Kpitel Schwepunkt
Schwepunkt Volumenschwepunkt Fü einen Köpe mit dem Volumen V emittelt mn die Koodinten des Schwepunktes S (Volumenmittelpunkt) us S dv dv z S S z S dv dv z dv dv z S S S Flächenschwepunkt S da da S da da S S Hiebei ist da S bzw da S ds sttische Moment de Fläche (Flächenmoment 1 Odnung) um die - bzwumdie -Achse Fü zusmmengesetzte Flächen bei denen die Lge ( i i) de Teilschwepunkte S i beknnt ist gilt S S ia i Ai i S i A i S Anmekungen: ia i Ai Bei Flächen (Köpen) mit Ausschnitten ist es oft zweckmäßig mit negtiven Flächen (Volumin) zu beiten Sind Smmetien vohnden dnn liegt de Schwepunkt uf den Smmetiechsen i D Goss et l Fomeln und Aufgben zu Technischen Mechnik 1 DO 101007/978--64-7165-_ Spinge-Velg Belin Heidelbeg 01
Schwepunkt Linienschwepunkt S ds ds S ds ds S S Besteht eine Linie us Teilstücken beknnte Länge l i mit beknnten Schwepunktskoodinten i i so folgt die Lge des Schwepunktes us S l i S il i li i S i S il i li i Mssenmittelpunkt Die Koodinten des Mssenmittelpunkts eines Köpes mit de Dichteveteilung ρ( z) ehält mn us S ρdv ρdv zρdv S z S ρ dv ρ dv ρ dv Besteht ein Köpe us Teilköpen V i de Dichte ρ i mit beknnten Schwepunktskoodinten i i und z i so gilt S iρ iv i iρ iv i ziρ S z S iv i ρiv i ρiv i ρiv i Anmekung: Beim homogenen Köpe (ρ const) fllen Volumenschwepunkt und Mssenmittelpunkt zusmmen
4 Schwepunktskoodinten Tbelle von Schwepunktskoodinten Flächen Deieck h 1 1 S S 1 (1 + + ) S 1 h S 1 (1 + + ) A 1 h A 1 1 1 1 1 Hlbkeis Vietelkeis qud Pbel Vietelellipse h b S 0 4 π 0 4 π b S 4 π 4 π 5 h 4 π b A π π 4 4 bh π 4 b Köpe Kegel h Hlbkugel Linie Keisbogen α α S 0 S 0 S sin α α S 1 h 4 S 8 S 0 V 1 π h V π l α
Flächenschwepunkt 5 Aufgbe 1 Die dgestellte Fläche wid nch oben duch eine qudtische Pbel mit dem Scheitel bei 0begenzt Mn emittle die Schwepunktskoodinten b A1 Lösung Wi stellen zunächst die Gleichung de Pbel uf: α + β Die Konstnten α und β folgen us den Endpunkten 0 0 0 / und 1 b 1 / zuβ / α /b Dmitwid ( ) + b Mit dem Flächenelement da d folgt: da d S da d b 0 b 0 [ ( b [ ( b ) + ) + ] d ] d 1 b da 5 6 b 5 b d Wenn wi zu Emittlung von S die Flächenelemente (b )d vewenden so teten kompliziete ntegle uf Wi bleiben dhe beim d da (b )d da d / Flächenelement da d und müssen nu beücksichtigen dss sein Schwepunkt in -Richtung bei / liegt Dnn gilt (die Fläche im Nenne ist dieselbe wie vohe): S d 6 5 6 b 10 b b 0 ) ( 4 b + 4 b + d 47 4 100
6 Schwepunkt A Aufgbe Gesucht ist die Lge des Schwepunktes eines Keisusschnittes vom Öffnungswinkel α α Lösung Wegen de Smmetie liegt de Schwepunkt uf de -Achse: S 0 Zu Emittlung von S wählen wi ls Flächenelement einen infinitesimlen Keisusschnitt ( Deieck) und integieen übe den Winkel θ Dnn folgt S α α ( ) 1 cos θ dθ α 1 dθ α sin α α sinα α 1 da dθ dθ θ S m Genzfll α π/ folgt die Schwepunktslge des Hlbkeises zu S 4 π Anmekung: Mn knn den Schwepunkt uch duch Aufteilung de Fläche in Keisingelemente und ntegtionen übe emitteln Dnn muss be vohe die S Schwepunktlge S eines solchen Ringelementes beknnt sein ode est beechnet weden Die Schwepunktskoodinte S eines Keisbschnittes findet mn mit obigem Egebnis duch Diffeenzbildung: S A s A S A S S S S S S A S A A A sinα α α 1 scos α cos α α 1 s scos α 1A
Flächenschwepunkt 7 Aufgbe Fü die dgestellten Pofile emittle mn die Lge de Schwepunkte (Mße in mm) ) b) 15 15 A 8 8 0 5 5 45 4 45 4 Lösung ) Wi wählen ds Koodintensstem so dss die Smmetiechse mit de -Achse zusmmenfällt Dnn gilt S 0 und es muss nu noch S beechnet weden Hiezu zelegen wi ds Pofil in Rechtecke deen einzelne Schwepunktslgen beknnt sind Dmit folgt S ia i Ai (4 45) + 14(5 0) + 8 (8 15) 4 45 + 5 0 + 8 15 510 400 1 8mm b) Wi legen ds Koodintensstem in die linke untee Ecke und finden duch Zelegung in Teilechtecke 5(4 45) + 5(5 0) + 7 5(8 15) S 4 45 + 5 0 + 8 15 500 400 1mm (4 45) + 14 (5 0) + 8 (8 15) S 400 1 8mm Anmekung: Beim Veschieben de Flächen in -Richtung bleibt S unveändet
8 Flächenschwepunkt A4 Aufgbe 4 Gesucht ist die Lge des Schwepunktes de dgestellten Fläche mit einem Rechteckusschnitt (Mße in cm) 1 1 1 4 Lösung Wi teilen die Fläche in Deiecke sowie ein goßes Rechteck und ziehen den kleinen Rechteckusschnitt b Fü diese sind die Göße de Flächen und ihe Schwepunktslgen beknnt V Die echneische Lösung efolgt zweckmäßig mit Hilfe eine Tbelle Teil- A i i ia i i ia i sstem i [cm ] [cm] [cm ] [cm] [cm ] 10 4 14 V - 10 17 7 7 100 68 10 10 100 40 49 1 14-7 -4 A A i 6 ia i 98 Dmit findet mn ia i S 98 A 6 49 ia i cm S 1 A 170/ 6 ia i 170 85 9 cm
Linienschwepunkt 9 Aufgbe 5 Ein Dht konstnte Dicke wude zu nebenstehende Figu vefomt (lle Längen in mm) Wo liegt de Schwepunkt? 80 40 0 A5 Lösung Wegen de Smmetie de Figu liegt de Schwepunkt uf de Smmetielinie die wi ls -Achse wählen dh es gilt S 0Ddie Schwepunktslgen i de Teilstücke de Länge l i beknnt sind folgt die Lge S des Gesmtschwepunkts us i l i S li Wi wollen die Aufgbe mit dei veschiedenen Unteteilungen lösen Dbei gilt l l i 0 + 80 + 40 60 mm 1 Möglichkeit: S 1 60 9600 60 (80 }{{ 40 } + } 40 {{ 80 } ) 6 9 mm Möglichkeit: S 1 (40 40 60 }{{} } 40 {{ 0 } ) 08 mm 40 Möglichkeit: Wi wählen ein spezielles Teilstück V so dss sein Schwepunkt in den Koodintenuspung fällt: S 1 60 [ ] ( 40) 10 08 mm }{{} V V 40 V V 10 10 Die Vinte ht den Voteil dss nu ds sttische Moment eines Teilstücks V beücksichtigt weden muss
40 Emittlung A6 Aufgbe 6 Ein dünne Dht wude in Fom eine Hpebelfunktion gebogen Wo liegt de Schwepunkt? S cosh Lösung Aus Smmetiegünden liegt de Schwepunkt uf de -Achse Mit de Ableitung sinh wid ds Element de Bogenlänge ds (d) +(d) 1+( ) d 1+sinh d cosh d ntegtion egibt die Bogenlänge + s ds cosh d sinh 1 Ds sttische Moment um die -Achse findet mn zu S ds cosh d + 1+cosh Dmit ehält mn die Schwepunktkoodinte ds S 1+ 1 sinh 1 197 ds sinh d (1+ 1 sinh ) A7 Aufgbe 7 Aus einem deieckigen Blech ABC dsina dehb ufgehängt ist wid ein Deieck CDE heusgeschnitten Wie goß muss sein dmit sich BC hoizontl einstellt? B E D A C Lösung Ds Deieck hängt in de gefodeten Lge wenn sich de Schwepunkt unte dem Lge A befindet Ds bedeutet dss ds sttische Moment des Deiecks ADC bezüglich de Dehchse duch A gleich sein muss dem des Deiecks ABE: ( ) 1 1 1 }{{}}{{} }{{} Fläche ADC Abstnd Fläche ABE 1 }{{} Abstnd 4 9
http://wwwspingecom/978--64-7164-6