Einführung in die Mathematik

Eiführug i die Mathematik Fraz Hofbauer Leo Summerer Eie Vorlesug für das Lehramtstudium

Ihaltsverzeichis Kapitel 1. Mege ud Fuktioe 1 1. Mege 1 2. Die atürliche Zahle 3 3. Variable, Summe, Idices 4 4. Fuktioe 7 5. Beweise (Logik) 10 6. Vollstädige Iduktio 12 7. Biomialkoeffiziet ud biomischer Lehrsatz 13 8. Abzählbarkeit 14 Kapitel 2. Die gaze Zahle 17 1. Erweiterug der atürliche Zahle 17 2. Gruppe, Rige, Körper 19 3. Divisio mit Rest ud Euklidischer Algorithmus 21 4. Primzahle 24 Kapitel 3. Ratioale ud reelle Zahle 29 1. Brüche 29 2. Die Zahlegerade 30 3. Umreche der Brüche i Dezimalzahle 31 4. Ordugsrelatio ud Ugleichuge 33 5. Idirekter Beweis 35 6. Komplexe Zahle 36 Kapitel 4. Restklasse 39 1. Äquivalezrelatioe 39 2. Restklasse modulo m 40 Kapitel 5. Polyome 43 1. Der Rig der Polyome 43 2. Polyome über Körper 44 3. Zerlegug vo Polyome 47

KAPITEL 1 Mege ud Fuktioe 1. Mege Eie Mege ist eie Zusammefassug vo Objekte, wobei jedes Objekt ur eimal vorkommt. Diese Objekte et ma die Elemete der Mege. Ma schreibt sie i geschwugee Klammer, zum Beispiel {a, b, u, r}. Die Reihefolge, i der ma die Elemete der Mege aufschreibt, ist egal. Teilmege. Eie Mege, die kei Elemet ethält, et ma die leere Mege ud bezeichet sie mit. Defiitio. Ist x ei Elemet eier Mege M, da schreibt ma x M. Ist x kei Elemet der Mege M, da schreibt ma x / M. Ma et A eie Teilmege der Mege B, we jedes Elemet vo A auch Elemet vo B ist. Ma schreibt A B. Machmal schreibt ma astelle vo, jedoch ka mit A B auch gemeit sei, dass A eie strikte Teilmege vo B ist, das heißt eie Teilmege, die icht gleich B ist. Dafür gibt es auch die Schreibweise A B. Beispiel. Sei B = {1, 2, 3, 4, 5}. Die zweielemetige Teilmege der Mege B sid {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}. Ma ka die Teilmege eier Mege ebefalls zu eier Mege zusammefasse. Defiitio. Sei M eie Mege. Die Mege aller Teilmege vo M et ma die Potezmege vo M. Wir bezeiche sie mit P(M). Ma ka diese Defiitio auch so aufschreibe: P(M) = {A : A M}. Beispiel. Sei M = {a, b, c, d}. Die Potezmege P(M) vo M ist {, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d} }. Durchschitt ud Vereiigug. Aus Mege ka ma eue Mege bilde. Wir führe die wichtigste dieser Megeoperatioe ei. Defiitio. Seie A ud B Mege. Der Durchschitt A B ist die Mege aller Elemete, die sowohl i A als auch i B liege. Die Vereiigug A B ist die Mege aller Elemete, die i A oder i B (oder i beide Mege) liege. Die Differezmege A \ B ist die Mege aller Elemete, die i A, aber icht i B liege. Ma ka diese Defiitioe auch so aufschreibe: A B = {x : x A ud x B}, A B = {x : x A oder x B}, A \ B = {x : x A ud x / B}. Beispiel. A = {2, 3, 5, 7, 11, 13} ud B = {1, 2, 3, 5, 8, 13}. Da A B = {2, 3, 5, 13}, A B = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 11, 13} ud A \ B = {7, 11}. Satz 1. Seie A, B ud C Mege. Da gilt A B = B A ud A B = B A (Kommutativgesetze) (A B) C = A (B C) ud (A B) C = A (B C) (Assoziativgesetze) 1

2 1. MENGEN UND FUNKTIONEN Beweis. folgt sofort aus der Defiitio. Die Assoziativgesetze erlaube das klammerfreie Aufschreibe vo Vereiigug ud Durchschitt beliebig vieler Mege. Satz 2. Seie A, B ud C Mege. Da gelte die Distributivgesetze (A B) C = (A C) (B C) ud (A B) C = (A C) (B C) Beweis. Für ei Elemet x gibt es die beide Möglichkeite x A ud x / A. Dasselbe gilt auch für die Mege B ud C. Isgesamt ergibt das acht Möglichkeite. Diese sid i de erste drei Spalte der folgede Tabelle agegebe. Die adere Spalte folge da daraus mit Hilfe der Defiitio vo Durchschitt ud Vereiigug A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) x x x x x x x x x x x / x x / x / x / x / x x / x x x x x / x x x / x / x x / x / x / x / x / x x x x x / x x x / x x / x x / x / x / x / x / x / x x / x / x / x / x / x / x / x / x / x / x / x / x / I alle Fälle gilt x (A B) C geau da, we x (A C) (B C) gilt. Damit ist (A B) C = (A C) (B C) gezeigt. Geauso zeigt ma (A B) C = (A C) (B C). Komplemetärmege. Wir führe eie Grudmege (Uiversalmege) ei, die wir Ω ee. (Diese Bezeichug stammt aus der Stochastik.) Alle Mege, die wir betrachte, sid Teilmege vo Ω. Da ka ma das Komplemet eier Mege defiiere. Defiitio. Sei M eie Mege, die i Ω ethalte ist. Das Komplemet der Mege M (bezüglich Ω) ethält alle Elemete vo Ω, die icht i A liege. Es wird mit M bezeichet. Ma ka diese Defiitio auch so aufschreibe: M = {x Ω : x / M}. Es gilt M = Ω \ M. Satz 3. Seie A, B ud C Teilmege vo Ω. Da gelte die de Morgasche Regel (A B) = A B ud (A B) = A B Beweis. Wir führe eie Tabellebeweis A B A B (A B) A B A B x x x x / x / x / x / x x / x x / x / x x / x / x x x / x x / x / x / x / x / x x x x I alle Fälle gilt x (A B) geau da, we x A B gilt. Damit ist (A B) = A B gezeigt. Geauso zeigt ma (A B) = A B. Produktmege. Eie adere Art, Mege zu verküpfe, ist die Produktmege. Defiitio. Sid A ud B Mege, da defiiert ma das Megeprodukt A B als Mege aller Paare (a, b) mit a A ud b B, das heißt A B = {(a, b) : a A, b B} Aalog defiiert ma A B C = {(a, b, c) : a A, b B, c C}.

2. DIE NATÜRLICHEN ZAHLEN 3 Es ist darauf zu achte, dass ei Paar (a, b) oder ei Tripel (a, b, c) im Gegesatz zu eier Mege geordet ist ud auch gleiche Elemete ethalte ka. Es gilt (a, b) (b, a), aber {a, b} = {b, a}. Außerdem ka ma das Paar (a, a) bilde, aber icht die Mege {a, a}. Beispiel. Sei A = {1, 2} ud B = {p, q}. Da gilt A B = {(1, p), (2, p), (1, q), (2, q)}, B A = {(p, 1), (p, 2), (q, 1), (q, 2)}, A A = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2)} ud schließlich A B B = {(1, p, p), (2, p, p), (1, q, p), (2, q, p), (1, p, q), (2, p, q), (1, q, q), (2, q, q)}. Satz 4. Seie A, B ud C Mege. Da gilt (A B) C = (A C) (B C). Beweis. Wir führe de Beweis mit Hilfe eier Tabelle A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) x x y x (x, y) (x, y) (x, y) (x, y) x x y / x (x, y) / (x, y) / (x, y) / (x, y) / x x / y x (x, y) (x, y) (x, y) / (x, y) x x / y / x (x, y) / (x, y) / (x, y) / (x, y) / x / x y x (x, y) (x, y) / (x, y) (x, y) x / x y / x (x, y) / (x, y) / (x, y) / (x, y) / x / x / y x / (x, y) / (x, y) / (x, y) / (x, y) / x / x / y / x / (x, y) / (x, y) / (x, y) / (x, y) / I alle Fälle gilt (x, y) (A B) C geau da, we (x, y) (A C) (B C) gilt. Damit ist (A B) C = (A C) (B C) gezeigt. Im folgede Beweis verwede wir de Doppelpfeil. Er bedeutet, dass die davor ud daach stehede Aussage äquivalet sid. Die eie Aussage gilt geau da, we die adere gilt. Satz 5. Seie A, B, C ud D Mege. Da gilt (A B) (C D) = (A C) (B D). Beweis. Für alle x ud alle y gilt (x, y) (A B) (C D) x A B ud y C D x A ud x B ud y C ud y D x A ud y C ud x B ud y D (x, y) A C ud (x, y) B D (x, y) (A C) (B D) Es gilt (x, y) (A B) (C D) geau da, we (x, y) (A C) (B D) gilt. Damit ist (A B) (C D) = (A C) (B D) gezeigt. 2. Die atürliche Zahle Die atürliche Zahle erhält ma durch Abzähle der Elemete vo Mege. Die leere Mege hat 0 Elemete, die Mege {a} hat ei Elemet, die Mege {a, b} hat zwei Elemete, ud so weiter. Durch Hizufüge eies weitere Elemets erhält ma die ächste Zahl. Ma ka diese Zahle auf eier Zahlegerade aorde. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Wir fasse die atürliche Zahle zur Mege N 0 = {0, 1, 2, 3,... } zusamme. Die atürliche Zahle ohe Null bezeiche wir mit N. Ist A eie edliche Mege, da bezeichet A die Azahl der Elemete der Mege A.

4 1. MENGEN UND FUNKTIONEN Die Additio ergibt sich aus der Vereiigug disjukter Mege. Seie m ud i N 0. Wir wähle disjukte Mege A ud B mit A = m ud B =. Da ist m+ die Azahl der Elemete vo A B, das heißt m + = A B. Da (A B) C = A (B C) für alle Mege A, B ud C gilt, ergibt sich (k + m) + = k + (m + ) für alle Zahle k, m ud i N 0 Für die Additio gilt das Assoziativgesetz. Ebeso gilt A B = B A für alle Mege A ud B. Es folgt m + = + m für alle Zahle m ud i N 0 Für die Additio gilt das Kommutativgesetz. Die Multiplikatio ergibt sich aus dem Megeprodukt. Seie m ud i N 0. Wir wähle Mege A ud B mit A = m ud B =. Da ist m die Azahl der Elemete vo A B, das heißt m = A B. Für Mege A, B ud C gilt (A B) C = {((a, b), c) : a A, b B, c C} ud A (B C) = {(a, (b, c)) : a A, b B, c C}. Wir sehe, dass (A B) C ud A (B C) die gleiche Azahl vo Elemete ethalte, also (A B) C = A (B C). Es folgt (k m) = k (m ) für alle Zahle k, m ud i N 0 Für die Multiplikatio gilt das Assoziativgesetz. Wege A B = {(a, b) : a A, b B} ud B A = {(b, a) : a A, b B} gilt auch A B = B A. Es folgt m = m für alle Zahle m ud i N 0 Für die Multiplikatio gilt das Kommutativgesetz. Für Mege A, B ud C gilt schließlich auch (A B) C = (A C) (B C). Es folgt Es gilt das Distributivgesetz. (k + m) = k + m für alle Zahle k, m ud i N 0 3. Variable, Summe, Idices Variable sid i der Mathematik allgegewärtig. Wir sehe us eiige der wichtigste Verwedugsarte a. Variable werde oft verwedet, um allgemeie Aussage zu mache. Um auszudrücke, dass zum Beispiel das Distributivgestz für alle atürliche Zahle gilt, schreibt ma (k + m) = k + m für alle Zahle k, m ud i N 0 Die Variable k, m ud stehe hier stellvertreted für Zahle aus N 0. Ma ka sie durch beliebige atürliche Zahle ersetze, zum Beispiel (3 + 7) 2 = 3 2 + 7 2 oder (21 + 17) 33 = 21 33 + 17 33 ud so fort. Das gilt icht ur für Zahle, soder zum Beispiel auch für Mege. Für alle Mege A ud B gilt A B = B A. Welche Mege ma für A ud B auch eisetzt, diese Gleichug ist richtig. Im ächste Kapitel werde wir Fuktioe keelere. Um Fuktioe aufzuschreibe, verwedet ma oft Variable. Zum Beispiel schreibt ma 2 + 1 ud meit damit, dass der Zahl die Zahl 2 + 1 zugeoret wird. Natürlich muss ma auch agebe, für welche Zahlemege die Fuktio defiiert wird. Will ma auch der Fuktio eie Bezeichug gebe, zum Beispiel de Buchstabe f, da schreibt maf : 2 +1 oder f() = 2 +1. Eie etwas adere Verwedug vo Variable tritt beim Löse vo Gleichuge (oder Ugleichuge) auf. Es liegt eie Gleichug vor, die eie oder mehrere Variable ethält.

3. VARIABLEN, SUMMEN, INDICES 5 Gesucht sid Zahle, für die die Gleichug gilt. Nehme wir zum Beispiel a, dass die Gleichug x 2 + x 2 = 0 vorliegt. Für welche Zahle x gilt diese Gleichug? Ma sollte auch de Zahlebereich agebe, i dem die Gleichug zu löse ist, zum Beispiel die atürliche Zahle N oder die gaze Zahle Z, die später eigeführt werde. Die Lösugsmege ka ma schreibe als L = {x N : x 2 + x 2 = 0}, das ist die Mege aller Zahle i N, für die die Gleichug gilt. Es folgt L = {1}. Oder es ist L = {x Z : x 2 + x 2 = 0} gesucht, die Mege aller Zahle i Z, für die die Gleichug gilt. Da ergibt sich L = { 2, 1}. Laufvariable. Kleie Mege ka ma aufliste. Zum Beispiel ist {1, 4, 9, 16, 25} die Mege der erste füf Quadratzahle. Bei größere Mege ist das icht mehr möglich. Will ma die Mege der erste füfzig Quadratzahle aufschreibe, da ka ma sich mit Pukte helfe {1, 4, 9, 16, 25,..., 2500} Hoffetlich ist zu erkee, welche Mege gemeit ist. Oder ma schreibt die Mege mit Hilfe eier sogeate Laufvariable auf { 2 : N, 1 50} Das ist die Mege aller Zahle 2, wobei die atürliche Zahle vo 1 bis 50 durchläuft. (Eie etwas schlampige Schreibweise ist { 2 : 1 50}.) Ma ka atürlich auch die Mege aller Qudratzahle aufschreibe. Diese ist { 2 : N}. Hier durchläuft die Variable alle atürliche Zahle, also eie uedliche Mege. Gaz aalog verwedet ma Laufvariable, um Summe aufzuschreibe. Die Summe der erste füfzig Quadratzahle ka ma ebefalls mit Hilfe vo Pukte schreibe 1 + 4 + 9 + 16 + + 2500 oder mit Hilfe des Summezeiches ud eier Laufvariable (Summatiosvariable) 50 2 =1 Ma lässt auch Summe bis Uedlich laufe, zum Beispiel =1 q, aber das ist keie eigetliche Summe mehr, soder ei Grezwert. Dieser wird i der Aalysis behadelt. Idices. Um allgemeie Aussage zu mache, werde Variable verwedet, zum Beispiel (a + b) u = a u + b u für alle a, b, u N 0 Das ist wieder das Distributivgesetz. Es spielt keie Rolle, welche Buchstabe wir verwede. Obe ware es adere. Durch zweimaliges Awede dieser Gleichug erhalte wir daraus ei Distributivgesetz für drei Summade (a + b + c) u = (a + b) u + c u = a u + b u + c u für alle a, b, c, u N 0 Das köe wir fortsetze. Aus der Gleichug für drei Summade erhalte wir die für vier (a + b + c + d) u = (a + b + c) u + d u = a u + b u + c u + d u für a, b, c, d, u N 0 So köe wir immer weitermache ud das Distributivgesetz für beliebig viele Summade beweise. Das war jetzt ei eifacher Beweis durch vollstädige Iduktio, die später behadelt wird. Aber wie solle wir dieses Distributivgesetz aufschreibe, zum Beispiel für 37 Summade? So viele Buchstabe gibt es icht. Ma verwedet immer de selbe Buchstabe, aber

6 1. MENGEN UND FUNKTIONEN mit tiefgestellte Nummer, zum Beispiel a 1, a 2, a 3 ud so weiter. Diese tiefgestellte Nummer heiße Idices (Eizahl: Idex). Das Distributivgesetz für 37 Summade lautet da (a 1 + a 2 + + a 37 ) u = a 1 u + a 2 u + + a 37 u für a 1, a 2,..., a 37, u N 0 Wir schreibe das da gleich allgemei hi. Ist 2, da gilt (a 1 + a 2 + + a ) u = a 1 u + a 2 u + + a u für a 1, a 2,..., a, u N 0 Wir habe wieder Pukte verwedet. Ma köte auch k=1 a k astelle vo a 1 +a 2 + +a schreibe ud k=1 a k u astelle vo a 1 u + a 2 u + + a u. Die Summatiosvariable (i diesem Fall auch Summatiosidex geat) ist jetzt k, da bereits aders verwedet wurde. (De Multiplikatiospukt lässt ma oft weg.) Wir komme och eimal zum Megeprodukt zurück. Wir habe A B als Mege aller Paare (a, b) mit a A ud b B defiiert, das heißt A B = {(a, b) : a A, b B}. Ebeso wurde A B C = {(a, b, c) : a A, b B, c C} defiiert. Es sei och eimal auf de Uterschied zu Mege higewiese. Paare ud Tripel sid geordet, das heißt (a, b) (b, a), (a, b, c) (c, a, b) ud so fort, währed Mege icht geordet sid. Es gilt {a, b} = {b, a}, {a, b, c} = {b, c, a} ud so weiter. Außerdem köe Paare ud Tripel gleiche Elemete ethalte, Mege aber icht. Ma ka (a, a) schreibe, icht aber {a, a}. Jetzt verwede wir wieder die Idexschreibweise. Das Megeprodukt A 1 A 2 A ist die Mege aller -Tupel (a 1, a 2,..., a ) mit a 1 A 1, a 2 A 2,..., a A, das heißt A 1 A 2 A = {(a 1, a 2,..., a ) : a 1 A 1, a 2 A 2,..., a A }. Die Bezeichug Tupel ist eie Verallgemeierug vo Paar ud Tripel. Seie m k = A k für 1 k die Azahle der Elemete der Mege A 1, A 2,..., A. Wir bereche A 1 A 2 A, die Azahl der Elemete des Megeprodukts. Wir wisse bereits, dass A 1 A 2 = m 1 m 2 gilt. So wurde ja das Produkt zweier atürlicher Zahle defiiert. Das köe wir jetzt auf drei Mege ausdehe. Es gilt A 1 A 2 A 3 = (A 1 A 2 ) A 3 = A 1 A 2 A 3 = (m 1 m 2 )m 3 = m 1 m 2 m 3 Wir köe fortsetze. Für vier Mege ergibt sich A 1 A 2 A 3 A 4 = (A 1 A 2 A 3 ) A 4 = (m 1 m 2 m 3 )m 4 = m 1 m 2 m 3 m 4 Ud so geht das immer weiter. Schließlich erhalte wir für alle 2 A 1 A 2 A = m 1 m 2 m Das ist dieselbe Vorgagsweise wie obe beim Distributivgesetz, die wir i eiem spätere Kapitel als Vollstädige Iduktio keelere werde. Wir habe zum Aufschreibe eies -Tupels wieder die Schreibweise mit Pukte beutzt. Auch hier gibt es die Möglichkeit, eie Laufvariable zu verwede. Astelle vo (a 1, a 2,..., a ) schreibt ma (a k ) 1 k. I der Mathematik trete oft auch Folge auf. Das sid Tupel, die uedlich viele Zahle ethalte. Auch hier gibt es beide Schreibweise. Die Schreibweise mit Pukte ist (a 1, a 2, a 3,...). Die Schreibweise mit eier Laufvariable ist (a k ) k 1 oder (a k ) k N. Durchschitt ud Vereiigug. Dieselbe Schreibweise wie für Summe ist auch bei Durchschitt ud Vereiigug vo Mege üblich. Astelle vo A 1 A 2 A schreibt ma k=1 A k. Bezeichet ma die Mege {1, 2,..., } aller Idices mit I, da schreibt ma diese Vereiigug auch als k I A k. Aders als bei Summe darf hier I auch eie uedliche Mege sei. De Durchschitt über beliebige Idexmege I defiiere wir folgedermaße x k I A k x A k für alle k I

Etsprechedes gilt auch für die Vereiigug vo Mege 4. FUNKTIONEN 7 x k I A k x A k für ei k I Wir köe da die Distributivgesetze ud die de Morgasche Regel für beliebige Durchschitte ud Vereiiguge beweise. Satz 6. (Verallgemeierte Distributivgesetze) Sei B eie Mege. Weiters sei I eie Idexmege ud A k seie Mege für alle k I. Da gilt ( k I A k) B = k I (A k B) ud ( k I A k) B = k I (A k B). Beweis. Für alle x gilt x ( k I A k) B x ( k I A k) oder x B x A k für alle k I oder x B x A k B für alle k I x k I (A k B) Damit ist die erste Gleichug gezeigt. Die zweite beweist ma aalog. Satz 7. (Verallgemeierte de Morgasche Regel) Sei I eie Idexmege ud seie A k Teilmege vo Ω für alle k I. Da gilt ( k I A k) = k I A k ud ( k I A k) = k I A k. Beweis. Für alle x Ω gilt x ( k I A k) x / k I A k es gibt ei k I mit x / A k es gibt ei k I mit x A k x k I A k Damit ist die erste Gleichug gezeigt. Die zweite beweist ma aalog. 4. Fuktioe Eie Fuktio (Abbildug) f ist eie Vorschrift, die jedem Elemet eier Mege A geau ei Elemet eier Mege B zuordet. Ma schreibt f : A B ud et A die Defiitiosmege ud B die Zielmege der Fuktio f. Wird das Elemet y der Mege B durch die Fuktio f dem Elemet x der Mege A zugeordet, da et ma y das Bild vo x uter f ud schreibt y = f(x) oder x y. Es gibt verschiedee Möglichkeite, eie Fuktio azugebe, zum Beispiel durch eie Wertetabelle oder durch eie Formel. Beispiel. Eie Fuktio f : N N köte durch f() = 2 + 1 defiiert werde. Defiitio. Sei f : A B eie Fuktio. Ist C eie Teilmege vo A, da et ma die Mege {f(x) : x C} das Bild vo C uter f ud bezeichet es mit f(c). Ist D eie Teilmege vo B, da et ma die Mege {x A : f(x) D} das Urbild vo D uter f ud bezeichet es mit f 1 (D). Beispiel. Sei f : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {a, b, c, d} defiiert durch 1 a, 2 c, 3 a, 4 a, 5 d ud 6 c. Da gilt f({1, 2, 3}) = {a, c} ud f 1 ({a}) = {1, 3, 4}. Satz 8. Sei f : A B eie Fuktio. Seie R ud S Teilmege vo A mit R S. Da gilt f(r) f(s).

8 1. MENGEN UND FUNKTIONEN Beweis. Sei y f(r). Nach Defiitio des Bildes existiert ei x R mit f(x) = y. Wege R S gilt auch x S. Nach Defiitio des Bildes folgt y = f(x) f(s). Wir habe gezeigt, dass jedes Elemet vo f(r) auch Elemet vo f(s) ist. Also gilt f(r) f(s). Satz 9. Sei f : A B eie Fuktio. Seie U ud V Teilmege vo A. Da gilt f(u V ) = f(u) f(v ) ud f(u V ) f(u) f(v ). Beweis. Wege U U V ud V U V erhalte wir f(u) f(u V ) ud f(v ) f(u V ) aus Satz 8. Daraus folgt f(u) f(v ) f(u V ). Wege U V U ud U V V erhalte wir f(u V ) f(u) ud f(u V ) f(v ) aus Satz 8. Daraus folgt f(u V ) f(u) f(v ). Es bleibt och f(u V ) f(u) f(v ) zu zeige. Sei y f(u V ). Nach Defiitio des Bildes existiert ei x U V mit f(x) = y. Es gilt x U oder x V (oder beides). Es folgt y f(u) oder y f(v ) ud somit y f(u) f(v ). Wir habe gezeigt, dass jedes Elemet vo f(u V ) auch Elemet vo f(u) f(v ) ist. Also gilt f(u V ) f(u) f(v ). Beispiel. Sei f : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {a, b, c, d} defiiert durch folgede Wertetabelle x 1 2 3 4 5 6 f(x) a c a a d c Sei U = {1, 2, 3, 4} ud V = {4, 5, 6}. Da gilt U V = {4} ud f(u V ) = {a}. Weiters gilt f(u) = {a, c}, f(v ) = {a, d, c} ud f(u) f(v ) = {a, c}. Dieses Beispiel zeigt, dass f(u V ) = f(u) f(v ) icht gelte muss. Satz 10. Sei f : A B eie Fuktio ud U ud V Teilmege vo B. Da gilt f 1 (U V ) = f 1 (U) f 1 (V ) ud f 1 (U V ) = f 1 (U) f 1 (V ). Beweis. Diese beide Aussage zeigt ma am beste durch Äquivalezumformuge: x f 1 (U V ) f(x) U V f(x) U oder f(x) V x f 1 (U) oder x f 1 (V ) x f 1 (U) f 1 (V ) Damit ist f 1 (U V ) = f 1 (U) f 1 (V ) gezeigt. Durch eie gaz aaloge Vorgagsweise zeigt ma auch f 1 (U V ) = f 1 (U) f 1 (V ). Satz 11. Sei f : A B eie Fuktio. Sei C eie Teilmege vo A ud D eie Teilmege vo B. Da gilt f(f 1 (D)) D ud C f 1 (f(c)). Beweis. Sei y f(f 1 (D)). Nach Defiitio des Bildes existiert ei x f 1 (D) mit f(x) = y. Wege x f 1 (D) gilt f(x) D ach Defiitio des Urbildes ud somit y D. Jedes Elemet vo f(f 1 (D)) ist auch Elemet vo D. Damit ist f(f 1 (D)) D bewiese. Sei x C. Nach Defiitio des Bildes gilt f(x) f(c). Nach Defiitio des Urbildes folgt jetzt x f 1 (f(c)). Jedes Elemet vo C ist auch Elemet vo f 1 (f(c)). Also gilt C f 1 (f(c)). Beispiel. Sei f : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {a, b, c, d} defiiert durch folgede Wertetabelle x 1 2 3 4 5 6 f(x) a c a a d c Sei D = {b, d}. Da gilt f 1 (D) = {5} ud f(f 1 (D)) = {d}. Das zeigt, dass f(f 1 (D)) = D icht gelte muss. Sei C = {1}. Da gilt f(c) = {a} ud f 1 (f(c)) = {1, 3, 4}. Das zeigt, dass C = f 1 (f(c)) icht gelte muss.

4. FUNKTIONEN 9 Defiitio. Sei f : A B eie Fuktio. Sie heißt ijektiv, we für alle x ud y i A, für die f(x) = f(y) gilt, auch x = y erfüllt ist. Sie heißt surjektiv, we für alle y B ei x A existiert mit f(x) = y. Sie heißt bijektiv, we sie sowohl ijektiv als auch surjektiv ist. Beispiel. Sei f : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {a, b, c, d} defiiert durch folgede Wertetabelle x 1 2 3 4 5 6 f(x) a c a a d c Die Fuktio f ist icht ijektiv, da f(1) = f(3) gilt, aber atürlich 1 3. Sie ist auch icht surjektiv, da kei x {1, 2, 3, 4, 5, 6} existiert mit f(x) = b. Defiiert ma g : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {a, c, d} durch dieselbe Wertetabelle wie f (ma lässt eifach b aus der Zielmege weg), da ist g surjektiv wege g(1) = a, g(2) = c ud g(5) = d. Sei f : {1, 2, 3, 4} {a, b, c, d, e} defiiert durch folgede Wertetabelle x 1 2 3 4 f(x) a c e d Die Fuktio f ist ijektiv, da jedes Elemet der Zielmege {a, b, c, d, e} ur eimal als Bild auftritt. Sie ist aber icht surjektiv, da b überhaupt icht als Bild auftritt. Defiiert ma g : {1, 2, 3, 4} {a, c, d, e} durch dieselbe Wertetabelle wie f (ma lässt eifach b aus der Zielmege weg), da ist g bijektiv. Bemerkug. Seie A ud B edliche Mege ud f : A B eie Fuktio. Ist f ijektiv, da gilt A B. Ist f surjektiv, da gilt A B. Ist f bijektiv, da gilt A = B. Beispiel. Sei f : N N defiiert durch f() = 2. Diese Fuktio ist ijektiv, aber icht surjektiv. Gilt f(m) = f(), das heißt m 2 = 2, da folgt m =. Damit ist gezeigt, dass f ijektiv ist. Es existiert kei N mit f() = 3. Damit ist gezeigt, dass f icht surjektiv ist. Sei f : N N defiiert durch f() = 5 + 1. Diese Fuktio ist surjektiv, aber icht ijektiv. Ist m N, da ist auch = m + 4 i N ud es gilt f() = m 1 + 1 = m 1 + 1 = m. Damit ist gezeigt, dass f surjektiv ist. Es gilt f(1) = 4 + 1 = 5 ud f(9) = 4 + 1 = 5, das heißt f(1) = f(9). Damit ist gezeigt, dass f icht ijektiv ist. Satz 12. Sei f : A B eie Fuktio. Sei C eie Teilmege vo A ud D eie Teilmege vo B. Ist f surjektiv, da gilt f(f 1 (D)) = D. Ist f ijektiv, da gilt C = f 1 (f(c)). Beweis. Wir zeige die erste Aussage. Sei y D. Da f surjektiv ist, existiert ei x A mit f(x) = y. Nach Defiitio des Urbildes folgt x f 1 (D). Nach Defiitio des Bildes folgt jetzt y f(f 1 (D). Damit ist D f(f 1 (D) gezeigt. Wege Satz 11 gilt Gleichheit. Wir zeige die zweite Aussage. Sei x f 1 (f(c)). Nach Defiitio des Urbildes gilt f(x) f(c). Nach Defiitio des Bildes existiert ei u C mit f(u) = f(x). Da f ijektiv ist, muss u = x gelte. Es gilt also auch x C. Damit ist f 1 (f(c)) C gezeigt. Wege Satz 11 gilt Gleichheit. Satz 13. Sei f : A B eie bijektive Fuktio. Für jedes y B existiert geau ei x A mit f(x) = y. Beweis. Da f surjektiv ist, existiert ei x A mit f(x) = y. Ist u A ud gilt auch f(u) = y, da folgt u = x, da f ijektiv ist. Somit gibt es geau ei x A mit f(x) = y.

10 1. MENGEN UND FUNKTIONEN Defiitio. Sei f : A B eie bijektive Fuktio. Die Fuktio g : B A heißt Umkehrfuktio der Fuktio f, we sie jedem y B das eideutig bestimmte x A mit f(x) = y zuordet. Beispiel. Die Fuktio g : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {a, b, c, d, u, v, w} sei durch die folgede Wertetabelle defiiert x 1 2 3 4 5 6 7 g(x) a w u d c b v Sie ist bijektiv. Für die Umkehrfuktio g 1 : {a, b, c, d, u, v, w} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ist die Wertetabelle. x a b c d u v w g 1 (x) 1 6 5 4 3 7 2 Defiitio. Seie f : A B ud g : B C Fuktioe. Die Fuktio h : A C defiiert durch h(x) = g(f(x)) et ma da die Verkettug der Fuktioe f ud g. Ma schreibt h = g f. Beispiel. Die Fuktioe f : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {a, b, c, d, e} ud g : {a, b, c, d, e} {p, q, r, s, t, u, v} seie durch folgede Wertetabelle defiiert x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) c e d d c b d ud x a b c d e g(x) q p r u p Für die Verkettug h = g f : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {p, q, r, s, t, u, v} ist da die Wertetabelle. x 1 2 3 4 5 6 7 h(x) r p u u r p u Die Fuktio i A : A A defiiert durch i A (x) = x für alle x A heißt Idetität auf der Mege A. Sei g : B A die Umkehrfuktio der bijektive Fuktio f : A B. Gilt f(x) = y, da gilt g(y) = x ach Defiitio. Es folgt g(f(x)) = x für alle x A ud f(g(y)) = y für alle y B, das heißt g f = i A ud f g = i B. 5. Beweise (Logik) Eie mathematische Aussage wird als Satz (Theorem) formuliert, zum Beispiel Satz. Sei f : A B eie Fuktio. Seie U ud V Teilmege vo A. Da gilt f(u V ) = f(u) f(v ) ud f(u V ) f(u) f(v ). Zuerst werde die sogeate Voraussetzuge formuliert ud da die eigetliche Aussage des Satzes. Weiger wichtige Sätze, die oft zur Vorbereitug eies adere Satzes diee, werde Hilfssatz (Lemma) geat. Eie Satz muss ma beweise, sost ist es kei Satz. Die Aussage des Satzes muss aus bereits bekate Resultate ach de Gesetze der Logik hergeleitet werde. Beweise werde üblicherweise i der Umgagssprache formuliert. Es gibt auch eie logische Sprache, die i der Mathematik aber eher sparsam verwedet wird. Ei weig wolle wir jedoch darauf eigehe. Die wichtigste logische Zeiche sid = ud die wir auch scho verwedet habe. Mit A = B ist gemeit, dass die Aussage B aus der Aussage A folgt. Ma sagt auch A impliziert B. Der Doppelpfeil ist die Zusammesetzug zweier eifacher Pfeile. Mit

5. BEWEISEN (LOGIK) 11 A B ist gemeit, dass sowohl A = B als auch B = A gilt. Die Aussage A ud B sid äquivalet. Um die Gleichheit vo zwei Mege, ee wir sie K ud M, zu zeige, zeigt ma x K x M. Das ka durch aufeiaderfolgede Äquivalezumformuge geschehe, wie zum Beispiel bei Satz 5 oder Satz 10. Auch die Tabellebeweise sid vo dieser Art. Ma geht alle mögliche Fälle durch ud zeigt, dass immer x K x M gilt. I weiger eifache Fälle beschreibt ma de Beweis mit Hilfe der Umgagssprache. Das ist bei de meiste Beweise i Kapitel 4 geschehe. Will ma ur zeige, dass K Teilmege vo M ist, da zeigt ma x K = x M. Ud die Gleichheit zweier Mege K ud M ka ma auch dadurch zeige, dass ma die beide Implikatioe x K = x M ud x M = x K beweist. Ei Beweis dieser Art, bei dem aus eier Aussage A, zum Beispiel x K, eie adere Aussage B, zum Beispiel x M, gefolgert wird, heißt direkter Beweis. Ma köte auch aders vorgehe. Astatt A = B zu beweise, ka ma B = A beweise (das logische Zeiche bedeutet icht ). Folgt ämlich aus B ei Widerspruch zur Aussage A, die vorausgesetzt wird, da ist B falsch. Damit ist die Gültigkeit vo B gezeigt. Mit idirekte Beweise werde wir us i eiem spätere Kapitel geauer befasse. Zwei weitere logische Zeiche sid für ud ud für oder. De Beweis vo Satz 5 köte ma so aufschreibe (x, y) (A B) (C D) x A B y C D x A x B y C y D x A y C x B y D (x, y) A C (x, y) B D (x, y) (A C) (B D) Es macht jedoch keie große Uterschied, ob ma das Wort oder das logische Zeiche schreibt. Es sollte och erwäht werde, dass ei ichtausschließedes oder bedeutet. Mit A B meit ma A oder B oder beides. Schließlich komme wir zu de Quatore ud. Die Bedeutug vo ist für ei oder es existiert ei. Die Bedeutug vo ist für alle. Als Beispiel für die Verwedug vo sehe wir us de Beweis des Satzes 6 a. Ma liest k I : als für alle k I gilt. x ( k I A k) B x ( k I A k) x B k I : x A k x B k I : x A k B x k I (A k B) Als Beispiel für die Verwedug vo sehe wir us de Beweis des Satzes 7 a. Ma liest k I : als für ei k I gilt oder als es existiert ei k I mit. x ( k I A k) x / k I A k k I : x / A k k I : x A k x k I A k Logische Zeiche werde atürlich icht ur i Beweise verwedet, soder zum Beispiel auch i Defiitioe. Wir hatte x k I A k k I : x A k ud x k I A k k I : x A k

12 1. MENGEN UND FUNKTIONEN Da logische Zeiche i der Mathematik eher selte verwedet werde, ist es icht otwedig, mehr darüber zu wisse. 6. Vollstädige Iduktio Es liegt eie Aussage A() vor, die vo eier Zahl abhägt. Sie soll für alle N (oder für i eier Teilmege vo N) bewiese werde. Zum Beispiel ka A() die Gleichug 1 + 2 + 3 + + = (+1) sei oder die Ugleichug 2 < 2. 2 Bei eiem Iduktiosbeweis geht ma so vor: Zuerst wird die Aussage A(1) bewiese. Das ist der sogeate Iduktiosbegi. Da wird für alle 1 gezeigt, dass aus der Gültigkeit der Aussage A() die Gültigkeit der Aussage A(+1) folgt. Das ist der sogeate Iduktiosschritt: A() = A( + 1). Damit hat ma die Aussage A() für alle 1 bewiese: Die Aussage A(1) wurde im Iduktiosbegi gezeigt. Wege des Iduktiosschrittes gilt da auch A(2). Da jetzt A(2) gezeigt ist, erhält ma A(3) wieder wege des Iduktiosschrittes. Aus A(3) folgt da A(4) ud immer so weiter. Die Aussage A() gilt für alle N. Wir beweise die obe ageführte Beispiele mit Hilfe der vollstädige Iduktio. Beispiel. Die zu beweisede Aussage A() ist die Gleichug 1+2+3+ + = (+1). 2 Iduktiosbegi: Für = 1 wird die Gleichug zu 1 = 2. Das ist offesichtlich richtig. 2 Somit ist A(1) gezeigt. Iduktiosschritt: Wir ehme a, dass A() gilt, das ist 1 + 2 + 3 + + = (+1). Wir 2 addiere +1 auf beide Seite dieser Gleichug. Wege (+1) 2 ++1 = (+2)(+1) 2 erhalte wir 1 + 2 + 3 + + + ( + 1) = (+1)(+2) 2. Das ist A( + 1). Wir habe A() = A( + 1) gezeigt. Damit ist auch der Iduktiosschritt erledigt. Somit ist 1 + 2 + 3 + + = (+1) 2 für alle N durch vollstädige Iduktio bewiese. Es ka auch vorkomme, dass die Aussage A() für alle 0 zu beweise ist, wobei 0 icht 1 ist. Der Iduktiosbegi ist da der Beweis der Aussage A( 0 ) ud im Iduktiosschritt ist A() = A( + 1) für alle 0 zu beweise. Im folgede Beispiel ist 0 = 5. Beispiel. Es ist 2 < 2 für alle {5, 6, 7,... } zu beweise. Die Aussage A() ist die Ugleichug 2 < 2. Iduktiosbegi: Für = 5 wird die Ugleichug zu 25 < 32. Das ist offesichtlich richtig. Somit ist A(5) gezeigt. Iduktiosschritt: Wir ehme a, dass 5 ist ud dass A() gilt, das ist die Ugleichug 2 < 2. Wir multipliziere diese Ugleichug mit 2 ud erhalte 2 2 < 2 +1. Wege 5 gilt ( 1) 2 16 > 2. Es folgt 2 2 > 2 + 2 + 1, das heißt ( + 1) 2 < 2 2. Damit ergibt sich ( + 1) 2 < 2 +1. Das ist A( + 1). Wir habe A() = A( + 1) gezeigt. Der Iduktiosschritt ist geluge. Damit ist 2 < 2 für alle {5, 6, 7,... } durch vollstädige Iduktio bewiese. Die Aussage A() muss keie Gleichug oder Ugleichug sei. Wir behadel ei Beispiel aus der Kombiatorik. Zuerst führe wir eie Bezeichug ei. Sei N. Das Produkt 1 2 3 4... wird mit! bezeichet ud -Faktorielle geat. Beispiel. Wir beweise folgede Aussage A() mit vollstädiger Iduktio: Die Zahle 1, 2, 3, 4,..., lasse sich auf! verschiedee Arte aorde. Iduktiosbegi: Wege 1! = 1 lautet die Aussage A(1): Die Zahl 1 lässt sich auf eie Art aorde. Das ist offesichtlich richtig. Somit ist A(1) gezeigt.

7. BINOMIALKOEFFIZIENT UND BINOMISCHER LEHRSATZ 13 Iduktiosschritt: Wir ehme a, dass A() gilt, das heißt die Zahle 1, 2, 3, 4,..., lasse sich auf! verschiedee Arte aorde. Greife wir eie dieser Aorduge heraus, da habe wir + 1 Möglichkeite, die Zahl + 1 hizuzufüge, ämlich vor der erste Zahl, zwische der erste ud zweite Zahl, zwische der zweite ud dritte Zahl, ud so weiter bis ach der letzte Zahl. So wird jede Aordug der Zahle 1, 2, 3, 4,..., zu +1 verschiedee Aorduge der Zahle 1, 2, 3, 4,...,, +1 erweitert, die die Zahle 1, 2, 3, 4,..., i uveräderter Reihefolge ethalte. Da es! verschiedee Aorduge der Zahle 1, 2, 3, 4,..., gibt, erhalte wir! ( + 1) = ( + 1)! Aorduge der Zahle 1, 2, 3, 4,...,, + 1. Damit ist auch der Iduktiosschritt erledigt. 7. Biomialkoeffiziet ud biomischer Lehrsatz Wir defiiere de Biomialkoeffiziet. Defiitio. Sei 0! = 1 ud! = 1 2 3 4... für 1. Für N 0 ud 0 k wird der Biomialkoeffiziet ( ) k durch! = ( 1)...( k+1) defiiert. k!( k)! k! Es gilt da ( ) ( k = k). Gaz wesetlich sid folgede Gleichuge Satz 14. Für N gilt ( ( 0) = 1 ud ) ( = 1. Für 1 k gilt auch ( k 1) + ) ( k = +1 ) k. Beweis. Wir erhalte ( ( 0) = 1 ud ) = 1 direkt aus der Defiitio. Wir reche ach ( ( k 1) + ) k =! +! = k! + ( k+1)! = (+1)! = ( ) +1 (k 1)!( k+1)! k!( k)! k!( k+1)! k!( k+1)! k!( k+1)! k Damit ist auch die dritte Gleichug gezeigt. Ma ka die Gleichuge aus dem letzte Satz im sogeate Pascalsche Dreieck darstelle. Wir orde die Biomialkoeffiziete folgedermaße i Dreiecksform a ( 1 ) ( 1 ( 0 2 ) ( 2 ) 1) ( 2 ( 0 1 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 2) ( 3 ( 0 1 2 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 3) ( 4 ( 0 1 2 3 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) 4) ( 5 0 1 2 3 4 5) Das ka ma so fortsetze. Ma ka diese Dreieckstabelle zum Bereche der Biomialkoeffiziete verwede. Wege Satz 14 steht 1 am Afag ud am Ede jeder Zeile. Jede adere Biomialkoeffiziete erhält ma wieder wege Satz 14 als Summe der beide schräg darüber stehede Biomialkoeffiziete. So ka ma Zeile für Zeile bereche: 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ud immer so weiter. Wir beweise de biomische Lehrsatz. Wir ehme dabei a, dass a ud b reelle Zahle sid. Außer de Recheregel, die i alle Zahlebereiche gelte, wird jedoch ichts über reelle Zahle beötigt. Satz 15. Es gilt (a + b) = ( ) 0 a + ( ) 1 a 1 b + ( ) 2 a 2 b 2 + + ( ) b für alle a, b R ud N.

14 1. MENGEN UND FUNKTIONEN Beweis. Wir führe de Beweis mit vollstädiger Iduktio. Für = 1 wird die Gleichug zu a + b = ( ( 1 0) a + 1 ( 1) b. Wege 1 ( 0) = 1 ud 1 1) = 1 ist sie richtig. Wir ehme a, dass (a + b) = ( ) 0 a + ( ) 1 a 1 b + ( ) 2 a 2 b 2 + + ( ) b richtig ist. Wir multipliziere die Gleichug mit a + b ud erhalte (a+b) +1 = ( ) 0 a (a + b) + ( ) 1 a 1 b(a + b) + ( ) 2 a 2 b 2 (a + b) + + ( ) b (a + b) = ( ) 0 (a +1 + a b) + ( ) 1 (a b + a 1 b 2 ) + ( ) 2 (a 1 b 2 + a 2 b 3 ) + + ( ) (ab + b +1 ) = ( ) 0 a +1 + (( ( 0) + )) 1 a b + (( ( 1) + )) 2 a 1 b 2 + + (( ( 1) + )) ab + ( ) b +1 = ( ) +1 0 a +1 + ( ) +1 1 a b + ( ) +1 2 a 1 b 2 + + ( ) +1 ab + ( ) +1 +1 b +1 wobei für die letzte Gleichug Satz 14 agewedet wurde. Damit ist (a + b) +1 = ( ) +1 0 a +1 + ( ) +1 1 a b + ( ) +1 2 a 1 b 2 + + ( ) +1 ab + ( ) +1 +1 b +1 gezeigt. Der Iduktiosschritt ist geluge. Der Satz ist durch vollstädige Iduktio bewiese. Der Biomialkoeffiziet tritt auch bei der Berechug der Azahl der Teilmege auf. Satz 16. Sei 1 ud 0 k. Die Azahl der k-elemetige Teilmege der Mege S = {1, 2,..., } ist ( ) k =!. k!( k)! Beweis. Wir bezeiche die zu berechede Azahl der k-elemetige Teilmege der Mege S mit h,k. Es ist h,k = ( k) für 1 ud 0 k zu zeige. Die leere Mege ist die eizige 0-elemetige ud S selbst ist die eizige -elemetige Teilmege vo S. Daher gilt h,0 = 1 = ( ) 0 ud h, = 1 = ( ) für alle N. Wir beweise eie Rekursiosformel für h +1,k mit 1 k. Die k-elemetige Teilmege vo S +1 = {1, 2,...,, + 1}, dere Azahl h +1,k ist, lasse sich aufteile i die, die i S = {1, 2,..., } ethalte sid ihre Azahl ist h,k ud i die, die das Elemet + 1 ethalte ud dere übrige k 1 Elemete i S = {1, 2,..., } ethalte sid ihre Azahl ist h,k 1. Daher gilt h +1,k = h,k + h,k 1. Wir zeige mit vollstädiger Iduktio, dass h,k = ( k) für N ud 0 k gilt. Iduktiosbegi: Obe wurde h 1,0 = ( ) 1 0 ud h1,1 = ( ) 1 1, also h1,k = ( 1 k) für 0 k 1 gezeigt. Das ist die Aussage für = 1. Iduktiosschritt: Wir ehme a, dass h,k = ( k) für 0 k bereits bekat ist. Für 1 k gilt da h,k = ( ) k ud h,k 1 = ( ) k 1, woraus h+1,k = ( ) ( k + k 1) mit Hilfe der Rekursiosformel folgt. Wege Satz 14 erhalte wir h +1,k = ( ) +1 k. Für k = 0 ud k = + 1 wurde diese Gleichug bereits zu Begi des Beweises gezeigt. Es gilt also h +1,k = ( ) +1 k für 0 k + 1. 8. Abzählbarkeit Edliche Mege ka ma abzähle. Dadurch erhält ma die atürliche Zahle. Zwei Mege sid gleich groß, ma sagt sie habe die gleiche Mächtigkeit, we sie dieselbe Azahl vo Elemete besitze. Das ist äquivalet dazu, dass eie bijektive Abbildug vo der eie Mege auf die adere existiert. Diese Eigeschaft verwede wir als Defiitio. Sie ka ämlich auch auf uedliche Mege agewedet werde. Defiitio. Die Mege K ud M heiße gleichmächtig, we eie bijektive Abbildug φ : K M existiert. Wir beschäftige us vor allem mit Mege, die gleichmächtig zu de atürliche Zahle sid.

8. ABZÄHLBARKEIT 15 Defiitio. Eie Mege M heißt abzählbar, we eie bijektive Abbildug φ : N M existiert. Eie Mege M ist geau da abzählbar, we ma ihre Elemete i eier Folge aorde ka: Ist φ : N M bijektiv, da ist (φ(k)) k N eie Folge, die geau die Elemete der Mege M ethält. Ist umgekehrt (a k ) k N eie Aordug der Elemete der Mege M als Folge, da ist die durch φ(k) = a k vo N ach M defiierte Abbildug bijektiv. Wir sehe us Beispiele für abzählbare Mege a. Satz 17. Eie uedliche Teilmege eier abzählbare Mege ist abzählbar. Beweis. Sei M abzählbar ud L eie uedliche Teilmege vo M. Da M abzählbar ist, köe wir die Elemete vo M als Folge a 1, a 2, a 3, a 4,... aorde. Wir streiche alle Elemete i dieser Folge, die icht zur Teilmege L gehöre. Es bleibe uedlich viele Elemete übrig, da L uedlich ist. Damit habe wir bereits eie Aordug der Elemete vo L als Folge gefude. Somit ist L abzählbar. Aus diesem Satz folgt, dass die Mege G der gerade Zahle abzählbar ist. Sie hat die gleiche Mächtigkeit wie die Mege N aller atürliche Zahle. Satz 18. Sei M eie abzählbare Mege. Ist K edlich oder abzählbar, da ist M K abzählbar. Beweis. Sei K = K \M. Da M abzählbar ist, köe wir die Elemete vo M als Folge a 1, a 2, a 3, a 4,... aorde. Ist K edlich, da füge wir die edlich viele Elemete vo K vore a diese Folge a. Dadurch erhalte wir eie Folge, die geau die Elemete vo M K = M K ethält. Somit ist M K abzählbar. Ist K abzählbar, da köe wir die Elemete vo K als Folge b 1, b 2, b 3, b 4,... aorde. Die Folge a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 3, a 4, b 4,... ethält geau die Elemete vo M K = M K. Somit ist M K abzählbar. Aus diesem Satz folgt, dass die Mege Z der gaze Zahle abzählbar ist. Die Mege N 0 = {0, 1, 2, 3,...} ud Z = { 1, 2, 3,...} sid klarerweise abzählbar. Sie stehe ja scho als Folge da. Wege Z = Z N 0 ist da auch Z abzählbar. Satz 19. Seie K ud M abzählbare Mege. Da ist K M ebefalls abzählbar. Beweis. Wir köe die Mege K als Folge a 1, a 2, a 3, a 4,... ud die Mege M als Folge b 1, b 2, b 3, b 4,... aorde. Die Elemete der Mege K M lasse sich da i eiem zweidimesioale Raster aschreibe: (a 1, b 1 ) (a 1, b 2 ) (a 1, b 3 ) (a 1, b 4 ) (a 1, b 5 ) (a 1, b 6 ) (a 1, b 7 )... (a 2, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a 2, b 3 ) (a 2, b 4 ) (a 2, b 5 ) (a 2, b 6 ) (a 2, b 7 )... (a 3, b 1 ) (a 3, b 2 ) (a 3, b 3 ) (a 3, b 4 ) (a 3, b 5 ) (a 3, b 6 ) (a 3, b 7 )... (a 4, b 1 ) (a 4, b 2 ) (a 4, b 3 ) (a 4, b 4 ) (a 4, b 5 ) (a 4, b 6 ) (a 4, b 7 )... (a 5, b 1 ) (a 5, b 2 ) (a 5, b 3 ) (a 5, b 4 ) (a 5, b 5 ) (a 5, b 6 ) (a 5, b 7 )... (a 6, b 1 ) (a 6, b 2 ) (a 6, b 3 ) (a 6, b 4 ) (a 6, b 5 ) (a 6, b 6 ) (a 6, b 7 )... (a 7, b 1 ) (a 7, b 2 ) (a 7, b 3 ) (a 7, b 4 ) (a 7, b 5 ) (a 7, b 6 ) (a 7, b 7 )............. Daraus köe wir eie Folge bilde, idem wir die Elemete i de Diagoale (vo liks ute ach rechts obe) der Reihe ach aschreibe. Die erste Diagoale ethält ur das Elemet (a 1, b 1 ). Die zweite Diagoale ethält die beide Elemete (a 2, b 1 ) ud (a 1, b 2 ). Die

16 1. MENGEN UND FUNKTIONEN dritte Diagoale ethält die drei Elemete (a 3, b 1 ), (a 2, b 2 ) ud (a 1, b 3 ). Ud so geht es weiter. Schreibt ma die Diagoale i eie Folge, so ergibt sich (a 1, b 1 ), (a 2, b 1 ), (a 1, b 2 ), (a 3, b 1 ), (a 2, b 2 ), (a 1, b 3 ), (a 4, b 1 ), (a 3, b 2 ), (a 2, b 3 ), (a 1, b 4 ),...... Somit ist K M abzählbar. Aus diesem Satz folgt, dass die Mege N N ud Z Z abzählbar sid. Sie habe dieselbe Mächtigkeit wie N. Die Mege Q der ratioale Zahle ist die Mege aller gekürzte Brüche, wobei der Zähler i Z ud der Neer i N liegt. Ma ka Q daher als Teilmege vo Z Z auffasse. Wege Satz 17 ist da auch Q abzählbar. Bemerkug. Im letzte Beweis wurde die Elemete der Mege K M als Folge ageschriebe. Ma ka auch eie Fuktio agebe, die jedem dieser Elemete de Platz zuordet, auf dem es steht. Diese Fuktio ist gegebe durch (a i, b j ) 1 (i + j 1)(i + j 2) + j 2 Zum Beispiel ergibt sich (a 1, b 1 ) 1, (a 2, b 2 ) 5 ud (a 1, b 4 ) 10. Das sid die Plätze, auf dee diese Elemete stehe. Es gilt auch (a 7, b 4 ) 49, das heißt (a 7, b 4 ) steht auf Platz 49. Satz 20. Seie M 1, M 2,..., M abzählbare Mege. Da ist M 1 M 2... M ebefalls abzählbar. Beweis. Wir beweise diese Satz mit vollstädiger Iduktio. Es wurde bereits i Satz 19 gezeigt, dass M 1 M 2 abzählbar ist. Sei K = M 1 M 2... M 1. Wir ehme a, dass die Abzählbarkeit vo K bereits gezeigt ist. Aus Satz 19 erhalte wir da, dass die Mege K M abzählbar ist. Nu ist K M = {((a 1, a 2,..., a 1 ), a ) : a 1 M 1, a 2 M 2,..., a 1 M 1, a M } ud M 1 M 2... M = {(a 1, a 2,..., a 1, a ) : a 1 M 1, a 2 M 2,..., a 1 M 1, a M }. Klarerweise existiert eie bijektive Abbildug zwische diese Mege. Sie sid gleichmächtig. Daher ist auch die Mege M 1 M 2... M abzählbar. Bemerkug. Mit derselbe Methode wie im Beweis vo Satz 19 ka ma zeige: Sid die Mege M 1, M 2, M 3,... abzählbar, da ist auch die Mege k=1 M k abzählbar. Nicht jede uedliche Mege ist abzählbar. Dazu beweise wir folgede Satz. Satz 21. Eie Mege M ud ihre Potezmege P(M) sid icht gleichmächtig. Beweis. Sei φ : M P(M) eie beliebige Abbildug. Für jedes x M ist φ(x) eie Teilmege vo M, die wir A x ee. Sei B = {x M : x / A x }. Sei x M beliebig. Wir zeige A x B. Gilt x A x, da erhalte wir x / B aufgrud der Defiitio der Mege B. Gilt aber x / A x, da erhalte wir x B wieder aufgrud der Defiitio der Mege B. I jedem Fall gilt, dass x i eier der beide Mege A x oder B liegt, i der adere icht. Damit ist A x B gezeigt. Die Mege B ist Teilmege vo M ud daher ei Elemet vo P(M). Aber B ist keie der Mege A x. Somit gibt es kei x M mit φ(x) = B. Die Abbildug φ ist icht surjektiv ud daher auch icht ijektiv. Damit ist gezeigt, dass es keie bijektive Abbildug vo M ach P(M) gibt. Die Mege M ud P(M) sid icht gleichmächtig. Eie uedliche Mege, die icht abzählbar ist, et ma überabzählbar. Ei Beispiel für eie überabzählbare Mege ist P(N). Natürlich ist P(N) eie uedliche Mege ud sie ist wege Satz 21 icht gleichmächtig zu N, also icht abzählbar. Wir werde später zeige, dass auch die Mege R der reelle Zahle überabzählbar ist.

KAPITEL 2 Die gaze Zahle 1. Erweiterug der atürliche Zahle Durch Hizufüge der egative Zahle zu de atürliche Zahle erhalte wir de Zahlebereich Z der gaze Zahle. Wir köe Z auf der Zahlegerade darstelle 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Die Additio überehme wir vo de atürliche Zahle. Astatt Mege abzuzähle, mache wir jetzt Schritte auf der Zahlegerade. Um m + zu bestimme, mache wir vo 0 ausgehed zuerst m Schritte (ach rechts, we m positiv, ud ach liks, we m egativ) ud dara aschließed Schritte (ebefalls ach liks oder rechts etspreched dem Vorzeiche vo ). So erhalte wir die Zahl m +. Da das Ergebis icht vo der Reihefolge abhägt, i der die Schritte ausgeführt werde, gelte wieder das Kommutativud das Assoziativgesetz. Im Zahlebereich der gaze Zahle lässt sich auch die Subtraktio, das ist die zur Additio iverse Operatio, ueigeschräkt ausführe. Zu jeder Zahl i Z gibt es die iverse Zahl, das ist die Zahl mit geädertem Vorzeiche. Sie wird mit bezeichet. Es gilt +( ) = 0 ud durch diese Gleichug ist die iverse Zahl auch eideutig bestimmt. Zum Beispiel ist 5 die iverse Zahl zu 5 ud 2 ist die iverse Zahl zu 2. Die Subtraktio eier Zahl wird da als Additio der iverse Zahl defiiert, das heißt m = m+( ). Aus dem Assoziativ- ud dem Kommutativgesetz für die Additio folgt da, dass ( m) + ( ) die iverse Zahl zu m + ist, da m + + ( m) + ( ) = m + ( m) + + ( ) = 0 + 0 = 0 gilt. Das Produkt zweier gazer Zahle m ud erhält ma, idem ma zuerst die beide Zahle ohe Vorzeiche multipliziert ud da das Produkt mit eiem positive Vorzeiche versieht, we m ud gleiches Vorzeiche habe, ud mit eiem egative Vorzeiche, we sie verschiedees Vorzeiche habe. Für die Multiplikatio gelte das Kommutativud das Assoziativgesetz, da sie für atürliche Zahle gelte. Direkt aus der Defiitio der Multiplikatio folgt auch, dass m( ) = m ud ( m) = m gilt. Etwas schwieriger ist es, das Distributivgesetz vo N 0 auf Z zu übertrage. Seie m, ud k i N 0. Da gilt ja (m+)k = mk +k. Wir forme diese Gleichug um. Addiert ma die zu k iverse Zahl, so erhält ma die Gleichug k + (m + )k = mk. Addiert ma die zu mk ud (m + )k iverse Zahle, so erhält ma die Gleichug mk = (m + )k + k. Addiert ma die zu mk, k ud (m + )k iverse Zahle, so erhält ma schließlich die Gleichug mk k = (m + )k. Wir wede die obe besprochee Regel für das Reche mit iverse Zahle a: Aus mk k = (m + )k folgt ( m)k + ( )k = ( (m + ))k = (( m) + ( ))k. Idem wir j = m + i k + (m + )k = mk eisetze, erhalte wir k + jk = (( ) + j)k, das heißt ( )k + jk = (( ) + j)k. Idem wir j = m + i mk = (m + )k + k eisetze, erhalte wir (j + ( ))k = jk + k, das heißt (( j) + )k = ( j)k + k. 17

18 2. DIE GANZEN ZAHLEN Damit ist (m + )k = mk + k für alle m ud i Z ud alle k i N 0 gezeigt. Addiert ma wie obe die zu mk, k ud (m + )k iverse Zahle, so erhält ma die Gleichug mk k = (m + )k. Daraus ergibt sich m( k) + ( k) = (m + )( k). Damit ist da (m + )k = mk + k für alle m, ud k i Z gezeigt. Wir habe gezeigt, das das Assoziativ- ud das Kommutativgesetz für Additio ud Multiplikatio, sowie das Distributivgesetz auch im Zahlebereich der gaze Zahle gelte. Außerdem existiert zu jeder gaze Zahl die iverse Zahl. Die Subtraktio ist ueigeschräkt ausführbar. Isbesodere sid Gleichuge der Form x + m = immer lösbar. Die Lösug ist ja x = + ( m) = m. Bemerkug. Um die Recheregel für gaze Zahle exakter behadel zu köe, führe wir eie Darstellug der gaze Zahle durch Paare (u, v) vo atürliche Zahle ei. Aalog zu de Brüche, die ma sich als icht ausgeführte Divisio vorstelle ka, iterpretiere wir das Zahlepaar (u, v) als icht ausgeführte Subtraktio. Durch (u, v) wird die gaze Zahl u v dargestellt. Wir ee das Zahlepaar (u, v) reduziert (aalog zu gekürzte Brüche), we midestes eie der beide Zahle ull ist. Da etspricht jeder gaze Zahl geau eie reduzierte Darstellug. Es steht (, 0) für ud (0, m) für m. Ma ka da schreibe Z = {(u, v) : u N 0, v N 0, icht beide > 0} Ist (u, v) die reduzierte Darstellug eier Zahl, da sid (u + k, v + k) für k 1 die ichtreduzierte Darstelluge derselbe Zahl (aalog zu de ichtgekürzte Brüche). Die Differez der erste mius der zweite Zahl bleibt ja uverädert. Ist (p, q) ei Paar vo atürliche Zahle, da gewit ma die reduzierte Darstellug, idem ma die kleiere vo beide Zahle subtrahiert. Die Additio für Zahlepaare defiiere wir folgedermaße (u, v) + (p, q) = (u + p, v + q) wobei ma das Ergebis (u + p, v + q) gegebeefalls och reduziert. Dadurch erhält ma die richtige Additio auf Z: (, 0) + (m, 0) = ( + m, 0) ist die Additio zweier positiver Zahle, (, 0) + (0, m) = (, m) ist die Additio eier positive ud eier egative Zahl ud (0, ) + (0, m) = (0, + m) ist die Additio zweier egativer Zahle. Außerdem ist es uerheblich, welche Darstellug ma verwedet. Es muss icht die reduzierte sei. Es gilt ja (u + k, v + k) + (p + l, q + l) = (u + p + k + l, v + q + k + l) Das Ergebis ist dasselbe wie obe, ur i eier adere Darstellug. Es ist da auch klar, dass Assoziativ- ud Kommutativgesetz für die Additio gelte, da ja mit atürliche Zahle gerechet wird, für die beide Gesetze gelte. Die Zahle 3 ud 7 werde durch die Paare (3, 0) ud (0, 7) dargestellt. Wir erhalte (3, 0) + (0, 7) = (3, 7). Die reduzierte Darstellug des Ergebisses ist (0, 4), also 4. Wir köe aber zum Beispiel auch 3 durch (9, 6) ud 7 durch (1, 8) darstelle. Die Rechug ergibt (9, 6) + (1, 8) = (10, 14). Die reduzierte Darstellug des Ergebisses ist wieder (0, 4). Die Multiplkatio für Zahlepaare defiiere wir folgedermaße (u, v) (p, q) = (up + vq, uq + vp) wobei ma das Ergebis (up + vq, uq + vp) gegebeefalls och reduziert. Das ergibt die richtige Multiplikatio: (, 0) (m, 0) = (m, 0) ist die Multiplikatio zweier positiver Zahle, (, 0) (0, m) = (0, m) ist die Multiplikatio eier positive ud eier egative Zahl ud (0, ) (0, m) = (m, 0) ist die Multiplikatio zweier egativer Zahle. Außerdem ist es wieder

2. GRUPPEN, RINGE, KÖRPER 19 uerheblich, welche Darstellug ma bei der Multiplikatio verwedet. Es gilt ja (u+k, v+k) (p+l, q+l) = (up+kp+ul+kl+vq+kq+vl+kl, uq+kq+ul+kl+vp+kp+vl+kl) Das Ergebis ist dasselbe wie obe, ur i eier adere Darstellug. Ma ka da auch zeige, dass Assoziativ- ud Kommutativgesetz für die Multiplikatio gelte, da ja mit atürliche Zahle gerechet wird, für die beide Gesetze gelte. Die Zahle 3 ud 7 werde durch die Paare (3, 0) ud (0, 7) dargestellt. Wir erhalte (3, 0) (0, 7) = (0, 21), also 21. Wir köe aber zum Beispiel auch 3 durch (9, 6) ud 7 durch (1, 8) darstelle. Die Rechug ergibt da (9, 6) (1, 8) = (57, 78). Die reduzierte Darstellug des Ergebisses ist wieder (0, 21). Auch das Distributivgesetz lässt sich jetzt eifach achreche. Es gilt ( (p, q) + (r, s) ) (u, v) = (p + r, q + s) (u, v) = (pu + ru + qv + sv, pv + rv + qu + su) Adererseits gilt auch (p, q) (u, v) = (pu + qv, pv + qu) ud (r, s) (u, v) = (ru + sv, rv + su) Daraus folgt ( (p, q) + (r, s) ) (u, v) = (p, q) (u, v) + (r, s) (u, v), das Distributivgesetz. 2. Gruppe, Rige, Körper Im Zahlebereich Z sid Gleichuge der Form x + a = b immer lösbar. Dies ist eg mit der Tatsache verküpft, dass die gaze Zahle eie sog. Gruppe bilde. Um dies zu erkläre, beötige wir zuächst de Begriff der Verküpfug (auch Operatio) auf eier Mege, der im Fall der Mege der gaze Zahle der Additio etspricht. Defiitio. Eie Verküpfug auf eier Mege M ist eie Fuktio, die jedem Paar (a, b) vo Elemete aus M ei eideutig bestimmtes Elemet a b aus M zuordet. Beispiel. Für M = Z sid + ud zwei verschiedee Verküpfuge. Beispiel. Ist M die Mege aller Teilmege vo {1, 2, 3, 4}, so ist eie Verküpfug auf M. Defiitio. Eie Gruppe besteht aus eier Mege G zusamme mit eier Verküpfug : G G G, für die folgede Regel gelte: 1) a, b, c G gilt (a b) c = a (b c). 2) Es existiert ei e G, sodass für alle a G gilt e a = a e = a. 3) Für alle a G existiert ei b G mit a b = b a = e. Gilt überdies och 4) a, b G gilt a b = b a, so heisst die Gruppe kommutativ (oder abelsch). Bevor wir zu Beispiele komme och eiige Amerkuge zur Defiitio der Gruppe: das i Pukt 2) beschriebee Elemet e heisst eutrales Elemet der Gruppe. Es ist eideutig bestimmt, de wäre e ei weiteres solches, so folgte e = e e = e e = e. Daher ist auch die Bedigug 3) wohldefiiert, schliesslich wird das eutrale Elemet e dari als eideutig vorausgesetzt. Das i 3) zu a G gehörige Elemet b mit a b = b a = e wird als das Iverse vo a bezeichet. Ma bezeichet es gewöhlich mit a 1, es sei de, die Verküpfug ist +, da

20 2. DIE GANZEN ZAHLEN schreibt ma für das Iverse vo a immer a. Auch das Iverse vo a ist i eier Gruppe eideutig bestimmt. Wäre ämlich b ud c Iverse vo a, so folgte a b = e = a c b (a b) = b (a c). Mit Hilfe vo 1), also der Assoziativität, liefert dies (b a) b = (b a) c e b = e c b = c. Beispiel. Die gaze Zahle Z bilde bez. der Verküpfug + eie abelsche Gruppe mit eutralem Elemet 0 ud a 1 = a. Mit der Verküpfug bilde sie keie Gruppe, da der eizige Kadidat für ei eutrales Elemet 1 ist ud a b = 1 z.b. für a = 2 keie gaze Lösug b besitzt. Damit wäre wir aber auch scho zurück bei userer Gleichug x+a = b. Ihre Lösbarkeit für alle a, b Z ist gleichbedeuted damit, dass jedes a Z ei Iverses besitzt, de ist ( a) das Iverse zu a, so erhält ma durch seie Additio auf beide Seite der Gleichug (x+a)+( a) = b+( a). Mit Hilfe des Assoziativgesetzes ud der Tatsache, dass a+( a) = e gilt, erhält ma als Lösug der Gleichug x = b + ( a), was ma kurz x = b a schreibt. Umgekehrt, hat x + a = b für jedes a, b Z eie Lösug, so ist diese Lösug im Fall b = 0 ei Iverses vo a. Der Vorteil dieser abstrakte Heragehesweise a die Additio auf de gaze Zahle ist, dass sie auf viele adere Mege ud Verküpfuge awedbar ist ud ma so ur achweise muss, dass eie bestimmte Mege zusamme mit eier Verküpfug eie Gruppe bildet, um alle abstrakt hergeleitete Eigeschafte dieser Struktur achzuprüfe. Gaz ebebei habe wir so auch die Subtraktio auf Z eifach durch Additio des Iverse eigeführt, ohe eie eue Verküpfug defiiere zu müsse. Wie sieht es u mit der Multiplikatio aus? Ierhalb der gaze Zahle ka ma multipliziere, hat ei diesbez. eutrales Elemet, aber die Tatsache, dass icht zu jeder gaze Zahl die multiplikativ Iverse wieder gazzahlig ist, verhidert, dass Z auch bez. eie Gruppe wird. Deoch loht es sich, auch diese Sachverhalt zu abstrahiere. Defiitio. Ei Rig besteht aus eier Mege R zusamme mit zwei Verküpfuge +, : R R R, für die folgede Regel gelte: 1) R bildet mit der Verküpfug + eie abelsche Gruppe. 2) a, b, c R gilt (a b) c = a (b c). 3) a, b, c R gilt a (b + c) = a b + a c ud (a + b) c = a c + b c. Gilt überdies och 4) Es existiert ei Elemet 1 R, sodass für alle a R gilt 1 a = a 1, so heisst R ei Rig mit Eis (oder uitär). Gilt 5) a, b R gilt a b = b a, so heisst der Rig kommutativ. Wieder wolle wir eiige eifache Folgeruge aus dieser Defiitio ziehe ud betoe, dass us diese atürlich aus de gaze Zahle bekat sid, de Z ist klarerweise ei Rig (ud Vorbild für desse Defiitio), ud deoch alleie aus de Bediguge der Defiitio abgeleitet werde köe. Wie allgemei üblich lasse wir i der Folge das bei Multiplikatioe zweier Parameter weg. 1) 0 a = a 0 = 0 für alle a R. I der Tat ist a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0 ud durch Additio vo (a 0) folgt a 0 = 0.