Lösungslatt 11 echanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt (WS7/8 Wolfgang v. Soden (wolfgang.soden@uni-ulm.de 15. 1. 8 7 Quader-Anordnung (5P Aufgae Zwei gröÿere Quader mit Kantenlängen (a,,c zw. (e,f,g sind durch einen dritten Quader, einen Sta der Länge p mit uadratischem Querschnitt (Fläche, verunden. Entsprechende Flächen dieser drei Quader sollen zueinander parallel sein. Der Quader 1 (a,,c und der Verindungssta haen eine Ecke und zwei Kanten gemeinsam, wohingegen die Längssymmetrieachse des Verindungsstaes gleichzeitig eine Symmetrieachse des Quaders (e,f,g ildet. Alle Quader estehen aus demselen homogenen aterial der Dichte ρ. Aildung 1: Quader- und Achsenanordnung 1. Schwerpunkt (P a Wo endet sich der Schwerpunkt dieser Anordnung? Zeige hier konkret, dass der Schwerpunkt so deniert ist, dass sich für ihn in einem Schwerefeld die Drehmomente infolge der Gewichte der Einzeluader exakt kompensieren.. Berechne das Trägheitsmoment dieser Anordnung ohne ithilfe des Steinerschen Satzes für folgende Drechachsen (P: Lösungslatt 11 vom 15. 1. 8 1 c 7-8 University of Ulm, W. v. Soden
Lösungslatt 11 echanik WS 7-8 a die (Längs-Symmetrieachse des Staes eine dazu senkrechte Achse, die parallel zu einer der Quaderächen ist, durch den ittelpunkt der Stauerschnittsäche geht und den Sta im Verhältnis p 1 /p 1 teilt. Bringe die Ergenisse der Teilaufgae in eine Form, in der der Steinersche Satz für diese Anordnung direkt alesar ist. Lösung 1. Schwerpunkt a Der Schwerpunkt eines homogen mit asse konstanter Dichte gefüllten Quaders e- ndet sich in dessen ittelpunkt. Den Gesamtschwerpunkt mehrerer Quader erhält man aus der Anordnung der ittelpunkte der Quader als assenpunkte mit der jeweils etreenden asse der Quader. Der Koordinatenursprung wird für die Berechnung des Schwerpunktes in den Schnittpunkt der eiden Drehachsen gelegt, die x-achse liegt in Richtung des Staes (1. Drehachse und zeigt zum Quader, die z-achse liegt in der. Drehachse und zeigt nach oen (in Aildung und die y-achse ist zu eiden senkrecht (zeigt nach hinten. Die Anordnung der Quader soll so sein, wie in der Aildung gegeen. Die Dichte der Quader sei ρ. Die asse des Quaders 1 und die Koordinaten seines Schwerpunkts ergeen sich zu: m 1 ρac, s 1 x 1 y 1 z 1 p 1 a + c (7.1 Die asse des Quaders und die Koordinaten seines Schwerpunkts ergeen sich zu: x p + e m ρefg, s y (7. z Die asse des Staes und die Koordinaten seines Schwerpunkts ergeen sich zu: x p 1 + p m ρp, s y (7. z Für den Schwerpunkt gilt, mit s als dessen Ort, s i m is i i m i Hier müssen die Daten der drei Quader aufsummiert werden. x s s y s m 1s 1 + m s + m s m z 1 + m + m s 1 ac + efg + p ac( a + p 1 + efg(p + e p (p 1 p ac( ac( c (7. (7.5 Lösungslatt 11 vom 15. 1. 8 c 7-8 University of Ulm, W. v. Soden
Lösungslatt 11 echanik WS 7-8 Das Schwerefeld soll (hier frei gewählt in die y-richtung zeigen, also g Die Kraft infolge des Gewichts der Einzeluader wirkt so, wie wenn die Quadermassen in den jeweiligen assenmittelpunkten mit den Koordinaten s i vereinigt wären. Ein Drehmoment ezüglich eines Punktes r ergit sich daher aus der Summe der Drehmomente infolge der Gewichtskräfte der Quader: es erechnet sich zu T i (r s i m i g. Für den Schwerpunkt s der Gesamtanordnung wird somit das Drehmoment g. T i (s s i m i g (m 1 (s s 1 + m (s s + m (s s g ((m 1 + m + m s (m 1 s 1 + m s + m s g (7.6 it dem in (7.5 verwendeten Ausdruck für die Schwerpunktskoordinaten, der aus der allgemeinen Denition in (7. gewonnen wurde, ergit sich aus (7.6 nun [ T (m 1 + m + m m ] 1s 1 + m s + m s (m 1 s 1 + m s + m s g m 1 + m + m [(m 1 s 1 + m s + m s (m 1 s 1 + m s + m s ] g (7.7 Auf den Schwerpunkt wirkt also kein Drehmoment infolge der Teilgewichte, unahängig von der Ausrichtung des Schwerefeldes.. Das Trägheitsmoment ist deniert üer die Summe aller assenteile multipliziert mit dem Quadrat deren Astand r zur Drehachse I r dm (7.8 a Drehachse ist im Verindungssta: Der Quader (asse m und der Verindungssta (asse m haen die Drehachse als Symmetrieachse, weshal das Trägheitsmoment jeweils das eines Quaders mit etreender Achse ist: I + I m f + g 1 + m + 1 Für den Quader 1 muss gemäÿ (7.8 das Trägheitsmoment erechnet werden: c / / I 1 r dm (y + z ρdxdydz z / y / x a p 1 c / / c / y ρa (y + z / dydz ρa z / y / / + yz dz / c / ( ( ρa + ( + ( / + z dz ( c / ρa + + z dz / c / ρa / + + z dz ρa + z + z c / z / (7.9 Lösungslatt 11 vom 15. 1. 8 c 7-8 University of Ulm, W. v. Soden
Lösungslatt 11 echanik WS 7-8 I 1 ρa ρa [ ( [ ( + + (c + + (c + c + (c c + c ] ( ρac + + c c + ( m 1 1 + + + c 1 + c c + ( + c m 1 + ( 1 + ( c ] (7.1 Die Aufspaltung in der vorletzten Zeile von 1/ 1/1 + 1/ dient zum Erkennen des Trägheitsmomentes des Quaders und der Verschieung des Schwerpunktes von der Drehachse (Steiner. (7.9 und (7.1 zusammengefasst git das Trägheitsmoment für Achse 1: ( + c I m 1 1 + ( + ( c + m f + g 1 + m + 1 (7.11 Dieser Ausdruck lässt erkennen die Trägheitsmomente aller Quader und ei Quader 1 die zusätzliche Verschieung des Quaderschwerpunktes von der Drehachse (Steiner. Drehachse senkrecht zum Verindungssta, versetzt aus Stamitte: Hier muss für alle drei Quader gemäÿ (7.8 vorgegangen werden. Zuerst ei Quader 1: / c / I 1 r dm (x + y ρdzdydx ρc ρc x a p 1 a p 1 ρc a p 1 x a p 1 / y / y / ( ( + ( ( + z / (x + y dydx ρc a p 1 + ( + x dx + x dx y + yx dx / y / ρc a p 1 + + x dx ρc + x + x p 1 x a p 1 [ ρc + ( p 1 ( a p 1 + ( p 1 ( a p 1 ] [ ρc + a + a + a p 1 + ap ] 1 ρac + + a + ap 1 + p 1 m 1 1 + + + a 1 + a + ap 1 + p 1 ( + a m 1 + ( 1 + ( a + p 1 (7.1 Lösungslatt 11 vom 15. 1. 8 c 7-8 University of Ulm, W. v. Soden
Lösungslatt 11 echanik WS 7-8 5 Die Aufspaltung im vorletzten Schritt von 1/ 1/1 + 1/ dient wie oen zum Erkennen des Trägheitsmomentes des Quaders und der Verschieung des Schwerpunktes von der Drehachse (Steiner. Für den Quader ergit sich das Trägheitsmoment zu e+p f/ g/ I r dm (x + y ρdzdydx xp e+p f/ y f/ z g/ e+p y ρg (x + y f/ dydx ρ xp y f/ p + yx dx f/ p+p ( f ρg + ( f + ( f p + f e+p f x dx ρg p 1 + fx dx ρfg f 1 x + x e+p ( f ρfg xp 1 (e + p p + (e + p (p ( f ρfg 1 e + e + e p + ep f ρefg 1 + e ep + p ( f m 1 + e 1 + e e + ep + p + f m + ( e 1 + p (7.1 Die Aufspaltung im vorletzten Schritt von 1/ 1/1 + 1/ dient wie oen zum Erkennen des Trägheitsmomentes des Quaders und der Verschieung des Schwerpunktes von der Drehachse (Steiner. Für den Verindungssta ergit sich das Trägheitsmoment zu p p1 / / I r dm (x + y ρdzdydx p p1 x p 1 / y / z / p p1 y ρ (x + y / dydx ρ x p 1 y / p 1 + yx dx / p p1 ( ( ρ + ( + ( p 1 + p p1 x dx ρ p 1 1 + x dx ρ 1 x + x p p 1 [ ρ x p 1 1 (p p 1 ( p 1 + (p p 1 ( p 1 ] [ ρ 1 p + p p p 1 + pp ] 1 ρp 1 + p pp 1 + p 1 ( m 1 + p 1 + p pp 1 + p + p 1 m + ( p 1 p 1 (7.1 Die Aufspaltung im vorletzten Schritt von 1/ 1/1 + 1/ dient wie oen zum Erkennen des Trägheitsmomentes des Quaders und der Verschieung des Schwerpunktes von der Drehachse (Steiner. (7.1 is (7.1 zusammengefasst ergit das Trägheitsmoment der Quaderanordnung ei der. Drehachse zu: ( I + a m 1 + ( 1 + ( a + p 1 + ( e + f + m + ( e ( 1 + p + p + m + ( p 1 p 1 (7.15 Dieser Ausdruck git die Trägheitsmomente der Quader und die zusätzlichen Verschieungen der Quaderschwerpunkte von der Drehachse wieder (Satz von Steiner. Lösungslatt 11 vom 15. 1. 8 5 c 7-8 University of Ulm, W. v. Soden
Lösungslatt 11 echanik WS 7-8 6. Die Ergenisse der Trägheitsmomente wurden schon wie gewünscht dargestellt. 71 Halkugel (P Aufgae Eine Kugel (konstanter Dichte mit Radius R wird durch einen eenen Schnitt haliert. Berechne das Trägheitsmoment dieser so entstandenen Halkugeln für Drehachsen, die durch den ittelpunkt der ursprünglichen Kugel gehen und 1. senkrecht auf der Schnittäche stehen.. in der Schnittäche liegen. Lösung Einfachster und schnellster Lösungsweg: Das Trägheitsmoment einer Vollkugel eträgt: J 5 R (71.1 Hier liegen jeweils zwei Viertelkugeln vor, die Achsen gehen immer durch den ursprünglichen Kugelmittelpunkt. In den eiden Fällen sind diese Viertelkugeln allerdings zueinander räumlich verschieden angeordnet, aer das ist für das Trägheitsmoment ohne Bedeutung, da üer dessen Einzeleiträge ohne Relevanz der Reihenfolge aufsummiert wird. Das Ergenis ist deshal in eiden Fällen: J Halkugel 1 5 R (71. Der Vollständigkeit haler wird hier aer das Trägheitsmoment einer Halkugel mit der Achse senkrecht zur Schnittäche durchgerechnet: Das Trägheitsmoment erechnet sich aus J d dm (71. woei üer alle assenstücke integriert werden muss; der Vorfaktor daei ist der uadrierte jeweilige Astand d zur Drehachse. Als erstes muss festgelegt werden, o das Prolem in kartesischen, in Zylinder- oder Kugel- Koordinaten erechnet werden soll. Hier werden Zylinderkoordinaten r,φ,z gewählt. Das Volumenelement in diesen ist dv rdrdφdz. Die Integrationsgrenzen für den Winkel φ sind und π, für die z-koordinate und R Kugelradius und für r, den Astand zur z-achse (Drehachse, und r 1 R z. Letzteres eschreit den Viertelkreis an der Halkugelauÿenäche in Ahängigkeit von der Höhe z üer der Grundäche. Das Trägheitsmoment kann nun erechnet werden zu: R r1 π J r dm ρ r dv ρ r rdφdrdz (71. V Die Integration üer φ liefert den Faktor π. Auch üer r zu Integrieren ist leicht: R r1 R J πρ r r r rdrdz πρ dz 1 R r 1 πρ R πρ dz (R z dz (71.5 z r Nun fehlt noch die Integration üer z: J πρ R (R z dz πρ R r z r φ (R R z + z dz πρ (R z R z + z5 5 πρ (R R R R + R5 5 πρ R5 (1 + 1 5 πρ R 1 5 R 1 5 R (71.6 R z Lösungslatt 11 vom 15. 1. 8 6 c 7-8 University of Ulm, W. v. Soden
Lösungslatt 11 echanik WS 7-8 7 Dies ist das erwartete Ergenis für die Teilaufgae 1. Die Lösung der Teilaufgae erfolgt üer die Argumentation oen oder üer eine entsprechende Integration wie in (71. - 71.6 mit angepassten Integrationsgrenzen (z R is +R, r is r 1 R z, φ is π, was zum identische Ergenis führt. 7 Hohlkugel (1P Aufgae Berechne das Trägheitsmoment einer Hohlkugel (konstanter Dichte mit Auÿenradius R a und Innenradius R i < R a für eine Drehachse, die durch den ittelpunkt der Hohlkugel geht. Lösung Das Trägheitsmoment einer Vollkugel eträgt: J 5 R (7.1 Das Trägheitsmoment einer Hohlkugel ist, da dieses eine integrale Gröÿe üer alle assenteile des etrachteten Körpers ist, die Dierenz der Trägheitsmomente einer Vollkugel mit einem Radius gleich dem Auÿenradius R a der Hohlkugel und einer kleineren Vollkugel mit Radius gleich dem Innenradius R i der Hohlkugel. Hierei muÿ noch das Volumen der Kugeln üer deren Radius und Dichte ρ dargestellt werden. Es ergit sich also: J 5 ar a 5 ir i 5 ρπ ( R 5 a R 5 i (7. Wenn noch die asse der Hohlkugel ρv ρ π (R a Ri im Endergenis stehen soll, so ergit sich J 5 ρπ ( R 5 a Ri 5 5 R5 a Ri 5 Ra Ri (7. 7 Trägheitsmoment einer Hantel (1P Aufgae Zwei Kugeln mit Radius r 1 r 5cm sind durch einen dünnen Sta verunden, dessen asse gegenüer der asse der Kugeln vernachlässigt werden kann. Der Astand der Kugelmittelpunkte ist,5m, die Kugelmassen etragen 1kg. Gesucht ist 1. das Trägheitsmoment dieses Systems für eine Drehachse, die mit einer ittelsenkrechten des Staes zusammenfällt. das Trägheitsmoment dieses Systems ei gleicher Drehachse, wenn die Kugeln durch assenpunkte der gleichen asse am Ort der Kugelmittelpunkte genähert werden. der relative Fehler, der durch die Näherung in Teilaufgae gemacht wird. das Trägheitsmoment dieses Systems für eine Drehachse, die durch eide Kugelmittelpunkte geht Lösung Das Trägheitsmoment einer Vollkugel eträgt: J 5 R (7.1 Lösungslatt 11 vom 15. 1. 8 7 c 7-8 University of Ulm, W. v. Soden
Lösungslatt 11 echanik WS 7-8 8 Für eine Drehachse nicht durch die Kugelmittelpunkte, also im Astand d dazu, ergit sich mit dem Satz von Steiner das Trägheitsmoment einer Kugel zu J 5 R + d 5 R + d (7. Die Fragen der Aufgae ergeen damit: 1. Achse ist ittelsenkrechte, Astand der Kugelmittelpunkte ist a: J 1 5 R + a (7.. mit Näherung Kugeln sind assenpunkte: J 1 a (7.. relativer Fehler durch Näherung: δ 1 J 1 J J 5 R + a 1 a 1 a it den Zahlenwerten aus der Aufgaenstellung ergit sich δ 1,16. 8R 5a (7.5. Achse durch Kugelmittelpunkte: Trägheitsmoment der Einzelkugeln ist maÿgeend J 5 R (7.6 Das Verhältnis dieses Trägheitsmomentes zum Trägheitsmoment für die andere Drehachse ist wieder δ J J,16. Bei einer linearen Anordnung von ausgedehnten assen ist also das Trägheitsmoment für eine Achse, die durch diese assen geht, sehr viel kleiner als ei einer, die senkrecht dazu verläuft. Lösungslatt 11 vom 15. 1. 8 8 c 7-8 University of Ulm, W. v. Soden