Algebra 247 3.10.10. Der erste Produktsatz 248 3.10.11. Der zweite Produktsatz 250 3.11. Reell-analytische Funktionen 252 3.11.1. Ihre Definition 252 3.11.2. Der Satz von der Nullstelle im Reellen 252 3.11.3. Die Vielfachheit von Funktionswerten 254 3.11.4. Wendetangenten und Begrenzungstangenten 255 3.11.5. Die Monotonie der Folge des Newtonverfahrens 256 3.11.6. Die Konvergenz der Folge des Newtonverfahrens 258 3.11.7. Das babylonische Wurzelziehen 260 3.12. Einfach periodische Funktionen 261 3.12.1. Meromorphe Funktionen 261 3.12.2. Die Partialbruchzerlegung des reziproken quadratischen Sinus.... 262 3.12.3. Die Differentialgleichung des reziproken quadratischen Sinus 264 3.12.4. Die Partialbruchzerlegung des Cotangens 265 3.12.5. Die Produktdarstellung des Sinus 266 3.12.6. Fourierreihen analytischer Funktionen 268
3.12.7. Die Thetafunktion 270 3.13. Doppelt periodische Funktionen 271 3.13.1. Die Periodengruppe 271 3.13.2. Die Ableitung der weierstraßschen p-funktion 272 3.13.3. Die weierstraßsche p-funktion 274 3.13.4. Die Differentialgleichung der weierstraßschen p-funktion 275 3.13.5. Die weierstraßsche ^-Funktion 277 3.13.6. Die weierstraßsche <r-funktion 279 3.14. Die eulersche Gammafunktion 281 3.14.1. Das eulersche Integral 281 3.14.2. Der Ergänzungssatz 282 3.14.3. Anwendungen des Ergänzungssatzes 283 3.14.4. Die eulersche Betafunktion 284 3.15. Asymptotische Berechnung von Integralen 285 3.15.1. Das watsonsche Lemma 285 3.15.2. Ein Beispiel 287 3.15.3. Das gaußsche Fehlerintegral 288 3.15.4. Die Verallgemeinerung von Laplace 289 3.15.5. Die Methode des absoluten Minimums 290 3.15.6. Die Rechtfertigung der Methode von Laplace.. 291 3.15.7. Die stirlingsche Formel 293 3.15.8. Die Methode der stationären Phase 294 3.15.9. Die Airyfunktion 296 3.16. Lineare Differentialgleichungen: der Integralansatz 297 3.16.1. Die laplacesche Methode 297 3.16.2. Die Forderungen an Kurve und Integranden 297 3.16.3. Die hermitesche Differentialgleichung 299 3.16.4. Die hermiteschen Polynome 300 3.16.5. Die besselsche Differentialgleichung 301 3.16.6. Die Besselfunktionen 302 3.17. Lineare Differentialgleichungen: der Potenzreihenansatz.... 304 3.17.1. Eulersche Differentialgleichungen 304 3.17.2. Die Methode von Frobenius und Fuchs 306 3.17.3. Die Holomorphie des Lösungsansatzes 307 3.17.4. Die hypergeometrische Differentialgleichung 308 3.17.5. Die legendreschen Polynome.. 310 3.18. Beispiele und Ergänzungen 311 3.18.1. Rechnen mit komplexen Größen 311 3.18.2. Tschebyschowsche Polynome 312 3.18.3. Die biquadratische Gleichung 313 3.18.4. Quaternionen 314 3.18.5. Die riemannsche Kugel 316 3.18.6. Gebrochen lineare Abbildungen 317 3.18.7. Berechnung von Integralen 320 3-18.8. Eine schwache Version des Fundamentalsatzes der Algebra. 321
3.18.9. Ausgelassene Funktionswerte 322 3.18.10. Bernoullizahlen und Bernoullipolynome 322 3.18.11. Ein neuerlicher Konvergenzbeweis von Fourierreihen 325 3.18.12. Elliptische Funktionen 326 3.18.13. Die Invarianten der p-funktion 327 3.18.14. Die jacobischen elliptischen Funktionen 328 3.18.15. Die Gammafunktion 329 3.18.16. Ergänzungs- und Multiplikationssatz der Gammafunktion 331 3.18.17. Die kummersche Differentialgleichung 333 3.18.18. Legendresche Polynome 334 3.18.19. Bessel-, Neumann- und Hankelfunktionen 335 4. DIE FOURIERTRANSFORMATION 337 4.1. Hilberträume über der komplexen Ebene 337 4.1.1. Innere Produkträume 337 4.1.2. Quadratisch summierbare Folgen 338 4.1.3. Innere Produkträume und euklidische Vektorräume 339 4.1.4. Die Fourierdarstellung von Vektoren 340 4.2. Ein Hilbertraum holomorpher Funktionen 341 4.2.1. Die Definition des Raumes H 341 4.2.2. Die Struktur von H 342 4.2.3. Ein stetiges lineares Funktional in M 343 4.3. Quadratisch integrierbare Distributionen 344 4.3.1. Funktionen mit kompakten Trägern 344 4.3.2. Der Ubertragungskern 345 4.3.3. Erste Etappe des Beweises: Umformung der Aufgabe 345 4.3.4. Zweite Etappe des Beweises: ein Vierfachintegral 347 4.3.5. Dritte Etappe des Beweises: ein Doppelintegral 348 4.3.6. Vierte Etappe des Beweises: die entscheidenden Abschätzungen.... 349 4.3.7. Eine Orthonormalbasis von I?(R) 350 4.3.8. Erzeugungs- und Vernichtungsoperator 351 4.4. Testfunktionen 354 4.4.1. Testfunktionen und temperierte Distributionen 354 4.4.2. Normabschätzungen 355 4.4.3. Die Abschätzung des Betrags durch die Norm 357 4.4.4. Die Kennzeichnung der Testfunktionen 358 4.5. Die Fouriertransformation 360 4.5.1. Die Fouriertransformierte der nullten Hermitefunktion 360 4.5.2. Die Fouriertransformierten der Hermitefunktionen 361 4.5.3. Der Satz von Fourier und Plancherei 361 4.5.4. Die poissonsche Summenformel. 363 4.5.5. Die Thetarelation 364 4.6. Beispiele und Ergänzungen 365 4.6.1. Der Hilbertraum il 2 (JRj) 365
4.6.2. Der Hilbertraum E 2 (S) 366 4.6.3. Kontinuierliche Orthonormalbasen 367 4.6.4. Rechenregeln mit der Fouriertransformation 367 4.6.5. Das Faltungsintegral 368 4.6.6. Die Wellengleichung 369 4.6.7. Die diracsche Deltafunktion 370 4.6.8. Die Funktionalgleichung der Zetafunktion 371 LITERATURVERZEICHNIS 372 NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS 378