TECHNISCHE MECHANIK. Übungen zur Elastostatik. Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp Dr. Bernd Schäfer

TECHNISCHE MECHANIK Übungen zur Elastostatik Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp Dr. Bernd Schäfer Fachhochschule München Fachbereich 06 - Feinwerk- und Mikrotechnik

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-2 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 Inhalt 2.1 Spannung und Dehnung... 4 2.1.1 Allgemeinwissen... 4 2.1.2 Spannungen und Dehnungen... 5 2.1.3 Normalspannung im Seil... 6 2.1.4 Motorhaubenstütze... 7 2.1.5 Kranhaken... 8 2.1.6 Verformung eines Stabes... 9 2.1.7 Ein Kupferstab im Schwerefeld... 10 2.2 Statisch unbestimmte Zug - Druck - Probleme... 11 2.2.1 Verschraubung... 11 2.2.2 Zugstab aus CfK... 12 2.2.3 Eisenbahnschiene... 13 2.2.4 Kupferbolzen... 14 2.2.5 Zylindrischer Stab... 15 2.2.6 Tisch... 16 2.2.7 Keilriemen...17 2.2.8 Balkenaufhängung... 18 2.2.9 Schrumpfring... 19 2.2.10 Elastische Säule... 20 2.2.11 Stabwerk... 21 2.3 Flächenmoment... 22 2.3.1 Profil... 22 2.3.2 T-Träger... 23 2.3.3 Baumstamm... 24 2.3.4 Sicherheitsventil... 25 2.3.5 Säule... 26 2.4 Balkenbiegung... 27 2.4.1 Kastenträger mit Streckenlast... 27 2.4.2 Federsystem... 28 2.4.3 Balken auf drei Stützen... 29 2.4.4 Balken mit Streckenlast... 30 2.4.5 Verzweigter Balken.... 31 2.4.6 Kragarm... 32 2.4.7 Auslegung einer Welle... 33 2.5 Torsion... 34 2.5.1 Einseitig eingespannter Torsionsstab... 34 2.5.2 Elektromotor mit Getriebe... 35 2.5.3 Hohlwelle... 36 2.5.4 Abgesetzter Torsionsstab... 37 2.5.5 Statisch unbestimmter Torsionsstab... 38

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-3 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.5.6 Dreieckprofil...39 2.5.7 Bogenprofil...40 2.6 Festigkeitsnachweis... 41 2.6.1 Schwinger... 41

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-4 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.1 Spannung und Dehnung 2.1.1 Allgemeinwissen a) Wie viele Freiheitsgrade hat ein freier elastischer Körper im Raum? b) Erklären Sie den Begriff: Elastostatik. c) Wie lösen Sie statisch überbestimmt gelagerte Systeme? d) Erklären Sie den Unterschied Festigkeitsnachweis und Steifigkeitsnachweis. e) Was heißt Theorie kleiner Verformungen? f) Erklären Sie die Begriffe: isotropes, homogenes Material. g) Der Arm einer Apparatur ist abgebrochen. Wie würden Sie das Problem beheben? h) Erklären Sie den Begriff Ausknicken. i) Nennen Sie drei elementare Belastungszustände. Warum hat man diese eingeführt?

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-5 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.1.2 Spannungen und Dehnungen a) Erklären Sie den Unterschied Normalspannungen und Schubspannungen, ggf. Skizze. b) Welche Fläche verwenden Sie für die Spannungsberechnungen? c) Erklären Sie die Begriff Dehnung und Scherung, ggf. mit Skizze. d) Was sind die Einheiten von Dehnung und Scherung? f) Was heißt E-Modul? Wie wird er ermittelt? h) Was heißt Querkontraktionszahl? Wie wird sie ermittelt? i) Geben Sie das Hooke'sche Gesetz an.

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-6 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.1.3 Normalspannung im Seil An einem homogenen Seil der Länge l = 50 m hängt ein Bergsteiger mit m = 85 kg Masse. Das Seil hat einen Durchmesser von 8 mm. Man berechne die Normalspannung. (Zug oder Druck?)

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-7 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.1.4 Motorhaubenstütze Beispiel: Zum Halten der Motorhaube wird in den Stab CD eine Stabkraft von F n = 30 N eingeleitet. Der homogene Stab hat einen Durchmesser von 6 mm. Man berechne die Normalspannung. (Zug oder Druck?)

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-8 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.1.5 Kranhaken Ein Krankhaken ist mit 100 N belastet. Der Bolzen hat einen Durchmesser von 4 mm. Wie groß ist die Schubspannung? F

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-9 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.1.6 Verformung eines Stabes An einem homogenen Stab der Länge 0 = 12 m hängt ein Gewicht der Masse m = 1500 kg. Der Stab hat einen Durchmesser von 8 mm. Die Dehnung sei ε = 0.25 % und ν = 0.3. Man berechne: a) Längenänderung, b) aktuelle Länge c) aktuellen Durchmesser d) Querdehnung.

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-10 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.1.7 Ein Kupferstab im Schwerefeld Ein Kupferstab der Länge L 0 = 100 m hängt im Schwerefeld. a) Man bestimme den Verlauf der Normalkraft und Normalspannung infolge Eigengewicht. b) Man bestimme die Dehnung u des Stabes als Funktion von x. Werte: E = 1.25 e5 N/mm 2, Dichte ρ = 8900 kg/m 3, A 0 = 1 mm 2.

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-11 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.2 Statisch unbestimmte Zug - Druck - Probleme 2.2.1 Verschraubung Die Schraube 2 soll das Rohr 1 bis zum Anschlag zusammen drücken. Dadurch werden in den Teilen Spannungen und Längenänderungen erzeugt. Die Deckel werden als steif (keine Durchbiegung) angesehen. Gesucht : Die Längskräfte und Spannungen in Rohr und Schraube sowie die neue Länge. Gegeben sind die Referenzwerte: L1 = 50,05 mm; L2 = 50 mm; A1= 1100 mm 2; A2 = 110 mm 2 ; E1 = 1.2 10 5 N/mm 2 E2 = 2.1 10 5 N/mm 2

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-12 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.2.2 Zugstab aus CfK Ein Zugstab (Durchmesser d= 20 mm) besteht aus CFK- Material (mit Kohlenstofffasem verstärkter Kunststoff). Die C-Fasem sind parallel zur Achsrichtung angeordnet und vollkommen gleichmäßig über dem Querschnitt verteilt. Ihr Volumenanteil beträgt 40%. Dementsprechend ist der Volumenanteil der Kunststoffmatrix 60%, C-Faser: E C = 234.000 N/mm 2 Kunststoffmatrix: E K = 3000 N/mm² (Epoxidharz) 1. Mit welcher Kraft F darf der Stab maximal gezogen werden, wenn die Zugspannung σ C in den C-Fasem 1500 N/mm 2 nicht übersteigen soll? 2. Wie groß ist dann die Zugspannung σ K in der Kunststoffmatrix?

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-13 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.2.3 Eisenbahnschiene Eine Eisenbahnschiene wird spannungsfrei verlegt. Im Sommer erwärmt sich die Schiene tagsüber um 30 C gegenüber dem Originalzustand. Welche Spannung tritt in der Schiene auf?

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-14 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.2.4 Kupferbolzen Ein Bolzen der Länge 0 = 300 mm mit Durchmesser d 0 = 30 mm bei Raumtemperatur t 0 = 20 C wird auf t = 220 C erwärmt. Der Bolzen ist aus Kupfer und an den Enden fest eingespannt. Welche Normalspannung und welcher Durchmesser stellen sich dadurch ein?

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-15 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.2.5 Zylindrischer Stab Ein zylindrischer Stab der Länge L 0 mit dem Durchmesser D 0 aus Stahl (Elastizitätsmodul E, Querkontraktionszahl ν wird durch die Kraft F auf Zug belastet. Das Eigengewicht des Stabes bleibt unberücksichtigt. a) Gesucht ist die Zugspannung. b) Man gebe Dehnung, Querkontraktion, Querschnittsabnahme, und Volumenänderung in relativen und absoluten Werten an. Gegeben: L 0 = 10 m, E = 2.1 * 10 5 N/mm 2, ν = 0,3, d 0 = 20 mm; F = 3.14 kn Ergebnis: a) σ = 10N/mm² b) ε = 4,76 E-5; L = 0,476 mm, ε q = -1,43 E-5, d = -2,86 E-4 mm A = -0,9E-2 mm², V = 59,81 mm³

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-16 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.2.6 Tisch Eine rechteckige Tischplatte wird durch vier Füße, von denen jeder den Querschnitt A besitzt, getragen. Drei Füße sind gleich lang und haben die Länge L 0, der vierte Fuß ist um L kürzer. a) Welche Kraft F muss im Schwerpunkt des durch die drei gleich langen Füße gebildeten Dreiecks angreifen, damit der Tisch gerade nicht mehr wackeln kann? b) In welchem Verhältnis zu F steht eine - im Mittelpunkt des Tisches angreifende - Kraft P mit derselben Wirkung? Gegeben: Füße aus Stahl: L 0 = 750 mm, L = 0.3 mm, A = 40 mm 2 ; E = 2,1 * 10 5 N/mm 2 Füße aus Holz: L 0 = 750 mm, L = 0.6 mm, A = 400 mm 2 E = 0,1 * 10 5 N/mm 2 Ergebnis: a) Stahl: F = 10,08 kn, Holz: F = 4,8 kn b) Stahl: P = 3,36 kn; Holz: P = 1,6 kn

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-17 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.2.7 Keilriemen Ein Keilriemen passt im unbelasteten Zustand spannungsfrei über drei Rollen, deren Mittelpunkte ein gleichseitiges Dreieck mit der gegebenen Seitenlänge 2a bilden. a) Welche Spannung entsteht im Riemen, wenn die gezeichnete, senkrecht zum Riemen wirkende Kraft F eine Auslenkung um a/20 verursacht? b) Welche Kraft ist dazu nötig? ( Die ganze Anordnung ist reibungsfrei, die Rollenradien können vernachlässigt werden, die bei kleinen Verformungen üblichen Vernachlässigungen sind anzuwenden. ) Gegeben: E = 1,8 * 10 3 N/mm 2 ; A = 125 mm 2 Ergebnis: a) σ = 1 N/mm² b) F = 16,67 N

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-18 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.2.8 Balkenaufhängung Der gezeichnete, starre Balken, der bei A gelenkig gelagert ist, wird bei B durch einen flexiblen Kupferdraht und bei C durch einen flexiblen Stahldraht gehalten. a) Freiheitsgrade des Balkens b) Lagerreaktionen A 2 F A L 2 1 L 1 a/2 a/2 a C B A c) Welche Kräfte und Spannungen entstehen in den Drähten infolge der Belastung durch die Kraft F? Gegeben: a, F, L1, L2, E1, E2, A1, A2 Ergebnis: 3 F F1 = 2 LE 1 2A2 4 + 1 LEA 2 1 1 F ; 2 3F = LEA 2 1 1 4 + LE A 1 2 2 ; F A 1 LEA 2 1 1 1 2 LE 1 2A2 = F LEA 2 1 1 4 + LE A 1 2 2 ;

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-19 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.2.9 Schrumpfring Ein dünner kupferner Schrumpfring soll auf eine Stahlwelle vom Durchmesser d = 200 mm warm aufgezogen werden. Der Ring wird bei 20 C hergestellt und bei 100 C aufgezogen. d a) Mit welchem Innendurchmesser muss der Ring hergestellt werden, wenn er beim Aufziehen gerade auf die Welle passen Stahl soll? b) Welche Zugspannung herrscht im Ring in Umfangsrichtung nach dem Erkalten? c) Auf welche gemeinsame Temperatur muss man die Verbindung erwärmen, damit sie sich wieder löst? Gegeben: α Cu = 16,5 * 10-6 K -1 ; E Cu = 1,3 * 10 5 N/mm 2 α St = 12,0 * 10-6 K -1 ; E St = 2,1 * 10 5 N/mm 2 Kupfer Ergebnisse: a) d R20 = 199.736 mm, b) 171,6 N/mm 2, c) T=293 C, T= 313 C

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-20 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.2.10 Elastische Säule Der gezeichnete senkrechte Stab BC mit den Querschnitten A 1 und A 2 ist an den Enden unverschiebbar eingespannt. Bei D wird eine Kraft F in Richtung der Stabachse gleichmäßig über den Querschnitt eingeleitet. a) Gesucht sind die Auflagerreaktionen bei B und C. b) Wie groß ist die Verschiebung des Punktes D? c) Wie stark muss der Stab mindestens erwärmt werden, damit keine Zugspannung mehr auftritt? L 2 C A 2 F D Gegeben: F = 75 kn A 1 L 1 = 2 m L 1 L 2 = 3 m A 1 = 20 cm 2 A 2 = 15 cm 2 E = 2.1 * 10 5 N/mm 2 α = 12 * 10-6 K -1 B Ergebnisse: a) F B = 50 kn, F C = 25 kn, b) L = 0.238 mm, c) T = 5.95 K.

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-21 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.2.11 Stabwerk Der bei der Herstellung um den Wert d zu kurz geratene Stab 3 soll mit dem Knoten C verbunden werden. Dabei gilt d<<l. a) Welche horizontale Montagekraft F ist dazu nötig? (Die Montagekraft greift am Knoten Stab zwischen 1-2 an und zieht den Knoten bis zum Knoten von Stab 3.) b) Wie groß sind die Stabkräfte nach der Montage? L d L L Ergebnis: a) F = L b) S 1 = L dea ( 2 2+ 1) dea 2 ( + ) L2( 2+ 1) 2 2 1 S = dea S = S 3 2

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-22 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.3 Flächenmoment 2.3.1 Profil Für den gezeichneten Querschnitt bestimme man die Flächenmomente bezüglich der y- und z-achse in allgemeiner Form. Ergebnis: bh³ π π 4 ² ² ³ 12 4 4 3 4 I zz = + r + b r + br

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-23 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.3.2 T-Träger Der skizzierte Träger wird durch ein konstantes Biegemoment M b beansprucht. Man bestimme die Flanschbreite x des Trägerquerschnittes aus der Bedingung, dass die maximale Druckspannung Querschnitt gleich einem Drittel der maximalen Zugspannung sein soll. Geg.: h = 20 cm, d = 2,5 cm im Ergebnis: 70 x = d = 29,17cm 6

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-24 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.3.3 Baumstamm Aus einem kreisrunden Baumstamm vom Durchmesser d soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt herausgeschnitten werden. Welches Seitenverhältnis b/h ist vorzuschreiben, wenn der Rechteckquerschnitt a) maximales Flächenmoment l y, b) maximales Biegewiderstandsmoment W by haben soll? y d b h Ergebnis: a) b/h = 1 / 3 b) b/h = 1 / 2 z

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-25 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.3.4 Sicherheitsventil Das gezeichnete Sicherheitsventil soll bei einem Überdruck von p ü = 30 bar öffnen. a) Zur Ausführung des Hebels stehen Rechtecksquerschnitte vom Seitenverhältnis s 1 :s 2 = 1:3 zur Verfügung. Welche Höhe h und welche Querschnittsfläche A sind mindestens notwendig, wenn das Profil einmal stehend und einmal liegend eingesetzt wird, und wenn die zulässige Spannung σ zul = 73 N/mm² beträgt? b) Welche Spannungen ergeben sich bei der Verwendung des gezeichneten U-Profiles? Ergebnis: a) stehend: h = 4,8 cm. A = 7,68 cm² liegend: h = 2,31 cm A = 16,01 cm² b) σ o = 47,47 N/mm², σ u = 80,35 N/mm²

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-26 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.3.5 Säule Eine Säule mit quadratischem Querschnitt wird durch eine Kraft F = 100 kn senkrecht zur Zeichenebene auf Druck belastet. a) Man ermittle und skizziere die Spannungsverteilung längs der y-achse, wenn die Kraft F im Punkt A angreift. b) In welchem Bereich des Querschnittes muss die Kraft angreifen, damit keine Zugspannung auftritt? Gegeben: a = 7 cm b = 20 cm Ergebnis: a) σ links = 4,92 N/mm², σ rechts = -9,92 N/mm², b) a 0 2,4 cm

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-27 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.4 Balkenbiegung 2.4.1 Kastenträger mit Streckenlast Für den gezeichneten Kastenträger, der durch eine linear ansteigende Streckenlast mit der größten Belastungsamplitude q l belastet ist, ermittle man: a) Die Gleichung der elastischen Linie. b) Größe und Ort der maximalen Durchbiegung. c) Größe und Ort der maximalen Biegespannung, wenn das Bauteil den gezeichneten kastenförmigen Querschnitt besitzt. Gegeben: für a) und b) E, I y, q 1, l für c) q l = 2500 N/m, l = 9 m Ergebnisse: b) x max = 0.52, w max = 2.35/360 q 1 l 4 / EI y, c) σ max = 5074 N/cm 2 bei x = 5.2 m.

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-28 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.4.2 Federsystem Die beiden eingespannten Federn sind in der gezeichneten Weise durch ein verschiebliches Stützgelenk miteinander verbunden und an der Verbindungsstelle durch eine Kraft F belastet. Welcher Anteil von F entfällt auf jede Feder? Gegeben: F, E, I 1, I 2, l 1, l 2 = l 1 /2 F Ergebnis: F1 = ; I2 8 + 1 I 1 F 2 = F ; 1 I1 + 1 8 I 2

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-29 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.4.3 Balken auf drei Stützen Um wie viel ist in der gezeichneten Anordnung das mittlere Lager in der Höhe zu verstellen, damit alle Lager die gleiche Last tragen? Das Bauteil hat einen quadratischen Querschnitt der Seitenlänge a. Gegeben: q, l, EI, a Ergebnis: 4 7 ql wc = ; 72 EI

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-30 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.4.4 Balken mit Streckenlast Der elastische Balken ist mit einer konstanten Streckenlast q belastet. Ermitteln Sie für die Welle aus Stahl mit 4 mm Ø Vollmaterial: a) Die Auflagerreaktionen b) Stellen Sie die 4 Gleichungen. der Biegung auf und geben Sie den Verlauf der Querkraft, des Biegemomentes, der Neigung und der Durchbiegung an. c) Nullstellen, Maxima d) Maximale Biegespannung Geg: q = 1,2 N/mm, a = 30 mm. q A B C 4 a a z x Ergebnisse: a) F A = 67.5 N, F B = 112.5 N, c) M max = 1898 Nmm, M B = -540 Nmm, w A ' = 0.0286, w B ' = -0.0245, w C ' = -0.0225, w C = 0.691 mm, w max = 1.044 mm. d) σ bmax = 302 N/mm2.

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-31 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.4.5 Verzweigter Balken. Eine Balkenstruktur ist in A gelenkig gelagert und in B durch einen angesetzten Arm BD mit Lager in 3a q D unter 30 abgestützt. Der Balken ist durch die Streckenlast q belastet. A B x Abhängig von q und Länge a bestimme: a) Freiheitsgrade des Balkens b) Lagerreaktionen c) Stellen Sie die 4 Gleichungen. der Biegung z D a 30 auf und geben Sie den Verlauf der Querkraft, des Biegemomentes, der Neigung und der Durchbiegung an. Die Dehnung der Balken durch Normalkraft wird vernachlässigt. d) Max. Auslenkung und Biegespannung für die Balkenquerschnitte b = a/20, h = a/12, E = 0,1 e11 N/m 2, a = 1 m, q = 100 N/m. Ergebnisse: a) statisch bestimmt gelagert. b) F Ax = 0.726 aq, F Az = 1.742 aq, F D = 1.4525 aq. d) w' A = 1.826 a 3 q/(ej), w Dgleit = 2.027 a 4 q/(ej), M max = 151.728 N, w max = 0.0084 m, σ bmax = 2.62 N/mm 2.

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-32 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.4.6 Kragarm Der bei C eingespannte flexible Balken ist durch die Kräfte F 1, F 2 und das Moment M A, das bei A eingeleitet wird, belastet. Es sollen ermittelt werden: M A F 1 F 2 a) Die Auflagerreaktion in C. b) Stellen Sie die 4 Gleichungen der Biegung auf und geben Sie den Verlauf A B C l/4 l der Querkraft, des Biegemomentes, der Neigung und der Durchbiegung an. c) Der Balken ist aus einem Al-Rohr mit 1 mm Wandstärke hergestellt. Welchen Außendurchmesser würden Sie wählen, wenn σ bzul aus E Alu und 0.1 % Dehnung bestimmt werden soll? Gegeben: F 1 = 2 N, F 2 = 4 N, M A = 120 Nmm, l = 80 mm. Ergebnisse: a) F Cx = 0 N, F C = 6 N, M C = 280 Nmm rechts drehend. b) Drehe das Problem um und starte x = 0 bei C->B, B->A., w B = 288000/EJ, w A = 38933/EJ, w A ' = 4000/EJ. c) σ bzul = 70 N/mm 2, W berf = 4 mm 3, D = 4 mm, d = 2 mm.

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-33 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.4.7 Auslegung einer Welle F d 1 a b d 1 A B D E x d 2 C /4 /2 /4 z Die gezeigte, abgesetzte, symmetrische Welle ist bei A durch ein zweiwertiges, bei E durch ein einwertiges Auflager abgestützt. Bei C wird die Welle durch die Kraft F belastet. Gesucht: Die Durchmesser d1 und d2 sind so zu bestimmen, dass die zulässige Spannung an den kritischen Stellen gerade erreicht wird. Gegeben: F = 2.4 kn, a = 700 mm, b = 500 mm, l = a + b = 1200 mm, σ bzul = 35 N/mm 2. Ergebnisse: Bestimme nur die Biegemomente an den Stellen A,.. E., d 1 = 50 mm, d 2 = 60 mm

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-34 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.5 Torsion 2.5.1 Einseitig eingespannter Torsionsstab. Der einseitig eingespannte Torsionsstab aus Aluminium mit dem Innendurchmesser 8 mm und Außendurchmesser 12 mm sowie der Länge = 600 mm wird mit dem Moment M t = 12 Nm biegefrei belastet. Berechne: a) das Polare Flächenmoment I p und das Torsions-Widerstandsmoment W t M t b) Die Drillung und die Verdrehung am Ende der Welle bez. der Einspannung. c) Den Schubspannungsverlauf τ und das Maximum.

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-35 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.5.2 Elektromotor mit Getriebe Ein Elektromotor gibt nach dem Getriebe bei den Drehzahlen n = 3000, 1500, 1000 und 500 Umdrehungen pro Minute auf eine 1 m lange Welle die Leistung von 0.25 kw ab. Die zulässige Schubspannung τ zul beträgt 30 N/mm 2, der Schubmodul 80.000 N/mm 2 a) Welchen Wellendurchmesser benötigt man? (Wähle den Normdurchmesser) b) Wie groß ist die Drillung? c) Wie groß ist der Verdrehwinkel der Wellenenden gegeneinander? Ergebnisse: a) d = 10 mm, b) φ = 6,1 10-5 1/mm c) φ = 0,061 rad (3,5 )

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-36 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.5.3 Hohlwelle Eine dickwandige Hohlwelle vom gezeichneten Querschnitt wird durch ein Torsionsmoment M t beansprucht. Man ermittle (zuerst allgemein, dann mit Zahlenwerten): a) Die Schubspannungsverteilung über der Wandstärke (Skizze) mit Angabe von τ min und τ max. b) Wie groß muss der Durchmesser D einer gleich beanspruchten Vollwelle sein, damit in beiden Wellen die gleiche maximale Schubspannung τ max entsteht? c) In welchem Verhältnis steht der Materialverbrauch beider Wellen, wenn beide aus demselben Werkstoff sind? Gegeben: d i =4.5 cm, d a = 6.0 cm, M t = 1500 Nm Ergebnisse: a) τ max = 51.73 N/mm 2, τ min = 38.8 N/mm 2 ; b) D = 52.9 mm; c) i mass = 1.78

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-37 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.5.4 Abgesetzter Torsionsstab Verdrehung einer abgesetzten Welle Gegeben: Abgesetzter Torsionsstab, Längen l 1, l 2, Drillsteifigkeiten (GI p ) 1 bzw. (GI p ) 2, bei B und C belastet mit Momenten M B, M C (im Bild als Vektoren eingetragen). Gesucht: Drehwinkel ϕ, ϕ bei B bzw. C. B C

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-38 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.5.5 Statisch unbestimmter Torsionsstab Gegeben: Abgesetzter Torsionsstab, Längen l 1, l 2, Drillsteifigkeiten (GI p ) 1 bzw. (GI p ) 2, fest eingespannt bei A und C, belastet bei B mit M B ; Gesucht: Drehwinkel ϕ B, Einspannmomente bei A und C.

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-39 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.5.6 Dreieckprofil Ein dünnwandiger Träger mit den Wandstärken h und 2h und der Länge l hat die gezeichnete Querschnittsform und ist durch das Torsionsmoment M t beansprucht. a) Wie groß ist die Schubspannung? b) Gesucht ist die Torsionssteifigkeit G * J t. c) Wie groß ist der Verdrehungswinkel der beiden Endquerschnitte? Gegeben: M t = 1000 Nm G = 8 * 10 4 N/mm 2 a = 6 cm h = 0.3 cm l = 2m Ergebnis: a) τ max = 107 N/mm² b) G * J t = 155,52 E8 Nmm² c) φ 0 = 7,37

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-40 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.5.7 Bogenprofil Ein dünnwandiger Träger, dessen Querschnitt, wie gezeichnet, aus einem halbkreisförmigen und einem rechteckigen Teil zusammengesetzt ist, hat überall die gleiche Wandstärke h. Er wird durch ein Torsionsmoment M t belastet. a) Wie groß muss die Wandstärke h sein, damit eine Torsionsspannung von 40 N/mm 2 gerade erreicht wird? b) Wie groß ist die Torsionssteifigkeit G * J t? Gegeben: a = 5 cm G = 8 * 10 6 N/cm² M t = 445 Nm Ergebnis: a) h = 2,5 mm b) G * J t = 223 E6 Ncm²

Technische Mechanik Aufgaben Teil 2-41 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06 2.6 Festigkeitsnachweis 2.6.1 Schwinger Ein Federblech der Dicke 0.2 mm und Höhe 4 mm aus 30CrNiMo8 wird als schwingende Aufhängung eines Schwingers benutzt. Man bestimme den Wert für die zulässigen Biegespannungen. Hierin: fq = S F.