8 7 Potezreihe 7 Potezreihe 7. Fuktioefolge ud -reihe Puktweise ud gleichmäßige Kovergez vo Fuktioefolge Sei f j ) j= eie Folge vo reelle) Fuktioe mit Defiitiosgebiete Df j), j N, ud = Df j ) R. j= D bilde für jedes feste x die Fuktioswerte f j x), j N, eie reelle Zhlefolge f j x)) j=, die uf Kovergez utersucht werde k. Defiitio 7.. Es seie R ud reelle) Fuktioe f j x) mit Df j ) =, j N, gegebe. i) We für x die Folge f j x)) j= kovergiert, so heißt die Folge vo Fuktioe f j ) j= koverget im Pukt x. ii) We die Folge f j x)) j= für jedes feste) x kovergiere, so ist durch fx) := j f jx) eie Fuktio fx) uf Df) = defiiert. sgt d, die Folge vo Fuktioe f j ) j= kovergiert puktweise gege die Fuktio f, ud f heißt puktweiser Limes der Fuktioefolge f j ) j=. iii) Die Fuktioefolge f j ) j= gibt, so dss gilt. schreibt d f j heißt gleichmäßig koverget, we es eie Fuktio f mit Df) = j f. sup x f j x) fx) = Bemerkug : f puktweiser Limes vo f ) x > =, x) : f x) fx) < f f > = ) x : f x) fx) < gleichmäßige Kovergez impliziert puktweise, Umkehrug i.. flsch siehe Beispiele) Beispiele : ) f x) = x, Df ) = [, ], N { }, x < f x) =: fx), x = keie gleichmäßige Kovergez gege f: := 4 x =, ) : 2.8.6.4.2 f x ) = x ) = 2 >.2.4.6.8
7. Fuktioefolge ud -reihe 9 Beispiele : 2) g x) = [x x)], Dg ) = [, ], N ) g x) gx), x [, ] 4.25.2.5 g ). kovergiert gleichmäßig gege gx) : ) sup g x) x [,] 4 gx).5.2.4.6.8 Stz 7..2 Eigeschfte der Grezfuktio) Es sei eie Folge reeller Fuktioe f ) mit Df ) = gegebe, die puktweise gege eie Fuktio f kovergiere. i) Sid lle f stetig uf, N, ud kovergiert f ) gleichmäßig gege f, f f, so ist f stetig uf Df) =. ii) Sid lle f itegrierbr uf = [, b], N, ud kovergiert f ) gleichmäßig gege f, f = f, so ist f uf [, b] itegrierbr, es gilt f x) dx = f x) dx = fx) dx. iii) Sid lle f stetig differezierbr uf dem Itervll, N, ud kovergiert f ) gleichmäßig uf gege eie Fuktio g, f g, so ist f uf differezierbr, es gilt g = f, d.h. ) f x) = f x) = f x), x. B e w e i s : zu i): sei x beliebig, ber fest, z.z. : > δ, x ) > x, x x < δ : fx) fx ) < Sei >, f f : sup x fx) fx ) fx) f x) ) < fx) fx ) < für x x < δ, x, ) f x) fx) < + f x) f x ) + f x ) fx ) f stetig i x + + ) ) Bemerkug : Grezfuktio f i Bsp. ) icht stetig = Stz 7..2i) möglich keie gleichmäßige Kovergez i ii) puktweise Kovergez der f gege f icht usreiched: g x) = 2xe x2, Dg ) = [, ] g x) = gx), x [, ], ber: g x) dx = = e ) = g x) dx e x2 )
2 7 Potezreihe Bemerkug : i iii) gleichmäßige Kovergez der f gege f icht usreiched: g x) = si2 x), Dg ) = R g g, ) x), ber: g x) = cos2 x) existiert icht log zu Zhle-)Folge ud Reihe führt m Fuktioereihe ei Defiitio 7.. Es sei f j ) j= eie reelle) Fuktioefolge mit Df j) =, j N. D heißt f j j= Fuktioereihe, die puktweise/gleichmäßig gege eie Fuktio f kovergiert, we die Folge ihrer Prtilsumme s ), N, mit s x) = f j x), x, puktweise/gleichmäßig gege f kovergiert. j= Beispiel : f x) = x, Df ) = [, α], < α < s m x) = gleichmäßige Kovergez: m x = xm+ x m f x) = x = = fx), x [, α], < α < x x m+ sup s m x) fx) = sup x [,α] x [,α] x αm+ m x = fx) Folgerug 7..4 Eigeschfte vo Fuktioereihe) Es sei eie Folge reeller Fuktioe f ) mit Df ) = gegebe, dere Fuktioereihe puktweise gege eie Fuktio f kovergiere. i) Für die Fuktioereihe f gelte f f x), N, x, ud die Reihe sei koverget. D kovergiert f gleichmäßig uf. ii) Sid lle f stetig uf, N, ud kovergiert f gleichmäßig uf gege f, so ist f stetig uf Df) =. iii) Sid lle f itegrierbr uf = [, b], N, ud kovergiert f gleichmäßig uf [, b] gege f, so ist f uf [, b] itegrierbr, es gilt f x) dx = ) f x) dx = fx) dx. iv) Sid lle f stetig differezierbr uf dem Itervll, N, ud kovergiert uf gege eie Fuktio g, so ist f uf differezierbr, es gilt g = f, d.h. f x) = f x)) = f x), x. f gleichmäßig
7.2 Kovergez vo Potezreihe 2 Beispiel : g x) = x, Dg ) = [, α], < α < = Bsp. = iii) α x dx = } {{ } α + + α x x dx = l l α) gleichmäßig koverget, l α) = g x) = x α, < α < 7.2 Kovergez vo Potezreihe betrchte jetzt spezielle reelle oder komplexe) Fuktioereihe, f x) = x x ) Defiitio 7.2. Für z, z C heißt pz) = z z ), C, Potezreihe mit dem Etwicklugspukt z. Frge : Für welche z C i Abhägigkeit vo z C) kovergiert die Reihe bsolut)? Lemm 7.2.2 Sei z C. i) ii) z z ) sei koverget für z = z, z z. D kovergiert die Reihe bsolut für lle z C mit z z < z z. B e w e i s : z z ) sei diverget für z = z 2, z 2 z. D divergiert die Reihe uch für lle z C mit z z > z 2 z. pz z ) = z z ) koverget = k z z ) k = Stz.2.2 i) k > k N : k z z ) k zu i) : sei z C mit z z < z z S mz) = ) S m m= m k= k z z k = m k= k z z beschräkt ud mooto wchsed zu ii) : sei z C mit z z > z 2 z k ) k z z z z =:q< Vor. ) S m m= m k= q k < q koverget i) Ahme : pz z ) koverget i) = z := z pζ) kovergiert für lle ζ mit ζ z < z z = pζ) = ζ z ) kovergiert für ζ = z 2 ζ := z 2 Widerspruch zur Vorussetzug i ii) Offebr gibt es lso drei öglichkeite der bsolute) Kovergez vo pz) = i) pz) kovergiert ur für z = z z z ) : ii) pz) kovergiert für lle z C
22 7 Potezreihe iii) es existiert ei R >, so dss pz) kovergiert bsolut für lle z mit z z < R pz) divergiert für lle z mit z z > R Diese Zhl R > heißt Kovergezrdius der Potezreihe pz) = R := i i) ud R := i ii) gesetzt. et die offee) ege z z ). Zusätzlich wird K R z ) = {z C : z z < R } Kovergezkreis der Potezreihe pz). I diesem Sie ist lso R > der größtmögliche Rdius eies Kreises um z C, ierhlb desse die Reihe bsolut kovergiert. Stz 7.2. Bestimmug des Kovergezrdius) Sei die Potezreihe pz) = z z ) gegebe. i) Flls,, gilt, so erhält m R = + flls dieser Grezwert eigetlich oder ueigetlich) existiert., ii) Es gilt R = flls dieser Grezwert existiert.,, wobei R :=, =, =, B e w e i s : Quotiete- bzw. Wurzelkriterium Sätze.2.5,.2.6) Bemerkug : llgemei: Stz vo Cuchy-Hdmrd 2, wobei i ii) durch sup ersetzt wird ud d immer existiert) Beispiele : ) 2) z ) z = = R =, d.h. Kovergez z = z! = = R =, d.h. Kovergez für lle z C + = + ) = R =, d.h. Kovergez i C Aussge über de Rd des Kovergezkreises, d.h. für z z = R, sid i.. icht möglich : z R = : z = z = keie Kovergez für z = z 2 R = : z = bsolute Kovergez, d ch Lemm.2.4 ii) koverget 2 ) z R = : z = z = Kovergez Lemm.2.) z = Divergez Lemm.2.4i)) 2 Jcques Slomo Hdmrd 8.2.865 Versilles 7..96 Pris)