Mathematik leicht gemacht von Hans Kreul, Harald Ziebarth überarbeitet Mathematik leicht gemacht Kreul / Ziebarth schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Harri Deutsch 2006 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 8171 1786 4
Inhaltsverzeichnis Hinweise zur Benutzung des Buches... 1 1 Zur Technik des Zahlenrechnens... 9 1.1 DerZahlbegriff... 9 1.1.1 DienatürlichenZahlen... 9 1.1.2 DasdekadischePositionssystem... 11 1.1.3 DasdualePositionssystem... 13 1.1.4 DasrömischeZahlensystem... 18 1.1.5 KonstanteundVariable... 20 1.2 DasRechnenmitZahlen... 22 1.2.1 Bezeichnungen...... 22 1.2.2 DieTeilbarkeitvonZahlen... 24 1.2.2.1 TeilereinerZahl... 24 1.2.2.2 Teilbarkeitsregeln... 25 1.2.2.3 Primzahlen... 28 1.2.2.4 DergrößtegemeinsameTeiler... 30 1.2.2.5 DaskleinstegemeinsameVielfache... 32 1.2.3 GewöhnlicheBrüche... 33 1.2.3.1 Begriffserklärungen.... 34 1.2.3.2 ErweiternundKürzenvonBrüchen... 35 1.2.3.3 Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche... 37 1.2.3.4 Multiplikation von Brüchen...... 39 1.2.3.5 DerKehrwerteinesBruches... 39 1.2.3.6 DivisionvonBrüchen... 41 1.2.3.7 Doppelbrüche.... 41 1.2.4 Dezimalbrüche... 43 1.2.4.1 Begriffserklärungen.... 43 1.2.4.2 Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen... 44 1.2.4.3 Multiplikation von Dezimalbrüchen.... 45 1.2.4.4 DivisionvonDezimalbrüchen... 46 1.2.4.5 UmwandlungvonBrüchen... 47 1.2.4.6 Das Runden von Dezimalbrüchen... 51 1.2.4.7 BruchoderDezimalzahl?... 54 1.2.4.8 GrößenvergleichvonBrüchen... 55 1.3 Rechenhilfsmittel... 66 1.3.1 Taschenrechner... 66 1.3.1.1 Grundrechenarten... 67 1.3.1.2 Eingeben, Editieren, Löschen..... 69 1.3.1.3 Werteabspeichern... 71 1.3.1.4 Termeberechnen... 73 1.3.1.5 Funktionentasten... 77 1.3.1.6 VerschiedeneArbeitsmodi... 80 1.3.1.7 KaufkriterienfüreinenTaschenrechner... 81 1.3.2 Tabellenkalkulation... 81 1.3.2.1 KurzeEinführunginExcel... 82 1.3.2.2 MathematikmitExcel... 83
x Inhaltsverzeichnis 1.3.3 Computeralgebrasystem... 84 1.3.3.1 Anwendungen für Derive... 84 1.3.4 Funktionenplotter... 84 2 Arithmetik... 89 2.1 DieRollederSpracheinderMathematik... 89 2.1.1 Allgemeine Bemerkungen... 89 2.1.2 AussagenundAussageformen... 89 2.1.3 Verknüpfung von Aussagen... 91 2.1.3.1 EinführendesBeispiel... 91 2.1.3.2 DieKonjunktion... 92 2.1.3.3 DieDisjunktion... 93 2.1.3.4 DieImplikation... 95 2.1.3.5 DieÄquivalenz... 97 2.2 Grundbegriffe der Mengenlehre...100 2.2.1 DerBegriffderMenge...100 2.2.2 Zahlenmengen...102 2.2.3 DieBeschreibungvonMengen...103 2.2.3.1 Mengenschreibweise...104 2.2.3.2 Intervallschreibweise...107 2.2.4 Mengenrelationen...108 2.2.4.1 Teilmengen...108 2.2.4.2 GleichheitzweierMengen...109 2.2.5 Mengenoperationen.... 110 2.2.5.1 Vereinigung von Mengen...110 2.2.5.2 DurchschnittvonMengen...112 2.2.5.3 DifferenzzweierMengen...115 2.3 DasRechnenmitVariablen...119 2.3.1 Die vier Grundrechenoperationen...119 2.3.1.1 Einfache Rechenoperationen mit Variablen...119 2.3.1.2 DienegativenZahlen...122 2.3.1.3 Addition und Subtraktion...126 2.3.1.4 Multiplikation...130 2.3.1.5 Division...132 2.3.2 DasRechnenmitalgebraischenSummen...134 2.3.2.1 ÜberdieBedeutungderKlammern...134 2.3.2.2 SetzenundAuflösenadditiverundsubtraktiverKlammern...135 2.3.2.3 Multiplikation von Klammerausdrücken...137 2.3.2.4 AusklammerngemeinsamerFaktoren...140 2.3.2.5 BinomischeFormeln...142 2.3.2.6 DieQuadratischeErgänzung...144 2.3.3 Bruchrechnung...... 147 2.3.3.1 ErweiternundKürzenvonBrüchen...147 2.3.3.2 Addition und Subtraktion von Brüchen....148 2.3.3.3 Multiplikation und Division von Brüchen...151 2.3.3.4 Doppelbrüche....152 2.4 Potenzrechnung...167 2.4.1 Begriffserklärungen...167
Inhaltsverzeichnis xi 2.4.2 Potenzgesetze...171 2.4.2.1 Addition und Subtraktion von Potenzen...171 2.4.2.2 Multiplikation von Potenzen...... 172 2.4.2.3 DivisionvonPotenzen...172 2.4.2.4 PotenziereneinerPotenz...174 2.4.2.5 Klammergesetze...175 2.4.3 ErsteErweiterungdesPotenzbegriffs...178 2.4.4 PotenzenvonBinomen...181 2.4.5 Polynomdivision..... 184 2.4.6 Ausklammern für Fortgeschrittene....189 2.4.7 Anwendungen der Potenzen...190 2.4.7.1 SchreibweiserationalerZahlenmithilfevonZehnerpotenzen...190 2.4.7.2 SchreibweisevonMaßeinheiten...191 2.4.8 ÜbersichtderPotenzgesetze...193 2.5 Wurzelrechnung...201 2.5.1 RadizierenalsersteUmkehrungdesPotenzierens...201 2.5.1.1 DerWurzelbegriff...201 2.5.1.2 Definitionsbereich und einschränkende Bedingungen.....205 2.5.1.3 Die Berechnung von Wurzelwerten...207 2.5.2 DiereellenZahlen...208 2.5.3 ZweiteErweiterungdesPotenzbegriffs...211 2.5.4 Wurzelgesetze...213 2.5.4.1 Addition und Subtraktion von Wurzeln....213 2.5.4.2 Multiplikation von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten...214 2.5.4.3 Teilradizieren...215 2.5.4.4 Division von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten....217 2.5.4.5 RationalmachendesNenners...218 2.5.4.6 RadizierenvonPotenzenundWurzeln...221 2.5.4.7 Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten...222 2.5.4.8 RückblickaufdiePotenz-unddieWurzelgesetze...223 2.6 Logarithmenrechnung...231 2.6.1 LogarithmierenalszweiteUmkehrungdesPotenzierens...231 2.6.1.1 DerLogarithmusbegriff...231 2.6.1.2 Logarithmengesetze...234 2.6.2 SpezielleLogarithmensysteme...236 2.6.2.1 DiedekadischenLogarithmen...237 2.6.2.2 DienatürlichenLogarithmen...238 2.6.2.3 DiedualenLogarithmen...239 2.6.2.4 WeitereLogarithmensysteme...240 2.6.3 Zusammenfassung...241 3 Algebra...247 3.1 Lineare Gleichungen und Ungleichungen...247 3.1.1 Vorbemerkungen und Begriffserklärungen...247 3.1.1.1 Definitionsbereich...247 3.1.1.2 Gleichungen.... 250 3.1.1.3 Ungleichungen...253 3.1.2 Umformung von Gleichungen....254 3.1.2.1 Äquivalente Umformung von Gleichungen...254
xii Inhaltsverzeichnis 3.1.2.2 Nichtäquivalente Umformung von Gleichungen....256 3.1.2.3 Elektronische Hilfsmittel beim Lösen von Gleichungen...259 3.1.3 Lösung linearer Gleichungen mit einer Variablen....261 3.1.3.1 Begriffserklärungen.... 261 3.1.3.2 Einfache lineare Gleichungen..... 262 3.1.3.3 Gleichungen mit Klammerausdrücken...264 3.1.3.4 Bruchgleichungen...265 3.1.3.5 Wurzelgleichungen...266 3.1.3.6 Gleichungen mit eingeschränktem Definitionsbereich.....269 3.1.3.7 DasUmstellenvonFormeln...270 3.1.3.8 Anwendungen...271 3.1.3.9 Schlussbemerkungen...277 3.1.4 Das Rechnen mit Ungleichungen....278 3.1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen...283 3.2 Proportionen...290 3.2.1 Begriffserklärungen...290 3.2.2 Rechengesetze für Proportionen...292 3.2.3 Fortlaufende Proportionen...294 3.2.4 Direkte Proportionalität...295 3.2.5 Indirekte Proportionalität...296 3.2.6 Proportionen als Gleichungen....297 3.3 Prozentrechnung.... 301 3.3.1 Grundbegriffe...... 301 3.3.2 Berechnung des Prozentsatzes...302 3.3.3 Berechnung des Prozentwertes...302 3.3.4 Berechnung des Grundwertes...303 3.3.5 Promillerechnung.... 308 3.3.6 Zinsrechnung...309 3.3.7 Zinseszinsrechnung.... 311 3.4 Lineare Gleichungssysteme...315 3.4.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen...315 3.4.2 Lösungsverfahren für LGS mit zwei Variablen...317 3.4.2.1 Das Einsetzungsverfahren...317 3.4.2.2 Das Gleichsetzungsverfahren..... 318 3.4.2.3 DasAdditionsverfahren...319 3.4.2.4 Bemerkungen zu den drei Lösungsverfahren...319 3.4.2.5 Die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen... 320 3.4.2.6 Schwierigere Gleichungssysteme.... 322 3.4.3 LGSmitdreiundmehrVariablen...327 3.4.3.1 Begriffserklärungen.... 327 3.4.3.2 Lösungsverfahren für LGS mit drei und mehr Variablen...328 3.4.4 LGS mit elektronischen Hilfsmitteln lösen...335 3.4.4.1 Taschenrechner...335 3.4.4.2 CAS...336 3.5 Quadratische Gleichungen.... 341 3.5.1 Begriffserklärungen...341 3.5.2 Spezielle Formen der quadratischen Gleichung...344 3.5.2.1 Die reinquadratische Gleichung....344 3.5.2.2 Die gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied...346
Inhaltsverzeichnis xiii 3.5.3 Die Normalform der quadratischen Gleichung....347 3.5.3.1 Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen...347 3.5.3.2 Die Lösung der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung... 351 3.5.4 Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer quadratischen Gleichung...353 3.5.4.1 DieDiskriminante...353 3.5.4.2 Der Wurzelsatz von VIETA...353 3.5.4.3 Die Produktform quadratischer Terme...355 4 Funktionen...363 4.1 Begriffsbestimmungen....... 363 4.1.1 Der Begriff der Abbildung...363 4.1.2 DerBegriffderFunktion...365 4.2 ArtenderDarstellungvonFunktionen...368 4.2.1 DarstellungeinerFunktiondurchdieAngabedergeordnetenPaare...368 4.2.2 DarstellungeinerFunktiondurcheineWertetabelle...369 4.2.3 DarstellungeinerFunktiondurchGraphen...369 4.2.4 Darstellung einer Funktion durch wörtliche Formulierung der Zuordnungsvorschrift.... 370 4.2.5 DarstellungeinerFunktiondurchmathematischeRelationen...371 4.2.6 DarstellungeinerFunktiondurcheineKurve...372 4.2.6.1 DasrechtwinkligeKoordinatensystem...372 4.2.6.2 DarstellungvonFunktioneninFormvonKurven...375 4.2.6.3 Grafische Darstellung von Funktionen, die nicht von vornherein alskurvengegebensind...377 4.2.6.4 Zusammenhänge zwischen der Gleichung einer Funktion und derzugehörigenkurve...381 4.2.6.5 Schnittpunkt zweier Kurven...... 383 4.3 WichtigeEigenschaftenvonFunktionen...386 4.3.1 Monotonie.... 386 4.3.2 Stetigkeit...387 4.3.3 GeradeFunktionen...388 4.3.4 UngeradeFunktionen...389 4.3.5 Schnittpunkte mit den Achsen....390 4.4 LineareFunktionen...392 4.4.1 Vorbemerkungen.... 392 4.4.2 Begriffserklärungen...392 4.4.3 Die Funktion y = mx...393 4.4.4 Die Funktion y = mx + b...395 4.4.5 GrafischeDarstellungderlinearenFunktion...396 4.4.6 Grafische Lösung linearer Gleichungen und linearer Gleichungssysteme mitzweivariablen...397 4.5 QuadratischeFunktionen...400 4.5.1 Begriffserklärungen...400 4.5.2 Die quadratische Funktion y = x 2...400 4.5.3 Die quadratische Funktion y = x 2 + q...401 4.5.4 Die quadratische Funktion y = x 2 + px + q...402 4.5.5 Grafische Lösung quadratischer Gleichungen...405 4.5.6 Die allgemeine quadratische Funktion y = ax 2 + bx+ c...406
xiv Inhaltsverzeichnis 4.6 Potenzfunktionen...409 4.6.1 y = x n für ganzzahliges positives n...409 4.6.2 Die Potenzfunktion y = x 0...411 4.6.3 y = x n für ganzzahliges negatives n...411 4.6.4 y = x a für gebrochene Werte von n...413 4.7 WichtigetranszendenteFunktionen...415 4.7.1 Die Exponentialfunktionen.... 415 4.7.2 DielogarithmischenFunktionen...416 5 Planimetrie...419 5.1 Grundbegriffe der Geometrie...419 5.2 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Winkeln....422 5.2.1 ParalleleGeraden...422 5.2.2 SchnittzweierGeraden...422 5.2.3 WinkelanParallelen...423 5.3 Symmetrie...424 5.3.1 AxialeSymmetrie...424 5.3.2 ZentraleSymmetrie...425 5.3.3 Geometrische Grundkonstruktionen.... 426 5.3.4 Punktmengen.......428 5.4 DasDreieck...430 5.4.1 AllgemeinesDreieck...430 5.4.2 SpezielleDreiecke...432 5.4.3 Dreieckstransversalen und deren Schnittpunkte...433 5.5 DasViereck...436 5.5.1 AllgemeinesViereck...436 5.5.2 SpezielleVierecke...437 5.6 DasVieleck...440 5.6.1 UnregelmäßigesVieleck...440 5.6.2 RegelmäßigeVielecke...440 5.7 Kongruenz....441 5.7.1 Was ist Kongruenz?....441 5.7.2 Kongruenz von Dreiecken...441 5.8 Ähnlichkeit...444 5.8.1 ÄhnlichkeitimAllgemeinen...444 5.8.2 ÄhnlichkeitvonDreiecken...445 5.8.3 Strahlensätze...446 5.9 DasrechtwinkligeDreieck...450 5.10 StreckenundWinkelamKreis...458 5.10.1 KreisundGerade...458 5.10.2 WinkelamKreis...460 5.10.3 ÄhnlichkeitamKreis...463 5.10.4 DerGoldeneSchnitt...465 5.11 Berechnung von Flächen und Umfängen...468 5.11.1 Vierecke...468 5.11.2 Dreiecke...470 5.11.3 UnregelmäßigeVielecke...471 5.11.4 RegelmäßigeVielecke...472
Inhaltsverzeichnis xv 5.11.5 KreisundKreisteile...473 5.11.6 UmfangundFlächeninhaltähnlicherFlächen...478 6 Goniometrie...497 6.1 DasBogenmaß...497 6.2 Winkelfunktionen...499 6.2.1 Definition der Winkelfunktionen...499 6.2.2 KurvenbilderderWinkelfunktionen...502 6.2.3 DieZahlenwertederWinkelfunktionen...506 6.2.4 DieUmkehrungderWinkelfunktionen...509 6.2.5 Elementare Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen...513 6.3 Trigonometrie...516 6.3.1 DieWinkelfunktionenamrechtwinkligenDreieck...517 6.3.2 SätzeüberbeliebigeDreiecke...523 6.3.2.1 DerSinussatz...523 6.3.2.2 DieFlächenformelfürDreiecke...525 6.3.2.3 DerKosinussatz...525 6.3.3 Die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke...526 6.4 Additionstheoreme...534 6.5 Goniometrische Gleichungen...539 7 Stereometrie...545 7.1 EinteilungderKörper...545 7.1.1 Ebenflächner...545 7.1.2 Krummflächner...548 7.2 DarstellungvonKörpern...552 7.2.1 Mehrtafelprojektion...552 7.2.2 Axonometrische Projektion...553 7.2.2.1 IsometrischeProjektion...553 7.2.2.2 DimetrischeProjektion...555 7.3 Körperberechnung...556 7.3.1 Berechnungsgrundlagen.... 556 7.3.2 Ebenflächner...556 7.3.2.1 QuaderundWürfel...556 7.3.2.2 GeradesPrisma...561 7.3.2.3 Satz des CAVALIERI...565 7.3.2.4 Pyramide...567 7.3.2.5 Pyramidenstumpf...571 7.3.3 Krummflächner...575 7.3.3.1 Kreiszylinder...575 7.3.3.2 Kegel...583 7.3.3.3 Kegelstumpf...588 7.3.3.4 KugelundKugelteile...593 7.3.4 Die GULDIN schenregeln...612 Anhang Mathematische Zeichen...621 Lösungen...627 Sachwortverzeichnis...701