Rudolf Taschner LEHRGANG DER KONSTRUKTIVEN MATHEMATIK. 1. Teil: ZAHL UND KONTINUUM. Vorlesungen über Mathematik. Wien 1991

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1 Vorlesungen über Mathematik Rudolf Taschner LEHRGANG DER KONSTRUKTIVEN MATHEMATIK 1. Teil: ZAHL UND KONTINUUM Wien 1991 MANZ Verlags- und Universitätsbuchhandlung

2 INHALTSVERZEICHNIS 1. ARITHMETIK Natürliche Zahlen Zahlen und das Unendliche Gleichheit und Verschiedenheit von Zahlen Die Addition Die Multiplikation Subtraktion und Division Die Subtraktion Die Division Die Kettendivision Der größte gemeinsame Teiler Algorithmen Kennzeichnung von Algorithmen Die elementaren Algorithmen Die Substitution Die Rekursion Die Selektion Mengen in der Arithmetik Mengen und Eigenschaften Mengenoperationen Das Induktionsprinzip Elementare Zahlentheorie Eine Folgerung aus der Kettendivision Kongruenzen Die multiplikative Struktur von Restklassen Primzahlen Elementare Kombinatorik 31

3 Der Hauptsatz der elementaren Kombinatorik Geordnete Stichproben Ungeordnete Stichproben Die Primfaktorenzerlegung von Fakultäten Beispiele und Ergänzungen Dreieckszahlen, Quadratzahlen und Polygonalzahlen Römische Zahlzeichen Division und Teilbarkeit Julianischer und gregorianischer Kalender Die Polyederformel Das spernersche Lemma Algorithmen und Induktion Übungen zu Induktionsbeweisen Rechnen mit Mengen Verbandsstrukturen Die lineare diophantische Gleichung Primzahlen und Primfaktoren Befreundete und vollkommene Zahlen Kongruenzen Wilsonscher Satz, fermatscher Satz und die Wurzel aus Teilbarkeitsregeln Kombinatorische Relationen Beispiele aus der Kombinatorik GEOMETRIE Die Anfänge der Geometrie Der Lehrsatz des Pythagoras Das Pentagramm Die axiomatisch-deduktive Methode Punkte, Vektoren und Skalare Punkte Vektoren Skalare Skalare und Vektoren Die geometrischen Axiome Die Axiome der Identität Die Körperaxiome Die Vektorraumaxiome Die Axiome der affinen Geometrie Eine anschauliche Deutung der Axiome Die Schließungssätze Die affine Geometrie der Ebene Basisvektoren Parallelkoordinaten Geraden in der affinen Ebene Das Teilverhältnis 86

4 2.5. Flächeninhalt und Orientierung Anschauliche Deutung Die Axiome für Flächeninhalt und Orientierung Ungleichungen Die zweizeilige Determinante Länge und Winkel Anschauliche Deutung Die Axiome für Länge und Winkel Die metrischen Fundamentalgrößen Orthonormalbasen Winkel und Winkelfunktionen Summensätze und Vorzeichenregel Winkelhalbierung Die euklidische Geometrie der Ebene Geraden in der euklidischen Ebene Dreiecksgeometrie Kreisgeometrie Kreis und Gerade Der Abstand von einer Geraden Beispiele und Ergänzungen Folgerungen aus den Körperaxiomen Verschiedenheit und Körperaxiome Addition und Multiplikation in Körpern Bruchrechnen in Körpern Rechnen in euklidischen Körpern Exotische Körper und Geometrien Vektorräume beliebiger Dimensionen Veranschaulichung des dreidimensionalen Raumes Affine Geometrie Euklidische Geometrie Dreiecksgeometrie Kreisgeometrie Sinus- und Cosinustafeln Tangens und Cotangens Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Ebene Trigonometrie ANALYSIS DES KONTINUUMS Rationale Zahlen Rückführung der Geometrie Ganze Zahlen Rationale Zahlen Kettenbruchdarstellung rationaler Zahlen Irrationale Skalare Dezimalzahlen Das Stellenwertsystem ;. 151

5 Rechentechnik mit Dezimalzahlen Absoluter Fehler von Näherungen Relativer Fehler von Näherungen Rechnen mit Näherungen Die geometrische Reihe Periodische Dezimalzahlen Unendliche Dezimalzahlen Das Paradoxon des Unendlichen Die Summenformel Die Korrektur der Summenformel Das Kontinuum Reelle Größen Beispiele Gleichheit reeller Größen Elementares Rechnen mit reellen Größen Ordnung im Kontinuum Die Diskrepanz zwischen rationalen Zahlen und reellen Größen Folgen und Grenzwerte Folgen reeller Größen Eine fundamentale Konvergenzaussage Eigenschaften konvergenter Folgen Drei wichtige Sätze über reelle Größen Weitere Eigenschaften konvergenter Folgen Das cauchysche Konvergenzkriterium Anwendung im Rechnen mit reellen Größen Anwendung bei unendlichen Reihen Der Quotiententest Funktionen über dem Kontinuum Funktionsschemata Präzisierung des Funktionsbegriffs ^3. Die dirichletsche Funktion Der Satz von Cantor Stetige Funktionen Verhalten von Funktionen an Häufungswerten Definition und Haupteigenschaft der Stetigkeit Die Exponentialfunktion Die Stetigkeit der Exponentialfunktion Graphische Darstellung stetiger Funktionen Stetigkeit im Unendlichen Divergenz von Funktionswerten Mengen im Kontinuum Mengen im Sinne Cantors Das Paradoxon des Lügners Mengen und Eigenschaften Beispiele von Mengen im Kontinuum 217

6 Offene und abgeschlossene Mengen Das Stetigkeitskriterium Gleichmäßig stetige Funktionen Ein Beispiel Definition und Eigenschaften gleichmäßig stetiger Funktionen Supremum und Infimum von Mengen Totalbeschränkte Mengen Der Zwischenwertsatz Eine Bedingung für gleichmäßige Stetigkeit Barrieren einer stetigen Funktion Das Reduktionsprinzip Gerundete Näherungen Funktionen und Mengen in der Ebene Funktionen über Teilmengen der Ebene Mengen in der Ebene Rechtecke und Kreise Schaubild einer Funktion Offene und abgeschlossene Mengen Beispiele und Ergänzungen Division mit absolut kleinstem Rest Vorzeichenfreies Rechnen mit ganzen Zahlen Rechnen mit Zahlen in der Dezimaldarstellung Fehlerrechnungen Fermirechnungen Rechnungen mit der geometrischen Reihe Ein mathematischer Treppenwitz Die Schneeflockenkurve Rechnen mit reellen Größen Rechnen mit Grenzwerten Fast die cauchysche Konvergenzbedingung Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel Kettenbruchentwicklungen Fibonaccizahlen und Kettenwurzeln Die stetige Verzinsung Cauchyscher Verdichtungssatz Partialbruchzerlegung bei unendlichen Reihen Konvergenztests unendlicher Reihen Abelsche Umformung Die Methode von Poisson Die Methode von Cesäro Absolute Konvergenz Reihenaddition und Reihenmultiplikation Funktionen und ihre Schaubilder Eindimensionale Punktmengen Antinomien in der Mengenlehre Der innere Kern einer Menge Stetige Funktionen in Teilmengen der Ebene Eine geometrische Deutung von unendlich Eine entgegengesetzte Deutung von unendlich 286

7 Zweidimensionale Punktmengen Cantorsches Diskontinuum Nullstellen stetiger Funktionen Das positive Infimum Das Häufungsstellenprinzip von Bolzano Das Lemma von König Der Fixpunktsatz von Brouwer INTEGRALRECHNUNG Die Definition des Integrals Zerlegung eines Intervalls Unter- und Obersummen Kennzeichnung der Integrierbarkeit Integrierbarkeit monotoner Funktionen Integrierbarkeit stetiger Funktionen Eigenschaften des Integrals Linearität, Beschränktheit, Positivität Additivität Stetigkeit in den Grenzen Uneigentliche Integrale Der Majorantensatz Translationsinvarianz Die Integration von Polynomen Die Integration der Potenzfunktion Polynomintegration Die Integration der Exponentialfunktion Definition des Logarithmus Die fundamentale Logarithmusformel Die Basis des natürlichen Logarithmus Die Integration der Winkelfunktionen Winkelfunktionen über dem Kontinuum Die Stetigkeit der Winkelfunktionen Die Integration des Sinus Festlegung des Bogenmaßes Asymptotische Berechnung von Funktionen Asymptotische Gleichheit Die Landausymbole Beispiele Zusammenhang mit dem Integral Das Stieltjesintegral monotoner Integratoren Unter- und Obersummen Integrierbarkeitsbedingungen Linearität, Beschränktheit, Positivität und Additivität 335

8 Stetigkeit in den Grenzen Uneigentliche Stieltjesintegrale Summen und Reihen als Stieltjesintegrale Die Schwankung von Funktionen Funktionen beschränkter bzw. begrenzbarer Schwankung Eigenschaften der Schwankung Die monotonen Summanden Eine weitere Eigenschaft der Schwankung Die Stetigkeit der Schwankung Das Stieltjesinlegral Definition und Eigenschaften Reziprozität zwischen Stieltjesintegralen Monotone Stammfunktionen Stammfunktionen Ein Anwendungsbeispiel Beispiele und Ergänzungen Summen von Quadraten und Kuben Die Integrationsmethode von Fermat Die Integration der Kehrwertfunktion Die Integration von Potenzen der Kehrwertfunktion Der Arcustangens als Integral Integrierbare und nichtintegrierbare Funktionen Flächeninhalt von Punktmengen Integration von Punktmengen Kreisfläche und Winkelmessung Gaußsches Kreisproblem Rechenbeispiele für Grenzwerte Rechnen mit asymptotischen Formeln Uneigentliche Integrale Die Schwankung von Funktionen Die höldersche Ungleichung Die monotonen Summanden Beispiele von Stieltjesintegralen Die eulersche Summenformel Dirichletsches Teilerproblem 386 LITERATURVERZEICHNIS 389 NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS 395