Protokoll zu Versuch E6: Elektrsche esonanz. Enletung En Schwngkres st ene elektrsche Schaltung, de aus Kapaztät, Induktvtät und ohmschen Wderstand besteht. Stmmt de Frequenz der anregenden Wechselspannung mt der Egenfrequenz des Schwngkreses überen, so kommt es zur sogenannten elektrschen esonanz.. Theore. Serenschwngkres Abb. zegt das Schaltbld enes enfachen Serenschwngkreses. De Impedanz Z deses Kreses ergbt sch aus der ehenschaltung von komplexen und ohmschen Wderständen, also von = ω L L = ω zu: Z( ω) = ² + ωl ω Durch de Thomsonsche Schwngungsformel erhält man für de esonanzfrequenz: ω = L bzw. ω = L Im esonanzfall st Z mnmal, d.h. Z entsprcht dem ohmschen Wderstand. Daraus folgt, daß der Strom I maxmal wrd (Stromresonanz): I (ω ) I = = max U
Abbldung zegt de Abhänggket des Stromes von der Frequenz bem Serenschwngkres. Abbldung Als Güte des esonanzkreses wrd de esonanzüberhöhung der Ladungsampltude defnert. Unter der Bedngung, daß klene Dämpfung vorlegt, erhält man für de Güte: ω L Q = = ω Mt Hlfe der Güte defnert man auch de Halbwertsbrete der esonanzkurve we n Abb. zu sehen. In Näherung glt für ω : ω = = ω L und glechzetg: ω Q = ω Im esonanzfall glt außerdem für de Spannungsabfälle an Kondensator und Spule: U L = U = QU Das bedeutet, daß de jewelgen Sptzenspannungen de angelegte Spannung um den Faktor Q übertren. Da se jedoch mt ener Phasenverschebung von 8 zuenander auftreten, kompenseren se sch gegensetg.
. Parallelschwngkres Ähnlch we be enem Serenschwngkres beobachtet man esonanzverhalten be ener Parallelschaltung deser Komponenten (sehe Abbldung 3). Abb. 3: Parallelresonanzkres den Betrag von Y glt: Analog zur Impedanz defnert man enen Schenletwert Y auch Admttanz genannt. Für Y = ² + ω ωl Damt erhält man de esonanzfrequenzen, de denen des Serenschwngkreses entsprechen, zu: ω = L bzw. ω = L Im esonanzfall hat also der Schenletwert enen ren ohmschen Mnmalwert: Y ( ω ) = Y = mn Glechzetg hat de Spannungsampltude en Maxmum: U (ω ) U = = max I Auch her defnert man ene Güte. Dese ergbt sch aus der esonanzüberhöhung des Flusses Φ durch de Spule und hat den Wert: = ω ω L = Q 3
De jewelgen Enzelströme an Kondensator und durch Spule, snd maxmal und überstegen den Gesamtstrom I um den Faktor Q und es st: I L ( ω ) = I ( ω ) = Q I Betrachtet man den Innenwderstand der Spule geschalteten Ersatzwderstand als enen zur Induktvtät L parallel p '. Nach en weng Algebra und Vernachlässgung des Imagnärtels (wegen der gegebenen Dmensonerung) erhält man: ω² L² p ' = Damt beträgt der gesamt Verlustwderstand des Kreses: p p ' = + ' p p 4
3. Beschrebung der Apparatur 3. Zubehör - Oszllograph mt Meßkabel G 58 U - Frequenzgenerator - Kapaztätsdekade nf - Potentometer k Ω - Potentometer k Ω - unbekannte Spule 3. Aufbau des Versuchs a) Serenschwngkres Der expermentelle Aufbau des Serenschwngkreses st n Abbldung 4 dargestellt. b) Parallelschwngkres Der expermentelle Aufbau des Parallelschwngkreses st n Abbldung 5 dargestellt. 5
4. Durchführung des Versuchs 4. Bestmmung der esonanzkurven für enen Serenschwngkres Im Gegensatz zu der m Theoretel betrachteten Varaton der Frequenz ω zur Enstellung der esonanz, wrd m Versuch be ener fest vorgegebenen Frequenz f = Hz und ener Spannung von U = V de Kapaztät verändert. Im folgenden werden de Ergebnsse der Messungen der Effektvspannung Kapaztäten tabellarsch dargestellt. U be verschedenen a) für V = Ω ( µf) U (mv) U (mv),5 ± % 4, ±,,6 ± % 8,4 ±,,7 ± % 5,5 ±,,8 ± % 38,6 ±,,9 ± % 68, ±,,95 ± % 9,4 ±,,96 ± % 96,7 ±,,98 ± % 9,3 ±,, ± %, ±,,6 ± %,3 ±,,8 ± %,7 ±,, ± % 87,5 ±,,5 ± % 7,3 ±,, ± % 53,7 ±,,5 ± % 46, ±,,4 ± % 9,8 ±,,5 ± % 4,6 ±, Im esonanzfall st: U = ( 7, ±,)mv U L = ( 3,7 ±,) V U = ( 3,7 ±,) V 6
b) für V = Ω ( µf) U (mv) U (mv),5 ± % 7, ±,,6 ± %,4 ±,,7 ± % 3,4 ±,,8 ± % 43,9 ±,,9 ± % 67, ±,,95 ± % 78,9 ±,,96 ± % 8,7 ±,,98 ± % 86,9 ±,, ± % 9,5 ±,,3 ± % 9, ±,,6 ± % 9,3 ±,,8 ± % 87, ±,, ± % 8,9 ±,,5 ± % 7, ±,, ± % 58,9 ±,,5 ± % 5, ±,,4 ± % 35,8 ±,,5 ± % 3, ±, Im esonanzfall st: U = (,6 ±,)V U L = ( 99,3 ±,) V U = ( 98,9 ±,) V 7
c) für V = 5Ω ( µf) U (mv) U (mv),5 ± % 5,6 ±,,6 ± %, ±,,7 ± % 6, ±,,8 ± % 35, ±,,9 ± % 46,3 ±,,95 ± % 5,4 ±,,96 ± % 5, ±,,98 ± % 5,6 ±,, ± % 53,7 ±,,3 ± % 54, ±,,4 ± % 54, ±,,6 ± % 53,8 ±,,8 ± % 53, ±,, ± % 5,4 ±,,5 ± % 48,3 ±,, ± % 43,4 ±,,5 ± % 4, ±,,4 ± % 3,3 ±,,5 ± % 6, ±, Im esonanzfall st: U = ( 3,9 ±,)V U L = ( 8,6 ±,) V U = ( 8,6 ±,) V 4. Bestmmung der Innenwderstände der Spulen Zur Bestmmung der Innenwderstände der beden Spulen wurden durch drekte Glechstrommessung des Stroms be ener angelegten Spannung vom 4 V. Es ergaben sch folgende Meßwerte: 8
a) große Spule: I = (,63±,)A b) klene Spule: I = (,89 ±,)A 4.3 Bestmmung der esonanzkurven für enen Parallelschwngkres Im Gegensatz zu der m Theoretel betrachteten Varaton der Frequenz ω zur Enstellung der esonanz, wrd m Versuch be ener fest vorgegebenen Frequenz f = Hz und ener Spannung von U = 5V de Kapaztät verändert. Im folgenden werden de Ergebnsse der Messungen der Effektvspannung Kapaztäten tabellarsch dargestellt. U be verschedenen a) für P = ( µf) U (mv) U (mv), ± % 39, ±,,5 ± % 8,3 ±,,5 ± % 6,9 ±,,6 ± % 5, ±,,75 ± % 3, ±,,8 ± % 3, ±,,83 ± % 3, ±,,853 ± % 3,3 ±,,953 ± % 3,8 ±,,33 ± % 5,3 ±,,43 ± % 6,8 ±,,5 ± % 48,3 ±, 9
b) für P = kω ( µf) U (mv) U (mv),5 ± % 49,4 ±,, ± % 38,9 ±,, ± % 7,8 ±,, ± % 3,8 ±,,5 ± % 8,5 ±,,7 ± % 6,6 ±,,8 ± % 6, ±,,9 ± % 7, ±,,3 ± % 7,9 ±,,3 ± % 9,3 ±,,33 ± %,9 ±,,38 ± % 3, ±, c) für P = kω ( µf) U (mv) U (mv),5 ± % 56,9 ±,,5 ± % 37,8 ±,,85 ± % 7,6 ±,,5 ± %, ±,,65 ± % 9,4 ±,,75 ± % 9, ±,,85 ± % 9, ±,,95 ± % 9,3 ±,,35 ± %,7 ±,,355 ± % 5, ±,,45 ± % 3,9 ±,,455 ± % 4, ±,
5. Auswertung 5. Bestmmung der Induktvtät L und des Verlustwderstandes aus dem Serenresonanzkres De Induktvtät L der Spule berechnet sch aus dem esonanzmaxmum. De esonanzfrequenz errechnet sch we n gezegt durch: ω = L L = ω Im unserer Stuaton st de Frequenz fest vorgegeben und de esonanz stellte sch durch Varaton der Kapaztät en. Setzt man n de obge Formel den Wert en für den der Strom maxmal wrd, so erhält man L. Der Verlustwderstand des Kreses berechnet sch aus der esonanzbrete, welche graphsch bestmmt wrd, der Kurve durch: = ω Da wr ene ehenschaltung vorlegen haben, setzt sch deser Verlustwderstand aus dem Innenwderstand der Spule und dem varablen Wderstand zusammen, d.h. = V + = V Aus den unter 4. aufgeführten Meßwerten ergeben sch folgende Ergebnsse: a) für = Ω : V In Dagramm st de esonanzkurve I = f(/) für den Fall = Ω gezechnet. De V Frequenz beträgt Hz, de anlegende Spannung U = V.
Dagramm : esonanzkurve des Serenschwngkreses be =Ω 8 6 4 Strom 8 I n ma 6 4 3 4 5 6 7 / n /µf esonanz legt für =,µ F ± % vor. Damt lassen sch de gesuchten Werte we oben beschreben berechnen: Es ergeben sch: L =,6H ± % Aus der esonanzbrete erhält man: = 366,Ω ±,5% = b) für = Ω : V In Dagramm st de esonanzkurve I = f(/) für den Fall = Ω gezechnet. V De Frequenz beträgt Hz, de anlegende Spannung U = V.
Dagramm : esonanzkurve des Serenschwngkreses be = Ω 4 Strom I n ma 8 6 4 5 3 35 4 45 5 55 6 65 7 / n /µf esonanz legt für =,3µ F ± % vor. Damt lassen sch de gesuchten Werte we oben beschreben berechnen: Es ergeben sch: L =,5H ± % Aus der esonanzbrete erhält man: = 549,Ω ± 4,3% Für den Innenwderstand folgt somt: = 349,Ω ± 4,3% 3
c) für = 5Ω : V In Dagramm 3 st de esonanzkurve I = f(/) für den Fall = 5Ω gezechnet. V De Frequenz beträgt Hz, de anlegende Spannung U = V. Dagramm 3: esonanzkurve des Serenschwngkreses be = 5 Ω 9 8 7 6 Strom I n ma 5 4 3 5 3 35 4 45 5 55 6 65 7 / n /µf esonanz legt für =,4µ F ± % vor. Es ergeben sch: L =,4H ± % Aus der esonanzbrete erhält man: = 843,5Ω ± 9,4% Für den Innenwderstand folgt somt: = 343,5Ω ± 9,4% 4
5. Berechnung Wderstände der Spulen Aus den n 4. angegebenen Werten lassen sch und mt Hlfe des ohmschen Gesetzes berechnen. Es ergeben sch: a) für de große Spule: U = = 38,Ω I ±,5% b) für de klene Spule: U = = 7,Ω I ±,% 5.3 Bestmmung der Induktvtät L, des Verlustwderstandes sowe des Innenwderstands der Spule aus dem Parallelresonanzkres De Induktvtät L der Spule berechnet sch aus dem esonanzmnmum. De esonanzfrequenz errechnet sch we n gezegt durch: ω = L L = ω Im unserer Stuaton st de Frequenz fest vorgegeben und de esonanz stellte sch durch Varaton der Kapaztät en. Setzt man n de obge Formel den Wert en für den der Strom mnmal wrd, so erhält man L. Der Verlustwderstand des Kreses berechnet sch aus der esonanzbrete, welche graphsch bestmmt wrd, der Kurve durch: 5
= ω Da wr ene Parallelschaltung we unter. beschreben vorlegen haben, setzt sch deser Verlustwderstand aus dem Innenwderstand der Spule und dem varablen Wderstand zusammen, d.h. p p ' = + ' p und schleßlch: p P P ' = P ω² L² = ' P Aus den unter 4.3 aufgeführten Meßwerten ergeben sch folgende Ergebnsse: a) für P = In Dagramm 4 st de esonanzkurve I = f() für den Fall Frequenz beträgt Hz, de anlegende Spannung U = V. = gezechnet. De P Dagramm 4: esonanzkurve des Parallelschwngkreses be = Ω 8 7 6 5 Strom I n ma 4 3,,,3,4,5,6 Kapaztät n µf 6
esonanz legt für =,83µ F ± % vor. Es ergeben sch: L =,9H ± % Aus der esonanzbrete erhält man: = 7957 Ω ±4,% Für den Innenwderstand folgt somt: = 4,Ω ± 6,% b) für P = kω In Dagramm 5 st de esonanzkurve I = f() für den Fall Frequenz beträgt Hz, de anlegende Spannung U = V. P = kω gezechnet. De Dagramm 5: esonanzkurve des Parallelschwngkreses be = kω 8 7 6 5 Strom I n ma 4 3,5,,5,,5,3,35,4,45 Kapaztät n µf 7
esonanz legt für =,8µ F ± % vor. Es ergeben sch: L =,9H ± % Aus der esonanzbrete erhält man: = 535 Ω ± 9,3% Für den Innenwderstand folgt somt: = 8,3Ω ±,6% c) für P = kω In Dagramm 6 st de esonanzkurve I = f() für den Fall P = kω gezechnet. De Frequenz beträgt Hz, de anlegende Spannung U = V. Dagramm 6: esonanzkurve des Parallelschwngkreses be =kω 9 8 7 6 Strom I n ma 5 4 3,5,,5,,5,3,35,4,45,5 Kapaztät n µf 8
esonanz legt für =,85µ F ± % vor. Es ergeben sch: L =,9H ± % Aus der esonanzbrete erhält man: = 768,3Ω ± 3,% Für den Innenwderstand folgt somt: =,Ω ± 8,% 5.4 Verglech der ermttelten Ergebnsse In den folgenden Tabellen werden de jewelgen Ergebnsse für de Innenwderstände der Spulen gegenübergestellt. a) große Spule Glechstrom- Serenresonanz Serenresonanz Serenresonanz messung V = Ω V = Ω V = 5Ω = 38,Ω,5% = 366,Ω ±,5% = 349,Ω ± 4,3% = 343,5Ω ± 9,4% ± b) klene Spule Glechstrom- Parallelresonanz Parallelresonanz Parallelresonanz messung V = V = kω V = kω = 7,Ω,% = 4,Ω ± 6,% = 8,3Ω ±,6% =,Ω ± 8,% ± 9
5.5 Verglech der gemessenen Spannungsabfälle m esonanzfall mt den aus der Güte berechneten Werten In der folgenden Tabelle werden de Werte für de Spannungsabfälle an Kondensator und Spule m esonanzfall verglchen, de sch aus den unter 4. angegebenen Meßwerten und aus der Güte des Schwngkreses ergeben. a) Spule = Ω = Ω = 5Ω Güte Q,6 ±,5% 4,3 ± 5,3% 9,3 ± 9,4% U berechnet 43,V ± 3,5% 8,6V ± 6,3% 8,5V ±,4% L U gemessen 3,7V ±,% 99,3V ±,% 8,6V ±,% L b) Kondensator = Ω = Ω = 5Ω Güte Q,6 ±,5% 4,3 ± 5,3% 9,3 ± 9,4% U berechnet 43,V ± 3,5% 8,6V ± 6,3% 8,5V ±,4% U gemessen 3,7V ±,% 98,6V ±,% 8,6V ±,% We man n beden Fällen ganz deutlch seht, stmmen de gemessenen und berechneten Werte für de Spannungsabfälle m esonanzfall überhaupt ncht überen. We des zu erklären st, wrd n der Dskusson erläutert.
6. Dskusson Be der abschleßenden Bewertung der Versuchsergebnsse st es notwendg, zwschen den Ergebnssen der enzelnen Versuchstele zu unterscheden. Zu den esultaten unter 5. also den Ergebnssen der Bestmmungen des Verlustwderstandes und der Induktvtät sowe des Innenwderstandes der Spule st zu bemerken, daß allen de Induktvtät L mt ener gerngen Ungenaugket behaftet st. Auch ergeben sch nur äußerst gernge Unterschede zwschen den aus den jewelgen Varatonen des äußeren Wderstandes entstehenden dre verschedenen Schwngkresen. Im Gegensatz dazu snd de beden jewels zu bestmmenden Wderstände mt ener recht großen Ungenaugket von bs zu % belastet. Zu erklären st des vor allem dadurch, daß be der Auswertung deser Größen graphsche Verfahren verwendet wurden und dese typscherwese ungenau snd. Der Innenwderstand der großen Spule varert auch je nach Schwngkres n enem Berech von etwa 3 Ω, d.h. das maxmale Ergebns für mnmalen. beträgt etwa 7 % des Verglecht man dese esultate zusätzlch noch mt dem Ergebns der Bestmmung des Innenwderstandes aus Glechstrommessung, so fällt auf, daß deser Wert nur nnerhalb der Fehlerbereche der Ergebnsse für de esonanzkrese mt bzw. = Ω legt. = Ω Man kann annehmen, daß de Glechstrommessung enen besseren Wert lefert als de Bestmmung aus dem Schwngkres. Setzt man somt voraus, daß der Wert, der sch aus der Glechstrommessung ergbt, der exakte st, so fällt auf, daß mt zunehmendem äußeren Wderstand des Schwngkreses de Unscherheten gernger werden, aber das egentlche Ergebns sch zunehmend von exakten Wert unterschedet. Für den Parallelresonanzkres glt ähnlches. Auch her snd abgesehen von der Induktvtät L alle bestmmten Größen mt verglechswese großen Unscherheten versehen.
Genau we bem Serenschwngkres schent de Genaugket gegenüber der Glechstrommessung gernger zu sen. De absoluten Abwechungen der Werte aus den esonanzkresen vonenander st etwa glech groß we de be der ehenschaltung, d.h. etwa Ω, allerdngs bedeutet, daß der maxmale Wert für den Innenwderstand etwa % des mnmalen darstellt! Auffällg st, daß nur der Parallelschwngkres mt enem Wderstand von k Ω en Ergebns lefert, dessen Unscherhet den Wert aus der Glechstrommessung benhaltet. Ene generelle Tendenz st auch, daß de Unscherheten der Ergebnsse mt zunehmendem gernger werden. Enem besonders unangenehmen Problem seht man sch gegenübergestellt, wenn man de m esonanzfall gemessenen Spannungsabfälle mt den berechneten Werten we n 5.5 geschehen verglecht. Es treten Unterschede der gemessenen Werte von den errechneten n Größenordnungen von grob gesagt 3 55% auf! Ene solche Abwechung st ncht allen durch unsauberes Arbeten oder ene fehlerhafte Protokollerung der Meßdaten zu erklären. Glücklcherwese sofern man n desem Zusammenhang davon sprechen kann gbt es ene möglche und auch plausble Erklärung für deses Phänomen. Während der Durchführung des Versuchs hat sch gezegt, daß der von uns verwendete Oszllograph fehlerhaft war. Das Gerät zegte Spannungswerte an, de enfach ncht nachvollzehbar und völlg absurd waren. Allerdngs wurde deser Oszllograph von uns zur Enstellung der festen Spannung U verwendet. Es st zu vermuten, daß obwohl das Gerät V anzegte, ncht dese Spannung an den esonanzkres angelegt war, sondern ene höhere. Des würde erklären, daß de errechneten Werte, de ja drekt mt der anlegenden Spannung zusammenhängen so stark von den auf andere Wese bestmmten abwechen. Es zegt sch, daß de berechneten und gemessenen Werte für de Spannungsabfälle dann überenstmmen würden, wenn de tatsächlch anlegende Spannung ncht V, sondern n etwa 6 V betragen würde.