1 2.5 Messbre Mengen und Funktionen Definition Eine beschränkte Menge M R n heißt messbr, flls die chrkteristische Funktion χ M integrierbr ist. Die Zhl vol n (M) := χ M dµ n nennt mn ds Volumen von M. Eine beliebige Menge M heißt messbr, flls M Q für jeden bgeschlossenen Quder messbr ist. Für ν N sei Q ν := [ ν, ν]... [ ν, ν]. Ist M messbr, so ist f ν := χ M Qν jedes ν N integrierbr, und die Folge der (f ν ) wächst monoton. Die Zhlen vol n (M Q ν ) = χ M Qν dµ n für bilden dnn ebenflls eine monoton wchsende Folge. Ist diese Folge nch oben beschränkt, so konvergieren die f ν nch Levi s Stz von der monotonen Konvergenz gegen eine integrierbre Funktion, die offensichtlich mit χ M übereinstimmt. Ds führt zu der folgenden Definition: Definition Sei M messbr. Ist die Folge der Volumin vol n (M Q ν ) nch oben beschränkt, so heißt µ n (M) := lim ν vol n (M Q ν ) ds n-dimensionle (Lebesgue-)Mß von M und M endlich-messbr. Ist M messbr, ber nicht endlich-messbr, so setzen wir µ n (M) := +. Ist M nicht einml messbr, so können wir M überhupt kein vernünftiges Mß zuordnen. 5.1. Stz (Eigenschften messbrer Mengen) Die Mengen M, N R n seien messbr. Dnn gilt: 1. M N, M N und M \ N sind messbr. 2. M ist genu dnn eine Nullmenge im R n, wenn µ n (M) = 0 ist. 3. Ist M N, so ist µ n (M) µ n (N). 4. Es ist µ n (M N) + µ n (M N) = µ n (M) + µ n (N).
2 2 Integrtion in mehreren Vriblen Beweis: 1) Ist Q ein bgeschlossener Quder, so ist Q (M N) = (Q M) (Q N), Q (M N) = (Q M) (Q N) und Q (M \ N) = (Q M) \ (Q N). Deshlb reicht es, endlich-messbre Mengen zu betrchten. Sind χ M und χ N integrierbr, so sind uch χ M N = mx(χ M, χ N ), χ M N = min(χ M, χ N ) und χ M\N = (χ M χ N ) + integrierbr. 2) Ist M eine Nullmenge, so gilt χ M = 0 fst überll. Also ist χ M integrierbr und µ n (M) = χ M dµ n = 0. Sei umgekehrt M messbr und µ n (M) = 0. Wir können o.b.d.a. nnehmen, dss M beschränkt ist (sonst behndeln wir erst die Mengen M Q ν ). Dnn ist χ M integrierbr und χ M dµ n = 0. Weil χ M = χ M ist, folgt, dss χ M = 0 fst überll gilt. Also ist M = {x R n : χ M (x) 0} eine Nullmenge. 3) Ist N nicht endlich-messbr und dher µ n (N) = +, so ist nichts zu zeigen. Ist dgegen N endlich-messbr, so ist χ N integrierbr und χ Qν M eine (durch χ N ) L-beschränkte Folge von integrierbren Funktionen, die dnn fst überll gegen die integrierbre Funktion χ M χ N konvergiert. Also ist µ n (M) = lim ν µ n (Q ν M) µ n (N). 4) Ist eine der beiden Mengen M und N nicht endlich-messbr, so steht uf beiden Seiten der Gleichung +. Seien lso M und N endlich-messbr. Dnn ist Drus folgt die gewünschte Gleichung. χ M N + χ M N = χ M + χ N. 5.2. Stz (σ-additivität) Die Mengen M ν, ν N, seien messbr. Dnn ist uch M := und es gilt: µ n (M) µ n (M ν ). ν=1 ) Sind die M ν prweise disjunkt, so gilt die Gleichheit. b) Ist M ν M ν+1 für lle ν, so ist µ n (M) = lim ν µ n (M ν ). ν=1 M ν messbr, Beweis: Ds (historisch bedingte) σ im Nmen des Stzes steht für Summe. Sei A m := M 1... M m. Dnn ist (A m ) eine Folge von messbren Mengen mit A m A m+1, und es ist m A m = M = ν M ν.
2.5 Messbre Mengen und Funktionen 3 Sei C := sup m µ n (A m ). Ist C <, so konvergiert χ Am nch dem Stz von der monotonen Konvergenz gegen eine integrierbre Funktion. Dnn ist χ M integrierbr, M messbr und µ n (M) = lim µ n(a m ). m Ist C = +, so gilt zumindest noch für jeden bgeschlossenen Quder Q, dss M Q messbr und µ n (M Q) = lim m µ n(a m Q) ist. Also ist M uch in diesem Fll messbr, und weil lle A m in M liegen, muss µ n (M) = + sein. Induktiv folgt für lle m : µ n (A m ) µ n (M 1 )+ +µ n (M m ). Sind die M ν prweise disjunkt, so gilt die Gleichheit. Lässt mn jetzt m gegen Unendlich gehen, so erhält mn die gewünschten Aussgen. 5.3. Stz Offene, bgeschlossene und kompkte Mengen im R n sind messbr. Beweis: Jeder offene Quder ist messbr. Ist B R n eine beliebige offene Menge, so gibt es zu jedem Punkt x B eine offene Quderumgebung U = U(x) B. Beschränkt mn sich dbei uf Punkte mit rtionlen Koordinten und Quder mit rtionler Seitenlänge, so erhält mn eine Folge von offenen Qudern, deren Vereinigung gnz B ergibt. Dmit ist uch B messbr. Abgeschlossene Mengen sind Komplemente offener Mengen und dmit ebenflls messbr. Kompkte Mengen sind spezielle bgeschlossene Mengen. Sei f L 1 und M R n messbr. Dnn sind f und χ M messbre Funktionen. Also ist uch f χ M messbr. Weil f integrierbr und f χ M f ist, ist uch f χ M integrierbr. Definition Sei f L 1 und M R n messbr. Dnn setzt mn f dµ n := f χ M dµ n. M Eine beliebige Funktion g : M R heißt integrierbr, flls die trivile Fortsetzung ĝ : R n R integrierbr ist, und dnn setzt mn g dµ n := ĝ χ M dµ n. M Ist N eine Nullmenge und f : N R eine beliebige Funktion, so ist ist f = 0 fst überll, lso integrierbr, und es ist N f dµ n = f dµn = 0.
4 2 Integrtion in mehreren Vriblen 5.4. Stz Sei M R n messbr und f : M R integrierbr. Ist N M ebenflls messbr, so ist uch f N : N R integrierbr, und es gilt: f dµ n = f χ N dµ n. N Beweis: Wegen der Zerlegung f = f + f reicht es, den Fll f 0 zu betrchten. Es sei f die trivile Fortsetzung von f uf den R n und g ν := min( f, ν χ N Qν ), mit Q ν = [ ν, ν] n. Dnn bilden die Funktionen g ν eine Folge von nicht-negtiven integrierbren Funktionen, die gegen f χ N f konvergiert. Weil (g ν ) durch f L-beschränkt ist, folgt us dem Lebesgue schen Konvergenzstz, dss f χ N integrierbr ist. Also ist f N = f χ N und dmit f N integrierbr. 5.5. Folgerung Sei M R n messbr und f : M R integrierbr. Ist N M messbr, so uch M \ N, und es gilt: f dµ n = f dµ n + f dµ n. M N M\N Beweis: M f dµ n = Es ist χ M = χ N + χ M\N, lso f χ M dµ n = f χ N dµ n + f χ M\N dµ n = N f dµ n + f dµ n. M\N Integrierbre Funktionen können sich sehr weit von stetigen oder stückweise stetigen Funktionen entfernen, ber umgekehrt gibt es viele einfche stetige Funktionen, die nicht integrierbr sind, z.b. die konstnten Funktionen. Wir bruchen eine möglichst llgemeine Funktionenklsse, die integrierbre und (stückweise) stetige Funktionen umfsst. Ds ist die Klsse der messbren Funktionen. Definition Sind, b, c reelle Zhlen mit < c, so heißt Mitt(, b, c) := mx(, min(b, c)) die Mittlere (Zhl) von, b und c.
2.5 Messbre Mengen und Funktionen 5 Bei drei Zhlen, b, c mit < c gibt es genu ein Element x {, b, c}, ds zwischen den beiden nderen liegt. Ds ist die Mittlere. Ist x eine reelle Zhl, so ist stets < x < +. Definition Sei M R n und f : M R eine beliebige Funktion. Sind g, h : M R zwei weitere Funktionen mit g h, so nennen wir die Funktion Mitt(g, f, h) mit Mitt(g, f, h)(x) := mx (g(x), min ( f(x), h(x) )) die Mittlere von g, f und h. Bildet mn die Mittlere der drei Funktionen g, f, h, so schneidet mn f von oben mit h und von unten mit g b. f Mitt(g, f, h) h g Ist f : R n R eine Funktion, k N und Q k := [ k, k] n, so nennen wir [f] k := Mitt( k, f, k) χ Qk = Mitt( k χ Qk, f, k χ Qk ) die k-stutzung von f. [f] C C f C Definition Eine fst überll endliche Funktion f : R n R heißt messbr, flls für lle k N die Stutzung [f] k integrierbr ist. Offensichtlich ist jede integrierbre Funktion messbr.
6 2 Integrtion in mehreren Vriblen 5.6. Lemm Ist f fst überll endlich, so konvergiert die Folge der Funktionen [f] k punktweise gegen f. Beweis: Ist f(x) <, so gibt es ein k 0, so dss [f] k (x) = Mitt( k, f(x), k) = f(x) für k k 0 ist. Ist f(x) = + (bzw. = ), so ist Mitt( k, f(x), k) = k (bzw. = k) für genügend großes k, so dss uch in diesem Fll [f] k (x) gegen f(x) konvergiert. 5.7. Stz Eine fst überll endliche Funktion f : R n R ist genu dnn messbr, wenn es eine Folge von integrierbren Funktionen f k gibt, die fst überll gegen f konvergiert. Beweis: 1) Sei f messbr. Dnn sind die Funktionen [f] k integrierbr, und sie konvergieren sogr überll gegen f. 2) Nun sei vorusgesetzt, dss es eine Folge von integrierbren Funktionen f ν gibt, die fst überll gegen f konvergiert. Es sei k N und g := k χ Qk ( 0). Dnn ist g integrierbr. h ν := Mitt( g, f ν, g) = [f ν ] k ist ebenflls integrierbr, und es ist h ν g. Die Folge (h ν ) konvergiert fst überll gegen Mitt( g, f, g) = [f] k Nch dem Lebesgue schen Konvergenzstz ist dnn uch [f] k integrierbr. Weil dies für jedes k gilt, ist f messbr. 5.8. Stz Die Funktionen f und g seien messbr, c eine reelle Zhl. Dnn sind uch c f, f + g, f, mx(f, g) und min(f, g) messbr. Beweis: Dss c f, f +g und f messbr sind, folgt sofort us dem vorigen Stz. Wegen der Gleichungen mx(f, g) = 1 (f + g + f g ) 2 und min(f, g) = 1 (f + g f g ) 2 sind uch mx(f, g) und min(f, g) messbr. 5.9. Stz Ist f : R n R stetig, so ist f messbr.
2.5 Messbre Mengen und Funktionen 7 Beweis: Die Stutzungen [f] k sind jeweils uf Q k stetig und dher Riemnnintegrierbr. Erst recht sind sie Lebesgue-integrierbr, und d sie gegen f konvergieren, ist f messbr. 5.10. Stz Sei (f ν ) eine Folge von messbren Funktionen uf dem R n, die punktweise gegen eine fst überll endliche Funktion f : R n R konvergiert. Dnn ist uch f messbr. Beweis: Bei festem k N ist [f ν ] k integrierbr und k χ Qk für lle ν. Außerdem strebt die Folge [f ν ] k gegen [f] k. Aus dem Lebesgue schen Konvergenzstz folgt, dss [f] k integrierbr ist. Weil ds für lle k gilt, ist f messbr. 5.11. Stz Ist f messbr und Lebesgue-beschränkt, so ist f integrierbr. Beweis: Sei g integrierbr und f g. Dnn bilden die Funktionen [f] k eine Lebesgue-beschränkte Folge von integrierbren Funktionen, und ihr Grenzwert f ist nch dem Lebesgue schen Konvergenzstz ebenflls integrierbr. Sei f : R n R messbr und nicht-negtiv. Dnn gibt es eine Folge (f ν ) von integrierbren Funktionen mit 0 f ν f, die fst überll gegen f konvergiert (mn nehme z.b. die Stutzungen [f] ν ). Konvergiert f ν dµ n, so folgt us dem Stz von Lebesgue, dss uch f integrierbr und f dµ n = lim ν fν dµ n ist. Ist die Folge der Integrle unbeschränkt, so setzen wir f dµ n := +. Auf diese Weise wird ds Integrl einer beliebigen nicht-negtiven messbren Funktion f : R n R definiert. 5.12. Integrierbrkeitskriterium Eine Funktion f ist genu dnn integrierbr, wenn f messbr und f dµ n < ist. Beweis: Ist f integrierbr, so ist f uch messbr und f integrierbr. Ist f messbr, so ist uch f messbr. Weil f 0 ist, bedeutet f dµ n < definitionsgemäß, dss f integrierbr ist. Als messbre und Lebesgue-beschränkte Funktion ist f dnn integrierbr. 5.13. Stz Eine Menge M R n ist genu dnn messbr, wenn die chrkteristische Funktion χ M messbr ist.
8 2 Integrtion in mehreren Vriblen Beweis: M ist genu dnn messbr, wenn M Q ν für jedes ν N endlichmessbr ist, wenn lso χ M Qν integrierbr ist. Für ν 2 ist ber χ M Qν = [χ M ] ν. Drus folgt die Behuptung. Bemerkung: Es gibt Mengen, die nicht messbr sind. Ihre Konstruktion ist nicht trivil und benötigt ds Auswhlxiom. Ist M [0, 1] nicht messbr, so ist uch M := [0, 1] \ M nicht messbr, und die Funktion f(x) := { 1 für x M, 1 für x M. ist nicht messbr (und nicht integrierbr), obwohl f integrierbr ist. Mn knn zeigen: Eine fst überll endliche Funktion f : R n R ist genu dnn messbr, wenn M c := {x R n : f(x) > c} für jedes c R eine messbre Menge ist. Dbei knn mn die Mengen M c = {x R n : f(x) > c} uch durch die Mengen {x R n : f(x) c}, {x R n : f(x) < c} oder {x R n : f(x) c} ersetzen. In Ergänzung zur Vorlesung soll hier wenigstens ein Teilresultt bewiesen werden, ds m Ende des nächsten Abschnittes gebrucht wird: 5.14. Stz Sei h : R n R messbr. Dnn ist uch die Menge M := {x R n : h(x) > 0} messbr. ( Beweis: Für ν N sei h ν := ν min ( h, 1 ) ) min(h, 0). Die Funktionen h ν ν sind offensichtlich lle messbr, und es gilt: 1. Ist h(x) 0, so ist h ν (x) = 0 für lle ν. 2. Ist h(x) 1/ν, so ist h ν (x) = 1. Außerhlb M ist lso h ν (x) 0. Ist x M, so gibt es ein ν 0, so dss h ν (x) = 1 für ν ν 0 ist. Zusmmen bedeutet ds, dss die Folge der h ν überll gegen χ M konvergiert. Dmit ist χ M und deshlb uch M messbr. D lle konstnten Funktionen messbr sind, folgt nun gnz leicht, dss mit h uch lle Mengen M c := {x R n : h(x) > c} messbr sind. Die Umkehrung ist schwieriger zu zeigen. Ohne Beweis 1 soll ds folgende Resultt ngegeben werden: 1 Beweis in Anlysis 3.
2.5 Messbre Mengen und Funktionen 9 5.15. Die Trnsformtionsformel Sei U R n offen, ϕ : U V ein C 1 -Diffeomorphismus uf eine offene Menge V R n. 1. Eine Funktion f : V R ist genu dnn integrierbr, wenn integrierbr ist. 2. Ist f : V R integrierbr, so ist f(y) dµ n = 5.16. Beispiele V (f ϕ) det Dϕ : U R U f ϕ(x) det Dϕ(x) dµ n. A. Sei Q R n ein bgeschlossener Quder, A GL n (R) eine invertierbre Mtrix und L = L A die zugehörige (bijektive) linere Trnsformtion mit L(x) = x A. Dnn ist µ n (L(Q)) = det A µ n (Q). Ds ergibt sich sofort us der llgemeinen Trnsformtionsformel, wenn mn U = V = R n und f := χ L(Q) setzt und berücksichtigt, dss J L (x) = A für lle x ist. Sind 1,..., n die (liner unbhängigen) Splten von A, so nennt mn P ( 1,..., n ) := {λ 1 1 + + λ n n 0 λ i 1 für i = 1,..., n} ds von den Vektoren ufgespnnte Prllelotop. z y x Es hndelt sich um ds Bild des Einheitsquders unter der Trnsformtion L A. Im Flle n = 2 ergibt sich ein Prllelogrmm, im Flle n = 3 spricht mn von einem Spt. Nun folgt us der Trnsformtionsformel:
10 2 Integrtion in mehreren Vriblen µ n (P ( 1,..., n )) = det( 1,..., n ). Diese Aussge liefert eine geometrische Deutung der Determinnte. Die Reihenfolge der Vektoren 1,..., n bestimmt eine Orientierung des R n. Also knn mn det( 1,..., n ) ls orientiertes Volumen von P ( 1,..., n ) uffssen. B. Ist A eine orthogonle Mtrix (lso A A )und x 0 ein fester Vektor, so nennt mn die Abbildung F (x) := x 0 + x A eine euklidische Bewegung. Im 2-dimensionlen Fll setzt sich jede Bewegung us Trnsltionen, Spiegelungen und Drehungen zusmmen. Weil J F (x) A und im Flle einer orthogonlen Mtrix det A = 1 ist, lässt jede Bewegung ds Volumen invrint, und drüber hinus ist f(x) dµ n (x) = f F (y) dµ n (y), F (M) für messbre Mengen M und integrierbre Funktionen f. Ds ist die Bewegungsinvrinz des Lebesgue-Integrls. C. Ebene Polrkoordinten Die ebenen Polrkoordinten sind durch die Abbildung f : R + (0, 2π) R 2 mit (x, y) = f(r, ϕ) := (r cos ϕ, r sin ϕ) gegeben. Beknntlich ist det J f (r, ϕ) = r. Ist nun etw K := {(r, ϕ) R 2 : r b und α ϕ β}, mit 0 < < b und 0 < α < β < 2π, sowie g stetig uf f(k), so ist f(k) g(x, y) dµ 2 (x, y) = M β b α g(r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ. Wir können ntürlich uch über Mengen integrieren, die die positive x-achse treffen, denn diese Achse ist eine Nullmenge. D. Zylinderkoordinten Im R 3 sind für r > 0, 0 < ϕ < 2π und beliebiges z die Zylinderkoordinten gegeben durch F zyl (r, ϕ, z) := (r cos ϕ, r sin ϕ, z). Dbei bezeichnet r den Abstnd von der z-achse und ϕ den Winkel gegen die positive x-achse. Für die Funktionldeterminnte ergibt sich uch hier det J Fzyl (r, ϕ, z) = r.
2.5 Messbre Mengen und Funktionen 11 Ist K = {(r, ϕ, z) : r b, α ϕ β und c z d}, so ist F zyl (K) g(x, y, z) dµ 3 (x, y, z) = E. Räumliche Polrkoordinten d β b c α g ( F zyl (r, ϕ, z) ) r dr dϕ dz. Für r > 0, 0 < ϕ < 2π und π/2 < θ < π/2 sind die räumlichen Polrkoordinten (Kugelkoordinten, sphärische Koordinten) gegeben durch F sph (r, ϕ, θ) := (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ). Hier ist ϕ der Winkel gegenüber der positiven x-achse (in der x-y-ebene gemessen) und θ der Winkel gegen die x-y-ebene. Es sei uch hier noch einml drn erinnert, dss die Kugelkoordinten in der Litertur nicht einheitlich definiert werden! Als Funktionldeterminnte erhlten wir hier det J Fsph (r, ϕ, θ) = r 2 cos θ. Offensichtlich ist r 2 cos θ > 0 im gnzen Definitionsbereich von F sph. Ist K = {(r, ϕ, θ) : r b, α ϕ β und γ θ δ}, so ist F sph (K) g(x, y, z) dµ 3 (x, y, z) = δ β b γ α g ( F sph (r, ϕ, θ) ) r 2 cos θ dr dϕ dθ. Ds Volumen der 3-dimensionlen Einheitskugel ergibt sich z.b. jetzt so: µ 3 (B 1 (0)) = = 2π 1 dµ 3 = B 1 (0) 1 π/2 0 π/2 1 π/2 2π 0 π/2 r 2 cos θ dθ dr = 4π 0 r 2 cos θ dϕ dθ dr 1 0 r 2 dr = 4 3 π. Für ds Volumen τ n der Einheitskugel im R n knn mn folgende Rekursionsformel beweisen: τ 2k = 1 k! πk und τ 2k+1 = 2 k+1 1 3 (2k + 1) πk. 5.17. Homothetieformel Sei M R n messbr und r > 0. Dnn ist uch r M := {rx : x M} messbr und µ n (r M) = r n µ n (M).
12 2 Integrtion in mehreren Vriblen Beweis: Wir betrchten den Diffeomorphismus Φ : R n R n mit Φ(x) := rx. Dnn ist det J Φ (x) r n und Φ(M) = r M. Setzt mn f := χ rm, so ist f Φ = χ M, und die Trnsformtionsformel ergibt µ n (r M) = χ rm dµ n = χ M r n dµ n = r n µ n (M). 5.18. Folgerung Ist τ n = vol n (B 1 (0)), so ist µ n (B R (0)) = R n τ n. 5.19. Integrtion rottionssymmetrischer Funktionen Sei 0 < b und K,b := {x R n : < x < b}. Ist f : (, b) R integrierbr und existiert und b f(r) r n 1 dr, so ist f(x) := f( x ) über K,b integrierbr K,b f( x ) dµ n = n τ n b f(r)r n 1 dr. Dbei bezeichnet τ n ds Volumen der n-dimensionlen Einheitskugel. Beweis: 1) Der Rnd einer n-dimensionlen Kugel ist eine Nullmenge im R n, d er lokl ein Grph ist. 2) Ds uneigentliche Integrl b f(r)rn 1 dr konvergiert nch Vorussetzung bsolut, es existiert lso uch ls Lebesgue-Integrl.,b 3) Zunächst sei f(r) c eine konstnte Funktion. Dnn ist uch f konstnt und ntürlich über K,b integrierbr. Es gilt: K f(x) dx = c χ K,b dµ n = c µ n (K,b ) = c (µ n (B b (0)) µ n (B (0))) = c τ n (b n n ) = c τ n n b r n 1 dr = n τ n b f(r)r n 1 dr. 4) Ist f eine Treppenfunktion uf [, b], so ist f uf (, b) (bis uf endlich viele Punkte) stückweise konstnt, und mn rgumentiert nlog. 5) Ist f : (, b) R ein Element von L +, so gibt es eine Folge (ϕ k ) von Treppenfunktionen uf [, b], die uf (, b) fst überll monoton wchsend gegen f konvergiert. Dnn konvergiert uch ( ϕ k ) uf K,b fst überll monoton wchsend gegen f, denn wenn N [, b] eine Nullmenge ist, so gilt ds uch für die Menge Ñ := {x K,b : x N}. Also ist f integrierbr, und us dem Stz von der
2.5 Messbre Mengen und Funktionen 13 monotonen Konvergenz knn mn schließen, dss die Integrle über ϕ k gegen ds Integrl über f konvergieren. Die Folge der Funktionen ϕ k (r)r n 1 konvergiert monoton wchsend gegen f(r)r n 1, und nch Levi s Stz von der monotonen Konvergenz folgt: ( f(x) dµn = lim ϕ k (x) dµ n = lim K k,b K k,b b = n τ n f(r)r n 1 dr. n τ n b ) ϕ k (r)r n 1 dr 6) Ist f über (, b) integrierbr, so schreibt mn f ls Differenz zweier Elemente g, h us L +. Der Stz gilt für g und h und dnn offensichtlich uch für f. 5.20. Beispiel Sei f(r) := 1 1 r uf (0, 1). Ds Integrl r n 1 α dr existiert genu dnn, wenn n + 1 + α < 1 ist, lso α < n. Drus folgt: Im R n 1 existiert x dµ α n genu dnn, wenn α < n ist. B 1 (0) 0 Im R 2 ist lso 1/ x bei 0 integrierbr, nicht jedoch 1/ x 2. Im R 3 sind beide Funktionen bei 0 integrierbr.