Grundlagen (überwiegend Schulstoff)

WS 6/7 Grundlagen (überwiegend Schulstoff) teilweise kompakte Wiederholung in Vorlesung/Übung semesterbegleitende Aufarbeitung in den Tutorien Viele der unten genannten Begriffe sind in folgendem Sinne vorausgesetzt: Zwar werden die wichtigsten Begriffe spätestens an den Stellen, an denen sie erstmals eingesetzt werden, noch einmal besprochen, aber weniger unter rein mathematischen Gesichtspunkten, sondern eher in Hinblick auf Anwendungen. Wichtige Ergebnisse werden danach aber oft nicht detailliert hergeleitet, sondern nur in der benötigten Form notiert und anhand von Beispielen besprochen. Dies ist, wenn der entsprechende Stoffbereich völlig neu für Sie ist, unzureichend und könnte Sie überfordern (beispielsweise die elementare Integralrechnung an nur einem Vormittag). Sie müssen also entsprechend vorbereitet sein, d.h. Ihre Schulkenntnisse aktivieren und aufbereiten oder ggf. den entsprechenden Stoffbereich rechtzeitig nachholen. Ein wichtiger Grund für diese Zusammenfassung ist auch, dass wir (nicht unbedingt einheitlich festgelegte) Schreibweisen und Definitionen wohlbekannter Dinge in einer einheitlichen Form sammeln wollen: Mengen und Aussagen Symbolik/Sprechweisen, Grundregeln Zahlenmengen N, N 0, Z, Q, R, R n, Intervalle in R, R n Rechenregeln Summenzeichen, Potenzregeln, Prozentrechnung Funktionen Funktion, Definitions- und Wertebereich, Bild, Urbild, Umkehrfunktion, Monotone Funktionen Grundfunktionen: Betrag, Rundungsmethoden, Polynome, Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten, Exponentialfunktion, Logarithmus Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg von 9

WS 6/7 Aussage A Ein sprachliches Objekt, dem genau eine der beiden Eigenschaften wahr (= ) oder falsch (= 0) zugeordnet werden kann: A Symbol Name Sprechweise Wahrheitswert (Festlegungen) A Negation nicht A w( A) = w(a) A B Konjunktion A und B w(a B) = min(w(a), w(b)) A B Disjunktion A oder B w(a B) = max(w(a), { w(b)) falls (w(a) w(b)) A B Implikation A impliziert B w(a B) = { 0 sonst falls w(a) = w(b) A B Äquivalenz A äquivalent B w(a B) = 0 sonst Weitere Zusammensetzungen von Aussagen mit Hilfe dieser Symbole VORSICHT Aus einer falschen Aussage (Wahrheitswert 0) kann jede andere gefolgert werden, und eine wahre Aussage (Wahrheitswert ) kann aus jeder anderen Aussage gefolgert werden. Kontradiktion Tautologie eine Aussage, die immer falsch ist eine Aussage, die immer wahr ist Ist eine Implikation A B wahr, so heißt A hinreichende Bedingung für B und B notwendige Bedingung für A Bestimmung des Wahrheitswertes einer zusammengesetzten Aussage, abhängig vom Wahrheitswert der an der Zusammensetzung beteiligten Teilaussagen: Wahrheitstafel z.b. für (A B) ( C) A B C A B C (A B) ( C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg von 9

WS 6/7 Für alle 8 Fälle der Wahrheitswerte von A, B, C wird entsprechend obiger Festlegungen der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage (in der letzten Spalte) schrittweise bestimmt (z.b. Spalte 6 zeilenweise als Maximum der Werte der Spalten 4) und 5). Definitionssymbole : = Linke Seite : = Rechte Seite bedeutet das Objekt auf der linken Seite ergibt sich aus der rechten Seite : bzw. Linke Seite : Rechte Seite bedeutet das Objekt links wird definiert durch die Angaben rechts Menge x M x M Zusammenfassung bestimmter (realer oder gedachter) wohl unterschiedener Objekte (aus einem festen Bereich) zu einem Ganzen. Diese Objekt heißen dann Elemente der Menge. x ist Element der Menge x ist nicht Element der Menge M Angabe einer Menge durch Aufzählen (nicht immer möglich) M := {, III,, drei, try}, := {}(leeremenge), N := {,,,...} Angabe einer Menge durch Angabe der mengenbildenden Eigenschaft VORSICHT M := { x Grundmenge: Eigenschaft von x}, G := {n : n N} Die Objekte einer Menge sind verschieden. Nur durch setzen von geschweiften Klammern um eine Aufzählung von Zahlen entsteht nicht notwendig eine Menge: {,, } ist keine Menge, aber z.b. eine Liste oder eine indizierte Menge siehe Informatik Vergleich von Mengen A, B A B A ist Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. (x A x B) A ist echte Teilmenge von B, wenn A B und es ein Element von B gibt, das nicht zu A gehört A = B B A und A B (x A x B) Jedes Element von B ist auch Element von A und umgekehrt Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge! Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg von 9

WS 6/7 Mengenoperationen A B Vereinigungsmenge von A und B A B := {x : x A oder x B} A B Schnittmenge von A und B A B := {x : x A und x B} A\B Differenzmenge, besser: Komplement von B in A A\B := {x : x A und x B} B Komplement von B(in einer festen Grundmenge X) B := {x X : x B} = X \ B Distributivgesetze für Mengen A, B, C (A B) C = (A C) (B C) und (A B) C = (A C) (B C) De Morgansche Regeln A B = A B (M) = M und A B = A B doppelte Verneinung. Komplementbildung (und die de Morganschen Regeln) sind wichtige Hilfsmittel für sprachliche Beschreibungen von Mengen: Ich tue... nicht: dieses oder jenes = nicht dieses und nicht jenes Ich tue... nicht: dieses und jenes = nicht dieses oder nicht jenes Zwei Mengen A, B heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben: A B =. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn je zwei (alle möglichen Paare) dieser Menge disjunkt sind. statt symolisiert eine Vereinigung paarweise disjunkter Mengen Zerlegungen in disjunkte Teilmengen (= Segmente) mit zwei Mengen A, B A = (A B) (A \ B) B = (A B) (B \ A) A B = A (B \ A) = (A \ B) B = (A \ B) (B \ A) (A B) Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 4 von 9

WS 6/7 Sprachliche Segmentierung mit entweder... oder ( ) statt oder ( ) Ich tue... dieses oder jenes = entweder dieses oder jenes oder beides. Oft interessieren bei Argumentationen mit Mengen weniger deren einzelne Elemente selbst, sondern eher nur deren Anzahl: Schreibweise #(A) := Elementeanzahl der Menge A Das Wort Anzahl setzt voraus, dass die Menge auch abgezählt werden kann: Endliche Menge M : Elemente zählbar mittels {,,..., n} für eine natürliche Zahl n; #(M) := n. Abzählbar unendliche Menge M : Überabzählbare Menge M : Nicht endlich, aber Elemente zählbar mittels {,,,... }; #(M) :=. weder endliche, noch abzählbar unendliche Menge; #(M) nicht definiert. Lemniskate, Symbol für das Unendliche, eine ideale Zahl, die nicht zu R gehört + :=, ± n := für n N, nicht definiert Zahlenmengen Natürliche Zahlen N = {,,,...}, N 0 = N {0} Ganze Zahlen Z = {...,,,, 0,,,,...} Rationale Zahlen Q = {m/k : m Z, k N} Reelle Zahlen R = Menge aller Grenzwerte von (allen) Folgen rationaler Zahlen siehe Folgen und Grenzwerte Die Grenzwerteigenschaft bedeutet, dass jede reelle Zahl beliebig gut nach Vorgabe einer Genauigkeit (z.b. 0 ) durch rationale Zahlen, insbesondere eine endliche Dezimalzahl, approximiert werden kann, z.b..44, / 0.707,.7, e.788, e 0.678, ln 0.69, ln 0., π.45 oder so: π 7. Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 5 von 9

WS 6/7 Intervalle in R reelle Zahlen a, b mit a < b [a, b] := {x R : a x b} abgeschlossenes Intervall [a, b[ := {x R : a x < b} links abgeschl., rechts offenes Interv. ]a, b] := {x R : a < x b} links offenes, rechts abgeschl. Interv. ]a, b[ := {x R : a < x < b} offenes Intervall ], a] := {x R : x a} linker Halbstrahl [a, + [ := {x R : a x} rechter Halbstrahl ], [ := R Zahlengerade (Zahlenstrahl) [a, a] := {a} einpunktige Menge, kein Intervall Bequeme, klare Schreibweise für eingeschränkte Zahlenmengen Zahlenmenge Bedingung := {x Zahlenmenge: x erfüllt Bedingung} R >0 = {x R : x > 0}, R <0 = { x R : x < 0}, entsprechend R 0, R 0 VORSICHT beim Lesen der beliebten Symbole R + und R in verschiedenen Quellen: Es ist nicht einheitlich geregelt, ob dabei die Zahl 0 zugezählt wird oder nicht (aber wichtig bei Division, Lösungsmengen) R n n-tupel (x,..., x n )von reellen Zahlen n =Dimension des Tupels (n N) Anordnung: i-te Stelle im Tupel heißt i-te Koordinate (n-vektoren) R = R, d.h (x) := x für x R eindimensional R = {(x, x ) : x, x R} Paare (-Tupel) zweidimensional R = {(x, x, x ) : x, x, x R} Tripel(-Tupel) dreidimensional R n = {(x,..., x n ) : x,..., x n R} n-tupel n-dimensional Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 6 von 9

WS 6/7 Indizierte Objekte z i mit i {m,..., n} und m, n Z (m n) Zur Unterscheidung von Objekten in Aufzählungen und Formeln werden diese Objekte indiziert (nummeriert). i heißt Index (Nummer) und ist der i-indexmenge {m,..., n}, die n m + Elemente hat (= Anzahl Indizes i). Vereinbarung. Alle nachfolgend indizierten Objekte sind solange nichts anderes erwähnt Rechenausdrücke (Zahlen). Indizierte (nummerierte) Rechenausdrücke z m..., z n (m, n Z) Bei der Auswertung wird für i = m,..., n jedes Vorkommen des Index i im Objekt z i durch den laufenden Wert von i ersetzt z.b. z i := i a i + b j, d.h. i a i + b j i und z.b. z m = m a m + b j i=m Der Rahmen um die Objekte dient als optische Hilfe 4 Summenzeichen i=m z i = z m +... + z n (m, n Z, m n) i=m z i = z m +... + z n Für i = m,..., n wird jedes Vorkommen des Index i im Ausdruck z i durch den laufenden Wert von i ersetzt, z.b. i= 7 (i + i) = ( 7 7) + ( 6 6) +... + ( 0 + 0) + ( + ) i= 7 ( i + i) i = ( 7 + ( 7)) i= 7 +... + (0 + 0) i=0 + ( + ) i= Andere Schreibweisen i=m,...,n z i, i {m...,n} z i Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 7 von 9

WS 6/7 Die i-indexmenge hat jeweils n m+ Elemente, d.h. die Summe hat n m+ Summanden. 5 (a i + b i ) = ( a i ) + ( b i ) i=m (c a i ) = c( i=m i=m i=m a i ) i=m n i=m c = c (n m + ) = c (Anzahl Summanden) n i=m (a i ± b i ) = ( n i=m a i ) ± ( n i=m a ib i ) + ( n i=m b i ) 6 Indexverschiebung n j=m z j = n+k i=m+k z i k = n k i=m k z i+k (k N) Verschiebung des Index und Verschiebung der Grenzen gleichen sich aus: j = i + v {m,..., n} i {m v,..., n v} für v Z n i= xi = x +... + x n = n i=0 xi+ = n+ i= xi (x R fix ) 007 i=997 a i = a 997 +... + a 007 = 7 i= a 000+i (Basisjahr 000) Indexverschiebung ist keine Umindizierung, die Indexmenge bleibt gleich. Bei einer Umindizierung/Umbasierung werden dagegen die Indizes geändert, z.b. von a 997,..., a 007 zu a,..., a 7 Basisjahr 0 Bei Programmen/theoretischen Überlegungen ist es bequem, auch die Summe über eine leere Indexmenge (z.b. 0 i= (...)) zuzulassen. Dazu wird festgesetzt:... = 0, egal welche Ausdrücke/Zahlen (...) auftreten. Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 8 von 9

WS 6/7 7 Potenzen a m mit ganzzahligen Exponenten a, b R 0 und n, m Z a 0 =, a n+m = a n a m, (a b) n = a n b n, a n m = (a n ) m n-te Wurzeln/allgemeinere Exponenten: siehe Grundfunktionen 6 = 0 6 = 5 = 4 = = ( ) = ( ), = 6 0 = (6 ) 0 = (6 0 ) 8 Binomische Formeln (a ± ab + b ) = (a ± b) (a + b)(a b) = a b Anwendung zur Umrechnung von Differenzen a b = a b a + b für a + b 0 Für n N ist n + = n+ + n 9 Fakultät, Binomialkoeffizient 0! =, n! =... n für n N Bsp. 0! = 68800 ( n k) = n! (n k)! k! für 0 k n n über k = Anzahl Möglichkeiten, k von n Objekten auszuwählen Allgemeine binomische Formel (a + b) n = ( ) n a k b n k für a, b R und n N k k=0 insbesondere ist (für a = b = ) : n = n ( n k=0 k) Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 9 von 9

WS 6/7 0 Prozentrechnung Prozentualer Anteil i = % =Prozentsatz, W G = p 00 = p% = i p =Prozentzahl (Prozentpunkte) Prozentwert W = G i, Grundwert G = W/i Bsp.: G = Nettowert, W = Steuerwert (Steuern), i = Steuersatz VORSICHT mit Bezeichnungen bei der Prozentrechnung: Es ist auch üblich, für den Prozentsatz selbst das Symbol p zu verwenden (z.b. p = 5% = 0.05), die hierbei zugehörige Prozentzahl 00 p erhält dann meist kein eigenes Symbol. Prozentuale Veränderung G G 0 G 0 = p 00 = p% = i Neuer Wert G = G 0 ( + i), Grundwert G 0 = G /( + i) i = p% =Prozentuale (oder relative) Veränderung von G 0 zu G (Die prozentuale Veränderung eines Grundwerts G 0 ist der prozentuale Anteil der absoluten Veränderung W = G G 0 am Grundwert G 0 ). Änderung von G 0 um i = p%: Multiplikation von G 0 mit ( + i) Zunahme von G 0 um 0% : i = +0% = 0. und G = G 0 ( + 0.) Abnahme von G 0 um 0% : i = 0% = 0. und G = G 0 ( 0.) Bruttowert = Nettowert (+ Aufschlag) Aufschlag Im Bruttowert enthaltener Aufschlagwert = Bruttowert +Aufschlag i +i = Anteil des Aufschlagwertes G 0 i am Bruttowert G = G 0 ( + i) Aufschlag = p% = i Mwsteuersatz +Mwsteuersatz = Prozentualer Anteil der Mwsteuer am Bruttopreis = 0.9 9.9 (= 9 ) 6% beim Mehrwertsteuersatz 9% Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 0 von 9

WS 6/7 Funktionen Eine Funktion f ist eine Zuordnung von Elementen einer Menge D(f) auf jeweils genau ein Element aus einer Menge Y f : D(f) Y : x y = f(x) D(f) heißt Definitionsbereich von f Y heißt Wertevorrat von f W(f) := {f(x) : x D(f)} heißt Wertebereich von f In den meisten ökonomischen Anwendungen haben wir D(f) R n und W (f) R. Umkehrbare Funktionen und ihre Umkehrfunktion Eine Funktion f : D(f) W (f) heißt umkehrbar, falls jedes y W (f) Wert f(x) von genau einem x D(f) ist. Zu einer umkehrbaren Funktion f : D(f) W (f) kann eine neue Funktion gebildet werden f : W (f) D(f) : y = f(x) x = f (y). Sie heißt Umkehrfunktion, Symbol: f. Es gilt f (f(x)) = x und f(f (y)) = y Eine Umkehrfunktion ist wieder umkehrbar, bei erneuter Umkehrung entsteht die ursprüngliche umkehrbare Funktion: (f ) = f Bestimmung der Umkehrfuktion Methode (nicht immer möglich) Eindeutiges Auflösen der Funktionsvorschrift y = f(x) nach x Methode (wenn Methode versagt) Z.B. mit Hilfe eines Kriteriums (s.u.) weist man/frau nach, das die Funktion umkehrbar (eindeutig) ist und kann dann mit f rechnen, Wertebestimmung meist iterativ mit Hilfe der Gleichung f(f (x)) = x (methodisches Probieren). Wichtige solcher Umkehrfunktionen bekommen einen eigenen Namen/ein eigenes Symbol, z.b. ist x (mit D( ) = R 0 ), Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg von 9

WS 6/7 definiert als Umkehrfunktion der Funktion f(x) := x (mit D(f) = R 0 ). Jede umkehrbare Funktion erfüllt für alle x, y D(f) : x = y f(x) = f(y) 4 Monotone Funktionen f : I R I R ein Intervall f monoton wachsend in I : für alle x, y I gilt: äquivalent f monoton fallend in I : für alle x, y I gilt: äquivalent: x < y f(x) f(y) x y f(x) f(y) x < y f(x) f(y) x y f(x) f(y) f streng monoton wachsend in I : für alle x, y I gilt: x < y f(x) < f(y) äquivalent: x < y f(x) < f(y) (MF ) äquivalent: x y f(x) f(y) (MF ) f streng monoton fallend in I : für alle x, y I gilt: x < y f(x) > f(y) äquivalent: x < y f(x) > f(y) (MF ) äquivalent: x y f(x) f(y) (MF 4) Gleichungen (MF )-(MF 4) sind nützlich zur Umformung von Ungleichungen. 5 Monotoniekriterium Eine streng monoton wachsende bzw. fallende Funktion f ist umkehrbar. Ist z.b. D(f) = [a, b] ein Intervall und f strikt monoton...... wachsend, dann ist W (f) = D(f ) = [f(a), f(b)]... fallend, dann ist W (f) = D(f ) = [f(b), f(a)] In beiden Fällen ist W (f ) = D(f) = [a, b] Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg von 9

WS 6/7 6 Grundfunktionen I Betrag x := x falls x 0 x falls x < 0 und x R Aufrunden x := aufrunden von x zur nächsten ganzen Zahl, x R Abrunden x := abrunden von x zur nächsten ganzen Zahl, x R Runden [x] := runden von x zur nächsten ganzen Zahl, x R (Übliche Festlegung des Grenzfalls der Mitte x = k+(k+) zwischen zwei ganzen Zahlen: Aufrunden (auf k + )) Polynom vom Grad n N mit Koeffizienten a 0,..., a n ; a n 0 f(x) := a i x i, D(f) = R i=0 f(x) = a 0 konstante Funktion f(x) = a 0 + a x, a 0 Gerade (affine lineare Funktion) f(x) = a 0 + a x + a x, a 0 quadratische Funktion f(x) = a 0 + a x + a + x + a x, a 0 kubische Funktion Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n verschiedene Nullstellen Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg von 9

WS / WS 6/7 k te Wurzel x /k ist eine Bezeichnung Mathematik: für Grundlagen die : Umkehrfu Grundlagen Grundfunktionen II f: R 0 R 0 : x x k (k gerade), f: R 7 Grundfunktionen II k-te Wurzel f : R 0 R 0 : x x /k Bsp. x mit k N gerade funktionen IIBsp. x f : R 0 R 0 x x /k mit k N gerade.5 f : R R : x x /k f : R R : x x /k mit k N ungerade mit k N ungerade x /k ist eine Bezeichnung für die Umkehrfunktion der Potenzfunktion f: R 0 R 0 : x x k (k gerade), f: R R : x x k (k ungerade) x /k ist eine Bezeichnung für die Umkehrfunktion der Potenzfunktion f : R 0 R 0 : x x k (k gerade), f : R R : x x k (k ungerade) Mathematik : Grundlagen - -.5 - -.5 x 4.5.5 Grundfunktionen II k-te Wurzel f : R 0 R 0 : x x /k f : R R : x x /k el f : R 0 R 0 : x x /k mit k N gerade f : R R : x x /k x / - -.5 - -.5 - -.5 - -.5 Potenzfunktionen x r mit - rationalen Expone.5 x /4 -.5 x / Zusammengesetzte x / xfunktion / -.5 x x /k (x - -.5 - -.5 ist hierbei definiert als Kehrwert - der entspr x -.5 - Bsp. -.5 x.5 x / x /4 Potenzfunktionen x r -mit -.5rationalen -.5 Exponenten.5 r = m/k.5 f(x) =x m/k - mit k N, m Z, D(f) =R x >0 Zusammengesetzte x /4 - Funktion x x /k (x /k ) m ; eine negative Potenz ist hierbei definiert als Kehrwert x / -.5der entsprechenden positiven Potenz. Bsp..5. -.5 - -.5 -.5 x /.5 x.5 x /.5 x /.5 f(x) =x m/k mit k N, m Z, D(f) =R >0 engesetzte Funktion x x /k Mathematik (x /k ) für m ; Ökonomen eine.5 negative Campus Duisburg Potenz.5 4 von 9.5.5.5 ei definiert als Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz..5.5.5 x x /.5 x 4 x / x x /.5..5 mit k N ungerade eine Bezeichnung für - -.5 die - Umkehrfunktion -.5der Potenzfunktion R 0 : x x k (k gerade), f: R R : x x k (k ungerade) x 4.5 ktionen x r mit rationalen Exponenten r = m/k x /.5 f(x) =x m/k x / x x / - - mit k N, m x x

.5.5 x - -.5 - -.5 x / x / x 4 - -.5 - -.5.5 - x - -.5 - -.5 x WS 6/7 x /4 - x 4 - -.5 - -.5.5 x / - -.5 x -Potenzfunktionen -.5 - - x r mit.5 rationalen Exponeten r = m/k- x /4 - f(x) = x m/k mit k N, m Z, D(f) x / = -.5 R >0 Potenzfunktionen x r mit rationalen Exponenten r = m/k - -.5 - - Zusammengesetzte f(x) =x m/k.5 - Funktionmit x x /k k (xn, /k ) m m, eine negative Z, Potenz D(f) ist hierbei =R definiert >0 als Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz. Potenzfunktionen Zusammengesetzte Beispiel x r Funktion mit rationalen x xexponenten /k (x /k ) m r ; = eine m/k negative Potenz ist hierbei f(x) definiert =x m/k als Kehrwert mit k der N, entsprechenden m Z, D(f) positiven =R >0 Potenz. Bsp. Zusammengesetzte Funktion x x /k (x /k ) m ; eine negative Potenz ist hierbei.5 definiert x / als Kehrwert.5 der x entsprechenden.5 positiven x / Potenz. Bsp..5 x /.5 x.5 x /.5.5.5.5 x /.5.5 x.5.5 x /.5.5.5 x /.5.5 x.5.5 x /.5.5.5.5.5.5 Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 5 von 7.5.5.5 Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 5 von 7 Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 5 von 9

WS 6/7 8 Grundfunktionen III Exponentialfunktion e x andere Schreibweise: exp(x) Wichtige Funktion zum (theoretischen) Rechnen bei der Analyse von Änderungen und grenzwertigem Verhalten eines Modells stetige Verzinsung, Wachstumsfunktionen, statistische Schätzung Definition annähernd Für jedes x R definiert als Grenzwert eines Polynomtyps: e x := lim n e x i=0 i=0 x i i! x i Definitionsbereich R und Wertebereich R >0, für große n N, x R i! Diese Näherung wird von Rechnern verwendet und ist schon für relativ kleine n gut brauchbar. Andere Grenzwertdarstellungen für e x sind eher nur von mathematischem Interesse, z.b. e x = lim n ( + x n )n. Eulersche Zahl e := e = lim n i=0 /(i!) = lim n (n + n )n.788 Thema 4 Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 6 von 9

annähernd: e i=0 i!, für große n N, x R Diese Näherung wird von Rechnern verwendet und ist schon für relativ kleine n gut brauchbar. Andere Grenzwertdarstellungen für e x sind eher nur von mathematischem Interesse, z.b. e x = lim n ( + n x)n. WS 6/7 Eulersche Zahl e = lim n 4.5 e x n i=0 /(i!) = lim ( n+ n n )n.788 4.5 x.5.5.5 x.5 x - -.5 - -.5 - - -.5 - -.5 - -.5-4 ln(x) - -.5 - -.5 - - -.5 - -.5 - -.5-4 log (x) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 6 von 7 Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 7 von 9

WS 6/7 Natürlicher Logarithmus ln = Umkehrfunktion von e x Definitionsbereich R >0 und Wertebereich R ln(e x ) = x = e ln x Rechenregeln ln(c) + ln(d) = ln(c d) für c, d > 0 ln(c t ) = t ln(c) für c > 0, t R insbesondere ln() = 0; ln(e) = ; ln( c d ) = ln( d ) für c, d > 0 c Bsp. a) Für x, y, z > 0 ist ln(x /7 y / z /5 ) = 7 ln(x) ln(y) + 5 ln(z) b).05 x = ln(.05 x ) = ln x ln.05 = ln x = ln ln.05 Allgemeine Exponentialfunktion zur Basis b > 0 b x := e x ln b Definitionsbereich R und Wertebereich R >0 Bsp. a) x = e x ln, /0 = e (/0) ln.0777 b) n = Anzahl Möglichkeiten bei n Bit, = 49496796 Logarithmus zur Basis b =Umkehrfunktion von b x b > 0, b Definitionsbereich R >0 und Wertebereich R log b (b x ) = x = e log b x Bsp. a) log (n) = benötigte Bitzahl für n Möglichkeiten (n N) b) log (0 6 ln 0 ) = 6 ln 9.96, also 9.9 = 0 Bit für 06 Möglichkeiten Umrechnen auf die Basis b > 0, b log b (x) = ln(x) ln(b) Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 8 von 9

WS 6/7 9 Allgemeine Potenzregeln Für a, b > 0 und s, t R ist a 0 = und a s t = (a s ) t b s+t = b s b t, insbesondere e s+t = e s e t Faktorisierung des Exponenten gleiche Basis (a b) t = a t b t, insbesondere a b = a b gleicher Exponent VORSICHT (vor beliebten Stressfehlern) Im Allgemeinen ist ln(a + b) ln(a) + ln(b) und a + b a + b Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 9 von 9